中考数学勾股定理复习题及解析

中考数学勾股定理复习题及解析

一、选择题

1．如图，已知ABC中，10,86,ABACBCAB,的垂直平分线分别交,ACAB于,,DE连接BD，则CD的长为（ ）

A．1 B．54 C．74 D．254

2．如图，ABC中，有一点P在AC上移动．若56ABACBC，，则APBPCP的最小值为( )

A．8 B．8.8 C．9.8 D．10

3．如果正整数a、b、c满足等式222abc，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知xy的值为（ ）

A．47 B．62 C．79 D．98

4．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是( )

A．13 cm B．4cm

C．4cm D．52 cm

5．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ）

A．37 B．13 C．37或者13 D．37或者137 6．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（ ）

A．24 B．30 C．40 D．48

7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）

A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺

8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A．1 B．2021 C．2020 D．2019

9．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）

A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm

10．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）

A．2,3,4 B．4,5,6 C．2223,4,5 D．6,8,10

二、填空题

11．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是_____．

12．如图，等腰梯形ABCD中，//ADBC，1ABDC，BD平分ABC，BDCD，则ADBC等于_________.

13．在ABC中，90BAC，以BC为斜边作等腰直角BCD，连接DA，若22AB，42AC，则DA的长为______． 14．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，20,0A，0,8C，点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为______.

15．已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=7，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，DE=DF，若BF=4，则EF=_______

16．Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．

17．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的面积为_________________.

18．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52，四边形ABCD的面积是_______．

19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．

20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.

三、解答题

21．如图，,90,8,6,,ABCBABcmBCcmPQ是边上的两点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B沿BCA运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求线段PQ的长；

（2）求点Q在BC上运动时，出发几秒后，PQB是等腰三角形； （3）点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间．

22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

23．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，ADDEDF．

（1）若30AED，则ADB∠______．

（2）求证：BEDCDF△≌△．

（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变化？若不变，请求出l的值，若变，请求出l的取值范围．

24．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．

（1）求证：AE＝BD；

（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；

（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：22，CD＝36，求线段AB的长．

25．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);

(2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求2ab的值.

26．如图，己知RtABC，90ACB，30BAC，斜边4AB，ED为AB垂直平分线，且23DE，连接DB，DA.

（1）直接写出BC__________，AC__________；

（2）求证：ABD是等边三角形；

（3）如图，连接CD，作BFCD，垂足为点F，直接写出BF的长；

（4）P是直线AC上的一点，且13CPAC，连接PE，直接写出PE的长.

27．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.

(1)求证: AD=BE.

(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.

(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).

28．（知识背景）

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．

（应用举例）

观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…

可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且 勾为3时，股14(91)2，弦15(91)2；

勾为5时，股112(251)2，弦113(251)2；

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝

（2）如果勾用n（3n，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．

（解决问题）

观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：

（3）如果,,abc是符合同样规律的一组勾股数，2am（m表示大于1的整数），则b ，c ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．

（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．

29．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.

(1)求证:△ADG≌△BDF；

(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；

(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；

(4)求线段EF长度的最小值.

30．已知ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD

1如图1，若2BD，4DC，求AD的长；

2如图2，以AD为边作60ADEADF，分别交AB，AC于点E，F．

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AEAF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AD是EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：利用AD是EDF的角平分线，构造ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证． 请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AEAF一种方法即可)

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系.若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD.

【详解】

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴2222228610ACBCAB,

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

在Rt△BCD中，222BDBCCD ,

∴222(8)6CDCD,

解得CD=74，

故选：C.

【点睛】

此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.

2．C

解析：C

【分析】

由AP+CP=AC得到APBPCP=BP+AC，即计算当BP最小时即可，此时BP⊥AC，根据三