与圆锥曲线焦点三角形相关的圆专题

圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）专题六圆锥曲线与圆有关的专题【知识回顾】一. 园的性质圆的性质在平面解析几何中有广泛而灵活的应用，运用好圆的性质，不仅能免去解几中冗长的运算，还能充分地感受到平面几何的魅力。

1、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理； 2、垂径分弦定理、射影定理； 3、三角形内切圆和外接圆的性质； 4、圆的内接四边形的性质；5、圆幂定理（相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理）.6、圆的切线性质. 二、常见题型1、利用圆的性质求解（或证明）角的大小、弦长、最值等。

2、判定或证明四点共圆：方法1：用定义；方法2：若四边形的对角互补，则四边形的四顶点共圆；方法3：若四边形的外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆. 方法4：证明四点的坐标都满足同一个圆的方程。

【例题】一、关于四点共圆说明理由。

四点在同一个圆上？并，使得的）试判断是否存在这样（的方程；的取值范围，并求直线）确定（两点。

交于的垂直平分线与椭圆相的中点，线段是线段上的两点，点是椭圆、设例D ,C ,B ,A 2AB 1D ,C AB AB )3,1(N y 3x B ,A 122λλλ=+.03.A ACD ,,,A 2D 12,2CD 2321,22324CD AB 12.)12(2AB ,)3(2CD ),23,21(,044402y -x :CD ,CD ,AB CD ),,M(x CD 1)2(.04y x AB .120,1k ,3)1x (k y AB 122222200200=?=>∴=-=?=+==∴=-+=<>-=-=-=-++=+=-+>>?-=+-=AD AC DN CN AN D C B C B A AB d MB MA y x d AB M M x x y ：利用解法为直角为直角三角形，共圆：解法四点共圆。

、、、时，当）（的距离为到点。

时，因为当同理得求得与椭圆方程联立得由圆直径为所以若四点共圆，则此的垂直平分因为的中点为：（用定义）设解法方程为直线得由程，由中点公式得代入椭圆方程得二次方方程为）设解：（λλλλλλλ.D ,C ,B ,A 12,t t t t ,ND NC NB NA D ,C ,B ,A ,ND t ,NC t ,NB t ,NA t tsin453y tcos451x CD ,tsin1353y tcos1351x AB 443214321四点共圆时易证此式成立，即即四点共圆，则若组根，分别与椭圆联立得到两方程为方程为设圆幂定理则非常简单。

圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧1.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点为F1和F2，点M为椭圆上一点。

如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求a^2的值。

解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=F1F2.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π。

根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=9a^2/4，p=3a，代入公式可得到a^2=16.2.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1，F1、F2为其左、右焦点。

如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求满足条件的点M的个数。

解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=10.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π=9/5.根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=27/5，p=15/2.代入公式可得到MF1+MF2=8或12，即点M恰好有2个。

3.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=√3/2，右焦点到右顶点的距离为3-2，求椭圆C的标准方程；设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆C于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值。

解析：由椭圆的性质，可得到椭圆的长轴为2a=2(3-2)=2，离心率为e=√3/2，所以短轴为b=a√3/2=√3.因此，椭圆C的标准方程为x^2+y^2/3=1.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则F2到直线PQ的距离为2b/3=2√3/3，即y1+y2=4√3/3.根据△PQF1的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△PQF1的面积，p为△PQF1的半周长，可得到r=2S/（2p-2a-b）。

高三第二轮专题复习专题（20）——圆锥曲线焦点三角形 一、椭圆的焦点三角形1、椭圆焦点三角形的一般性质（1）判断椭圆焦点三角形的形状例1、椭圆1121622=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状. 解：由椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF∆为直角三角形. （2）椭圆焦点三角形的面积例2、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.解：θc os 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF ，θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF ， 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆. 变式：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 212121=，则12F PF ∆的面积为（ ）. A.33 B.32 C.3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ122tan9tan 302F PF S b θ∆∴==︒= A.（3）椭圆焦点三角形顶角的最大值.例3、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点.证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：222222212121212121212()2422cos 122r r F F r r rr c a c rr rr rr θ+-+---===-22222221222221112()2a c a c e r r a --≥-=-=-+（当且仅当12r r =时取“=”，此时点P 为短轴端点）. 变式：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。

专题15 圆锥曲线焦点三角形微点3 圆锥曲线焦点三角形内切圆问题1e+图2二、椭圆焦点三角形内切圆的重要性质的应用(一) 定值问题1．已知椭圆2212516x y +=左、右焦点分别为PF F △的内心为I ，则2PI PF ⋅= (二) 轨迹问题4．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>左、右焦点分别为动点，12PF F △的内心为I ，求点I 的轨迹方程．圆锥曲线的定义、曲线方程、性质存在着诸多联系，很多性质并不是孤立的，所以我们可以试着将椭圆焦点三角形内切圆性质研究思路应用到双曲线中，面我们研究双曲线焦点三角形内切圆的性质．图6 图7【性质2】双曲线C 的标准方程为焦点，P 为双曲线C 上异于实轴端点的任意一点，12PF F ∆三边相切于点,,D E H ．设11,I x a F D F H a c ===+．参考答案：2．13【详解】设12,.PF n PF m ==则2m n +=根据垂心和内心的性质知(113PG PF PF =+故()()(112226IG c n m PF c m a c ⎡=+-++⎣+5．D【分析】设三角形内切圆的切点为A ，B ，C ，其中2121||||||||F C F C F A F B -=-，又AP PB =，所以2||F C 又2112||||||10F C F C F F +==，由此能求出圆心I 到y 轴的距离．【详解】解：因为双曲线221169x y -=，所以4,a b =设三角形内切圆的切点为A ，B ，C ，其中C 在由内切可得，1122||||,||||,|F B F C F A F C BP ==那么2121||||||||F C F C F A F B -=-，又1|||F P -所以21212F C F C F A F B F A AP -=-=+-又21122210,1F C F C F F c F C +====，7．C【分析】由已知点的坐标求得计算．【详解】()22,5P 在双曲线如图，设(),0M x ，内切圆与x 8．B【分析】设12PF F △的内切圆圆心为I 切线段长相等及双曲线的定义，可得段2OF 中点，可得2c a =，从而可得离心率根据椭圆的定义知122PF PF +=∴121PF PF F E PE PD DF +=-++12222F F F G a =+=， ∴22F G =∴点M 在x 轴上的射影是右顶点故选：A故I 是△1ABF 的重心，即11AIF BIF AIB S S S == ，又所以11222PIF F IF PIF S S S == ，而I 是12PF F △的内心，则由21212||||,||2c PF PF a F F -==，则2||2PF a =，故故选：D【点睛】关键点点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到1122||||2||PF F F PF ==，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程【详解】的内切圆圆心为I ，且与三边相切于点AN ，11F Q F M =，22F M F N =，由双曲线定义知：122AF AF a -=，212122AF F Q F N F M F M a =-=-=，又18．2【分析】首先确定P 点在左支上，作出PF △证明点A 为双曲线的左顶点，从而根据tan从而得到33c a c a +=-，求出离心率.【详解】因为1221tan3tan 22PF F PF F ∠∠=，所以所以122122PF F PF F ∠∠>，故P 点在左支上，2 12由三角形内切圆的性质知：12PF PF HF -=又122HF HF c +=②，11HF c =+③，由①②③得：1a =.∴223c a b =+=，故离心率3c e a==.故答案为：3。

圆锥曲线专题一、求面积问题方法：利用焦点三角形及定义1、已知椭圆14922=+y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积2、已知双曲线14522=-y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积二、求轨迹方程（一）与两个定圆相切的圆心轨迹方程（用圆心距解题）1.一动圆与两圆：012812222=+-+=+x y x y x 和都外切，则动圆的圆心 的轨迹方程是什么？2. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

（二）用代入法求轨迹1.已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线段/PP ，点M 在/PP 上，并且/2MP =，求点M 的轨迹。

2.双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。

三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）常用方法：方程的根与系数关系；弦长公式；对焦点弦要懂得用焦半径公式（连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

点差法； （一）求相交弦长1．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.2.求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；变式：双曲线X 2-22y =1,截得直线Y=x+M 所得的弦长为求M 的（二）中点问题1.已知中点坐标：以定点为中点的弦所在直线的方程（1）过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

专题12 圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一 、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．2413D ．1913例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2∠=∠.PFy PQF ()2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点()D(AB不与x轴平行)，且0,4+=.过y轴上一点E作直线//6AF BFm x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】C 【解析】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以||||||||PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a=+，解得||2RM a =，同理||||||||FT RF QN RN =，即||336FT aa a=，解得 3||2FT a =，又||FT p =，所以32a p =，23a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则||MG ===，所以1||||2MNES EF MG =⋅=△ 132a ⨯⨯=2a =，故332p a ==. 故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S =，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-． 将直线AB 1方程4x c =-，代入椭圆方程后，222241x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得12228A B cy y b a+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==． 故答案为：12． 例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A．5B．5C ．2413D ．1913【答案】D 【解析】如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式， 由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ．例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169．例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（△）223144x y +=；（△）221x y +=，⎡⎢⎣⎦.【解析】（△）由题意可得，22||48F A F B AB a ++==， 故2a =，又有3c e a ==，∴c = 椭圆的标准方程为223144x y +=；（△）法1：设||OA m =，||OB n =，∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥， 设点(cos ,sin )A m m θθ，点(sin ,cos )B n n θθ-，22222222cos 3sin 144cos 3sin 144m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相加得22131144m n +=+， 2222m n m n +=⋅，222AB OA OB =⋅，∴1r =，442222222111||1111n n AB m n n n n n -+=+===++---，24,43n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AB ⎡∈⎢⎣⎦，OABS ⎡∈⎢⎣⎦△． 法2：()2222234136340x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， ()()22222236434131248160k m m k m k ∆=--+=-++>，1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++222444013m k k--==+， ∴221m k =+，∴1r ===，122||13AB xk=-==+当0k=时，||2AB=，当0k≠时，||AB=≤213k=时取到等号，此时243m=符合>0∆∴1,3OABS⎡∈⎢⎣⎦△．例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC EF⊥.（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求ABC∆面积的最小值及此时直线AC的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为30x y±-=.【解析】（1）由题意得抛物线24y x=的焦点()1,0F，准线方程为1x=-，设()2,2B t t，直线AB：1x my=+，则()1,2E t-，联立1x my=+和24y x=，可得244y my=+，显然40A By y+=，可得212,At t⎛⎫-⎪⎝⎭，因为EFk t=-，AB EF⊥，所以1AC k t=， 故直线AC ：2211y x t t t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 由224120y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 得224480y ty t---=. ∴4A C y y t +=，248A C y y t =--， 所以AC 的中点M 的纵坐标2M y t =，即M B y y =， 所以直线BE 经过AC 的中点M .（2）所以A C y A C =-== 设点B 到直线AC 的距离为d ，则2212t d ++==.所以1162ABCS AC d ∆=⋅=≥=，当且仅当41t =，即1t =±，1t =时，直线AD 的方程为：30x y --=，1t =-时，直线AD 的方程为：30x y +-=.另解：2221112222ABC A C S BM y y t t t ∆=⋅-=++-3222122t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =，而2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以22412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,12、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得M，3(,22N -，所以||3MN ==，故选B ． 3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设PMN ∆外接圆半径为R ，|||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=21||||()2||||PM PN PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥8==4≥=， 当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．【答案】（1）2y x =（2）最小值 【解析】（1）当1s =时，5||24p PF s =+=， 所以12p =，故所求抛物线方程为2y x =. （2）点(),P s t 为抛物线2y x =上的动点，则2s t =，设过点2(,)P t t 的切线为2()x m y t t =-+， 21=， 得22222(1)2(2)(2)10(*)t m t t m t -+-+--=， 12,m m 是方程（*）式的两个根， 所以21222(2)1t t m m t -+=-，2123m m t =-， 设()()221122,,,A y y B y y ，因直线2:()l x m y t t =-+，与抛物线2:C y x =交于点A ，则212()x m y t t y x⎧=-+⎨=⎩得22110y m y m t t -+-=， 所以211ty m t t =-，即11y m t =-，同理22y m t =-，设直线()1212:AB x y y y y y =+-，则12||||AB y y =-，d =，又12122221t y y m m t t -+=+-=-， 2121223()()1t y y m t m t t -=--=-， 所以212121211|||||()|22PAB S AB d y y t t y y y y ==--++22222311t t t t t --=-⨯+--=令210u t=->，4(PAB S u u =++当且仅当2u =，即t =时，PAB S 取得最小值5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）【解析】（1）由已知得焦点F 的坐标为(1, 0)， 2p ∴=，∴抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立方程224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=， 216320m ∴∆=+>，124y y m +=，128y y =-，设直线l 方程为：()11y y k x x -=-，联立方程()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x 得：2114440y y y x k k-+-=， 由相切得：112164440k k y x ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，112110y x k k ∴-+=， 又2114y x =，21121104y y k k ∴-+=， 21102y k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，12k y ∴=， ∴直线l 的方程为：11220x y y x -+=，由4AB AM →→=，得12034x x x +=，12034y y y +=， 将12034y y y +=代入直线l 方程，解得221121888N yy y y x +-==， 所以01212ABN N S x x y y =-⨯-△212112138248x x yy y +-=-⨯-2212121632y y y y ++=⨯-31232y y -=311832y y +=，又118y y +≥ 所以42ABN S △，当且仅当1y =±时，取到等号，所以ABN面积的最小值为6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE △面积的最大值.【答案】()1证明见解析； ()2 【解析】()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的方程可得2x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =， 所以在P 处的切线方程为：()200042x x y x x -=-， 令0x =，可得204x y =-， 即2040,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 所以2014x FQ =+，而P 到准线的距离2014x d =+，由抛物线的性质可得PF d = 所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠，可证得：2PFy PQF ∠=∠.()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与抛物线联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，即20k m +>，124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，所以线段AB 的中垂线方程为：()212(2)y k m x k k -+=--，由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=，所以24226k m ++=，即222k m +=，②设()0,E b ，()222114AD x y =+-，AD 的中点的纵坐标为142y +，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：2214442y AD b ⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222112114444444y y x b b y ⎡⎤-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()221111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E所以E 到直线AB的距离为：d = 而弦长AB ==，所以1232EAB S AB d =⋅==-将①代入可得2322212ABE S k k =-+=+=设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，0k >>的情况即可，()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--' 令()0f k '=，6k =当06k <<，()0f k '>，()f k 单调递增；当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，所以(k ∈且0k ≠上，66f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值9，所以ABE S的最大值为：212+=。

专题1 焦长与焦比体系】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ．C ．D ．与、斜率有关【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .（1）证明：；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ；焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得则过焦点的弦长.（焦长公式）焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得．yO F 2AB xF 1【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为；（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为．【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求；（2）若，求椭圆E的离心率．_________.【例10】过双曲线的左焦点F 1作倾斜角为的直线交双曲线于A 、B 两点，则=________.【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．注意：关于这类型焦比双曲线求离心率的题目很多，通常需要利用双曲线的几何性质把拥有焦比的较长的那段用关于的式子表示出来，再利用（交一支）或者（交两支）得出离心率.证明：1． ；同理. 2．．3．设O 到AB 的距离为,则 ，故． 4．，． 5．；；；．关于抛物线的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，为AB 倾斜角） 1．；2． 3．；4．设，则； 5．设AB 交准线于点P ，．【例12】已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若，则m 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例13】已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，O 为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．【例14】过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若，且则此抛物线的方程为（ ）若交于两支时，，代入弦长公式可得．秒杀秘籍：抛物线焦长公式及性质 1．．2．．3．．4．设,则．5．设AB 交准线于点P ，则；．秒杀秘籍：过焦点的弦与其中垂线的性质 1.设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图）。

24上海中学数学• 2020年第6期圆锥曲线焦点三角形的内切圆半径探讨510630 华南师范大学附属中学赵炜摘要：圆锥曲线的几何性质是高考的重要考点，而焦点三角形更是重中之重.笔者从一道常见的圆锥曲线习题出发，将结论推广到一般形式，研究了三种圆锥曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围.关键词：圆锥曲线；焦点三角形；内切圆前段时间.学生向笔者请教了一道圆锥曲线焦点三角形的内切圆半径问题.这道题引起了笔者的兴趣，笔者对此进行了深人研究，并把结论推广到了椭圆与抛物线的情形.例题点巧、尺分别是双曲线Y—4=1的左、右焦点，点P在双曲线上，则A P F i R的内切圆半径r的取值范围是（）A.(〇，V3 )B. (0,2)C. (〇，V2 )D. (0,1)分析：本题用到了双曲线的一个常用性质一若P在右支上，则内切圆圆心〇在.r轴上的投影点是右顶点A(如图1所7K).图1证明：设内切圆〇与.r轴切于点M，则IM F」一|M F21=丨|— |P F21 =2a，又 |A F, |— 丨A F21 =(c+a)—(c—a)=2a，故点 A 与 M 重合.解析:不妨讨论一般的双曲线^一善=i，有此性质后，则内切圆半径r=丨OA |=|A F2丨•tan^/〇F2A=(c—a)tan^ ①.因为 (〇,7r —arctan 立），所以当aF2P与渐近线3；=^^'平行时取最大a L值，此时设tan Z F f=，，有立解得Z1 — .r a.r=+或.(舍去）.b b所以tan(〇，+),从而由①式知6(〇,6).故本题选A.评注：本题的解法属于巧算，如果学生不知道此双曲线的性质，而用三角形的面积公式去硬算内切圆半径，由于计算要求过高，往往会无功而返.由分析过程，笔者得到了以下结论.结论1点F,、F2分别是双曲线多=1的左、右焦点，点P在双曲线上.则A P F,F2的内切圆 半径r的取值范围是（0,6).有了双曲线的结论.便自然会想到研究椭圆.结论2 如图2,点F d分别是椭圆^十多=1的左、右焦点，点P在楠圆上，则A P F,F2的内 切圆半径r的取值范围是（0，^^].证明：由内切圆性质知|P A|=+(丨P F, | + \P F2\-\F i F2\)=a-c.所以内切圆r= |PA|tan(a—c). tan在椭圆中，可知当P为短轴端点时最大，此时tan Z F f F2=因此tan^F f F2 € (〇，^],故？*的取值范围是（〇,上海中学数学• 2020年第6期25 (g — c)c~~b~~在抛物线中，一般没有焦点三角形的概念，但是有一个类似的厶〇4B,如图3,设过焦点F的直线倾斜角为a,则有以下常用结论：=sin as A C M B=^(证明略）②.结论3点F是抛物线^2=2和'的焦点，A B为过点F的直线，则A O A B的内切圆半径r的取值范围是〇P+2.分析：研究抛物线的情况时，因为找不到椭圆和 双曲线情况的那种长度为定值的线段，所以只能采 用面积公式死算的方法了.但是，由几何直观可知，内切圆半径应该在垂直于.r轴时最大，平 行于.1•轴时最小.因此尝试往此方向努力.解析:由②式SAm B=^d(|a4| +丨O B丨+44-K * )，设，:y1)，B(•r2，ッ2)，直线A B:.;r sin a-rny+鲁，将与抛物线方程联立得/—一 p2 = 0 ,解得3^=/>(所 +\//7z2 +1) ^ y z~VmM-1)，又 m=cota，所以：yi=(---+-—)ptana sina1+cosa^ t=，rm_cosa—1人_p，同理汐2=—：---P.sina sina所以 |O A|=/r?+3<?=y'J l+f^1+cosa/1+ 1 (i±cosa)2sina v 4 sina(1 H~ cosa) V—3cos2a + 2cosg +52sin2a(l+cosa)T(5 —3cosa)T\O B\=p2sin2a(1 — cosg)T (5 + 3cosa)72sin2a，同理可得，代入（* )式，得♦ 4 + (1 ~fcosg)~ (5 — 3cosg)~2 sina,(1—cosa)T (5 + 3cosa)T十广•---------—------------Zsma= />(**)，因此只需要研究/(a)=4 + (l +CO Sg)T (5 —3c〇Sa)~ +(l~CO Sg)~ (5 +3c〇Sg)T2 s ina的取值范围.又倾斜角a e(〇,7T)，且/(a)=/(7T—a)，所以/Xa)关于a=f对称.故只需讨论/(a)在（〇，f]上的值域，令^'(a)=(l + cosg)~ (5~3cosg)T +(1~cosg)T (5 + 3cosg)T2 s ina ’因为I在（〇，吾]上单调递减，下面证明^«)在sina L(〇，f]上也单调递减.• • I (. 1/ (1 + cosa)7 (5 —3cosa)7.g ^=y\----------^----------)+1(sina(1 —cosa)T (5 + 3cosa)T其中sina /，（1 + cosa)T (5 —3cosa)7sina /[(l + cosg)7 (5 —3cosa)了]’singsin" a(1 + cosa )T (5 — 3cosa)T cosasin2 a[6sina ,I1+ C O S g5 —3cosa(co sa— 1 )]sin asin2a3\_(1 十cosa)1" (5 — 3cosa)Tcosa/ 1 + cosa5一3cosasin2a(cosa — 1)_(1+ C O S g)T(5~3c〇S g)T C O S gsin2a(1 —cos〇)T(5 +3cosa)T,③，同理可得—cosasina / v 5 + 3cosa(1 — cosa)~ (5 + 3cosa)T cosa(cosa + 1)sin~a(0,吾]，故(〇，l].④，令cosa，由于③+④得2g(a)-(?-1)+6aI l~tS +3t(/+1)r(l+/)^(5-3/)T/+(i-f)i(5+3/)Tn26上海中学数学• 2020年第6期1-t2(5 + 30(5-3r)V(1+^) (5 —3^) —x/(l—f)(5 + 3，)]-^r[(l+f)+(5-3，)+ + (l —')音（ 5 +3,）+ ]=l-t2—(5 + 30(5 — 30,■■,---------^[(1 + V(l+t)(5~3t)+ V(\-t)(5 +3t)卜广广)音（5 —3/)+ +(l—f)+(5 +30+ ]⑤，由，e[〇，l]得(l+m5-3，)G[4，¥]，(l-，)(5 +3，)e[〇,5], (5 + 3；)(5-306[16,25],••• \/(1 + ?) (5 —3t)+(1 —t) (5 + 3?) ^ 2 曰7(5 + 3^)(5-3?)>4，••• 6l-t2—(5 + 30(5 — 30___________________A t___________________V(l + t)C5~3t)+ V(l~t)(^> + 3t)而由基本不等式Y^[(l +，)+ (5-3，)+ + (1—，)+ (5 + 3，)+]• 2[(5 + 3r)(5-3?)]T(l-r2)^^—卜产（1—V l-t2⑦，由⑤⑥⑦式知g'(a)<0,从而 /(a)在(0，晋]单调递减，且 a-*■〇 时，/"(a) ~*■+00，/(晋）=^^=$+2,所以 /(a)值域为[W+2, +〇〇),代人（** )式，得r的取值范围是（0, </5 +2注1:笔者用数学软件M a th e m a tic a分别画出 了g(a)的图像（如图4所示）与f C a)的图像（如图5 所示），验证了结论的正确性.注2:解答本题时，用到了求导、换元、不等式估 计种种工具，明显比处理双曲线和椭圆时难度提升了好几个档次.图5在抛物线问题中，另一个三角形也经常出现，我们不妨来讨论一下它的内切圆半径.结论4 F是抛物线^2=2/^的焦点，/为准线为过点F的直线，作丄入则A A iF B,的内切圆半径;••的取值范围是[(居一1)/>，上）2证明：如图6,设直线A B的倾斜角为《，则=Y，所以Z B]A,F=f.同理可证Z A J J zY，所以在R t A A F B,中，易见r= + (|A,F| +I^F hl A j,丨）.设直线A B:.r=W y+f，与抛物线方程联立得：y2——p2=0.设 A O!，义），B(i2，：y2)，则 r=+( |A!F|+| B^l — |A j B i| ) = y13；! — 3；2 |(cos y +sin y —1) =^y\ +3^2 )2 —43；,y2( cos f+sin f-1)=p \f\-\-m2(cos -^- + s i n—1) =-r—(c os +乙l sina Lsin f—1)，令 f^c o s f+sin f，a6 (〇，丌)，sina= 2s i n f c o s f=P— 1，且 f=V^s i n(f+子）G (1，#]，所以，故r的取值范围是[(W_l)户，音).笔者从双曲线与椭圆的焦点三角形内切圆半径的取值范围出发，探索了两个拋物线中三角形内切圆半径的取值范围，从理论上解决了内切圆半径的取值范围问题，期望对读者处理此类问题有所启发.。

微专题：双曲线的焦点三角形的内切圆定理：已知为双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，A 为双曲线上一点，则21F AF ∆的内切圆与x 轴切于双曲线的顶点。

简证：由圆的切线长相等，即AD AF =，E F F F 11=，E F D F 22=。

结合双曲线的定义：E F E F a AF AF 21212-==-E F E F c 212+=a c E F c a E F -=+=∴21,。

延伸：椭圆的焦点三角形21PF F ∆的旁心与x 轴相切于顶点。

例1：（2005年浙江省数学联赛）设双曲线122=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若△PF 1F 2的顶点P 在第一象限的双曲线上移动，求△PF 1F 2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边PF 2上的切点轨迹。

由以上定理可得：内心必在直线1=x 上；由点P 在右支上，观察直线P F 1的运动范围：其斜率小于渐近线的斜率。

而I F 1是21F PF ∠的平分线，所以821π<∠F IF 。

考查点一：圆锥曲线的定义与三角形的内心性质相结合。

1、已知点P 是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，M 为21PF F ∆的内心， 若2211MPF F MF MPF S S S ∆∆∆-=λ成立，则λ的值为A 22a b -B 22a b -C 22a b -D 22a b -21,F F 21,F F考查点二：在以上基础上对内心（角平分线的交点）的深入研究2、已知为双曲线16222=-y x 的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，设点G 、H 分别为21F AF ∆、21F BF ∆的内心，则GH 的取值范围是A . [)4,22B .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡364,2 C .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,324 D .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡364,22 由前面的定理可知，21r r GH += 其中21GA r = 令α222=∠A AF ，则有αtan 21222==r F A GA 同理⎪⎭⎫ ⎝⎛-=απ2tan 22r ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ααtan 1tan 221r r GH 再由渐近线（x y 3±=）的性质得：36παπ<<。

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。

下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。

一、定值问题例1. 椭圆上一点P ，两个焦点x a y ba b 222210+=>>()， 的内切圆记为，求证：点P 到的切)0,()0,(21c F c F ，-12F PF ∆M e M e 线长为定值。

证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵|F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。

二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆上一动点P ，两个焦点， x a y ba b 222210+=>>())0,()0,(21c F c F ，-的内切圆记为，试求圆心M 的轨迹方程　。

12F PF ∆M e 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，又由合分比定理知1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c αβαβαβαβ+=⇒=++++。

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．【核心考点目录】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【方法技巧与总结】1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义中，要求2a <12F F ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【核心考点】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________． 例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则PA PQ QH ++的最小值为______．例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当 0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>， 12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虚轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =， PAB 面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足 3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是 ______________ ；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M ､N 分别为 12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是 ____________ ．核心考点二：蒙日圆 【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A ．229x y += B ．227x y += C ．225x y += D ．224x y +=例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点三：阿基米德三角形 【典型例题】例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2p x =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，PAB 为阿基米德三角形．抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P ．给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）核心考点四：仿射变换问题 【典型例题】例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______．记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______．Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______．例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB面积最大值为_______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ λμ==（,λμ是非零实数），求22λμ+=______________．核心考点五：圆锥曲线第二定义 【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．8 C ．12 D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C ．若2AB BF =，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．163D ．203核心考点六：焦半径问题 【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为（ ）A ．B ．2C D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是（ ） A．)∞+ B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，O 是坐标原点，若12||PF PF OP +，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．32D ．2核心考点八：圆锥曲线第三定义 【典型例题】例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过点1F 且斜率为k 的直线与圆222x y a +=交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段1F B 与椭圆交于点M ，2MF 延长线与椭圆交于点N ，且122||,2AF MB MF F N ==，则椭圆的离心率为___________，直线1AF 的斜率为___________．例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．23核心考点八：定比点差法与点差法 【典型例题】例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ）A ．12k <-B ．1122k -<<C ．12k >D ．12k <-，或12k >例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3-B ．13-C ．34-D ．43-例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A B ．12C D 核心考点九：切线问题 【典型例题】例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n +=．过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线例28．（2023·全国·高三专题练习）设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD核心考点十：焦点三角形问题 【典型例题】例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．8B ．C ．16D ．例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F -，动点P 在椭圆上，若12PF F △的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例32．（2023·全国·高三专题练习）已知(P 在双曲线22214x y b-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．核心考点十一：焦点弦问题 【典型例题】例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 【典型例题】例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________．例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 【典型例题】例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P为C 上不与左､右顶点重合的一点，I 为12PF F △的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为（ ） A ．2B ．32C D ．53例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．2,⎡⎣核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 【典型例题】例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______． 例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F 的直线与T 交于,A B 两点，且2AF FB =，T 的准线l 与x 轴交于C ，CBF 的面积为T 的通径长为___________．例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a（a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 【典型例题】例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为1F ，2F ，经过2F 且与1F 2F 垂直的光线经双曲线E 反射后，与1F 2F 成45°角，则双曲线E 的离心率为（ ）AB1 C．D．1例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（ ） A ．7B ．174C ．214D ．254核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【典型例题】例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B ．若G 点为PAB 的外心，则1PAGF =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ，若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．32BC4D ．122例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）ABCD【新题速递】一、单选题1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，圆1O 的方程为()22114x y ⎛++= ⎝⎭，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆1O 上运动，若12A A P △的面积为PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +的值为（ ）AB ．C ．D ．2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（ ）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π33．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设12F F 、是双曲线22:1810y C x -=的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且1212OP PF PF =-，则1PF O 的面积为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．124．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（ ）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1． 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P 为抛物线()220y px p =>上一动点，点Q 为圆22:(1)(4)1C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为2，则p =（ ） A ．12p =B ．1p =C ．2p =D ．4p =7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与C 的左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C的离心率为（ ）A ．3B．CD8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，,A B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点()()cos ,sin 02πP θθθ≤<，存在,A B 使90APB ∠=成立，则m 的最大值为（ ） A．B．C．D．9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②③C ．①②D ．①③10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆22:4O x y +=和圆22:4210M x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，下列说法中错误的是（ ）． A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段ABD ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则EF的最大值为4二、多选题11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知F 是抛物线2:2C x y =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．若AF y ⊥轴，则1AF =B ．若2AF =，则AOFC ．AB 长度的最小值为2D ．若AOB 90∠=，则8OA OB ⋅≥12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 13．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ） A ．PM PF +的最小值为B ．C 的准线方程为=1x -C ．4OA OB ⋅≥-D ．当PF l ∥时，点P 到直线l 的距离的最大值为14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．设直线MA ，MB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅=则______16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率2≥e ，直线1y x =-+交双曲线于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则双曲线实轴长的最小值是__________．17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(1)10C x y +++=相交于A ，B 两点，则||AB =________．18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ､B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为______．19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足：22(2)(1)1x y ++-=，则 1 2 x y -+的取值范围是______．20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线M ：24x y =，圆C ：22(3)4x y +-=，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则CA CB ⋅的取值范围是______ ．。

圆锥曲线中的圆问题【方法技巧与总结】1.曲线Γ:x 2a 2+y 2b2=1的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >b >0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2-b 2．3.抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．4.证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证)．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180°，并且任何一个外角都等于它的内对角)．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点)，则可肯定这四点共圆(根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆)．【题型归纳目录】题型一：蒙日圆问题题型二：内圆与外圆问题题型三：直径为圆问题题型四：四点共圆问题【典例例题】题型一：蒙日圆问题例1.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆O :x 2+y 2=r 2外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若PA ⋅PB =0，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆M :x 29+y 24=1外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若QC ⋅QD =0，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在(2)问中若椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么(直接写出答案即可，无需过程)．例2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(3，0)，离心率为32．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0)，离心率为33．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程；(3)若过椭圆C上任意一点Q的切线与(2)中所求点P的轨迹方程交于A，B两点，求证：|QA|⋅|QB|= |QF1|⋅|QF2|．变式1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(5，0)，离心率为53．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．变式2.在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．(1)已知动点P 为圆O :x 2+y 2=r 2外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ．A 、B 为切点，若PA ⋅PB =0，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆M :x 24+y 23=1外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ．C 、D 为切点，若QC ⋅QD =0，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程．变式3.设椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，垂直x 轴的直线与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔFAB 的周长取最大值43时，|AB |=233．(1)求椭圆C 的方程；(2)过圆D :x 2+y 2=4上任意一点P 作椭圆C 的两条切线m 、n ，直线m 、n 与圆D 的另一交点分别为M 、N :①证明：m ⊥n ；②求ΔMNP 面积的最大值．变式4.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为63，并与直线y=x+2相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)如图，过圆D:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n．求证：m⊥n．变式5.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(3,0)，其短轴上的一个端点到F的距离为6．(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；②求证：线段MN的长为定值．题型二：内圆与外圆问题例4.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)及圆O :x 2+y 2=a 2，过点B (0,a )与椭圆相切的直线L 交圆O 于点A ，若∠AOB =60°，求椭圆的离心率．例5.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2，F 1(-1,0)，F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为αα∈0,π2的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交圆O 于P ，Q 两点(如图所示，点A 在x 轴上方)．当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 与椭圆C 的方程；(2)若AF2，BF 2，AB 依次成等差数列，求直线PQ 的方程．例6.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2(其中圆心O为原点)，过椭圆C上异于上、下顶点的一点P(x0，y0)引圆O的两条切线，切点分别为A，B．(1)求直线AB的方程；(2)求三角形OAB面积的最大值．变式6.如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2，已知椭圆C的离心率为223，直线2x-2y-6=0与圆O相切．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求ΔBPQ的面积的最大值及此时PQ所在的直线方程．变式7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2，F1(-1,0)，F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为αα∈0,π2的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点(如图所示，点A在x轴上方)．当α=π4时，弦PQ的长为14．(1)求圆O与椭圆C的方程；(2)若2|BF2|=|AF2|+|AB|，求直线PQ的方程．变式8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．(Ⅰ)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；(Ⅱ)设直线AB与x、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，a2ON2+b2OM2是否为定值？请证明你的结论．变式9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其右焦点为F(3，0)，点M在圆x2+y2=b2上但不在y轴上，过点M作圆的切线交椭圆于P，Q两点，当点M在x轴上时，|PQ|=3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当点M在圆上运动时，试探究ΔFPQ周长的取值范围．题型三：直径为圆问题例7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，上下顶点分别为B1，B2，以点F为圆心FB1为半径作圆，与x轴交于点T(3,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,0)，点A，B为椭圆C上异于点P且关于原点对称的两点，直线PA，PB与y轴分别交于点M，N，记以MN为直径的圆为⊙K，试判断是否存在直线l截⊙K的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．例8.已知动圆Q过定点T(2,0)，且与y轴截得的弦MN长为4，设动圆圆心Q的轨迹为C．(1)求轨迹C的方程．(2)设P(1,2)，过F(1,0)作不与x轴垂直的直线l交轨迹C于A，B两点，直线PA，PB分别与直线x=-1相交于D，E两点，以线段DE为直径的圆为G．判断点F与圆G的位置关系，并说明理由．例9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N，R为准线上一点．(Ⅰ)若AR⎳FN，求|MR||MN|的值；(Ⅱ)若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系．变式10.已知抛物线和双曲线都经过点M (1,2)，它们在x 轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．(1)求抛物线和双曲线标准方程；(2)已知动直线m 过点P (3,0)，交抛物线于A ，B 两点，记以线段AP 为直径的圆为圆C ，求证：存在垂直于x 轴的直线l 被圆C 截得的弦长为定值，并求出直线l 的方程．变式11.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，动直线l 过F 2且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且|AF 1|+|BF 1|的最大值为7a 2．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，已知P (x 0，y 0)(y 0≠0)为抛物线E :x 2=4by 上一点，l 为抛物线E 在点P 处的切线，I 与椭圆C有两个不同的交点M ，N ，当以MN 为直径的圆过原点O 时，求a y 0．变式12.已知F 1、F 2分别为椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长|AB |；(2)当OA ⋅OB =-2时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线x =6于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．变式13.已知动圆M 与圆A :(x +5)2+y 2=4及圆B :(x -5)2+y 2=4中的一个外切，另一个内切．(Ⅰ)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．变式14.如图，已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且sin∠PF1F2=1 3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点S0,-13且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．题型四：四点共圆问题例10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A(-2,0)，且离心率为22．(1)求C的方程；(2)直线y=kx(k≠0)交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆．例11.已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为152．(1)求C的方程；(2)若∠MAN=90°，是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．例12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A(-22,0)，且过点(2,3)．(1)求C的方程；(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆．变式15.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2)．(1)是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，证明：A、B、C、D四点共圆．变式16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，A是C上位于第一象限内的动点，它到点B(3,0)距离的最小值为22．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．(1)求p的值；(2)若中|AB|=22，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．变式17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点-1,32．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，直线l:x=t(t>a)交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N 四点共圆，求t的值．变式18.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，实轴长为4．(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标．变式19.椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，ΔOAB面积的最大值为3．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l:x=t交x轴于点P，其中t>a，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O，A，M，N四点共圆，求t的值．变式20.已知椭圆的两焦点F1，F2分别为(±1,0)，椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；(Ⅱ)若直线l:x=6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，求证：B，S，P，H四点共圆．变式21.设动点P与定点F(3,0)的距离和P到定直线l:x=433的距离的比是32．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为12的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D，证明：A，B，C，D四点共圆．变式22.已知斜率为k的直线交椭圆3x2+y2=λ(λ>0)于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点N(1,y0)是线段AB的中点．(1)若y0=3，求直线AB的方程以及λ的取值范围；(2)不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，求y0的取值范围．变式23.已知抛物线P:y2=2px(p>0)上的点34，a到其焦点的距离为1．(Ⅰ)求p和a的值；(Ⅱ)若直线l:y=x+m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线P于两点C、D，求证：A、B、C、D四点共圆．圆锥曲线中的圆问题【方法技巧与总结】1.曲线Γ:x 2a 2+y 2b2=1的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >b >0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2-b 2．3.抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．4.证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证)．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180°，并且任何一个外角都等于它的内对角)．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点)，则可肯定这四点共圆(根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆)．【题型归纳目录】题型一：蒙日圆问题题型二：内圆与外圆问题题型三：直径为圆问题题型四：四点共圆问题【典例例题】题型一：蒙日圆问题例1.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆O :x 2+y 2=r 2外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若PA ⋅PB =0，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆M :x 29+y 24=1外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若QC ⋅QD =0，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在(2)问中若椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么(直接写出答案即可，无需过程)．【解析】解：(1)由切线的性质及PA ⋅PB =0可知，四边形OAPB 为正方形，所以点P 在以O 为圆心，|OP |长为半径的圆上，且|OP |=2|OA |=2r ，进而动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2r 2⋯(3分)(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为Q (x 0，y 0)则x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k，l 1的方程为y -y 0=k (x -x 0)，联立x 29+y 24=1，得(4+9k 2)x 2+18k (y 0-kx 0)x +9(y 0-kx 0)2-36=0，⋯(5分)因为直线与椭圆相切，所以△=0，得182k 2(y 0-kx 0)2-4(4+9k 2)⋅9[(y 0-kx 0)2-4]=0，化简，9k 2(y 0-kx 0)2-(4+9k 2)(y 0-kx 0)2+(4+9k 2)4=0，进而(y 0-kx 0)2-(4+9k 2)=0，所以(x 20-9)k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0⋯(7分)所以k 是方程(x 20-9)k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根，同理-1k是方程(x 20-9)k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根，∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-9，得x 20+y 20=13，其中x 0≠±3，⋯(9分)②当l 1与x 轴垂直或平行时，l 2与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(±3,±2)，∵P 点坐标也满足x 20+y 20=13，综上所述，点P 的轨迹方程为：x 20+y 20=13．⋯(10分)(3)动点Q 的轨迹方程是x 20+y 20=a 2+b 2⋯(12分)例2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，离心率为32．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若动点P (x 0，y 0)为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】解：(Ⅰ)由题设，椭圆参数c =3且e =c a =32，则a =2，所以b 2=a 2-c 2=1，故椭圆C 的标准方程：x 24+y 2=1．(Ⅱ)当切线不与坐标轴垂直时，切线为y -y 0=k (x -x 0)，则y =kx -kx 0+y 0，代入椭圆C 整理得：(1+4k 2)x 2+8k (y 0-kx 0)x +4(y 0-kx 0)2-4=0，所以△=64k 2(y 0-kx 0)2-16(1+4k 2)[(y 0-kx 0)2-1]=0，整理得4k 2+1-(y 0-kx 0)2=0，所以(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0，若两条切线斜率分别为k 1，k 2，又P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，即k 1k 2=1-y 204-x 20=-1，故x 20+y 20=5；当切线与坐标轴垂直时P (±2,±1)，也满足x 20+y 20=5；综上，P 的轨迹方程为x 2+y 2=5．例3.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-3，0)，F 2(3，0)，离心率为33．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程；(3)若过椭圆C 上任意一点Q 的切线与(2)中所求点P 的轨迹方程交于A ，B 两点，求证：|QA |⋅|QB |=|QF 1|⋅|QF 2|．【解析】解：(1)由题意可得c =3，e =c a =33，则a =3，b =a 2-c 2=6，可得椭圆的方程为x 29+y 26=1；(2)可知切线的斜率存在，设为k ，切线的方程设为y =kx +y 0-kx 0，联立椭圆方程2x 2+3y 2=18，可得(2+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x +3(y 0-kx 0)2-18=0，由直线和椭圆相切，可得△=36k 2(y 0-kx 0)2-4(2+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-18]=0，化简可得(9-x 20)k 2+2x 0y 0k +6-y 20=0，由两条切线相互垂直可得k 1k 2=-1，即6-y 029-x 02=-1，化为x 20+y 20=15，即为P 的轨迹方程；(3)证明：设Q (m ,n )，由椭圆的焦半径半径可得|QF 1|⋅|QF 2|=3+33m 3+33m =9-13m 2，设过Q 的直线AB 的参数方程为x =m +t cos αy =n +t sin α(t 为参数)，代入P 的方程x 2+y 2=15，可得t 2+2(m cos α+n sin α)t +m 2+n 2-15=0，可得t 1t 2=m 2+n 2-15=m 2+18-2m 23-15=13m 2-9，由A ，B 对应的参数为t 1，t 2，且t 1t 2<0，可得|QA |⋅|QB |=|t 1t 2|=9-13m 2，故|QA |⋅|QB |=|QF 1|⋅|QF 2|．变式1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为(5，0)，离心率为53．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】解：(1)依题意知a 2-b 2=5c a =5a =53，求得a =3，b =2，∴椭圆的方程为x 29+y 24=1．(2)①当两条切线斜率均存在时，设过点P (x 0，y 0)的切线为y =k (x -x 0)+y 0，x 29+y 24=x 29+[k (x -x 0)+y 0]24=1，4x 2+9[k 2(x -x 0)2+y 02+2ky 0(x -x 0)]=364x 2+9[k 2x 2+k 2x 02-2kx 0x +y 02+2ky 0x -2ky 0x 0]=36整理得(9k 2+4)x 2+18k (y 0-kx 0)x +9[(y 0-kx 0)2-4]=0，∴△=[18k (y 0-kx 0)]2-4(9k 2+4)×9[(y 0-kx 0)2-4]=0，整理得(x 20-9)k 2-2x 0×y 0×k +(y 20-4)=0，∴-1=k 1⋅k 2=y 20-4x 20-9=-1，∴x 20+y 20=13．②当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为(±3,±2)，把点P (±3,±2)代入x 20+y 20=13亦成立，∴点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=13．变式2.在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．(1)已知动点P 为圆O :x 2+y 2=r 2外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ．A 、B 为切点，若PA ⋅PB =0，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆M :x 24+y 23=1外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ．C 、D 为切点，若QC ⋅QD=0，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程．【解析】解：(1)由切线的性质及PA ⋅PB=0可知，四边形OAPB 为正方形所以点P 在以O 为圆心，|OP |长为半径的圆上，且|OP |=2⋅|OA |=2r ，∴动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2r 2．(2)动点Q 的轨迹是一个圆，设两切线l 1，l 2，①当l 1与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为Q (x 0，y 0)，则x 0≠±2，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k ，l 1的方程为y -y 0=k (x -x 0)，联立x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8k (y 0-kx 0)x +4(y 0-kx 0)2-12=0，∵直线与椭圆相切，∴△=64k 2(y 0-kx 0)2-4(3+4k 2)⋅4[(y 0-kx 0)2-3]=0，化简4k 2(y 0-kx 0)2-(3+4k 2)(y 0-kx 0)2+(3+4k 2)-3=0，进而(y 0-kx 0)2-(3+4k 2)=0，∴(x 02-4)k 2-2x 0y 0k +y 20-3=0，∴k 是方程(x 02-4)k 2-2x 0y 0k +y 20-3=0的一个根．同理-1k是方程(x 02-4)k 2-2x 0y 0k +y 02-3=0的另一个根．∴k ⋅-1k =y 02-3x 02-4，得x 02+y 02=7，其中x 0≠±2．②当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±2,±3)，满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为x 2+y 2=7．变式3.设椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，垂直x 轴的直线与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔFAB 的周长取最大值43时，|AB |=233．(1)求椭圆C 的方程；(2)过圆D :x 2+y 2=4上任意一点P 作椭圆C 的两条切线m 、n ，直线m 、n 与圆D 的另一交点分别为M 、N :①证明：m ⊥n ；②求ΔMNP 面积的最大值．【解析】解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >1)，由题意知当直线过椭圆的另一焦点时周长最大，所以把x =-c 代入椭圆的方程可得y =±b 2a，∴2b 2a =233，∵△F 2AB 的周长为43，∴4a =43，解得a =3，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．(2)①设P (x 0，y 0)，则x 02+y 02=4．当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：y -y 0=k (x -x 0)，代入椭圆的方程可得：(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x +3(y 0-kx 0)2-3=0，△=36k 2(y 0-kx 0)2-12(1+3k 2)[(y 0-kx 0)2-1]=0，化为(x 02-3)k 2-2kx 0y 0+y 02-1=0．当x 02-3≠0时，k 1k 2=y 02-1x 02-3=4-x 02-1x 02-3=-1，∴m ⊥n ．当x 02-3=0时，也有m ⊥n ．综上可得：m ⊥n ．②由①可得：m ⊥n ，∴MN 为⊙D 的直径，因此MN 过圆心即原点O ．∴当OP ⊥MN 时，ΔMNP 面积取得最大值12×2×4=4．变式4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为63，并与直线y =x +2相切．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，过圆D :x 2+y 2=4上任意一点P 作椭圆C 的两条切线m ，n ．求证：m ⊥n ．【解析】解：(Ⅰ)由e =63知a 2=3b 2，椭圆方程可设为x 23b 2+y 2b2=1．又直线y =x +2与椭圆相切，代入后方程4x 2+12x +12-3b 2=0满足△=0．由此得b 2=1．故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．----------------(6分)(Ⅱ)设P (x 0，y 0)．当x 0=±3时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好y 0=±1，可见，另一条切线平行于x 轴，m ⊥n ；----------------(7分)设x 0≠±3，则两条切线斜率存在．设直线m 的斜率为k ，则其方程为y -y 0=k (x -x 0)即y =kx +y0-kx 0．代入x 23+y 2=1并整理得：(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x +3(y 0-kx 0)2-3=0．---------------(9分)由△=0可得：(3-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0-------------(11分)注意到直线n 的斜率也适合这个关系，所以m ，n 的斜率k 1，k 2就是上述方程的两根，由韦达定理，k 1k 2=1-y 23-x 20．---------------(13分)由于点P 在圆D :x 2+y 2=4上，3-x 20=-(1-y 20)，所以k 1k 2=-1．这就证明了m ⊥n ．综上所述，过圆D 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线m ，n ，总有m ⊥n ．------(15分)变式5.给定椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a 2+b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F (3,0)，其短轴上的一个端点到F 的距离为6．(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交“准圆”于点M ，N ．①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线l 1，l 2的方程并证明l 1⊥l 2；②求证：线段MN 的长为定值．【解析】(1)解：∵c =3,a =6,∴b =3，∴椭圆方程为x 26+y 23=1，准圆方程为x 2+y 2=9．(2)证明：(ⅰ)因为准圆x 2+y 2=9与y 轴正半轴的交点为P (0,3)，设过点P(0,3)且与椭圆相切的直线为y=kx+3，所以由得(1+2k2)x2+12kx+12=0．因为直线y=kx+3与椭圆相切，所以△=144k2-4×12(1+2k2)=0，解得k=±1，所以l1，l2方程为y=x+3，y=-x+3．∵k l1⋅k l2=-1，∴l1⊥l2．(ⅱ)①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1:x=±6，当l1:x=6时，l1与准圆交于点(6,3),(6,-3)，此时l2为y=3(或y=-3)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1:x=-3时，直线l1，l2垂直，②当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中x20+y20=9．设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为y=t(x-x0)+y0，所以由y=t(x-x0)+y0, x26+y23=1,，得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-6=0，由△=0化简整理得(6-x20)t2+2x0y0t+3-y20=0因为x20+y20=9，所以有(6-x20)t2+2x0y0t+(x20-6)=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆相切，所以t1，t2满足上述方程(6-x20)t2+2x0y0t+(x20-6)=0，所以t1⋅t2=x20-66-x20=-1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．所以线段MN为准圆x2+y2=9的直径，|MN|=6，所以线段MN的长为定值6．题型二：内圆与外圆问题例4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)及圆O:x2+y2=a2，过点B(0,a)与椭圆相切的直线L交圆O于点A，若∠AOB=60°，求椭圆的离心率．【解析】解：由∠AOB=60°，可得ΔABO为等边三角形，即|AB|=a，设直线AB的方程为y=kx+a(k>0)，圆心到直线的距离为d=|a|1+k2，弦长|AB|=a=2a2-a21+k2，解得k=3 3，可得直线y=33x+a，代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，可得b2+1 3a2x2+233a3x+a4-a2b2=0，由直线和椭圆相切，可得：△=43a6-4b2+13a2(a4-a2b2)=0，化简可得b2=23a2，由b2=a2-c2，可得c2=13a2，即有e =33．例5.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2，F 1(-1,0)，F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为αα∈0,π2 的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交圆O 于P ，Q 两点(如图所示，点A 在x 轴上方)．当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 与椭圆C 的方程；(2)若AF 2，BF 2，AB 依次成等差数列，求直线PQ 的方程．【解析】解：(1)∵F 1(-1,0)，直线l 的倾斜角为π4，∴直线l 的方程为x -y +1=0，则O 到直线的距离OD =22．∵PQ =14，∴OQ 2=PQ 24+OD 2=4，即a 2=4，∵c =1，从而b 2=3，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1，圆O 的方程为x 2+y 2=4；(2)设AF 2=s ，BF 2=t ，∵AF 1+AF 2=2a =4，BF 1+BF 2=2a =4，又∵AF 2，BF 2，AB 依次成等差数列，∴2t =s +8-s -t ，则t =83．设B (x 0，y 0)，由(x 0-1)2+y 02=649x 024+y 023=1 ，解得x 0=-43y 0=-153，即B -43，-153 ，∴k PQ =k BF 1=-153-43+1=15，则PQ :y =15x +15．例6.如图，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=b 2(其中圆心O 为原点)，过椭圆C 上异于上、下顶点的一点P (x 0，y 0)引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求直线AB 的方程；(2)求三角形OAB 面积的最大值．【解析】解：(1)因为PA 2=OP 2-OA 2=x 20+y 20-b 2，所以以点P 为圆心，|PA |为半径的圆P 的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=x 20+y 20-b 2．因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ，所以联立方程组x 2+y 2=b 2(x -x 0)2+(y-y 0)2=x 02+y 02-b 2 ，消去x 2，y 2，即得直线AB 的方程为x 0x +y 0y =b 2．(2)直线AB 的方程为x 0x +y 0y =b 2，所以点O 到直线AB 的距离为d =b 2x 02+y 02．因为|AB |=2|OA |2-d 2=2b 2-b 4x 02+y 02=2b x 02+y 02-b 2x 02+y 02，所以三角形OAB 的面积S =12×|AB |×d =b 3x 02+y 02-b 2x 02+y 02．(因为点P (x 0，y 0)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，所以x 02a 2+y 02b 2=1，即y 02=b 21-x 02a2(x 20≤a 2)．设x 02+y 02-b 2=x 02-b 2x 02a2=cx 0，所以S =b 3c |x 0|x 02+b 21-x 02a2=b 3cc 2a 2|x 0|+b 2|x 0|≤b 3c2c 2a 2|x 0|∙b 2|x 0|=12ab 2．当且仅当x 0=abc时，三角形的面积取得最大值12ab 2．(12分)．变式6.如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=b 2，已知椭圆C 的离心率为223，直线2x -2y-6=0与圆O 相切．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF 不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求ΔBPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【解析】解：(1)直线2x -2y -6=0与圆O 相切，则b =r =|2×0-2×0-6|(2)2+(-2)2=1，由椭圆的离心率e =c a=1-b 2a2=223，解得：a 2=9，椭圆的标准方程：x 29+y 2=1；(Ⅱ)由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP ⊥BQ ，不妨设直线BP 的斜率为k (k >0)，则PE :y =kx +1．由y =kx +1x 29+y 2=1，得x =-18k 9k 2+1y =-9k 2+19k 2+1，或x =0y =-1 ，∴P -18k 9k 2+1，-9k 2-19k 2+1 ．用-1k 代替k ，Q 18k k 2+9，-9-k 2k 2+9，则|PB |=0+18k 9k 2+1 2+1+9k 2-19k 2+1 2=18k 9k 2+1∙1+k 2，|BQ |0-18k k 2+9 2+1+9-k 2k 2+9 2=189+k 2∙1+k 2，∴S ΔBPQ =12×|PB |×|BQ |=12×18k 9k 2+1∙1+k 2×189+k2∙1+k 2，=162k (1+k 2)(9+k 2)(1+9k 2)，=162(k +k 3)9k 4+82k 2+9=1621k+k 9k 2+82+9k2，设k +1k =μ，则S ΔBPQ =162μ82+9(μ2-2)=1629μ+64μ≤16229μ∙64μ=278．当且仅当9μ=64μ即k +1k=μ=83时取等号，即k -1k 2=k +1k-4=289，k -1k=±273．直线PQ 的斜率k =9k 2-19k 2+1-9-k 2k 2+918k 9k 2+1+18k k 2+9=k 2-110k=±715，变式7.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2，F 1(-1,0)，F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为αα∈0,π2 的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交圆O 于P ，Q 两点(如图所示，点A 在x 轴上方)．当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 与椭圆C 的方程；(2)若2|BF2|=|AF 2|+|AB |，求直线PQ 的方程．【解析】解：(1)取PQ 的中点D ，连接OD ，OP ，由α=π4，c =1，可得OD =22，∵弦PQ 的长为14，∴OQ 2=PQ 24+OD 2=4，∴a 2=4，b 2=a 2-c 2=3，∴圆O 的方程为x 2+y 2=4，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)知，a =2，e =12，又2|BF 2|=|AF 2|+|AB |，得2|BF 2|=|AF 2|+|AF 1|+|BF 1|，∴2|BF 2|=4+|BF 1|，设B (x 0，y 0)，则|BF 2|=2-12x 0，|BF 1|=2+12x 0，代入2|BF 2|=4+|BF 1|，得22-12x 0 =4+2+12x 0，解得x 0=-43，代入x 24+y 23=1，得y 0=-153．∴B -43,-153，则直线PQ 的方程为：y -153=x +1-43+1，即15x -y +15=0．变式8.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=b 2，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．(Ⅰ)若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e 的值；(Ⅱ)设直线AB 与x 、y 轴分别交于点M ，N ，问当点P 在椭圆上运动时，a 2ON 2+b 2OM 2是否为定值？请证明你的结论．【解析】解：(Ⅰ)∵圆O 过椭圆的焦点，圆O :x 2+y 2=b 2，∴b =c ，∴b 2=a 2-c 2，a 2=2c 2，∴e =22．(Ⅱ)设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则y 0-y 1x 0-x 1=-x 1y 1，整理得x 0x 1+y 0y 1=x 21+y 21．∵x 21+y 21=b 2．∴PA 方程为：x 1x 0+y 1y 0=b 2．同理可得：PB 方程为：x 2x 0+y 2y 0=b 2．从而直线AB 的方程为：x 0x +y 0y =b 2．令x =0，得|ON |=|y |=b 2|y 0|，令y =0，得|OM |=|x |=b 2|x 0|．又x 20a 2+y 20b2=1，即b 2x 20+a 2y 20=a 2b 2．∴a 2ON 2+b 2OM 2=a 2y 20+b 2x 20b 4=a 2b 2b 4=a 2b 2，∴a 2ON 2+b 2OM 2=a 2b 2为定值．变式9.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其右焦点为F (3，0)，点M 在圆x 2+y 2=b 2上但不在y 轴上，过点M 作圆的切线交椭圆于P ，Q 两点，当点M 在x 轴上时，|PQ |=3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点M 在圆上运动时，试探究ΔFPQ 周长的取值范围．【解析】解：(1)由题意可知c =3，当点M 在x 轴上时，|PQ |=3，不妨设P b ,32，得a 2-b 2=3b 2a 2+34b 2=1，解得a =2b =1 ，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则|PF |=(x 1-3)2+(y 1-0)2=(x 1-3)2+1-x 214=32x 1-22=2-32x 1，同理|QF |=2-32x 2，|PM |=OP 2-b 2=x 21+y 21-1=x 21-x 214=32|x 1|，同理|QM |=32|x 2|，所以ΔFPQ 的周长为2-32x 1+2-32x 2+32|x 1|+32|x 2|=4+3×|x 1|+|x 2|-x 1-x 22，①当直线PQ 的斜率不存在时，PQ 的方程为x =1或x =-1．PQ 的方程为x =1时，不妨设P ，Q 的坐标分别为1,32 ，1,-32 ，此时ΔFPQ 的周长为4．PQ 的方程为x =-1时，不妨设P ，Q 的坐标分别为-1,32 ，-1,-32，此时ΔFPQ 的周长为4+23．②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y =kx +m ，由直线PQ 与圆x 2+y 2=1相切，得d =|m |1+k2=1，即m 2=1+k 2，联立得y =kx +mx 24+y 2=1，化简得(1+4k 2)x 2+8km x +4m 2-4=0，则x 1+x 2=-8km 1+4k2x 1x 2=4m 2-41+4k 2，易知△>0恒成立，而x 1x 2=4m 2-41+4k 2=4k 21+4k 2>0，即x 1，x 2同号，当x 1+x 2=-8km1+4k 2>0时，即km <0，此时点M 在y 轴右侧，所以x 1>0，x 2>0，此时ΔFPQ 的周长=4+3×|x 1|+|x 2|-x 1-x 22=4为定值．当x 1+x 2=-8km1+4k 2<0时，即km >0，此时点M 在y 轴左侧，所以x 1<0，x 2<0，此时ΔFPQ 的周长=4+3|x 1|+|x 2|-x 1-x 22=4-3(x 1+x 2)=4+83km1+4k 2=4+83km m 2+3k 2=4+83m k+3k m ，因为km >0，所以m k +3k m ≥23，当且仅当m k=3km 时等号成立，即m =62k =22 或m =-62k =-22时取等号．从而4<4+83m k+3km ≤8，所以ΔFPQ 周长的取值范围为(4，8]，综上所述，ΔFPQ 周长的取值范围为[4，8]．题型三：直径为圆问题例7.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，上下顶点分别为B 1，B 2，以点F 为圆心FB 1为半径作圆，与x 轴交于点T (3,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,0)，点A ，B 为椭圆C 上异于点P 且关于原点对称的两点，直线PA ，PB 与y 轴分别交于点M ，N ，记以MN 为直径的圆为⊙K ，试判断是否存在直线l 截⊙K 的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．【解析】解：(1)以点F 为圆心FB 1为半径的圆的方程为(x -1)2+y 2=a 2．因为该圆经过点T (3,0)，即可得a 2=4，所以b 2=a 2-c 2=3．从而可得椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)解：设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(-x 1，-y 1)，则直线PA 的方程为y =y 1x 1-2(x -2)，可得点M 的坐标为0,2y 12-x 1 ．同理可得点N 的坐标为0,-2y 12+x 1．取圆K 上任意一点P (x ,y )，则MP =x ,y -2y 12-x 1 ，NP =x ,y +2y 12+x 1 ，由圆的几何性质可知MP ⊥NP，则MP ⋅NP =x 2+y -2y 12-x 1 y +2y 12+x 1=0，则以MN 为直径的圆⊙K 的方程为x 2+y -2y 12-x 1 y +2y 12+x 1=0．化简可得：x 2+y 2-4x 1y 14-x 12y -4y 124-x 12=0，结合椭圆的方程可得4-x 21=43y 21，代入上式可得：x 2+y 2-3-3x1y 1y =0．令y =0，可得x =±3恒成立．据此可知存在直线l :y =0，该直线截⊙K 的弦长为定值23．例8.已知动圆Q 过定点T (2,0)，且与y 轴截得的弦MN 长为4，设动圆圆心Q 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)设P (1,2)，过F (1,0)作不与x 轴垂直的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，直线PA ，PB 分别与直线x =-1相交于D ，E 两点，以线段DE 为直径的圆为G ．判断点F 与圆G 的位置关系，并说明理由．【解析】解：(1)设Q (x ,y )，因为动圆Q 过定点(2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，所以MN 22+|x |2=|TQ |2，所以|x |2+22=(x -2)2+y 2，整理可得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ；(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，代入y 2=4x ，可得y 2-4ty -4=0，设点A y 124,y 1 ,B y 224,y 2，则有y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4，已知点P (1,2)，则k PA =y 1-2y 124-1=4y 1+2，直线PA 的方程为y -2=4y 1+2(x -1)，令x =-1，可得y =2-8y 1+2=2y 1-4y 1+2，所以点D -1,2y 1-4y 1+2 ，同理可得，点E -1,2y 2-4y 2+2 ，则FD =-2,2y 1-4y 1+2,FE =-2,2y 2-4y 2+2 ，则有FD ⋅FE =4+2y 1-4y 1+2⋅2y 2-4y 2+2=4+4(y 1-2)(y 2-2)(y 1+2)(y 2+2)=41+(y 1-2)(y 2-2)(y 1+2)(y 2+2)=4⋅2y 1y 2+8(y 1+2)(y 2+2)=0，故FD ⊥FE ，即∠DFE =90°，所以点F 在圆G 上．。