绝对值不等式的解法

Ｕ　思路方法　含绝对值的不等式是高考的重点和热点，它主　要考查去绝对值符号的能力及不等式性质的应用。　解含绝对值不等式的主要思路是去掉绝对值符　号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有的　方法求解。因此掌握去含绝对值符号的方法和途径　是关键，我们通常采用的方法是定义法、公式法、零　点分段讨论法、几何意义法、图象法等。　ｒ　（　＞Ｏ），　Ｉ　Ｉ＝｛０（　＝０），　一　（　＜Ｏ）。　２．绝对值的几何意义　Ｉ　Ｉ表示数轴上坐标为　的点到原点的距离。　３．绝对值的主要性质　（１）ｆ—　Ｉ：ｆ　ｆ。（２）｝　ｉ　＝　。（３）ｆ　ｆ≥　（　∈Ｒ）。特别地，①Ｉ　『－　ｊ　≥０；②Ｉ　ｌ＞　ｊ　＜　÷｛　（Ⅱ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ，且ｂ≠０）。（６）１　０ｆ—Ｉ　６ｌ≤ｆⅡ４－ｂ　Ｉ≤ＩⅡＩ＋Ｉ　６　ｌ（高二内容）。　４．零点分段讨论法　解含有两个或两个以上的绝对值符号，并且其　形式是和或差的不等式，可先求出使每个绝对值符　号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），　将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成　若干区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一　区间的正负号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝　对值的不等式再求解。切记，求解过程中不要漏掉　对区间端点的讨论，以免漏解。　二、典例精讲　解：利用　＝Ｉ　Ｉ　，先添绝对值，再去绝对值，　以退为进，原不等式可转化为Ｉ　Ｉ　一Ｉ　Ｉ一２＜０，即　（Ｉ　Ｉ一２）（Ｉ　ｌ＋１）＜０，　故原不等式的解集为｛　ｌ一２＜　＜２）。　点评：本题也可用定义法求解，也可以用图象法　求解。把原不等式转化为：　～２＜ｌ　Ｉ可作出函数　Ｙ＝ｌ　Ｉ和Ｙ＝　—２的图象，观察求解。　解（公式法）：原不等式等价于：　０—３＞２ｘ或　０—３＜一２ｘ。　故原不等式的解集为｛　｝　＜１或　＞３）。　４３　ｌｌ　＿　。　。　＿　…　一　点评：本题也可用定义法求解，也可以用图象法　求解。可作出函数Ｙ＝Ｉ　一３Ｉ和Ｙ＝２ｘ的图象，观　察求解。　例３解不等式Ｉ　＋２｝一Ｊ　一ｌ｝＋３＞０。　解法一（零点分段讨论法）：令Ｉ　＋２　０，Ｊ　一　１Ｉ－０，得　Ｊ＝一２，　２：１（零点）　一２，ｌ将数轴分成　三个区间：　＜一２，一２＜　＜１，　＞１，于是，原不等　式等价于：｛　）＋．（　一１）＋３＞０，①　或｛　’１）　０，②　前ｊｔ　（ｘ≥＋　２）一（　～１）＋３＞ｏ。③　解①，得　∈　；解②，得一２＜　＜ｌ；解③，得　≥１。　故原不等式的解集为上述三个不等式组解集的　并集，且口｛　ｌ　＞一２）。　解法二（几何意义法）：Ｉ　＋２　ｌ　一（一２）Ｉ表　示数轴上坐标为　的点到一２点的距离，Ｉ　一１　Ｉ表　示数轴上坐标为　的点到１点的距离。　如图１所示，当　≤一２时，　Ｉ　十２Ｉ—Ｉ　一１　Ｉ＝一３．　２］０　１—　工　图ｌ　原不等式等价于：０＞０，此时无解；　如图２所示，当一２＜　＜１时，　｝　＋２　Ｊ—Ｉ　～１　Ｉ＞一３。　———　２士　ｊ１　一　Ｕ　图２　原不等式等价于：　Ｉ　＋２Ｉ—ｌ　一１Ｉ＋３＞一３＋３＝０。　此时不等式恒成立，即一２＜　＜１；　如图３所示，当　≥ｌ时，ｌ　＋２ｆ—ｆ　一１　ｌ’３，　…．．［＝三ｊ一．　２　０　１　Ｘ　图３　此时，原不等式等价于：Ｉ　＋２Ｉ—ｌ　一１　ｌ＋３＞３　＋３＞０，此时不等式恒成立，即　≥１。　故原不等式的解集为上述三个不等式解集的并　集，即｛　ｌ　＞一２）。　总之，我们要结合不等式的特点，灵活采用恰当　的方法去掉绝对值符号，转化为熟悉的不等式去求　解，同时注意运用数形结合、分类整合、转化与化归　等数学思想方法去求解。　（作者单位：湖南省澧县第二中学）

绝对值不等式的解法（第1课时）

学习目标：1.掌握axbc与(0)axbcc型的不等式的解法；

2.掌握axbcxd与axbcxd型的不等式解法；

3.知道用分类讨论的方法解含绝对值符号的不等式。

学习重点：含有一个绝对值的不等式的解法

学习难点：运用数轴和函数图像等几何法解绝对值不等式及分类讨论的思想。

一、导-------------引入新课（2-------3分钟）

二、思-------------自主学习。认真阅读教材11---12页，通过学习例题，认真完成以下内容

1.xa和(0)xaa型不等式：

(1)不等式xa的解集为xaxa；

(2) 不等式xa的解集为xxaxa或

2.形如axbc和axbc型不等式的解法

axbc=>,00,0,0caxbccaxbcxc ； axbc=>,0,0axbcaxbccxRc或

推广：（1）形如(,0)maxbnmn型不等式：

(,0)maxbnmn=>axbmaxbn或用平方法处理

（2）形如()()fxgx或()()fxgx型不等式：

()()fxgx=>()()()()fxgxfxgx或；

()()fxgx=>()()()gxfxgx

3.形如xaxbcxaxbc和型不等式的解法

法一：利用绝对值的几何意义；法二：零点分段法；法三：利用函数的图象求解。

4.应用举例

例1、 解下列不等式 （1） 312x （2）237x （3）4|23|7x （4） |2||1|xx

变式训练：解下列不等式

（1）235x （2）251x （3）xx213 （4）312xx

例2、解不等式1+25xx

海林林业局一中高一数学 选修4-5学案 班级： 姓名：

绝对值不等式的解法

教学目标：

1.cx||和)0(||ccx型不等式的解法。

3. 体会数形结合思想及特殊到一般的知识产生过程。

温故知新：

1．绝对值的定义：aR，||a

2. 绝对值的几何意义：

（1）实数a的绝对值||a，表示

（2）任意两个实数,ab， 那么||ab的几何意义是

新知探究：

探究一 借助于数轴，解下列不等式.

1．不等式2||x的解集是 。

2．不等式2||x的解集是 。

结论1：一般的，若0c，则

不等式cx||的解集是 。

不等式cx||的解集是 。

探究二 解cbax||和)0(||ccbax型不等式.

1．不等式1|12|x的解集是 。

2．不等式1|12|x的解集是 。

结论2：一般的，若0,0ca，则

不等式cbax||的解集是 。

不等式cbax||的解集是 。

探究三 解xaxbc和xaxbc（c>0）型不等式

例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5

当堂检测：

1．解不等式:

52x>1;

643x

型不等式的解法和)0(.2ccbxaxcbxax海林林业局一中高一数学 选修4-5学案 班级： 姓名：

1

绝对值不等式

知识总结：

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等

号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集： 不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋

∞) (－∞，0)∪(0，＋

∞) R

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

题型一：绝对值不等式的解法

例1：不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )

A.

－1

2，0∪

1，3

2 B.

－1

2，3

2

C.

－1

2，0∪

1，3

2 D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

2

例2：若关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a2－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是( )

A．1

B.3－17

2

<3＋17

2

C．a<1或a>2 D．a≤1或a≥2

举一反三：

变式1：设不等式|x－2|

2∉A，则a＝________.

变式2:不等式|x－2|＋|x＋2|≥5的解集为______________．

题型二：利用绝对值不等式求最值

例1：对于任意实数a和b(b≠0)，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|b|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的

取值范围是________．

例2：记max{p，q}＝

 p，p≥q，

q，p

则M(x，y)的最小值是________．

举一反三：

变式1：若关于x的不等式|x＋t2－2|＋|x＋t2＋2t－1|<3t无解，则实数t的取值范围是( )

A.

－1

5，1 B．(－∞，0]