创意平板折叠桌-2014年数学建模国家一等奖优秀论文

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）日期： 2014年 09 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。

对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。

B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。

给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。

关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。

对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。

另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。

对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。

并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积V为392330cm3。

对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。

我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。

最后，给出了两种桌面的动态变化图。

关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。

本文围绕创意平板折叠桌的设计展开，通过几何模型对折叠桌的两种状态进行分析，推导出桌腿长度与开槽长度的关系，并计算出设计加工参数。利用三维直角坐标系和数据拟合方法，求出桌脚边缘线的数学表达式。在设计中，优先考虑产品的稳固性，通过实际分析得出，当平板完全折叠后，四个最外侧桌腿构成的正方形与桌面圆形外切时，稳固性最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。由此可求得最外侧桌腿的长度，进而确定平板的最优尺寸。再通过对折叠桌进行受力分析，确定钢筋的位置及其与桌脚的距离。最后，通过编程得到每根桌腿到中心的距离和开槽长度，可针对任意给定的桌高和直径确定最优的加工参数。此外，还提出了建立数学模型以满足客户对折叠桌高度、桌面边缘线形状和桌脚边缘线形状的任意设定需求。

一种创意折叠桌参数设计的数学模型及仿真祁令姿【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)003【摘要】The purpose of this paper is to discuss an optimization problem of a kind of folding table.Based on the shape parameters including the height,the shape of the table top and the folding angle of this table,a mathematical model of the dynamic process of folding table is established,which contains several material pa－rameters and machining parameters.And this model is constructed with the help of Maple,which simulates the process and the three－dimensional renderings of the table.Moreover,combined with this simulation,the opti－mization of the parameters such as the position of reinforcement is analyzed.Finally,the calculation formula of machining parameters is given,and the scheme of machining parameters is calculated by programming.%讨论一种创意折叠桌的优化设计问题,根据桌子高度、桌面形状以及折叠角度等形状参数,建立了包含几种材料参数和加工参数的数学模型.并利用Maple数学软件通过编程仿真模拟了动态折叠过程以及不同桌面形状的折叠桌三维效果图.结合仿真模拟,对钢筋位置等参数的设定进行了优化分析.最后,给出了加工参数的计算表达式,并针对一个具体实例,通过编程计算了加工参数的设计方案.【总页数】7页(P469-474,478)【作者】祁令姿【作者单位】北京航空航天大学计算机学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TS665.3i;O242.1【相关文献】1.创意平板折叠桌参数化设计 [J], 高云璐;牛哲浩;赫俊辉2.创意平板折叠桌数学模型的设计与研究 [J], 李婉婷3.创意平板折叠桌的数学模型及优化设计 [J], 朱希迅;王嘉杰;王珏4.创意平板折叠桌参数设计与优化 [J], 赵弈; 王畅畅5.基于数学模型下平板折叠桌的创意设计 [J], 覃雪清;翁世有因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

作者： 郑路通 郭志鹏 牛星月 李亚琴 孙国伟
作者机构： 运城学院应用数学系,山西运城044000
出版物刊名： 运城学院学报
页码： 31-35页
年卷期： 2014年 第5期
主题词： 平板折叠桌 参数方程 桌脚边缘线 桌面边缘线
摘要：本文研究平板折叠桌的制作原理,通过数学模型来描述平板折叠桌的设计参数及动态变化过程。

利用空间位置关系和相似三角形,用桌面边缘线的参量与状态变量表示钢筋与木条接触点、木条高低两端的坐标,获得桌脚线在动态过程中的含参变量方程。

同时利用获得的坐标关系求出开槽长度。

并从材料价格、开槽费用及稳定性三方面,分析优化的折叠桌设计加工参数,从而提高折叠桌的稳定性,并使其加工方便且用材最少。

创意平板折叠桌建模布慧楠1402214026侯爽1402214025张力琨1402214041摘要折叠家具突破传统家具的设计模式，通过折叠可以将面积或体积较大的物品尽量压缩。

细细品味，会发现一种独特的美感，更别说他们还无一例外地兼具到了实用主义。

或拥有灵活自由的使用方式，或功能多样化，为居室腾出不少空间。

某公司设计了一款折叠桌，并以此为背景提出了三个问题，本文利用受力分析、几何知识、以及非线性优化模型等解决了问题。

针对问题一，给定了给定了一块木板的长度、宽度和高度、木条的宽度，以及折叠桌的高度，利用折叠桌的对称性，以任一桌脚为原点，建立空间直角坐标系通过几何模型观察桌面与桌脚木条角度的关系，计算出每条桌角木条顶点处的坐标。

利用Matlab程序，画出桌脚边缘线的变化。

最后根据桌角边缘线的变化，画出折叠桌的动态变化。

针对问题二，针对稳定性好、加工方便、用料最少三个限制条件求出非线性规划的目标函数和限制函数。

由于要求稳定性好，所以桌子应该能承受最大的力量。

在保证稳定性的条件下，如何用最少的木条和选择最佳设计加工参数。

针对问题三，公司开发出一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌长度、高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致形状，给出所需材料的形状、尺寸，以及切实可行的加工参数。

最后，对建立的模型和求解方式做一个客观评价，并指出改进方式。

1、问题重述1.1引言创意折叠木制品为了表现木制品的优雅和设计师所要表达的优雅和功能性。

为了增大有用面积，将木板的宽为直径做圆的直径，将剩余部分成了若干长短不同的木条。

分别用两根钢筋固定两侧的木条，使用者只需提起木板两侧，便可在重力作用下成为桌子。

1.2问题的提出(1)给定长方形平板尺寸120 cm x 50 cm x 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数。

在 matlab 中获得曲面图像如下图：
图 6 直纹曲面图形
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对该折叠桌，当 x 取值±2.5n，n=1,2……9,10 时，即可表示单侧桌腿组的动态 变化过程。另一侧由于关于 xoz 平面对称，当 y 取相反数时，即可表示。 5.1.3 桌角边缘线（红线）模型 取任一木条与桌面做纵切面如图， 从木条边缘点 C 与钢筋点 C’分别向桌面做垂线 CA， C‘A’，可知△ ABC∽△ A‘B’C‘，即可得
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图 5
由坐标系 I 可知，x 为 n 号木条外边缘距原点的垂直距离，可得该折叠桌平面状态时 桌腿长度方程 M0：
M （x,y,z）:
60 625 x 2 ; y= 60 5.16 54.84 ;
A B B C A C Equation 6 AB BC AC
图 7
由等式 2 木条长度方程 M 可得 BC 方程，等式 4 钢筋运动方程 G 可得 A’C’、 A’B’与 B’C’ 方程，由等式 6 比例关系即可得出 C 点运动轨迹，即边缘线方程：
Equation 7
0 7507 B x, y, z : 25 x 25 60 625 x 2 y 625 x 2 z 2 2 2 2 27.42sin 27.42 cos 5.16 625 x (27.42cos 5.16 625 x ) 27.42sin

-8-
图 1 三维空间坐标平面 为了描述折叠的动态效果，将第一条桌腿与 Z 轴的夹角定义为 ，表示折叠的程度， 的变化范围 为 ， [900,00] 如图 3 所示。
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作者签名： 导师签名：
日期： 年 月 日 日期： 年 月 日
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4.3 问题分析 4.3.1 桌脚直纹曲面
根据折叠桌的动态变化过程的视频材料分析，给 定长方形平板尺寸、高度和钢筋位置时，当折叠角度 变化的情况下，桌腿桌脚边缘线的变换规律，最外最 长的桌脚作为支撑点着地，其余桌脚悬空，距离中心 越近的桌脚悬空和旋转的角度越大；由于连接桌腿木 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置固定 （30cm 处），为了能够形成折叠角度，只要设计合适

创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。

针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。

为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。

根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。

针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。

针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。

关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。

在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。

就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。

（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。

问题二：本问题中，将用料成本、产品稳定性首先纳入考虑。由于用料体积需由平板折叠桌的各项设计参数得出，故将未知量用字母表示，进而列式。以用料体积、稳定安全因数分别作为其代表参数，用稳定安全因数和用料体积之比作为综合考虑用料成本和产品稳定性的标准值，利用Lingo软件得出最优解。在表达稳定安全因数时，为得出临界压力，选用一种确定木材考虑问题，实际压力则可直接给定。在得出最优解后，计算出开槽长度。
关键词：平板折叠桌、最优设计、数学模型、多目标优化、压杆稳定、AutoCAD、MATLAB、Lingo
一.问题重述
1.1背景
某公司生产了一种平板折叠桌，为了增大有效使用面积,设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面,又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木梁,每个木梁的长度为宽到圆上一点的距离,分别用两根全属棒贯穿两侧的木条。操作简单，外形美观，具有创意性。为进一步开发这种新型平板折叠桌的价值，我们需要综合考虑该产品的生产成本以及其稳定性和适用性。
最后，在平板折叠桌的外观要求全部由顾客制定时，我们建立数学模型将平板折叠桌分为三大类，桌面形状分为凸形、凹形和凹凸结合性。对于每一类，制定不同的平板处理方法，在确定一些满足桌子实用性和美观性基本要求的设计参数的取值范围后，我们给出相应的设计参数最优解的求解步骤。再利用我们所设计的数学模型结合CAD绘图，给出一种个性设计的创意平板折叠桌的动态变化图示。
问题二：若仅知桌子的高度为70cm，圆形桌面的直径为80cm，从产品稳固性、加工简便性和材料节省性三个角度，确定最优的设计加工参数。
问题三：构建一个设计软件的数学模型，使得该设计软件可以根据客户任意给出的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，计算出所需平板材料的形状尺寸和最优设计。

创意平板桌摘要本题目中提供了若干折叠桌的图片，需要利用数学软件进行创意设计。

对本文中的三个问题，利用MATLAB软件(由美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分，详细介绍请见附录1)，对图片进行灰度分析，转化为数据分析，并通过对matlab编程，在matlab中选出最优解，最后利用3dmax绘图，实现平板桌的设计。

本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知识以及相应的计算机软件，解决了如下问题：问题1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。

针对图中创意折叠桌：利用MATLAB对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线（详细介绍请见附录2），空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果。

利用勾股定理法，使用CAD语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数，使其折叠桌的设计原理更加鲜明。

建立由MATLAB进行编辑的的数学模型，木条分别为L1，L2，……，L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。

问题2：先对桌子进行与问题1相同的参数计算。

但由于要在70 cm，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。

在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材的信息。

这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本几何参数这个概念进行再次验证，以减小误差。

最后再对得到的桌子参数进行人工验证(人工干预)，最大程度减小误差。

问题3：在问题二的理论分析验证的基础上，已经建立起最优化的数学模型，为了满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应用MATLAB进行不断更新换算程序，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介绍请见附录3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

cm

d DG d FG d DF Di Ei Fi Gi
cm cm cm
i 1, 2,19 ) （ xi1 ， yi1 ， zi1 ） Ei 点的坐标，（ i 1, 2,19 ) （ xi 2 ， yi 2 ，zi 2 ） Fi 点的坐标，（
3
i 1, 2,19 ) （ xi 3 ， yi 3 ， zi 3 ） Gi 点的坐标，（
2、问题分析
折叠桌是前后、左右对称物体，因此在考虑时可以只考虑它的四分之一。木条开槽 长度的不同，使钢筋自由滑动，最终木条下端形成固定的桌角边缘线，计算各个木条的 长度，确定开槽的上下端点，找出空槽的长度与桌子的关系（桌高、外侧桌腿与地面的 角度桌脚边缘线、桌面边缘线），利用软件（CAD、Excel、MATLAB）画图协助分析折叠 桌的动态变化过程。解决问题的关键在于拟合曲线、曲面并分析各个木条的变化过程， 找出之间的关系，通过计算建立模型。 2.1 问题一的分析对于给定尺寸的平板， 由于桌面形状， 桌子高度及钢筋位置固定， 本问题的关键在于确定最外侧桌腿的长度以及两条最外侧桌腿之间的桌面边缘的长度， 考虑到稳固性及美观性，可以让四个桌角的连线围成一个正方形，在其它 桌腿长度都确定切割方式之后则容易求得， 然后在求出开槽长度及位置以及桌脚边 缘线的数学描述。 2.2 问题二的分析 对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，所长方形平板材料的宽度随之确定， 而长度由最外侧桌腿长度和桌腿之间的桌面边缘长度共同决定的。 桌腿长度则由桌腿与 地面的夹角及钢筋的位置等因素共同决定的。在满足了稳固性及用料最少的条件后， 可 确定夹角及钢筋位置。 2.3 问题三的分析 对于客户任意设定的折叠桌子的高度，边缘线的形状及桌角边缘线的形状，满足稳 固性，用材最少，加工方便的要求，我们求出了各参数的最优解，然后利用 matlab 软

数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。

同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。

最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。

折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。

空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。

当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。

XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。

同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。

创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型随着住宅空间的变小，越来越多折叠家具出现，因此许多设计公司制造出了各式各样的折叠家具以满足市场需求，折叠桌作为一种低碳、环保、节能、健康的使用家具，在不少家庭迅中速推广与普及。

本文用数学模型模拟出折叠桌的动态变化过程，对折叠桌的设计加工给出了具体的数学描述。

标签：平板折叠桌；开槽长度；直纹曲面；旋转运动一、模型分析本模型以某公司设计的圆形折叠桌为例进行讨论。

以桌子的中心为原点，设平板过中心的宽为x轴，长为y轴，建立三维坐标系。

在此坐标系之下，设桌子边界线上点为（x0，y0，z0），h为桌子的高度，k为桌子的最外侧桌腿的长度。

将长方形平板变形为立体桌子的动态过程中，过桌面边界线上每点M0（x0，y0，0）的直线上的点m（x0，y0，0），会以M0为圆心，y-y0为半径做圆周运动。

当桌腿随着铰链活动时，桌子的高度h处于动态变化中，桌脚边缘线也随着h的变化而成为空间动态曲线。

记桌脚边缘线方程为g（X，Y，Z）h= 0，（X，Y，Z）为此时桌脚边缘线上的点的坐标。

由长方形平板变形为立体桌子的过程可知，桌子外形由直纹曲面构成，而直纹曲面可由无穷多数量的线段连接直纹曲面相对侧边线和g（X，Y，Z）h=0的相应点所组成。

二、模型假设与符号说明1.模型的假设①假设两根木条之间缝隙可忽略；②不考虑材质，将桌面和平板抽象成理想的数学模型，只考虑与本问题相关的长度、高度以及厚度等数字特征。

2.符号说明三、模型的建立及求解1.模型的建立2.问题的求解（1）计算木条开槽的长度。

AB以A为圆心，半径AB长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，B点运动所至的位置记为B’，中点E运动所至的位置记为E’。

同理，CD以C为圆心，半径CD长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，D点运动所至的位置记为D’，中点F运动所至的位置记为F’。

此时，钢筋EF运动所至的位置为E’F’（参见图2）。

四、模型的优缺点及改进方向（1）在此模型中连续函数在离散化问题中不够精确。

B题创意平板折叠桌摘要本文针对折叠桌得特点，将其抽象成简单得数学模型，按题目中得要求，应用立体几何图形与运筹学得方法建立数学模型并求解。

对问题一,依据题目中得数据应用Mａtlaｂ与SolidＷorkｓ软件，对折叠桌得运动过程进行动态模拟与分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法与向量法，对折叠桌得桌腿长与桌腿木条开槽得长度进行求解得到开槽长度为:对问题二,折叠桌放置在地面，不考虑木条得形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿得力为零.假设折叠桌与木地面有一定得摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力，就是二力杆,根据木头间得摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向得最大角度。

给折叠桌一个稳定安全因数，便可得到折叠桌得安全角度.根据大小，桌面高度与圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长得总长，因此得到优化目标为加工得木条槽长最短，当桌高７0 cm，桌面直径8０ cm 时，解得木板长ａ=167、41６cm钢筋距边缘桌腿末端得距离为cm针对问题三,我们在问题一得基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线得形状，大小出发，给出软件设计得模型。

在该模型设计得基础上,我们根据自己设定得参数,相应地应用SｏlｉdＷｏｒｋs设计新型得平板折叠桌，其中有菱形桌面与椭圆型桌面，见图6～图1２。

关键字：立体几何图形动态模拟自锁 SolｉｄWorks一、问题得重述某公司生产一种可折叠得桌子，桌面呈圆形,桌腿随着铰链得活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示)。

桌腿由若干根木条组成，分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧得两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动得自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成,造型美观。

附件视频展示了折叠桌得动态变化过程.试建立数学模型讨论下列问题：1、给定长方形平板尺寸为1２0 cm ×5０ cm × 3 cm,每根木条宽2、5 cm，连接桌腿木条得钢筋固定在桌腿最外侧木条得中心位置，折叠后桌子得高度为53 cm。

创意平板折叠桌摘要目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。

某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。

以此折叠桌为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。

针对问题一，根据木板尺寸、木条宽度，首先确定木条根数为19根，接着，根据桌子是前后左右对称的结构，我们只以桌子的四分之一为研究对象，运用空间几何的相关知识关系，推导并建立了几何模型。

接着用MATLAB软件编程，绘制出折叠桌动态变化过程图。

然后求出折叠桌各木条相对桌面的角度、各木条长度、各木条的开槽长度等数据，相关结果见表1。

然后建立相应的三维坐标系，求出桌角各端点坐标，绘出桌角边缘线曲线图，并用MATLAB工具箱作拟合，求出桌角边缘线的函数关系式，并对拟合效果做分析（见表3）。

针对问题二，在折叠桌高度、桌面直径已知情况下，综合考虑桌子稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素，我们运用材料力学等相关知识，对折叠桌作受力分析，确定稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素间的相互制约关系，建立非线性优化模型。

用lingo软件编程，求出对于高70 cm，桌面直径80 cm的折叠桌，平板尺寸172.24cm×80cm×3cm、钢筋位置在桌腿上距离铰链46.13cm处、各木条的开槽长度（见表3）、最长木条（桌脚）与水平面夹角71.934°。

针对问题三，对任意给出的桌面边缘线（f(x))，不妨假定曲线是对称的（否则，桌子的稳定性难以保证），将对称轴上n等份，依照等份点沿着木板较长方向平行的方向下料，则这些点即是铰接处到木板中垂线（相对于木板长方向）的距离。

然后修改问题二建立的优化模型，用lingo软件编程，得到最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等）。

最后，我们根据所建立的模型，设计了一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，并且给出了8个动态变化过程图（见图10）和其具体设计加工参数（见表5）。