绝对值不等式的解法

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

绝对值不等式

一、绝对值三角不等式

1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0 R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0

R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

例1：解不等式x＋|2x－1|<3.

解：原不等式可化为 2x－1≥0， x＋(2x－1)<3或 2x－1<0，x－(2x－1)<3.解得12≤x<43或－2

含绝对值的不等式

1．不等式|x|＋|x－1|＜2的解集是________．

2．已知方程x2－ax＋b＝0的两根分别为1和2，则不等式||ax－b≤1的解集为________(用区间表示)．

3．不等式x－3x－1

4．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．

5．若不等式x＋1x＞|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是______．

6．对任意x∈R，不等式|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a的取值范围是________．

7．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋a－14＋||a＝0有实根，则a的取值范围是______________．

8．若不等式Rxaxx对|1||2|恒成立，则实数a的取值范围是 （ ）

A．),3( B．),3[ C．（－，3） D．]3,(

9．若不等式|4||3|xxa的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．17a C．1a D．1a 变式题一：若不等式axx43的解集为R,则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．17a C．1a D．1a

变式题二：若不等式axx43无解,则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．1a C．1a D．1a

10．不等式2|3||1|3xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．[1,4] B．(,2][5,)

C．(,1][4,) D．(,1][2,)

绝对值不等式的解法

绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法

图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：

解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：

x - 2 > 3 或 x - 2 < -3

解得：

x > 5 或 x < -1

将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法

符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2： 解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：

2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4

解得：

x ≤ 7/2 且 x ≥ -1/2

将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法

分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：

解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：

3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5

解得：

x > 1 且 x < -7/3

因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或

x > 1。

四、代数法 代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：

解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：

x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2

解得：

x ≥ 6 或 x ≤ 2

因此，原不等式的解集为 x ≤ 2 或 x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。我们可以根据具体情况选择合适的解法，来求解各种类型的绝对值不等式。