2018中考数学专题复习 勾股定理 含答案

第 1 页 勾股定理

一．选择题〔共11小题〕

1．如图是由“赵爽弦图〞变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．假设S1+S2+S3=60，那么S2的值是〔 〕

A．12 B．15 C．20 D．30

2．以以下各组数为边长，不能构成直角三角形的是〔 〕

A．3，4，5 B．9，12，15

C．，，

3．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，假设第三边分别为6，8，10，12，那么面积最大的三角形是

A． B．

C． D．

4．以下条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是〔 〕

B．a：b：c=5：12：13

C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5

5．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是〔 〕

A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米

6．如下图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，那么AE=〔 〕

A．1 B． C． D．2

7．a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状〔 〕

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形 第 2 页 D．等腰三角形或直角三角形

8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是〔 〕

A．4 B．8 C．16 D．32

9．直角三角形的两边长分别是6，8，那么第三边的长为〔 〕

A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定

10．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．∠ACB=90°，BE=4，AD=7，那么AB的长为〔 〕

A．10 B．5 C．2 D．2

11．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的道路与桌边所成的角相等〔例如图∠α=∠β〕假设AB=3，BC=4，那么此球所走道路的总长度〔不计球的大小〕为〔 〕

A．不确定 B．12 C．11 D．10

二．填空题〔共12小题〕

12．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解〔a，b，c〕通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：〔3，4，5〕，〔5，12，13〕，〔7，24，25〕，…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×〔3+1〕，12=2×〔5+1〕，24=3×〔7+1〕，…分析上面规律，第5个勾股数组为 ．

13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点〔不与点B，C重合〕，△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为 ．

14．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2021= ，OPn= 〔n为自然数，且n＞0〕

15．如图，点A〔﹣1，0〕和点B〔1，2〕，在y轴正半轴上确定点 P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P的坐标为 ． 第 3 页 16．假设一个三角形的三边长分别为3，4，x，那么使此三角形是直角三角形的x的值是

．

17．直角三角形三边长分别为5，12，x，那么x2= ．假设a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，那么a+b=

．

18．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，假如大树在距地面4米处折断〔未完全折断〕，那么小孩至少分开大树

米之外才是平安的．

19．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，假设S1=30，S2=40，那么S3= ．

20．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，假设a，c的面积分别为5和11，那么b的面积为

．

21．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格〞．只用没有刻度的直尺在这个“田字格〞中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条．

22．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，那么正方形D的面积是 cm2．

23．设x＞0，那么三个正数2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是 ；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的x的取值范围分别是 、 、 ．

三．解答题〔共10小题〕

24．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，假设此时两船相距50海里．

〔1〕求两船的速度分别是多少？

〔2〕求客船航行的方向．

25．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如下图，在它的正中间竖直插入一根吸管〔吸管在杯口一端的位置固定不动〕，吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．

26．先阅读以下一段文字，在答复后面的问题．

在平面内两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，其两点间的间隔 公式第 4 页 P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间间隔 公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

〔1〕A〔2，4〕、B〔﹣3，﹣8〕，试求A、B两点间的间隔 ；

〔2〕A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的间隔 ．

〔3〕一个三角形ABC其中两个顶点坐标为A〔0，﹣6〕、B〔﹣8，0〕在坐标轴上是否存在点C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？假设能请直接写出所以符合条件的点C的坐标；假设不能，请说明理由．

27．阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

理解：

①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？

〔填“是〞或“不是〞〕

②假设某三角形的三边长分别为1、、2，那么该三角形 〔填“是〞或“不是〞〕奇异三角形．

探究：

在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，那么这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．

拓展：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，假设Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．

28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．

〔1〕求AB的长；

〔2〕求△ABC的面积；

〔3〕求CD的长．

29．阅读以下材料，并答复以下问题． 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： 第 5 页 〔1〕一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为

．

〔2〕如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．

〔3〕如图2，点A在数轴上表示的数是 ，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点〔保存作图痕迹〕．

30．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，假设以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M、N是线段AB的勾股分割点．

〔1〕M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，假设AM=1.5，MN=2.5，BN=2，那么点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

〔2〕点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，假设AB=24，AM=6，求BN的长．

31．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．

32．在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．

〔1〕如图1，假设D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；

〔2〕在〔1〕的条件下，假设AD⊥BE，求BE的长〔用含a，b的式子表示〕；

〔3〕假设∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，那么∠BAD的大小为 ；当线段BE的长度最小时，那么∠BAD的大小为 〔用含α的式子表示〕．

33．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5﹣，CD=6，求AD．

答案

一．选择题〔共11小题〕

1．如图是由“赵爽弦图〞变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．假设S1+S2+S3=60，那么S2的值是〔 〕 第 6 页 A．12 B．15 C．20 D．30

【分析】设每个小直角三角形的面积为m，那么S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，根据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m=60，进而得出S2的值．

【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，那么S1=4m+S2，S3=S2﹣4m，

因为S1+S2+S3=60，

所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60，

即3S2=60，

解得S2=20．

应选：C．

【点评】此题主要考察了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规那么的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

2．以以下各组数为边长，不能构成直角三角形的是〔 〕

A．3，4，5 B．9，12，15

C．，，

【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．

【解答】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；

B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；

C、因为〔〕2+〔〕2≠〔〕2，不能构成直角三角形，此选项正确；

2+22，能构成直角三角形，此选项错误．

应选：C．

【点评】此题考察勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．

3．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，假设第三边分别为6，8，10，12，那么面积最大的三角形是

A． B．