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母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。
形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
母函数公式范文母函数是组合数学中一个非常重要的工具，用于解决各种组合计数问题。
它是一种将一个数列表示成一个形式为形式为 c0 + c1x + c2x^2 +c3x^3 + ... 的函数，其中每个项 ci 表示数列中元素的个数。
母函数的一大好处是可以将复杂的组合计数问题转化成简单的代数运算。
在组合计数中，我们经常遇到一些问题，比如求一个集合中元素个数小于等于n的子集的个数，或者求一个集合中元素个数为n的子集的个数，以及找到满足一定条件的子集的个数等等。
这些问题都可以使用母函数来解决。
最简单的母函数是普通母函数，它是一个无穷级数形式，可以表示一个集合中元素个数的情况。
例如，对于一个集合中元素个数分别为0、1、2、3、..的情况，可以使用普通母函数表示为：G(x)=1+x+x^2+x^3+...其中，每一项x^n表示集合中元素个数为n的情况。
由于每一项的系数都是1，所以这个母函数可以简化为：G(x)=1/(1-x)利用这个母函数，我们可以解决一些简单的问题。
比如，求一个集合中元素个数小于等于n的子集的个数，可以将母函数G(x)展开为级数：G(x)=1+x+x^2+x^3+...然后将x的指数依次从0到n，对应的系数相加即可。
也就是说，求子集个数的问题可以转化为求母函数中的多项式的系数之和的问题。
在实际的应用中，经常遇到多个集合的元素个数的组合问题。
这时，可以引入多个母函数来表示不同集合的情况，然后使用母函数的运算规则来解决问题。
比如，对于两个集合A和B，其元素个数分别为a和b的情况，可以定义两个母函数GA(x)和GB(x)，然后将它们相乘，得到的结果就是集合A和B的元素个数的组合情况。
例如，如果要求两个集合A和B中元素个数之和等于n的子集的个数，可以定义两个母函数GA(x)和GB(x)，分别表示集合A和B的情况：GA(x)=1+x+x^2+x^3+...GB(x)=1+x+x^2+x^3+...然后将两个母函数相乘，得到的结果可以展开成级数：GA(x)*GB(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x+x^2+x^3+...)展开后，可以根据各项的系数求得相应子集的个数。
高考数学冲刺复习母函数考点速查高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在高考数学的众多考点中，母函数是一个较为复杂但又十分重要的知识点。
在冲刺复习阶段，对母函数考点进行速查和强化，能够帮助我们在考试中更加从容应对。
一、什么是母函数母函数，简单来说，就是一种将数列与多项式联系起来的工具。
通过母函数，我们可以将一个数列的各项用一个多项式的系数来表示。
例如，对于数列 1，2，3，4，5，其对应的母函数可以表示为 G(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ＋ 4x^3 ＋ 5x^4 。
母函数的作用在于它能够将一些离散的数量关系转化为连续的函数形式，从而便于我们进行分析和计算。
二、常见的母函数类型1、普通型母函数普通型母函数主要用于解决组合计数问题。
比如，从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合数，可以通过普通型母函数来表示和计算。
2、指数型母函数指数型母函数通常用于解决排列计数问题。
在涉及到具有重复元素的排列时，指数型母函数能够发挥重要作用。
三、母函数的基本运算1、加法运算两个母函数相加，就是将它们对应的多项式的系数相加。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ＋ 3x^2 ，G2(x) ＝ 2 ＋ 3x ＋ 4x^2 ，则 G1(x) ＋ G2(x) ＝ 3 ＋ 5x ＋ 7x^2 。
2、乘法运算母函数的乘法运算对应着组合问题中的分步计数原理。
例如，G1(x) ＝ 1 ＋ 2x ，G2(x) ＝ 1 ＋ 3x ，则 G1(x)×G2(x) ＝ 1 ＋ 5x ＋ 6x^2 。
四、母函数在解题中的应用1、求解组合数通过构造合适的母函数，可以方便地求出特定条件下的组合数。
例如，求从 5 个不同的球中选取 2 个球的组合数。
我们可以设母函数 G(x) ＝（1 ＋ x)＾5 ，展开后 x^2 的系数即为所求组合数。
2、解决分配问题在将一定数量的物品分配到不同的容器或分组的问题中，母函数能够清晰地展现各种可能的分配情况。
母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。
母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。
那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。
Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。
那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。
还是以前俩个砝码为例说明。
表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。
注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的 （x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果 ⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。
用母函数法统一解决三类排列与组合问题作者：高仕学来源：《课程教育研究》2017年第07期关于三类排列与组合问题在排列组合知识中已经得到解决，但其方法都不相同，有的方法简单，有的方法复杂。
如果用母函数概念，不仅可以统一三类排列与组合问题，而且使复杂问题简单化，简单问题一目了然。
下面我们就用母函数方法，通过举例解决三类排列与组合问题。
一、用母函数法统一解决三类组合问题首先，什么是母函数？形式幂级数A（x）=anxn叫数列{an}的普通母函数，简称母函数。
其次，举例用母函数法统一解决三类组合问题。
例1 在四张不同的卡片中任取3张，问有多少种不同的取法？解：这是一个无重合组合问题设从中任取r个的不同取法有ak种则{an}的母函数为（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=（1+x）4展式中项x3的系数a3=C=4所以有4种不同的取法例2 在a，b，c，d，e五个字母中任取3个，允许重复，问有多少种不同的取法？解：这是一个无限重合组合问题设从中任取r个的不同取法有ak种则{an}的母函数为（1+x+x2+x3）5，而（1+x+x2+x3）5=（）5=（1+x2）5（1+x）5=（1+Cx2+Cx4+Cx6+Cx8+Cx10）（1+Cx1+Cx2+Cx3+Cx4+x5）=1+5x+10x2+35x3+…展式中项x3的系数a3=35所以有35种不同的取法例3 在口袋中放着12个球，其中有3个红球，3个白球，6个黑球，从中任取8个球，问有多少种不同的取法？解：这是一个有限可重的组合问题设从中任取r个的不同取法有ak种则{an}的母函数为（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6）直接计算得项x8的系数a8=3+4+3+2+1=13所以有13种不同的取法二、用母函数法解决三类排列问题首先，什么是指母函数？形式幂级数u（x）=ar叫数列{an}的数型母函数，简称指母函数。
其次，举例用母函数法统一解决三类排列问题。
母函数法在解题中的应用_余汉雄不等式以及函数的最值都是函数在一定范,由复合函数单调性的判别法则知lsco“f`X,一`n`:围内变化时所呈现的特殊状态,.解决这类间题有一些,。
x)在`o,基本方法但对某些超越型的问题用常规方法不易解晋内为减函数,,,决甚至无法解决,。
这时不妨从整体上进行分析,根据几(x)=一工在R上为减函数’.问题的特征或转化后所得形式的特征构造相应的母函数从而利用母函数的性质进行求解,。
“J、`,一sni`cos!,,’一在`晋,上为减函数,“。
这种方法称为在(o一、母函数法面的间题1.。
应用母函数法可较容易地解决如下几个方sn又f(o)二iz>一~“一’o一沪f(粤)=一、2<。
要2一os。
-,’。
f(x)`’=o一`,’。
一)内有唯一实根要户2一~’`’J’。
一’,使得~”,-in(e--)一。
’一一成立一`。
-、’讨论方程实根的范围Cos同理可证存在唯一实数,认:d任(。
一~,由于方程是函数在变化过程中取零点值时的特殊情况.一“~”J一。
卜~~.`.一’)要2`,’使等式一~`、(ind)`J`s根据连续函数的介值定理有关超越方程实根分,,、成立:cos(ind)=d,s,sin布的问题可构造其母函数利用函数的单调性来判断。
〔eos(sind)〕=sind,而“<nsi`ose<晋且在晋内只有唯一实根,c`。
,·使得例1已知方程3+,’4,+5~6`!,此方程是否有实。
sin(e)二一s成立,,解?若有实解则有多少实解?试证明你的结论解,…1一。
n`i。
又在`。
,原方程闪、/J可化为(“’盯一“/诀’李2_.)+(’、·粤3`丫+(’、一粤6)’由~`晋内,sni二<二”,一s`n“<“d,故命题成立2,方程的特征可构造函数,:解(证)不等式,)=(音)+(子)+(于)一1f(x廿、·、12、、.,工2、,`56、,x,,一类不等式它的直接母函数形式复杂或变元较,”3`”’多不易判断其单调性(二)一`,。
运用母函数求解递推数列通项公式作者：陈朝斌石建梅来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第03期四川内江师范学院数学与信息科学学院641112摘要：在教学中，教师应充分认识递推数列在初等数学与高等数学中的本质联系，从高等数学的高度进行教学，这有利于培养学生创造性的思维和探究问题的能力．本文利用母函数求解相关的一阶递推数列、二阶递推数列的通项问题.关键词：母函数；递推数列；应用在日常教学中，教师一般从初等数学的角度进行教学，采用“化归”的思想，引入辅助数列把问题转化为等差数列或等比数列来解决，但求解过程较烦琐，技巧性也不强．有些教师认识到递推数列问题在高等数学中的背景，从高等数学的高度进行教学，如采用“特征根法”“不动点法”等．本文主要利用母函数知识来研究递推数列问题．定义对数列｛an｝中的各项a0，a1，a2，…，构造函数G（x）=a0+a1x+a2x2+…，称G （x）为数列｛an｝的母函数．规定G（x）可以像多项式那样进行四则运算，不用考虑敛、散性．用母函数求解递推数列通项问题时一般有4步.（1）构造数列｛an｝的母函数G（x）=anxn=a0+a1x+a2x2+a3x3+…；（2）将关于an的递推关系式转化为关于数列｛an｝的母函数G（x）的方程式；（3）解出G（x）=++…，并根据=xn=1+x+x2+x3+…及=（px）n=1+px+（px）2+（px）3+…，=Cxn，将母函数的函数表达式展开成G（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…的形式；（4）根据母函数G（x）=a0+a1x+a2x2+…中xn的系数an，求出数列｛an｝的通项.[⇩]一阶线性递推数列an+1=p（n）an+q（n），a1=a（a为常数，p（n）≠0），其中p（n），q（n）是关于n的函数.例1 （2008四川）设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知ban－2n=（b-1）Sn .（1）证明：当b=2时，数列｛an-n·2n-1｝是等比数列；（2）求数列｛an｝的通项公式．解析由题意知a1=2，且an+1=ban+2n．（1）略.（2）当b≠2时，an+1=ban+2n，且有a0=．设数列｛an｝的母函数为G（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…，所以x∶a1=ba0+20，x2∶a2=ba1+21，x3∶a3=ba2+22，…以上等式相加得G（x）=［（b-2）x·（1-2x）（1-bx）］.令G（x）=+，则an=·（A·2n+B·bn）.所以A+B=1，（2A+bB）=2 .解得A=，B=．因此an=［2n+（2-2b）bn-1］．综上所述，当b=2时，an=（n+1）2n-1；当b≠2时，an=2，n=1，［2n+（2-2b）bn-1］，n≥2 .评注经研究，如果数列｛an｝满足an+1=pan+qn（p≠0，1，q≠0，p≠q），且a1=a，则an=apn-1+－．[⇩]二阶线性递推数列an+2=pan+1+qan，a1=a，a2=b（a，b为常数，pq≠0）．例2（2008广东）设p，q为实数，α，β是方程x2－px+q=0的两个实根，数列｛xn｝满足x1=p，x2=p2－q，xn=pxn-1－qxn-2（n=3，4，…）．（1）证明：α+β=p，αβ=q；（2）求数列｛xn｝的通项公式；（3）若p=1，q=，求数列｛xn｝的前n项和Sn．解析 xn=pxn-1－qxn-2对n=2，3，4…也成立，则x0=1．（1）略.（2）设数列｛an｝的母函数为G（y）=a0+a1y+a2y2+a3y3+…，所以y2∶x2=px1－qx0，y3∶x3=px2－qx1，y4∶x4=px3－qx2，…以上等式相加得G（y）=，且α+β=p，αβ=q．当α≠β时，令G（y）=+，所以A+B=1，βA+αB=0，即A=，B=－.因此xn=.当α=β时，G（y）==C（ay）n，因此xn=Cαn=（n+1）αn.综上所述，xn=［αn+1－βn+1］，α≠β，xn=（n+1）αn，α=β.（3）略．评注经研究，如果数列｛an｝满足an+2=pan+1+qan，且a1=a，a2=b（pq≠0，a，b均为常数），其中α+β=p，αβ=－q．当α≠β时，an=；当α=β时，an=aαn-1+（n-1）（b-x）αn-2．在2008年的高考数学试卷中出现了一阶递推数列、一阶分式数列和二阶递推数列问题，而且数列的形式相当复杂，因此，在教学中加强递推数列在初、高等数学中的本质联系，从高等数学的角度进行教学，才能保证学生在高考中占有一定的优势．。
母函数与求解递推关系组合数学⽤的最多的⼯具要算母函数，究竟什么是母函数呢，先看(1+a1x)(1+a2x)⋯(1+a n x)=1+(a1+a2+⋯a n)x+(a1a2+a1a3+⋯a n−1a n)x2+⋯+a1a2⋯a n x n..x1项系数：a1+a2+⋯a n;x2项系数：a1a2+a1a3+⋯a n−1a n；⋯x n项系数：a1a2⋯a n即x k项系数：a1,a2,⋯,a n取k个组合的全体之和，k=1,2,⋯,n.令a1=a2=⋯=a n=1，即得(1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+⋯+C(n,n)x n另⼀⽅⾯(1+x)m(1+x)n=(1+x)m+n故$$(1+x)m(1+x)n=C(m,0)+C(m,1)+⋯+C(m,m)x m×C(n,0)+C(n,1)x+⋯+C(n,n)x n=C(m+n,0)+C(m+n,1)+⋯+C(m+n,m+n)x m+n$$⽐较上⾯等式得常系数，C(m,0)C(n,k)+C(m,1)C(n,k−1)+⋯+C(m,k)C(n,0)=C(m+n,k),k=0,1,2,⋯,minm,n这样就证明了这个等式，当然也可⽤组合意义证明。
可见 (1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+⋯+C(n,n)x n在研究序列C(n,0),C(n,1),⋯,C(n,n)时起作⽤.为此引进母函数得概念.定义对于序列C0,C1,C2⋯构造⼀函数G(x)=C0+C1x+C2X2+⋯称G(x)为序列C0,C1,C2⋯的母函数.例如(1+x)n称为序列C(n,0),C(n,1),⋯,C(n,n)的母函数，序列长度可能是有限的，也可能是⽆限的。
若已知序列可求得母函数，反之若求得母函数，序列也随之确定，因此，序列和对应的母函数是⼀⼀对应的。
现利⽤母函数求递推关系的解，⽤汉诺塔做例⼦.H(n)=2H(n−1)+1,H(1)=1补充定义H0=0，并作如下步骤的形式化演算：x:H1=2H0+1x2:H2=2H1+1x3:H3=2H2+1+⋯G(x)=2x[H0+H1x+H2x2+⋯]+[x+x2+x3+⋯]等式两边分别为H0+H1x+H2x2+⋯=2x∞∑k=0H k x k+∞∑k=1x kx+x2+x3+⋯=x[1+x+x2+⋯]=x 1−x所以得G(x)=2xG(x)+x 1−xG(x)=x(1−x)(1−2x)序列H k的母函数已求得，后⾯是设法从G(x)求序列H k.令Processing math: 100%x(1−x)(1−2x)=A1−2x+B1−x解⽅程得A=1,B=−1所以G(x)=11−2x−11−x=(1+2x+22x2+⋯)−(1+x+x2+⋯)因此H n=2n−1,n=1,2,⋯上⾯利⽤母函数求递推关系的序列，构建序列和母函数有座桥：11−x=1+x+x2+⋯。
