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高考数学复习考点突破专题讲解第12讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O 为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为x±y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为4B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+412.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=±xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.高考数学复习考点突破专题讲解12圆锥曲线的方程与性质1.D解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=--=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.3. D解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6cm.5.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2=-=1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c= a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-=-,则sin∠F1PF2=.由△PF1F2的面积为,可得|PF1||PF2|sin∠F1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cos∠QPM=cos∠PQF,要使取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R==4.所以此时△PQF的外接圆半径R=2.8. D解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2.记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4().由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,整理得=2,即=2,所以=2.9.BD解析由双曲线C:=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=,故C不正确;易知渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.10.ACD解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(x A,y A),则x A=p,所以=2px A=2p·p=p2(y A>0).=2,故选项A正确;所以y A=p,故k AB=-选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x B,y B),则p+y B=p,则y B=-,代入抛物线方程得-=2p·x B,解得x B=.∴|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A p,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<2,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA||OF|sinθ+OB·OF sin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.12. ACD解析易知F1(0,-),F2(-,0),F3(,0),将x=代入双曲线C2的方程得=1,可得y2=,则点A.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以-,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=-,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;易知点A(n,2n),F2(-n,0),则,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=|AF2|=(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.可得C 的焦距为2=4.14.=1(答案不唯一)解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即.根据题意可设C的标准方程为=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得--,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.解析设椭圆C1:=1(a>b>0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2st cos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3,即4=,解得.-因为e∈,所以≤e2≤,2≤≤3,可得≤3,故≤e1≤.。
高中数学圆和圆锥曲线教案
1. 了解圆的基本概念，掌握圆的相关性质
2. 能够解决圆和圆锥曲线相关的问题
3. 能够应用数学知识解决实际问题
【教学内容】
1. 圆的定义和性质
2. 圆锥曲线的定义和性质
3. 圆和圆锥曲线的相关计算题
【教学重难点】
1. 圆的相关性质，如圆周长、圆的面积等的计算
2. 圆锥曲线的性质和应用
【教学过程】
一、圆的基本概念
1. 圆的定义：平面上所有与一个给定点距离相等的点的集合称为圆。
2. 圆的性质：半径、直径、圆心、周长、面积等。
二、圆的计算题
1. 计算圆的周长和面积
2. 计算弧长、扇形面积等
三、圆锥曲线的定义
1. 圆锥曲线是由直线与圆相交而得到的。
例：椭圆、双曲线、抛物线等。
四、圆锥曲线的性质和应用
1. 椭圆的定义和性质：焦点、长轴、短轴等
2. 双曲线的定义和性质：焦点、直轴、准直轴等
3. 抛物线的定义和性质：焦点、准直线、对称轴等
【教学方法】
1. 通过实例讲解，激发学生的兴趣
2. 结合实际问题，培养学生的数学思维
3. 综合性训练，加强学生的应用能力
【教学反馈】
1. 定期组织测试，检测学生的学习效果
2. 鼓励学生提问，及时纠正学生的错误
3. 总结常见错误，帮助学生克服困难
【教学拓展】
1. 鼓励学生拓展学习，探索更多数学知识
2. 引导学生参加数学竞赛，提升综合能力
3. 推荐相关书籍、网站，帮助学生深入学习
以上是一份高中数学圆和圆锥曲线教案范本，供参考学习。
几何中的圆与圆锥曲线的性质与应用圆与圆锥曲线是几何学中重要的概念，它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍圆与圆锥曲线的性质以及它们在实际生活中的具体应用。
一、圆的性质圆是由平面上距离一个定点（圆心）的距离相等的所有点组成的。
下面我们来了解一些关于圆的性质。
1. 圆的直径和半径圆的直径是通过圆心的一条线段，而半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
圆的直径是半径的两倍。
2. 圆的周长和面积圆的周长等于圆周上的长度，可以通过公式C = 2πr来计算，其中r是圆的半径。
圆的面积是圆内部的面积，可以通过公式 A = πr²来计算。
3. 圆的切点如果两个圆的圆心之间的距离等于这两个圆的半径之和，那么这两个圆相切。
相切的两个圆在切点处有且只有一点重合。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线是由平面上一个点P和一个定直线（准线）L上的一点P'的轨迹组成的。
下面我们介绍三种常见的圆锥曲线及其性质。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的特点是离心率小于1。
椭圆有两个焦点，焦点与椭圆上的任意一点之间的距离之和是一个常数。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
椭圆的形状可以通过长轴和短轴的长度来描述。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式，它的特点是离心率大于1。
双曲线也有两个焦点，焦点与双曲线上的任意一点之间的距离之差是一个常数。
这个常数被称为双曲线的长轴长度。
双曲线的形状也可以通过长轴和短轴的长度来描述。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式，它的特点是离心率等于1。
抛物线有一个焦点和一个直线（准线）。
点到焦点和点到准线的距离相等。
抛物线的形状可以通过准线和焦点的位置来描述。
三、圆与圆锥曲线的应用圆与圆锥曲线在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 建筑设计圆形的窗户、圆顶和圆形柱子在建筑设计中经常出现。
圆形结构可提供稳定的支撑力并增强结构的美感。
2. 航空航天在航空航天领域，圆锥曲线应用广泛。
抛物线轨道被用于卫星发射，而椭圆轨道则用于行星和其他天体的运动路径模拟。
高中数学备课教案圆与圆锥曲线的位置关系高中数学备课教案圆与圆锥曲线的位置关系1. 引言圆与圆锥曲线是高中数学中重要的几何概念，它们在空间几何中具有特殊的位置关系。
本教案将分析讨论圆与圆锥曲线之间的位置关系及相关性质。
2. 圆与圆锥曲线的定义与性质回顾2.1 圆的定义与性质圆可以由平面上到一个定点距离相等的所有点组成，该定点为圆心，距离为半径。
圆的性质包括：圆心角相等、半径垂直于弦、弦长与圆心角的关系等。
2.2 圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是指空间中由平面与一个固定点所构成的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
它们的性质包括：焦点和准线的关系、离心率的定义与计算等。
3. 圆与圆锥曲线的位置关系3.1 圆与椭圆的位置关系圆与椭圆可以有以下几种位置关系：3.1.1 外离当圆不与椭圆相交且不在椭圆上时，称为外离。
3.1.2 外切当圆与椭圆相切于一点时，称为外切。
此时圆的半径与椭圆的半径之和等于切点到椭圆焦点的距离。
3.1.3 相交当圆与椭圆有两个交点时，称为相交。
此时圆的半径小于或大于椭圆的长轴。
3.1.4 内切当圆与椭圆相切于两个点时，称为内切。
此时圆的半径与椭圆的半径之差等于切点到椭圆焦点的距离。
3.1.5 内含当圆位于椭圆内部，且不与椭圆相交时，称为内含。
3.2 圆与双曲线的位置关系圆与双曲线可以有以下几种位置关系：3.2.1 相离当圆不与双曲线相交时，称为相离。
3.2.2 外切当圆与双曲线相切于一点时，称为外切。
此时圆的半径与双曲线的渐近线之间的距离相等。
3.2.3 相交当圆与双曲线有两个交点时，称为相交。
此时圆的半径小于双曲线的渐近线之间的距离。
3.2.4 内含当圆位于双曲线内部，且不与双曲线相交时，称为内含。
3.3 圆与抛物线的位置关系圆与抛物线可以有以下几种位置关系：3.3.1 相离当圆不与抛物线相交时，称为相离。
3.3.2 外切当圆与抛物线相切于一点时，称为外切。
3.3.3 相交当圆与抛物线有一个交点时，称为相交。
几何中的圆与圆锥曲线在几何学中，圆与圆锥曲线是两个重要的概念。
圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，而圆锥曲线则是在三维空间中所形成的曲线形状。
本文将对这两个概念进行详细讨论。
1. 圆圆是几何学中最简单的曲线之一。
它由一个中心点和到该中心点距离相等的所有点组成。
圆的特点是任意两点到中心点的距离相等，并且圆的周长与半径之间有一个简单的关系——周长等于半径的两倍乘以π（π是一个常数，约等于3.14159）。
圆在日常生活中有各种应用。
例如，我们常常用圆来描述和绘制轮子、盘子等物体的形状。
此外，圆也在数学和工程领域中广泛应用，例如计算圆的面积和周长，制作圆形零件等等。
2. 圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面沿着一个闭合曲线旋转而形成的曲线形状。
根据旋转的角度和曲线的性质，圆锥曲线可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
2.1 椭圆椭圆是一个闭合曲线，其定义是平面上到两个焦点的距离之和始终相等的点的集合。
椭圆有一个中心点，称为焦点，同时还有一个主轴和一个短轴。
椭圆的形状由两个焦点之间的距离和轴的长度比例决定。
椭圆在物理学、天文学和工程学中都有应用。
例如，在天文学中，行星绕着太阳运行的轨道可以近似看作是一个椭圆。
在工程学中，椭圆也常用于设计和制造椭圆形的零件或器件。
2.2 双曲线双曲线也是一个闭合曲线，其定义是平面上到两个焦点的距离之差始终相等的点的集合。
双曲线有两个分离的焦点，并且没有轴。
双曲线的形状由两个焦点之间的距离和焦点到曲线的最近点之间的距离比例决定。
双曲线在数学和物理学中都有广泛应用。
在数学中，双曲线是一类重要的数学曲线，它具有许多有趣的性质和应用。
在物理学中，双曲线常用于描述光学系统中的折射和反射现象。
2.3 抛物线抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，其定义是平面上到焦点和曲线最近点的距离相等的点的集合。
抛物线有一个焦点，并且没有轴。
抛物线的形状由焦点到曲线的最近点之间的距离和焦点到曲线对称点的距离比例决定。
高考数学一轮总复习圆与圆锥曲线的多元综合运用高考数学一轮总复习圆与圆锥曲线的多元综合运用在高考数学中，圆与圆锥曲线是常见的考察内容。
掌握它们的性质和应用是解题的关键。
本文将对圆的方程、圆锥曲线以及它们的多元综合运用进行全面总结和分析。
一、圆的方程及性质1.圆的标准方程圆的标准方程为：$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $其中，圆心坐标为$(a, b)$，半径为$r$。
2.圆的性质（1）过给定圆外一点可作唯一一条直线与圆相交；（2）相交圆共有4个交点，若两个圆重合，则有无数个交点；（3）相离圆无交点。
二、圆锥曲线的方程及性质1. 椭圆的方程及性质椭圆的标准方程为：$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $其中，$(x_0, y_0)$代表椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的性质：（1）焦点和直径：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数$2a$；椭圆的直径是通过中心点并且垂直于长轴的线段。
（2）离心率与焦点：离心率用来度量椭圆的扁平程度，定义为$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，焦点与离心率的关系为：$c=ae$。
2. 双曲线的方程及性质双曲线的标准方程分为两种情况：（1）横轴双曲线的方程为：$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $（2）纵轴双曲线的方程为：$ \frac{(y-y_0)^2}{a^2} - \frac{(x-x_0)^2}{b^2} = 1 $其中，$(x_0, y_0)$代表双曲线的中心坐标，$a$和$b$分别为双曲线横轴和纵轴上的半轴长。
双曲线的性质：（1）焦点和直枝：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差等于常数$2a$；双曲线的两个枝分别延长出去，称为直枝。
（2）离心率与焦点：离心率用来度量双曲线的扁平程度，定义为$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，焦点与离心率的关系为：$c=ae$。
第12讲解析几何之圆锥曲线的方程一．基础知识回顾（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质线方程：1．双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，________．三．抛物线与抛物线的方程1．抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方二．典例精析探究点一：圆锥曲线的定义及应用例1：（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．（3）已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1：（1）求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程． （2）已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（3）已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)探究点二：求圆锥曲线的标准方程例2求满足下列各条件的圆锥曲线标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆方程(2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.的椭圆方程（3）已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线方程．(4) 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程(5)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点的抛物线方程 (6)过点P (2，－4)的抛物线方程变式迁移2：(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．（3）已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，求双曲线的方程(4)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)，求双曲线的方程(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．探究点三：圆锥曲线的几何性质 例3：（一）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．（二）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．（三）过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3：（一）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．（二）已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．（三）已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求四．课后作业设计1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 4．椭圆x 212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 56．已知双曲线x 22－y2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ． 0C ．－2D ．4 7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ． 38．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．49．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|10．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ． 直角B ．锐角C ．钝角D ．以上皆有可能11．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝12．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为13．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为14．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝ 15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为16．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．17．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．18．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．。
高中数学平面几何中的圆与圆锥曲线在高中数学的平面几何中，圆与圆锥曲线是重要的概念。
本文将对圆和圆锥曲线进行详细的探讨和解释。
一、圆圆是平面几何中最常见的几何图形之一。
它由一组等距离于一点的点组成，这个点称为圆心，等距离称为半径。
圆可以用数学方程表示为：x² + y² = r²，其中r表示半径的长度。
1. 圆的性质圆的性质有很多，下面列举几个重要的性质：（1）圆上任意两点到圆心的距离相等。
（2）半径相等的圆互相重合。
（3）在同一个圆中，对圆心角相等的弧长相等。
（4）在同一个圆中，对圆心角大的弧长也大。
2. 圆的相关定理在平面几何中，圆与其他几何图形的相交关系往往会涉及到一些重要的定理。
（1）角的位置定理：两条相交弦决定的两个往往会涉及到一些重要的定理。
在图中，AB和CD是两条相交的弦，E和F是它们的交点，那么∠AEC和∠BFD是对内角，∠AFD和∠BEC是对外角。
根据角的位置定理，我们可以得到如下结论：∠AEC=∠BFD，∠AFD=∠BEC。
（2）弧的角度定理：弧与其所对圆心角的关系在图中，AB是圆的一条弧，O是圆心，α是弧对应的圆心角。
根据弧的角度定理，我们可以得到如下结论：弧AB所对圆心角α的角度为π。
二、圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要概念。
它由平面上一个固定点（焦点F）和到这个点的距离之比（离心率e)确定。
1. 定义在平面上，如果一点到定点和定直线的距离之比是一个常数，就称这条轨迹为圆锥曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它与焦点的距离之和等于常数的点的集合。
在平面解析几何中，椭圆可以用数学方程表示为：x²/a² + y²/b² = 1，其中a表示椭圆的长半轴长度，b表示短半轴长度。
3. 双曲线双曲线是圆锥曲线的另一种，它与焦点的距离之差等于常数的点的集合。
在平面解析几何中，双曲线可以用数学方程表示为：x²/a² - y²/b²= 1，其中a表示双曲线的长半轴长度，b表示短半轴长度。
平面几何中的圆与圆锥曲线在平面几何中，圆和圆锥曲线是两个重要的数学概念。
它们在几何学、物理学和工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍圆和圆锥曲线的定义、性质以及它们之间的关系。
一、圆的定义和性质圆是一个平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，而距离则称为半径。
圆可以通过圆心和半径来描述和确定。
圆的性质有以下几个重要的方面：1. 圆的直径：圆上任意两点之间的最长距离称为直径，它等于圆的半径的两倍。
2. 圆的弦：圆上的任意两点之间的线段称为弦，直径也是一条特殊的弦。
3. 圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线，切线与半径相垂直。
4. 圆的面积和周长：圆的面积等于半径的平方乘以π（即πr²），周长等于直径乘以π（即2πr）。
二、圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是由圆旋转而成的曲线。
当一个平面与一个固定点和一条固定线相交时，所得到的曲线称为圆锥曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆：椭圆是一个平面上到两个焦点的距离之和恒定的点的集合。
椭圆的形状像是拉长的圆。
2. 抛物线：抛物线是一个平面上到一个焦点的距离等于到一条直线的距离的点的集合。
抛物线的形状像是开口向上或向下的碗。
3. 双曲线：双曲线是一个平面上到两个焦点的距离之差恒定的点的集合。
双曲线的形状像是两个分离的弯曲。
圆锥曲线还有许多重要的性质，例如焦点、准线、离心率等。
它们的具体推导和证明可以通过几何学和代数学的方法得到。
三、圆和圆锥曲线的关系圆可以看作是离心率为零的椭圆，因此圆是椭圆的一种特殊情况。
圆还可以通过抛物线的焦点和准线来定义，当抛物线成为一个完美的对称图形时，就是一个圆。
圆锥曲线和圆在数学上都有许多重要的性质和应用。
它们被广泛地运用在建筑、工程、天文学等领域中，例如设计弧形大桥、计算轨道椭圆的形状、分析天体运动等。
对于工程师、设计师和科学家来说，熟练掌握圆和圆锥曲线的性质和应用是必要的。
总结：本文介绍了平面几何中的圆和圆锥曲线。
第12讲 圆锥曲线的对称性问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆锥曲线的相交的动点问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。
2. 中点弦问题（点差法）的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。
3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。
三、题型分析（一）中点弦问题（点差法）例1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【变式训练1】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．【变式训练2】（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．（二）点关于直线对称例2．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【变式训练1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（三）圆锥曲线的光学性质例3.从()4,3-P 出发的一条光线经x 轴反射后经过椭圆1422=+y x 的上顶点，以该椭圆的右顶点A 为圆心，()0>r r 为半径的圆与反射光线没有公共点则r 的取值范围为_________.【变式训练1】.从()4,3-P 出发的一条光线经x 轴反射后经过椭圆1422=+y x 的上顶点，以该椭圆的右顶点A 为圆心，()0>r r 为半径的圆与反射光线没有公共点则r 的取值范围为_________.四、迁移应用1. 若一个圆2244240x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:l y x b =+的距离为,则b 的取值范围是（ ）.A [1,1]- .B [4,4]- .C [8,8]- .D [2,)+∞2.若曲线y =:l 44y kx k =+-有两个交点,则实数k 的取值范围是（ ）.A 3(,1)4 .B 3(,1]4 .C 3(,)4+∞ .D [1,)+∞3.已知ABC ∆是边长为2的正三角形，P 是平面ABC 内一点，则()PC PB PA +⋅的最小值是（ ） .A 2- .B 23-.C 34- .D 1- 4. 已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点Q P ,,若oPAQ 60=∠，且OP OQ 3=（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）.A 27 .B 773 .C 7 .D 72 5．已知离心率为12的椭圆22221(0)y x a b a b +=>>内有一个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，直线AB 、BC 、AC 的斜率分别为123,,k k k ，且均不为0，若直线OD 、OE 、OF 斜率之和为1，则111123k k k ++=（ ）A. 43- B.43 C. 34- D. 346．已知抛物线C ：22y px =的焦点F 与双曲线422413y x -=的右焦点相同，过点F 分别做两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A,B 两点，直线2l 抛物线C 交于D ，E 两点，若1l 与2l 斜率的平方和为1，则AB +DE 的最小值为（ ）A 、16B 、20C 、24D 、327.设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．8．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．9．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程．。
圆与圆锥曲线知识点总结圆和圆锥曲线是数学中重要的几何概念，它们在几何推演和实际问题中起着重要的作用。
本文将对圆与圆锥曲线的基本概念、性质和应用进行总结。
一、圆的定义与性质圆是由平面上距离某一点（圆心）固定距离（半径）的所有点组成的集合。
首先我们来看一下圆的基本性质：1. 圆心：圆心是圆上任意两点之间的中点，用O表示。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
3. 直径：直径是通过圆心，并且在圆上取两点的线段，直径是半径的两倍，用d表示。
4. 弧长：弧长是由圆上两点所对的弧所包围的弧段的长度，记为s。
5. 弧度制：弧度制是角度的一种度量方式，其中圆的一周对应的角度为360度或2π弧度。
二、圆锥曲线的类型圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和到该点的距离之比为定值（离心率）的点组成的集合。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
接下来我们逐个来看。
1. 椭圆：椭圆是一个被定义为焦点和到焦点的距离之和为定值（2a），在平面上满足这个条件的所有点构成的集合。
椭圆有两个焦点，用F1和F2表示，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a。
2. 双曲线：双曲线是一个被定义为焦点和到焦点的距离之差为定值（2a），在平面上满足这个条件的所有点构成的集合。
双曲线也有两个焦点，用F1和F2表示，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于2a。
3. 抛物线：抛物线是一个被定义为焦点到焦点的距离等于焦点到准线的距离的点的集合。
抛物线只有一个焦点和一个准线。
三、常见应用圆和圆锥曲线在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
下面列举一些常见的应用：1. 光学：圆和圆锥曲线在光学中有着重要的应用，例如抛物面反射器的设计和椭圆镜的成像原理等。
2. 科学研究：圆和圆锥曲线在数学、物理学等科学研究中用于建模和解决问题，例如行星运动的轨迹、电磁场的分布等。
3. 工程建模：圆和圆锥曲线在工程建模中经常被使用，例如桥梁设计、管道弯曲等。
数学平面几何中的圆与圆锥曲线一、引言数学是一门抽象而又实用的学科，而在数学中，平面几何是我们最常接触到的一部分。
本节将围绕数学平面几何中的圆与圆锥曲线展开讨论，探究它们的性质与应用。
二、圆的基本性质1. 定义与特征2. 元素与关系a. 圆心b. 半径c. 直径d. 弦e. 弧f. 弧度制g. 相交关系3. 圆的公式a. 周长b. 面积4. 圆的应用举例a. 基于圆的图形构造b. 圆的运用于实际生活三、圆锥曲线的基本概念1. 什么是圆锥曲线a. 定义b. 分类2. 圆锥曲线的方程a. 抛物线b. 椭圆c. 双曲线3. 圆锥曲线的性质a. 焦点与准线b. 离心率c. 对称性4. 圆锥曲线的应用a. 物理学中的应用b. 工程学中的应用c. 自然界中的应用四、圆与圆锥曲线的关系1. 相切与相交a. 内切与外切b. 内离与外离c. 内包与外包d. 相交2. 切线与法线3. 公切线与公切圆4. 圆与圆锥曲线的联立方程五、应用拓展1. 圆与圆锥曲线在几何问题中的应用2. 圆与圆锥曲线在物理问题中的应用六、总结与思考1. 总结本节内容2. 思考数学平面几何中的圆与圆锥曲线的意义与应用3. 展望数学的发展通过本节的学习，我们不仅了解了数学平面几何中的圆与圆锥曲线的基本性质和特征，而且掌握了它们在实际生活与学科领域的应用。
希望大家能够在今后的学习与实践中，深入探索数学的奥秘，发现更多有趣且实用的数学知识。
圆锥曲线与圆、向量的综合题型一 圆与圆锥曲线的综合圆锥曲线的综合问题是每年高考的必考内容，其中涉及圆锥曲线的综合问题中多数情形下都有一个“伴随圆”，由圆的相关运动引出关联的圆锥曲线，或者通过圆来“生成”相关的几何性质，如2019年全国卷ⅡT11，以两圆相交得到相关几何量来解双曲线的离心率，2019年全国卷ⅢT21(2)，以直线与圆相切为条件求解四边形的面积.[典例1] 设D 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |＝3|ED |.当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程．(2)已知点P (2,3)，过F (2,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M .判定直线PA ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．[解题观摩] (1)设Q (x ，y )，D (x 0，y 0)， ∵2|EQ |＝3|ED |，Q 在直线m 上， ∴x 0＝x ，|y 0|＝⎪⎪⎪⎪23y . ∵点D 在圆x 2＋y 2＝16上运动，∴x 20＋y 20＝16，∴曲线C 的方程为x 2＋43y 2＝16，即x 216＋y 212＝1. (2)直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下：由(1)知椭圆C ：3x 2＋4y 2＝48，易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则有x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，可知M 的坐标为(8,6k )．∴k 1＋k 3＝y 1－3x 1－2＋y 2－3x 2－2＝k (x 1－2)－3x 1－2＋k (x 2－2)－3x 2－2＝2k －3·x 1＋x 2－4x 1x 2＋4－2(x 1＋x 2)＝2k －3·－12－36＝2k －1， ＝2·6k －38－2＝2k －1.2k 2∴k 1＋k 3＝2k 2.故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．[关键点拨]1．遇到求轨迹方程问题，想到求轨迹方程的几种方法，如直接法、相关点法(代入法)、定义法等．2．遇到探索性问题，想到求解探索性问题的基本方法，即先判断结论，再进行论证． 3．遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，想到“联立方程→消元→根与系数关系”的思维步骤．[针对训练]1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM ―→⊥AB ―→，而EM ―→＝(t ，t 2－2)， AB ―→与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3； 当t ＝±1时，S ＝4 2.所以四边形ADBE 的面积为3或4 2. 题型二 向量在圆锥曲线中的渗透平面向量作为解题工具在解析几何中有广泛的应用，通过向量形式给出题目条件，体现向量在圆锥曲线中的渗透，也是高考设置综合题的一个特色，如2019年全国卷ⅠT19(2)，利用向量相等求弦长|AB |的值，2018年全国卷ⅢT20(2)，题中给出条件FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0，证明|FA ―→ |，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列等．解答此类问题除对知识熟练外，还要具备很强的知识间的交汇和迁移变通能力.[典例2] (2020·临沂调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦点为F (3， 0)．(1)求椭圆的方程；(2)过N (1, 0)且斜率存在的直线AB 交椭圆C 于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1和t 2，求t 1＋t 2的值．[解题观摩] (1)由右焦点为F (3， 0)，知c ＝3， 所以b 2＝a 2－3.则椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，且a 2>3.❶又椭圆经过点M (－2,1)，所以4a 2＋1a 2－3＝1，注意到a 2>3，得a 2＝6. 故椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 26＋y 23＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0， 因为点N 在椭圆内部，❷所以Δ>0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－61＋2k2，则t ＝MA ―→·MB ―→＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5，❸ 把x 1＋x 2，x 1x 2代入上式得t ＝(1＋k 2)2k 2－61＋2k 2＋(2－k 2－k )·4k 21＋2k2＋k 2＋2k ＋5＝15k 2＋2k －11＋2k 2，所以(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ，则Δ1＝22＋4(15－2t )(t ＋1)≥0， 即2t 2－13t －16≤0，由题意知，t 1，t 2是方程2t 2－13t －16＝0的两根，❹ 所以t 1＋t 2＝132.[关键点拨]1．遇到求椭圆标准方程问题，想到定义法或待定系数法，想到二元一次方程组的解法． 2．遇到向量数量积问题，想到向量的坐标表示，向量相等的条件，向量数量积的坐标运算公式．3．遇到最值问题，想到构造函数求最值或运用基本不等式求最值，或将问题转化为其他相关知识求解，如本题就是将最值转化为一元二次不等式求解．[针对训练]2．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，D (0,2)为椭圆C 短轴的一个端点，F 为椭圆C 的右焦点，线段DF 的延长线与椭圆C 相交于点E ，且|DF |＝3|EF |.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为－32，求OA ―→·OB ―→的取值范围．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点F (c,0)，∵D (0,2)为椭圆C 短轴的一个端点， ∴b ＝2，∵|DF |＝3|EF |，∴E ⎝⎛⎭⎫4c 3，－23， ∴16c 29a 2＋19＝1， 即a 2＝2c 2，又c 2＝a 2－4，∴a 2＝2(a 2－4)，解得a 2＝8， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)∵k OA ·k OB ＝－32＜0，设k OA ＝k ≠0，则k OB ＝－32k，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－32， 即y 1y 2＝－32x 1x 2，∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝－12x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 可得x 2＋2k 2x 2＝8，即x 21＝82k 2＋1. 同理：x 22＝82⎝⎛⎭⎫－32k 2＋1＝16k 22k 2＋9，∴x 21x 22＝8×16k 24k 4＋20k 2＋9＝8×164k 2＋9k2＋20≤8×1624k 2·9k2＋20＝8×1612＋20＝4， 当且仅当4k 2＝9k 2，即k ＝±62时取等号，∴－2≤x 1x 2≤2，且x 1x 2≠0， ∴－1≤－12x 1x 2≤1，且－12x 1x 2≠0，故OA ―→·OB ―→的取值范围为[－1,0)∪(0,1]．[课时跟踪检测]1.已知椭圆方程为x 24＋y 2＝1，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2.(1)求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；(2)如图，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，|PC |＝(x －1)2＋y 2＝ 34x 2－2x ＋2 ＝ 34⎝⎛⎭⎫x －432＋23，由－2≤x ≤2可知，当x ＝43时，|PC |min ＝63.(2)当直线AB 斜率不存在且与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0),由⎩⎨⎧x 214＋y 21＝1，x224＋y 22＝1，两式相减，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 04y 0. 又k MC ＝y 0x 0－1，k MC ·k AB ＝－1， 则k MC ·k AB ＝－x 04y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝43， 由M 在椭圆内部，则x 204＋y 20＜1，解得y 20＜59， 所以r 2＝(x 0－1)2＋y 20＝19＋y 20，所以19＜r 2＜23， 解得13＜r ＜63.所以半径r 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，63. 2．已知抛物线C ：x 2＝2y ，P 是C 的准线l 上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)当P 点在y 轴上时，求切线PA ，PB 的方程；(2)设圆M 是△PAB 的外接圆，当圆M 的面积最小时，求圆M 的方程． 解：(1)抛物线C ：x 2＝2y ，准线l 的方程y ＝－12，∵P 点在y 轴上，∴P ⎝⎛⎭⎫0，－12， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜0，x 2＞0，由y ＝12x 2，求导y ′＝x ，∴k PA ＝y 1＋12x 1＝x 212＋12x 1＝x 1，解得x 1＝－1，∴切线PA 的方程为y ＋12＝－(x －0)，即2x ＋2y ＋1＝0，同理可得切线PB 的方程为2x－2y －1＝0.(2)如图，设点P ⎝⎛⎭⎫t ，－12， 设过点P 与抛物线C ：x 2＝2y 相切的直线方程为y ＋12＝k (x －t )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －t )，x 2＝2y ⇒x 2－2kx ＋2kt ＋1＝0，Δ＝4k 2－4(2kt ＋1)＝0⇒4k 2－8kt －4＝0，∴k 1k 2＝－1，即切线PA ，PB 互相垂直．即△PAB 是直角三角形，△PAB 的外接圆直径为弦AB . 当圆M 的面积最小时，即是AB 最短时，|AB |min ＝2p ＝2，此时AB 垂直y 轴，△PAB 的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫0，12， 圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.3．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM ―→＝λ，QN ―→＝μQO ―→，求证：1λ＋1μ为定值． 解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2. 直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM ―→＝λQO ―→，QN ―→＝μQO ―→，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．4．已知点E 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C的右焦点F 2，与y 轴相交于A ，B 两点，且△ABE 是边长为2的正三角形．(1)求椭圆C 的方程； (2)已知圆：x 2＋y 2＝185，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．解：(1)由题意可知EF 2⊥x 轴，则E ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 又△ABE 是边长为2的正三角形，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，b 2a ＝|AE |＝2，解得a 2＝9，b 2＝6， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.(2)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x ＝185，由(1)知，M ⎝⎛⎭⎫ 185， 185，N ⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， OM ―→＝⎝⎛⎭⎫185， 185，ON ―→＝⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， ∴OM ―→·ON ―→＝0，∴OM ⊥ON ，此时|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝kx ＋m . 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则|m |k 2＋1＝ 185， 即5m 2＝18(k 2＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 26＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－18＝0，得Δ＞0，x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－182＋3k 2.∵OM ―→＝(x 1，y 1)，ON ―→＝(x 2，y 2)，∴OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)·3m 2－182＋3k 2＋km ·－6km 2＋3k 2＋m 2＝5m 2－18k 2－182＋3k 2＝18k 2＋18－18k 2－182＋3k 2＝0，∴OM ⊥ON ，∴|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185. 综上所述，|PM |·|PN |＝185为定值． 5．(2020·潮州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A (2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且AC ―→·BC ―→＝0，|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上不重合的两点且异于A ，B ，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．解：(1)∵AC ―→·BC ―→＝0，∴∠ACB ＝90°， ∵|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|，即|BC ―→|＝2|AC ―→|， ∴△AOC 是等腰直角三角形，∵A (2,0)，∴C (1,1)，∵点C 在椭圆上，∴1a 2＋1b 2＝1，又a ＝2，∴b 2＝43，∴所求椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于x ＝1对称，k PC ＝k ，则k CQ ＝－k ，∵C (1,1)，∴PC 的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，① QC 的直线方程为y ＝－k (x －1)＋1，②将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0，③∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根， ∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1.∴k PQ ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q＝13， ∵∠ACB ＝90°，A (2,0)，C (1,1)，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴A (2,0)，B (－1，－1)，∴k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→， |PQ ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22＝1609k 2＋1k2＋6≤2303，当9k 2＝1k 2时，即k ＝±33时取等号，又|AB ―→|＝10，λmax ＝230310＝233，∴λ取得最大值时的PQ 的长为2303.。
第12讲 圆与圆锥曲线综合
【教学目标】 知识与技能
（1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。
过程与方法
（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。
情感态度与价值观
（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。
（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。
教学重点：
圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点：
圆和圆锥曲线的综合问题
考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题]
例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18
2
2
≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率
为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ．
21 C ．3
3 D ．3
例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________．
例3 已知椭圆E ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2，
且621-=•F F ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．
例4 若椭圆122
22=+b
y a x ）
（0>>b a 内有圆x 2+y 2=1，该圆的切线与椭圆交于A ，B 两点，且满足0=•（其中O 为坐标原点），则9a 2+16b 2的最小值是_______．
例5 设向量s =（x+1，y ），=（y ，x-1），（x ，y ∈R ）满足||+||=22，已知定点A （1，0），动点P （x ，y ）
（1）求动点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）过原点O 作直线l 交轨迹C 于两点M ，N ，若，试求△MAN 的面积．
（3）过原点O 作直线l 与直线x=2交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于点G ，H （不妨设点G 在直线OD 上方），试判断线段OG 的长度是否为定值？并说明理由．
例6 已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x=-1相切，点C 在l 上． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
（Ⅱ）设过点P ，且斜率为-3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点．
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围．
例7 已知双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为3
3
±=y ，左焦点为F ，过A （a ，0），B （0，
-b ）的直线为l ，原点到直线l 的距离是
2
3
． （1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=x+m 交双曲线于不同的两点C ，D ，问是否存在实数m ，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F ．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
[思维训练]
1. 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为：____________.
2. 已知双曲线与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，|PF|=5，则
该双曲线的两条渐近线方程为____________．
3. 已知点P （4，4），圆C ：（x-m ）2+y 2=5
（m ＜3）与椭圆E ：1
22
22=+b
y a x ）
（0>>b a 有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆
C 相切．
（1）求m 的值与椭圆E 的方程； （2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求的取值范围．
4. 给定椭圆122
22=+b
y a x ）
（0>>b a ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“伴随圆”．若椭圆C 的一个焦点为)0,2(1F ，其短轴上的一个端点到F 1的距离为3． （1）求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的伴随圆相交于M 、N 两点，求弦MN 的长；
（3）点P 是椭圆C 的伴随圆上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点，求证：l 1⊥l 2．
5. 已知点P （4，4），圆C ：（x-m ）2+y 2=5（m ＜3）与椭圆E ：12222=+b
y
a x ）
（0>>b a 有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．
（1）求m 的值与椭圆E 的方程；
（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求0=•的取值范围．
6.已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件22=-PN PM ，记动点P 的轨迹为W ．
（1）求W 的方程；
（2）过N （2，0）作直线l 交曲线W 于A ，B 两点，使得|AB|=22，求直线l 的方程． （3）若从动点P 向圆C ：x 2+（y-4）2=1作两条切线，切点为A 、B ，令|PC|=d ，试用d 来表示PB PA •，并求PB PA •的取值范围．
7.某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的标准方程；
（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度
相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5：3，问你能否确定P 处的位置（即
点P 的坐标）？
[挑战自我]
已知M 是以点C 为圆心的圆（x+1）2+y 2=8上的动点，定点D （1，0）．点P 在DM 上，点N 在CM 上，且满足DM 2=,0=•DM ．动点N 的轨迹为曲线E ．
（Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的取值范围．。
