微积分无穷级数作业

无穷级数复习题无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域中有着广泛的应用。

在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。

首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。

无穷级数是由一系列无穷多个数相加而得到的数列。

通常表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3等为数列的项。

如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我们说这个无穷级数收敛，记作S = L。

反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。

接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。

例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比为1/2。

我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。

因此，这个级数是收敛的。

例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...这个级数是一个等差级数，公差为1。

我们知道，等差级数只有在公差小于1时才能收敛。

因此，这个级数是发散的。

例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。

对于交错级数，我们可以使用交错级数判别法来判断其收敛性。

根据该定理，如果交错级数的绝对值数列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。

在这个例子中，绝对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发散的。

通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的方法和定理。

在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。

幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。

^项 目^：综合练习 ^章 节^：第五章 定积分及其应用一、填空题.（ 1．1301x dx +⎰与1401x dx +⎰相比，大的是_____________.2．设()f x 为连续函数,则1lim ()xa x af t dt x a→-⎰=__()f a ___.. 3．设()sin ,xf x dx x x =⎰则()f x =_____________.4．325425sin 21x xdx x x -++⎰=_____0______. 5. 120sin d x dx dx =⎰ ；2sin d x dx dx=⎰ 20sin x d t dt dx =⎰ ；02sin x d t dt dx =⎰ ； 220sin x d t dt dx =⎰ ； 二、选择题. （15%）1．函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续是定积分()baf x dx ⎰存在的( )条件.A) 必要 B) 充分 C) 充要 D) 无关. 2．设()f x 是连续函数，则()()bbaaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰=（ ）.A) 0 B) 1 C) a b + D) ()baf x dx ⎰.3．若()()xaF x xf t dt =⎰，则'()F x =（ ）.A) ()xf x B) ()()xaf t dt xf x +⎰C) ()()x a f x - D) ()[()()]x a f x f a --.4．广义积分21x xe dx +∞-⎰=（ ）.A) +∞ B) e C) 12e -D) 12e. 5．若广义积分(ln )kedxx x +∞⎰收敛，则（ ）. A) 1k > B) 1k ≥ C) 1k < D) 0k ≠. 三、计算题. （50%）解：1. 41201x dx x +⎰2.201cos22xdx π-⎰3.421x edx +⎰，4.32221sin cos dx x xππ⎰ 5.121||x x dx --⎰6.12211x dx x+-⎰7.10arctan x xdx ⎰8.401cos 2xdx xπ+⎰9.10x xdxe e -+⎰10.11ln exdx x+⎰四、应用题与证明题. （20%） 1．设0()(1)xx t t dt ϕ=-⎰在3[1,]2-内的极值. ２. 求下列各曲线所围成的图形的面积： （１）214y x =与直线3240x y --=； （２）xy e =，2xy e =与直线2y =；（３）2y x =与直线23y x =+；３. 由9,10xy x y =+=所围成的图形绕y 轴旋转，计算所得旋转体的体积。

微积分吴传生第四版无穷级数答案无穷级数练习和习题解答练习10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性：(1)SKIPIF 1<0；解：因为通项SKIPIF 1<0，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。

(2)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。

(3)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。

(4)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。

(5)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，而级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛。

(6)SKIPIF 1<0；解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛。

(7)SKIPIF 1<0解：因为级数SKIPIF 1<0为发散调和级数，而级数SKIPIF 1<0为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散。

2.若级数SKIPIF 1<0收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的。

(1)SKIPIF 1<0；解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0也收敛，因此原级数也收敛。

(2)SKIPIF 1<0(SKIPIF 1<0为某一确定的自然数)解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，而级数SKIPIF 1<0相当于级数SKIPIF 1<0去除前SKIPIF 1<0项后的新级数也收敛。

(3)SKIPIF 1<0解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以SKIPIF 1<0，故SKIPIF 1<0，即级数SKIPIF 1<0发散。

第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。

教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。

级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。

定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。

《微积分》提高习题极限与连续求lim [y/x2 +2x + sinx -(X4- 2)].r->+oo求lim(丄一亠)z) x e -1p yjx2 +sinx - x求lim ------------------y x + ln x、“ ln(l + x)-sinx 求lim—/ -----5 Vi^-i丄求lim(Q-x)J.v->0求恤sm — umxXTO tan x(e A -l)ln(l-x)4・ 1 r 2 + cosx xt…[(—-—) -1]XTO兀・3…ln(l + x)-sinx 求lim ------- 1 ----------------5 Vl-x2 _ 1—J 4x~ + x + l + x + l 求lim /------------- :d yjx2 +sinx求lim(cosx)sin'A XT O• i 求lim(止)7Z) X求lim(xsinx + cosx)".XT()C 2求lim(sin^x + cosx)x .A->0若limZHE),求QD x" 217、，讨论/(x)的连续性・6、7、8、设 y = arcsin Jx_ \ + 才，求 dy.x= I coss 2ds, d 2v J 。

所确定，求-4.• 4 dry = smt ,cos 9、设y = )0 是由方程ln(x 2 + y) = x 3y 4- sin x所确定,求— dxx=010、设 y = arcsin Jx_\ + x",求dy •11、设y = y(x)是由方程ln(F +刃p/y + sin 兀所确定，求一 ckA=012、设y =兀血仏* @心師2x)3 + In 2,求冬. dx 13、设)，二y(x)是山方程ex+y -2x-xy-l =0确定的x 的可导函数，求dy\x=G .Y +e nx设当 X>-1 时22 1 + e18、设f(x) = u(x) + v(x), g(x) = u(x)-v(x),并设limw(x)与lim 咻)均不存在,则下列结论正确XT OX ->0的是[](A) 若lim f(x)不存在，则limg(x)必存在..¥->()X->0(B) 若lim/(x)不存在，贝ijlimg (兀)必不存在.XT OX ->0(C) 若lim/(x)存在，则limg (兀)必不存在.A —>0A->()(D)若lim f(x)存在,贝ijlimg(x)必存在. x->0x->0二、导数与微分1、 设)：=(cos x)sin ' + (arcsin 2x)3 + /,求 dy.2、 设y = -tan5x + /A x cosx + ln^,求空. 2 dx3、 设/(兀)可导，y = x r (cosx)求世.dxIn Y4、 求y = —(X >0)的值域.X 5^ 设 y = xln(l + x),求 y 对兀的 10 阶导数 y (10)(x). dx (1^ x设函数*心)由L + sinzO 所确定，求加x = y]l-t 2 y=arcsin t，求d 2y dx 2\x = t + arctan t+1 设由参数式』 .[y = t +6t设/(兀)在(a,+oo)内可导,且lim 广(兀)= a,证明：lim /⑴=a .XTOOJT ->OO *x = sin/- arctan t.A 2Y, --- 求一，一3•设 y(x) = arccot^A- Iny = ln(r + Vl + r), 血所确定的函数y = y(x)在f = -1处的一阶导数世，及二阶导数 dxd 2yd?'t =尸 + 2/设山参数式 ~，确定了 y 为X 的函数y 二yd),求曲线y = y(x)的凹、凸区间及拐y = /-ln(l + /)点坐标(区间用兀表示，点用(九刃表示). 求函数y = %-2r 的极小值.求由方程2/ - 2y 2+ 2xy + y-x 2=O 确定的函数y = y(x)的极值，并问此极值是极大值还是极小值，说明理由.求曲线y = arctan x 在横坐标为1的点处的切线方程._ 求曲线ln(y + x)-cos(xy) = x±点x = 0处的切线方程. 设X>0,证明/(X )=(兀一4)" 一(兀一2)e x+2<0 ・证明若 e <a <b<e 2,则 In? b-ln? a > 丄(/?一。

微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）A ．平行于平面π；B ．在平面π上；C ．垂直于平面π；D ．与平面π斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）A ．连续、偏导数存在；B ．连续、偏导数不存在；C ．不连续、偏导数存在；D ．不连续、偏导数不存在.3．设()f x 为连续函数，1()d ()d ttyF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ）A ．2(2)f ；B ．(2)f ；C ．(2)f -D ．0.4．设∑是平面132=++z yx 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分(326)d x y z S ∑++⎰⎰＝（ D ）A ．7；B ．221； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A ．e x a b +；B ．e x ax b +；C ．e x a bx +；D ．e x ax bx +.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan1x yz xy-=+，则d |z ＝24dx dy-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2e d x Ly =⎰ 0 ；4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为π6，则正数=0Z 32； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .三、（本题7分）设由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及x v ∂∂与yv∂∂. 解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u uu udx vdu vdvdy vdu vdv⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u uu u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪⎨-⎪=-+=⎪+⎩从而222222,,u x v y v x x x y x x y y x y∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫-=⎨⎬---⎩⎭，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333u AB ∂⎧⎫=-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭五、（本题8分）计算累次积分24112211d e d d e d x xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1:24,2xD D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤ 作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤从而()2242222112112111d e d d e d d e d e e d xxxy y y y yx y x y x y y x y y y y +==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2222211e e2e e e e yy e =-=---=六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.解：先二后一比较方便，111220122zD z I zdz dxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰七．（本题8分）计算32()d x y z S ++∑⎰⎰，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分.解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而223222()d ()d ()d 2x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220(2D x y d rr πθπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰(40411315t ππ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y+-⎰，L 是点ππ(,)22A 到点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(>y 上2223222322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y ⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Qx y y y y y y y y x∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y πππππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面221y x z --=上侧.解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y ∑+∑∑+++++=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122223211133132D D x y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=⋅⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2113400011922244d r dr r πππθππ=+=+⋅=⎰⎰ 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t s x =适合042222=∂∂+∂∂syt y ，求)(x f y =．解：21,y s y f f t t s t∂-∂''=⋅=⋅∂∂222223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ∂∂--∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''==+⋅== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由已知222223222440,0,y y s s f f f t s t t t∂∂-⎛⎫'''''+=⇒+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭即()()()()()()()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '⎡⎤'''''++=+=+=⎣⎦()()1122,arctan 422c c xf x f x c x '==++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦ 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为()()*12cos sin cos 2sin 2,k xn n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+⎡⎤⎣⎦**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4a xb x x a b -+=⇒==121cos 2sin 2sin 24y c x c x x x =+++十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。