多项式除法

多项式短除法是指用于求解多项式的一种除法方法。

它的基本思路是通过多项式插值法，构造出一个低阶多项式$Q(x)$，使得$Q(x)$能够较好地拟合待求解多项式$P(x)$，然后利用$Q(x)$来近似求解$P(x)$。

多项式短除法的基本步骤如下：
•确定待求解的多项式$P(x)$和拟合多项式的低阶$Q(x)$。

•求解$Q(x)$的系数，使得$Q(x)$能够较好地拟合$P(x)$。

•计算$R(x)=P(x)-Q(x)$，其中$R(x)$是多项式$P(x)$和$Q(x)$的差。

•判断$R(x)$是否满足终止条件，如果满足则终止，否则计算$R(x)$的低阶多项式$S(x)$，并将$S(x)$代入$Q(x)$，得到新的多项式$T(x)=Q(x)+S(x)$。

•使用新的多项式$T(x)$代替$Q(x)$，回到步骤2，继续求解。

多项式短除法是一种高效的多项式求解方法，可以用来计续求解多项式的值、求解多项式的零点、求解多项式的单位根等问题。

它的优点在于能够快速求解多项式，并且在求解过程中可以控制精度。

多项式短除法的应用领域很广，广泛应用于数值计算、计算机科学、工程技术等领域。

它是一种重要的多项式求解工具，在多项式计算中有着广泛的应用。

多项式的除法与余式定理练习题一、多项式的除法多项式的除法是高中数学中非常重要的一部分。

在多项式的除法中，我们常常需要根据除法的原理来求解商和余数。

接下来，我们将通过一些练习题来巩固多项式的除法。

1. 求下列多项式的商和余数：(1) 将多项式P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 9 除以G(x) = x - 2。

(2) 将多项式Q(x) = 4x^3 + 6x^2 - 9x + 2 除以H(x) = x + 1。

(3) 将多项式R(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 7 除以F(x) =2x^2 - x + 3。

2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 能被(x - r)整除，其中r是实数，则有P(r) = 0。

(2) 若多项式Q(x) = mx^n + nx^{n-1} + \dots + v 能被(x - s)^k整除，其中k是正整数，s是实数，则有Q(s) = Q'(s) = \dots = Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。

二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要定理，它可以帮助我们求多项式在给定值处的余数。

接下来，我们将通过一些练习题来熟悉余式定理的应用。

1. 计算下列多项式在给定值处的余数：(1) 计算多项式P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 5 在x = 2处的余数。

(2) 计算多项式Q(x) = 4x^4 - x^3 + 3x^2 - 2x + 1 在x = -1处的余数。

(3) 计算多项式R(x) = 2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 6x + 7 在x = 3处的余数。

2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x)除以(x - r)的余数为0，则P(r) = 0。

(2) 若多项式Q(x)除以(x - s)^k的余数为0，则Q(s) = Q'(s) = \dots =Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。

多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。

()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。

定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。

若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。

定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。

推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。

多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。

本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。

最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。

一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。

这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。

二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。

通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。

接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。

2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。

具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。

3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。

此时，商的多项式即为所求结果。

需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。

三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。

四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。

多项式除法“多项式除法除法的一种类型，俗称「长除」。

适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中运用了乘法和减法。

是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。

是常见算数技巧长除法的一个推广版本。

它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

”多项式除法的定义多项式除法是除法的一种类型，适用于整式除法、小数除法、多项式除法。

多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来。

把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式。

若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。

扩展资料计算1、把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：然后商和余数可以这样计算：2、用分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上（x³÷x=x²）。

将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） x²×(x−3) =x³−3x²。

3、从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一余式，写在下面。

然后，将分子的下一项“拿下来”。

4、把第一余式当作新的被除式，重复前三步，得到次商与第二余式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式）。

5、重复第四步，得到三商与第三余式。

余式小于除式次数，运算结束。

多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。

在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。

一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。

一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。

多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。

具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。

三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。

首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。

然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。

将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。

将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。

重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。

最终得到的商和余数即为所求的结果。

例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。

首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。

然后，将2x³除以x，得到2x²。

将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。

将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。

多项式除法多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。

本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。

文章内容将会包括以下几个方面：1. 多项式的基本概念2. 多项式除法的基本原理3. 一次多项式除法的步骤和实例4. 高次多项式除法的步骤和实例5. 多项式除法的应用1. 多项式的基本概念多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。

例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。

多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。

例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。

多项式的次数就是最高次项的指数。

例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。

2. 多项式除法的基本原理在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。

需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。

例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。

这种情况通常被称为“浅层除法”。

在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算：1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。

2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。

3. 将被除数减去商式乘以除数得到一个新的多项式。

4. 重复步骤 2 和 3 直到新的多项式的次数小于除数的次数，此时新的多项式就是余式。

需要注意的是，如果除数的最高次系数为 1，那么步骤 2 中得到的商式的最高次项的系数就是被除数的最高次项的系数除以除数的最高次项的系数。