绝对值不等式的解法

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绝对值不等式

知识总结：

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等

号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集： 不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋

∞) (－∞，0)∪(0，＋

∞) R

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

题型一：绝对值不等式的解法

例1：不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )

A.

－1

2，0∪

1，3

2 B.

－1

2，3

2

C.

－1

2，0∪

1，3

2 D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

2

例2：若关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a2－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是( )

A．1

B.3－17

2

<3＋17

2

C．a<1或a>2 D．a≤1或a≥2

举一反三：

变式1：设不等式|x－2|

2∉A，则a＝________.

变式2:不等式|x－2|＋|x＋2|≥5的解集为______________．

题型二：利用绝对值不等式求最值

例1：对于任意实数a和b(b≠0)，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|b|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的

取值范围是________．

例2：记max{p，q}＝

 p，p≥q，

q，p

则M(x，y)的最小值是________．

举一反三：

变式1：若关于x的不等式|x＋t2－2|＋|x＋t2＋2t－1|<3t无解，则实数t的取值范围是( )

A.

－1

5，1 B．(－∞，0]

绝对值不等式

一、绝对值三角不等式

1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0 R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0

R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

例1：解不等式x＋|2x－1|<3.

解：原不等式可化为 2x－1≥0， x＋(2x－1)<3或 2x－1<0，x－(2x－1)<3.解得12≤x<43或－2

绝对值不等式的解法步骤

一、绝对值的定义

在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。绝对值的定义如下：

当a≥0时，|a|=a；

当a<0时，|a|=-a。

二、绝对值不等式的基本形式

绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：

1. |x|

2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。

三、解绝对值小于形式的不等式

1. 当|a|

a) a>0时，解为-b

b) a<0时，解为空集。

2. 当|a|≤b时，有两种情况：

a) a>0时，解为-a≤x≤a；

b) a<0时，解为x=0。

四、解绝对值大于形式的不等式

1. 当|a|>b时，有两种情况：

a) a>0时，解为x<-b或x>b；

b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。

2. 当|a|≥b时，有两种情况：

a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；

b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。

五、解绝对值不等式的注意事项

在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：

1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。

2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。

3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。

4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。

六、绝对值不等式的应用

绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。

解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。掌握了这些步骤，我们就能够准确地解决各种绝对值不等式问题，进而应用到实际问题中。

绝对值与不等式的解法

绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法

绝对值不等式是指形如 |f(x)| ≤ g(x)，或 |f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5

首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。当 2x - 3 ≥ 0

时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：

当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得 x ≤ 4；

当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得 x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法 绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3

同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。当 4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：

当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；

当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。