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全国大学生数学建模竞
赛历年赛题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
2009：AB
CD
2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定
B2010年上海世博会影响力的定量评估
C输油管的布置
D对学生宿舍设计方案的评价
2011:A城市表层土壤重金属污染分析
B交巡警服务平台的设置与调度
C企业退休职工养老金制度的改革
D天然肠衣搭配问题
2012:A葡萄酒的评价
B太阳能小屋的设计
C脑卒中发病环境因素分析及干预
D机器人避障问题
2013:A车道被占用对城市道路通行能力的影响
B碎纸片的拼接复原
C古塔的变形
D公共自行车服务系统
2014:A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略B创意平板折叠桌
C生猪养殖场的经营管理
D储药柜的设计
2015:A太阳影子定位
B“互联网+”时代的出租车资源配置
C月上柳梢头
D众筹筑屋规划方案设计。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要折叠与伸展也已成为家具设计行业普遍应用的一个基本设计理念，占用空间面积小而且家具的功能又更加多样化自然会受到人们的欢迎，着看创意桌子把一整块板分成若干木条，组合在一起，也可以变成很有创意的桌子，就像是变魔术一样，真的是创意无法想象。
对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。
另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。
对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。
并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积V为392330cm3。
对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。
我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。
最后，给出了两种桌面的动态变化图。
关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
基于黄金三角形的创意折叠桌设计陈贵靖;黄景伟;李锐【摘要】根据黄金比例的美观要求,研究了创意平板折叠桌的设计.通过应用黄金等腰三角形原理,采用几何关系方法,对平板折叠桌的木条长度、最外侧齿轮长度、桌角边缘线的描述、开槽长度、折叠桌的动态变化过程等工艺参数进行了探讨.经过算法设计、参数修正,利用MATLAB软件编程获得并实现了平板折叠桌工艺参数,得到创意平板折叠桌的可视化模型,既满足了客户需求又实现了设计美观、符合标准.【期刊名称】《天津科技》【年(卷),期】2016(043)004【总页数】4页(P62-64,67)【关键词】创意折叠桌;黄金等腰三角形;几何关系;工艺参数;可视化模型【作者】陈贵靖;黄景伟;李锐【作者单位】四川理工学院四川自贡643000;四川理工学院四川自贡643000;四川理工学院四川自贡643000【正文语种】中文【中图分类】TP399随着生活水平质量的提高，简洁大方、功能多样、更能合理安排空间的生活创意作品深受人们的喜爱。
2011年，荷兰设计师Robert van Embriqs设计了一种美观的创意平板折叠桌，不仅能满足人们的创意生活需求，还能极大地提升运输效率，方便家居收纳。
本文设计了折叠桌的加工参数(木条数、桌腿木条长度、边缘曲线描述、旋转角度、开槽长度等)，并实现了可视化。
1.1 建立坐标系以桌面圆心作为坐标系原点O，以木板长为X轴，以木板宽为Y轴，取垂直于平面XOY并且过原点O的线作为Z轴。
1.2 桌腿木条长度的计算1.2.1 确定桌腿木条条数设定木板的长度为L、宽度为X、厚度为Y，木条宽度为Z。
则木板宽的两边木条数均为：1.2.2 确定桌腿木条长度1.2.2.1 确定折叠桌中间木条长度将木板分为N个木条，规定棱最短的木条为中间木条。
1.2.2.2 桌腿最外侧木条长度的确定当等腰三角形ABC的底边与腰的长度之比为黄金比，即：时，此三角形称为黄金等腰三角形，[2-3]其顶角为36°。
折叠桌创新设计报告一、引言折叠桌是一种流行的家具，具有方便携带、节省空间的特点。
然而，传统的折叠桌设计存在一些问题，例如不稳定、难以调整高度等。
为了解决这些问题并提供更好的用户体验，我们进行了折叠桌的创新设计。
本报告将介绍我们的设计思路、实施方法和预期效果。
二、设计目标我们的设计目标是打造一种稳定可靠、易于调整高度、结构简洁美观的折叠桌。
通过创新的设计和选用优质材料，提供用户舒适的使用体验，并满足不同场景下的需求。
三、设计思路我们的设计思路主要围绕解决传统折叠桌的不稳定和高度调整难的问题展开。
我们采用了以下创新思路：1. 设计稳定的支撑结构通过改进传统折叠桌的支撑结构，使用更厚的材料和合理的连接方式，确保桌面稳定支撑。
我们的设计使用了三角形支撑结构，并进行了力学计算和仿真，确保在不同高度和角度下桌面稳固。
2. 引入气压调节技术为了解决高度调整难的问题，我们引入了气压调节技术。
通过在桌脚的内部设置气压调节装置，用户可以轻松调整桌子的高度，满足不同身高和使用场景的需求。
3. 精湛工艺和优质材料我们注重设计细节和品质，采用了精湛工艺和优质材料制作折叠桌。
桌面采用耐磨、防水的材料，桌腿使用高强度合金铝制成，具有轻便、坚固的特点。
同时，我们还注意桌子的外观设计，使其简洁大方，美观大方。
四、实施方法我们采用了以下方法来实现我们的设计目标：1. 设计和制作样品我们团队的工程师和设计师进行了多次讨论和研究，制定了详细的设计方案。
然后，我们通过3D建模和打样制作出了样品。
2. 进行力学计算和仿真为了验证我们的设计理论，我们进行了力学计算和仿真。
我们使用专业的软件对三角形支撑结构和气压调节装置进行了模拟和分析，确保其稳定性和可靠性。
3. 材料选择和工艺制作我们在材料选择上，注重耐用性和美观性。
我们选用了耐磨、防水的材料作为桌面，选择高强度合金铝作为桌腿。
同时，我们采用数控加工和专业工艺进行制作，以确保产品的精湛工艺和高品质。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：宝鸡文理学院参赛队员(打印并签名)：1.李思怡2.甘功伟3.史少阳指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李晓波（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
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）日期：2014年 09 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验?。
数学建模国奖作品-图文创意平板折叠桌摘要本文研究分析了一种平板折叠桌的结构特点，这种平板折叠桌在闲置时可以折叠成一张厚30mm木板；腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度打开后可以展开成一张桌子。
非常方便实用，而且造型新颖，美观大方。
针对第一问，本文通过对题中的图片信息以及所给的附件当中的视频信息，利用VB编程，对该创意平板折叠桌桌面进行了多次的拟合。
在满足题目的要求下，本文对圆周的直线插补做了多种方案。
在其中的一种方案加入了黄金分割比对桌面的尺寸进行了修改，得到了符合实际而且美观的尺寸。
然后在桌面上建立坐标系计算出了每个桌腿的长度，并通过几何关系计算出了开槽长度。
然后用计算出的数据制作了小桌的三维模型。
最后进行了动态模拟，用MATLAB求出线型数学描述。
针对第三问中提出开发一种折叠桌设计软件，本文根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出了所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
本文中针对模型提出的问题进行了详细的回答，其中创造性的提出用黄金分割比的方法来确定最边缘木条与次边缘木条的长比关系，很实用，也很方便，更是使设计美观；其次在模拟实物时使用了机械设计加工软件CATIA，作出了精美正确的模拟实物图；再者在曲线拟合上使用了CAD、MATLAB等实用性软件，使曲线更接近真实值；并且本文中所有公式都是由最基础的表达式变化而来，未引进任何专家论文公式；最后本文采用了VB程序设计来编写数学模型。
但是，本文针对问题提出的解答还有不足，如对已知任意形状桌面和高度的木板进行设计，思维和计算量过大。
A作仿真CAD草图绘制关键词：圆周拟合插补算法VB编程CATI动一、问题的提出(1).给定了长方形平板的三围尺寸：120?50?3?cm?，其中作为桌腿的每根木条宽度是2.5cm，贯穿所有桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。
平板折叠桌的设计参数模型分析李海燕;王彦;晏祥高;张梦晨;黄亚群【期刊名称】《实验科学与技术》【年(卷),期】2016(014)001【摘要】A mathematical model is established to solve the dynamic change process and parameter design of a creative flat folding table.Firstly,the length of the rotated part and un -rotated part of the table stick is computed based on plane geometry.Then a space rectangular coordinate system is built to represent the coordinate points of the two ends of each stick by using the method of three -di-mensional geometricanalysis.Thereafter,the flat state and the final rotation state are analyzed to calculate the length of slot.Finally, the coordinate of the stick end and the angle between the stick end and the ground are represented by the space rectangular system.The corner of the table edge is drawn by using three -dimensional space curve fitting.Therefore,the dynamic process of the folding table is described by using angle and the table edge line.%论文建立模型求解创意平板折叠桌的动态变化过程以及设计加工参数。
简单的X折叠桌原理X折叠桌是一种具有可折叠功能的家具，其主要原理是利用连接件和结构设计，使桌子能够在需要时展开使用，不需要时可以迅速折叠收起。
它的设计灵感来自于X形的结构，所以得名X折叠桌。
X折叠桌的原理可以从以下几个方面来解释：1. 结构设计：X折叠桌采用了一种创新的结构设计，使得桌面和桌腿能够在需要时相互支撑，不需要时可以相互折叠。
这种设计使得桌子能够在不同的状态下转换，从而满足不同使用需求。
2. 连接件：X折叠桌的关键在于其连接件的设计。
连接件通常采用强度高、稳定性好的材质制作，以确保桌子在使用过程中不易出现松动或断裂的情况。
常见的连接件包括铰链、螺栓等，它们能够通过固定和连接桌面与桌腿，使得桌子能够在不同状态下保持稳定。
3. 折叠机构：X折叠桌的折叠机构是实现桌子折叠和展开的核心组成部分。
折叠机构通常由几个部件组成，包括折叠轴、折叠支撑杆等，它们可以通过精确的设计和安装，使得桌子能够在展开和折叠时实现稳定的转换。
当需要使用X折叠桌时，可以按照以下步骤展开桌子：1. 首先，将桌子的折叠支撑杆从折叠轴上解锁，使其能够自由运动。
2. 然后，将桌子的桌面从桌腿上解开，使其能够移动。
3. 接下来，将桌面沿折叠轴旋转至水平位置，并将其与桌腿重新连接。
4. 最后，将折叠支撑杆重新锁定在折叠轴上，以确保桌子的稳定性。
当不再需要使用X折叠桌时，可以按照以下步骤收起桌子：1. 首先，将桌子的折叠支撑杆从折叠轴上解锁，使其能够自由运动。
2. 然后，将桌面与桌腿解开连接，并旋转至折叠的位置。
3. 接下来，将桌腿和桌面叠放在一起，确保它们占用的空间尽可能小。
4. 最后，将折叠支撑杆重新锁定在折叠轴上，以固定桌子的折叠状态。
总结起来，X折叠桌的原理是通过结构设计、连接件和折叠机构的配合使用，实现了桌子的折叠和展开功能。
它不仅能够节省空间，方便携带和存储，还能够满足不同使用场景的需求。
通过科学合理的设计和制造，X折叠桌已经成为现代家具市场上备受欢迎的一种产品，广泛应用于家庭、办公室、展览、户外等场所。
数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。
同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。
最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。
折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。
空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。
当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。
同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。
1、已知平板尺寸和高度，如何将抽象的描述动态变化过程这一问题数学化？
动态变化过程可以表述为曲线方程问题，其要点是参量的选取，哪些变量在整个折叠过程中是变化的？通过这些变量就能清晰的了解平板变化到桌子的过程。
在此基础上，给出设计加工参数。
开槽长度和桌角边缘线是肯定的描述的，同时可以引入其他变量，如角度等等，可以参照剪式铰的公式增加需要的参量。
第一问切记，要用数学模型和数学描述。
2、三个目标：稳固性好、加工方便、用材最少。
任意给定桌子高度和桌面直径，求平板尺寸和折叠桌的最优加工参数，切记，是最优加工参数；用哪些指标呢？简单举例：平板尺寸（材料最少）、钢筋位置（稳固性好）、开槽长度（加工方便），也可以根据需要自己增加；多目标规划问题，可以用很多方法来解，函数表达式要合理。
3、已知高度和桌面边缘线、桌角边缘线，求解平板尺寸和加工参数。
第三问需要在前两问的基础上进行整合，并建立数学模型。
自己设计的创意折叠桌就各凭本领了。
贯穿3个问题的主线是桌子的基本构架：长方形平板的尺寸和桌子的高度，这两个参量肯定存在着某种联系，而这两个参量的联系又与稳固性好、加工方便、用材最少密不可分。
具体到怎么做，就要看各个参赛队伍的想法了。
B题建模很重要，主要看模型，所以在模型上要多下功夫。
同时，也不要忽视了桌子本身的结构、角度、力学原理等问题，都可能扩展做题思路。
创意折叠桌的动态变化过程的数学描述
王莹;钱江;段付谋
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2015(4)3
【摘要】采用参数化–相关点法模型对折叠桌的动态变化过程进行数学描述。
首先通过分析木条在桌面边缘铰接处的坐标、木条与钢筋的交点坐标以及桌脚边缘点坐标三者和桌面铰接处与x轴的夹角θ、桌面半径r之间的关系,将各坐标变量用参数表示,通过参数值的变化观测相应坐标变量的变化,进而用此参数方程对折叠桌的动态变化过程进行数学描述。
而具体解决问题时,也可以直接利用桌面边缘铰接处的坐标、木条与钢筋的交点的坐标表示出桌脚边缘线上各点的坐标,根据三者的函数关系式来描述折叠桌的动态变化过程。
【总页数】8页(P238-245)
【作者】王莹;钱江;段付谋
【作者单位】[1]河海大学理学院,江苏南京;;[1]河海大学理学院,江苏南京;;[1]河海大学理学院,江苏南京
【正文语种】中文
【中图分类】G6
【相关文献】
1.折叠桌的动态变化过程 [J], 史宛蓉
2.休闲观光农业创意折叠桌动态规律与加工参数设计研究 [J], 王一甲;李志慧
3.创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型 [J], 杨兆兰
4.创意折叠桌的动态原理分析与参数优化 [J], 胡学峰;朱家明
5.基于数学模型下平板折叠桌的创意设计 [J], 覃雪清;翁世有
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B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。
关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题:1. 给定长方形平板尺寸为120 ｃm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2。
5 cｍ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为5３ｃm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数(例如,桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线(图4中红色曲线)的数学描述。
２. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数,例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高7０ cｍ，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数.3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件,根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状.你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型,并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数,画出至少8张动态变化过程的示意图.（附件：视频）二、基本假设１、假设折叠桌木条间没有空隙，且木条间的摩擦不计。
2、假设折叠桌木材质量可靠，在受力状态下不会形变。
3、假设桌子各部分间衔接良好。
4、假设折叠桌的木条的宽度和折叠桌平板的厚度不变.三、符号说明1、r表示圆桌的直径x圆桌上第i根木条的长度2、ip第ｉ根桌腿的长度3、ic第i根桌腿的槽长4、i四、模型的建立与求解问题一1、问题的分析问题一中给出了长方形平板的尺寸为１20cm×50cm×3cm,并且给定了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置)，折叠后桌子的高度为5３ cm（看做桌子上表面与地面的距离）,以及每根木条宽２.5 cｍ。
因此我们首先依据该尺寸，应用Mat ｌab和SolｉdWorks 200８软件在计算机上模拟出该折叠桌的实物，并制作出了一小段动画如图1和动画演示视频（见附件)。
图1在此基础上,我们根据折叠桌模型的制作，对该折叠桌进行数学图形的转化，对实物图进行抽象，如图2,在根据题目中所给的数据进行计算。
①将桌腿看做没有宽的线 ②根据实际将线设定宽度⇒③将木条折叠图２2、模型的建立(抽象立体图解模型)图３在图3中有，1r ()2OR id d =-- ①其中ｉ表示第i 根木条。
根据勾股定理可以得到221[()]2i AR x r r id d ==--- ②所以可以得到桌子的每根腿的长度为221[()]22m a p RD AR r r id d =-=---- ③图４在图4中，当折叠桌的桌腿运动变化时，折叠桌最外侧两条腿AG 、DJ 与钢筋BC ,铰链Ａ、D 连线所形成的面始终是平面,且AB ＣD 为矩形。
作如图辅助线有，ＭQHR 在yOz 面内,A ＮPU 垂直于地面，ＭNPQ 为地面(G 、J 在地面上），ＢS ⊥M Ｒ交AN 于K ，FL ⊥ＨQ 交ＥＬ于L ，NAG α=∠,则有1cos cos AN sNAG AG p α=∠== ④ 在Rt ABK 中,由勾股定理可得22111()()2L s h x =+-， ⑤其中,S AK 21=，1BK BS SK h x =-=-， 从而我们可以得到h 的值（钢筋在最外侧位置到yOz 面的距离).在Rt EFL 中,由勾股定理可得222EF EL FL =+,即2221()()2ii L s h x =+- ⑥从而我们可以得到i L 的值(槽的靠近桌腿端与圆桌面边缘的距离E Ｆ)。
进而由上述式子，我们可以得到槽长11()i i i C L x x L =+-+ ⑦在图4中，建立如图所示坐标系,设第i 根木条的中心线与圆桌边缘的交点E （,,0i i x y )，则F 点坐标为1111(sin ,,cos )L x y L αα+-11sin h L x α=+其中,，所以EF 的方向向量1(,0,cos )(,0,)i EF h x L m n α=--=．则EF 上任意一点T 的坐标0i i x x y y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩⑧ 其中，t 为参数，ｔ表示该点Ｔ到圆桌边缘E 点的距离。
当2i at x =-时,即可以得到桌面边缘线方程. 3、模型的求解应用上述模型，我们代入数据：长方形平板的尺寸为120cm ×50cm ×3cm ，并且给定了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置）,折叠后桌子的高度为53 ｃm ，以及每根木条宽２．5 ｃm.将ａ=１200mm ，r ＝500m ｍ， ｄ=25mm 代入式②和③可得：当i =1,2,…,10时，AＲ长度m x ,折叠桌的桌腿m p 的值如表1：表１因为折叠桌的桌面的底面到地面的距离s=５3—3＝50mm ，可由1cos sp α=得：折叠桌最外边缘木条与竖直面的夹角16.67α=同时联立⑤⑥⑦可得，折叠桌各木条的槽长i C ,如表２所示:表2 折叠桌各木条的槽长i C （i =１表示桌腿在最外端,i =10表示桌腿在最内端)令2m i at p x ==-,可得折叠桌的桌脚边线的方程为： x z ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩(Ⅰ) 通过Mat ｌa ｂ软件的p ｌot 语句，可得桌面边缘线图形,如图５：图５问题二1、问题的分析先对边缘桌脚进行受力分析:假设桌子整体重力为ｍg,则N F =4mg，桌腿保持稳定时,tan =N N F F μαμ=.假设折叠桌放置木板地面上,经查资料可知，木头与木头之间的摩擦因数μ的取值范围在０.４—0.6之间，考虑到桌子的必须保持稳固，取=0.4μ,得到=21.8α.由此可知,当折叠桌保持稳定时,边缘桌腿与竖直方向的夹角取值范围是021.8α≤≤。
题中要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
当α较小时，在同一侧的边缘桌脚距离小,折叠桌不稳定，因此给出折叠桌的安全因数 1.2s n =，1tan =1.23μα=,得到=18.44α 2、模型的建立与求解折叠桌的稳固性好,要求021.8α≤≤，加工方便,需要木条的槽长之和最短,用材最少,则材料面积小。
因此考虑多目标规划问题中的加权系数法.α为参变量，木条的槽长之和最短inM 1ni i c =∑,材料长度最小（宽度为D,已知)in M ａ为优化目标，但是在赋权时，权值分别为0-0。
7 与1-０.３时,最优解不变，当权值为0．8和0。
2时,最优解发生突变，因此,加权系数法无法解决折叠桌的设计问题.因此我们转而考虑当=18.44α，折叠桌最稳固时，求各个加工参数的值。
桌面高度已知，桌面直径已知，=18.44α,加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到：优化目标为:Min 1ni i c =∑约束条件为：（1)圆桌上第i 根木条的长度与第ｉ根桌腿的长度和为木板总长度的二分之一：2i i ap x +=(2)边缘桌腿与竖直方向的夹角为α：1cos sp α= （3） 第i 条桌腿的槽长i c 等于折叠桌折叠成桌后钢筋的位置减去折叠桌平铺状态时钢筋时的位置:()()11=i i i x L x L c +-+（4） 对在圆桌上第i 根木条应用勾股定理得：()22212i i x h s L ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（5）由之前的条件可知：111sin =1cos =2L x hL sαα⨯+⨯ ()22212i d R R i d x ⎡⎤----=⎢⎥⎣⎦（6)为了使折叠桌折叠成桌后美观,钢筋在桌面的投影所在直线要与圆形桌面相交：1x h R <<（7） 折叠桌在折叠过程中，钢筋的位置条件需满足:112aR L x <+<(8）每根木条槽长需要满足的条件为：()1102i ac x L <<-+ 即: Min1ni i c =∑()()()()()111222111222111112cos =12sin =..1cos =212202i i i i i ii i i a p x s p x L x L c x h s L L x h s t L sd R R i d x x h R a R L x a c x L ααα⎧+=⎪⎪⎪=⎪⎪+-+⎪⎪⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎪⨯+⎪⎪⎨⨯⎪⎪⎪⎡⎤----=⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪<<⎪⎪<+<⎪⎪⎪<<-+⎪⎩ 考虑到木料切割加工的方便程度以及视觉上的美观性,我们令桌腿的宽度d =２．５cm 。
又已知,当桌高７0 ｃm,桌面直径80 ｃm,将H ＝70，D ＝80，d =２．5cm 代入约束条件,用Ｌingo 求解，得到的解如下：木板长a =１67。
