初中数学分式化简

分式的化简与运算分式，也称作有理函数，是将两个整数之间的关系以分数形式表示出来的算式。

在数学中，分式是一种常见的表达方式，涉及到分式的化简与运算十分重要。

本文将介绍分式的化简与运算方法，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、分式的化简1.化简分式的基本原则是将分子和分母的公因式约去，使得分子与分母无公因式。

一个常见的例子是：16/24 = 2/3这里，16和24都可以被2整除，所以将分式的分子分母同时除以2，得到2/3。

2.若分子和分母都是多项式，化简分式时可以考虑因式分解。

例如：(x^2 - 4x + 4) / (x^3 - 8)这里，可以将分子和分母都进行因式分解：x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)因此，分式可以化简为：[(x - 2)^2] / [(x - 2)(x^2 + 2x + 4)] = (x - 2) / (x^2 + 2x + 4)二、分式的运算1.分式的加减运算对于两个分式，若分母相同，则可以直接将分子相加或相减，而分母保持不变。

例如：3/5 + 2/5 = 5/5 = 13/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2若分母不同，需要找到它们的最小公倍数（LCM），将分子和分母都按照最小公倍数进行扩展，然后进行加减运算。

例如： 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/21/4 - 1/6 = 3/12 - 2/12 = 1/122.分式的乘法运算将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到结果的分式。

例如： (2/3) * (3/4) = (2*3)/(3*4) = 6/12 = 1/23.分式的除法运算将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，然后进行化简，得到结果的分式。

例如： (2/5) / (3/4) = (2/5) * (4/3) = (2*4)/(5*3) = 8/15三、综合运用对于复杂的分式化简与运算，可以根据具体情况，选择不同的方法进行处理。

初中数学常考分式化简计算题
在初中数学中，分式化简计算题是一个重要的知识点，也是中考数学考试中的一个重点。

以下是一些常见的分式化简计算方法和例题:
1. 分式化简的一般步骤:
(1) 找到分式中的常数项和系数;
(2) 将分式中的常数项和系数分别化成最简分数;
(3) 合并同类项，消去分母;
(4) 检查化简结果是否满足有理数范围。

2. 常用化简方法:
(1) 约分法：将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，以达到化简的目的;
(2) 代入法：将一个复杂的分式转化为一个较简单的分式，然后代入已知分式中进行化简;
(3) 加减法：对于两个分式，可以通过加减运算使其化为同一个分式的分子和分母，以达到化简的目的。

3. 例题展示:
例 1:将分式方程 5x+2=12x-7 化简成最简分式。

解：将方程两边同时除以 12，得到 x+5/6=7/6。

接着，将分式
方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=1/3。

例 2:将分式方程 3x+4=7x-1 化简成最简分式。

解：将方程两边同时除以 7，得到 x+3/7=x-1/7。

接着，将分式方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=2/7。

以上是分式化简计算题的一些常见方法和例题展示。

在初中数学学习中，同学们需要熟练掌握各种化简方法，并且多做一些练习题，才能熟练掌握分式化简的计算技巧。

初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。

我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。

一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。

在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。

首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。

例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。

2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。

具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。

例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。

约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。

再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。

二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。

下面我们将分别介绍这些运算的方法。

1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。

例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。

最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。

2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

数学篇初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过“+”“-”这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项”时，一定要注意整个式子的“+”“-”符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化简分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来.及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的“约分”或“消项”做准备.例1化简（1x +1-1x -1）÷2x 2-1.分析：先计算（1x +1-1x -1），采用“通分”处理可得-2(x +1)(x -1)，再结合后面的2x 2-1计算最终结果.解：（1x +1-1x -1）÷2x 2-1=-2（x +1）（x -1）÷2x 2-1=-2x 2-1÷2x 2-1=-1.评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（1x +1-1x -1），再利用“约分”去掉共同项1x 2-1即可得出最后结果.变式：化简（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2.分析：该题同例1，利用“通分”处理（x +1x -x x -1），得到-1x (x -1)，结合后面的1（x -1）2，利用“约分”抵消1(x -1)项，最后算出结果即可.解：（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2=[(x +1)(x -1)-x 2x (x -1)]÷1（x -1）2=-1x (x -1)÷1（x -1）2=-1x (x -1)∙(x -1)2=1-x x .评注：先计算括号里的内容，利用“通分”处理（x +1x -x x -1）得到-1x (x -1)，整个式子就变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.例2化简（xy -x 2）÷x -yxy.分析：解答这道题，可以先把题目中(xy -x 2)因式分解为x （y -x ），这样，与后面的x -yxy 有共同项（x -y ），再通过“约分”抵消，得到结果.解：（xy -x 2）÷x -y xy =x （y -x ）÷x -yxy =x （y -x ）×xyx -y=-x 2y .谈谈分式化简的几个小技巧新疆阿勒泰地区福海县初级中学李红艳解法荟萃32数学篇评注：通过“因式分解”（xy -x 2），找到共同项(x -y )，再利用乘除法全部或部分“约去”共同项，从而简化分式，得出结果.变式：化简2x -64-4x +x2÷(x +3)∙x 2+x -63-x .分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.2x -64-4x +x2因式分解为2(x -3)(x -2)2，x 2+x -63-x因式分解为(x +3)(x -2)3-x ，最后综合求解即可.解：2x -64-4x +x2÷（x +3）∙x 2+x -63-x =2(x -3)(x -2)2÷（x +3）∙（x +3）(x -2)3-x =2(x -3)(x -2)2∙1x +3∙（x +3）(x -2)3-x =-2x -2.评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.例3化简(y +1y 2-4y +3-y -2y 2-6y +9)÷y -5y -1.分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2，此时观察发现可以“提取公因式”1y -3，得到1y -3（y +1y -1-y -2y -3）.然后再运用“通分”处理（y +1y -1-y -2y -3）得y -5(y -1)(y -3)，最后综合计算1y -3∙y -5(y -1)(y -3)÷y -5y -1，得出结果1(y -3)2.=[y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2]÷y -5y -1=1y -3（y +1y -1-y -2y -3）∙y -1y -5=1y -3∙(y +1)(y -3)-(y -2)(y -1)(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1y -3∙y -5(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1(y -3)2.评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为1y -3（y +1y -1-y -2y -3），然后再计算最后答案.变式：化简(x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4)÷x -4x +2.分析：对（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）分母进行因式分解可得（x -2x (x +2)-x -1(x +2)2）,然后提取公因式1x +2可得1x +2∙（x -2x -x -1x +2）.再通分（x -2x -x -1x +2）可得x -4x （x +2）.最后求1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2得1x （x +2）.解：（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）÷x -4x +2=éëêùûúx -2x (x +2)-x -1(x +2)2÷x -4x +2=1x +2∙（x -2x -x -1x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）∙x +2x -4=1x （x +2）.评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理过程中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取解法荟萃。

分式的化简与约分分式是数学中常见的一种表示形式，它可以帮助我们表示两个数之间的比例关系或者一个数相对于另外一个数的部分。

在处理分式问题时，为了方便计算和理解，我们经常需要对分式进行化简和约分。

本文将介绍分式的化简和约分的方法及其应用。

一、分式的化简方法1. 提取公因式法当分子与分母有相同的因式时，可以利用提取公因式的方法进行化简。

具体步骤如下：例如：化简分式 12/36首先，我们观察到12和36都可以被2整除，因此可以提取公因式2：12/36 = (2×6)/(2×18) = 6/18然后，我们可以继续提取公因式6：6/18 = (6÷6)/(18÷6) = 1/3最终，我们得到了化简后的分式1/3。

2. 分子分母同乘或同除法当分子和分母可以同时乘以或除以一个数时，可以利用分子分母同乘或同除的方法进行化简。

具体步骤如下：例如：化简分式 8/12我们可以发现，8和12都可以被2整除，因此可以同时除以2：8/12 = (8÷2)/(12÷2) = 4/6然后，我们可以继续同时除以2：4/6 = (4÷2)/(6÷2) = 2/3最终，我们得到了化简后的分式2/3。

二、分式的约分方法1. 提取最大公因数法当分子和分母有一个公共的因数时，可以利用提取最大公因数的方法进行约分。

具体步骤如下：例如：约分分式 16/24首先，我们观察到16和24都可以被2整除，因此可以提取公因式2：16/24 = (2×8)/(2×12)然后，我们继续观察到8和12也可以被2整除，因此可以再次提取公因式2：(2×8)/(2×12) = (2×2×4)/(2×2×6)接着，我们可以继续提取公因式2：(2×2×4)/(2×2×6) = (2×2×2×2)/(2×2×3×1)最后，我们得到了约分后的分式1/3。

分式化简的方法和步骤
首先，我们来看一般的分式化简步骤：
1. 因式分解，如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试对其
进行因式分解，将分子和分母分别写成不可约的因式相乘的形式。

2. 约分，将分子和分母中的公因式约去，使分式的值保持不变。

3. 化简，对于含有根式、指数、对数等的分式，可以尝试化简
这些部分，使分式更加简洁。

其次，我们来看具体的化简方法：
1. 因式分解，对于多项式的因式分解，可以运用公式、分组、
换元等方法，将多项式分解为不可约的因式相乘的形式。

例如，对
于分式 (x^2-1)/(x^2-4)，我们可以将分子和分母都进行因式分解，然后约分得到最简分式。

2. 约分，约分是化简分式的重要步骤，通过找到分子和分母的
公因式，将其约去，使分式的值保持不变。

例如，对于分式
6x^2/9x，我们可以约去分子和分母中的公因式3和x，得到最简分式2x/3。

3. 化简，对于含有根式、指数、对数等的分式，可以尝试化简这些部分，使分式更加简洁。

例如，对于分式(2√3+√6)/(√2)，我们可以利用根式的性质进行化简，将根式部分合并或者有理化等操作，得到最简分式。

最后，需要注意的是，在化简分式的过程中，我们需要遵循数学运算的基本规则，如乘法法则、除法法则、加法法则、减法法则等，确保化简的过程和结果是准确的。

总的来说，分式化简是数学中的基本操作，通过因式分解、约分和化简等步骤，可以将复杂的分式表达式简化为最简形式，使其更易于理解和计算。

希望以上介绍能够帮助你更好地理解分式化简的方法和步骤。

数学分式化简
数学中，分式是一个非常常见的概念。

然而，分式往往比较复杂，不易计算，而且不太美观。

因此，我们需要对分式进行化简。

分式化简的基本思路是将分式中的分子和分母进行因式分解，然后进行约分。

具体的化简方法取决于分式的形式。

下面列举几种常见的分式化简方法：
1. 同底数分式的化简：将分子分母的底数变成相同的数，然后进行约分。

例如，将$dfrac{2x}{5^2}$和$dfrac{3x}{5^3}$化简为同底数分式，得到$dfrac{2x}{25}$和$dfrac{3x}{125}$，然后约分得到$dfrac{2x}{25}$和$dfrac{3x}{125}$。

2. 分解因式：对分子和分母进行因式分解，然后约分。

例如，将$dfrac{2x^2-6x}{x^2-4}$进行因式分解，得到
$dfrac{2x(x-3)}{(x+2)(x-2)}$，然后约分得到
$dfrac{2(x-3)}{x+2}$。

3. 通分：将分式的分母变成相同的多项式，然后将分子相加或相减，然后约分。

例如，将$dfrac{1}{x+1}+dfrac{1}{x+2}$通分，得到
$dfrac{(x+2)+(x+1)}{(x+1)(x+2)}$，然后约分得到
$dfrac{2x+3}{x^2+3x+2}$。

分式化简在数学中非常重要。

通过化简，我们可以简化计算过程，提高计算效率，同时也可以使分式更加美观易读。

分式的化简与计算在数学的世界里，分式的化简与计算是一项非常重要的技能。

它不仅在我们日常的数学学习中频繁出现，还在解决实际问题中发挥着关键作用。

首先，让我们来明确一下什么是分式。

简单来说，分式就是形如A/B 的式子，其中 A 和 B 都是整式，且 B 中含有字母。

比如 2/x 、（x ＋ 1)／（x 1) 等等。

分式的化简，是将一个复杂的分式通过一系列的运算和变形，化为最简形式。

最简分式的要求是分子和分母没有公因式。

那么，如何进行分式的化简呢？最常见的方法就是约分。

约分就是把分子和分母的公因式约去。

比如说，对于分式 6/8 ，分子分母的公因式是 2 ，约分后就得到 3/4 。

在约分之前，我们需要先找到分子分母的公因式。

这就需要我们对整式的因式分解有扎实的掌握。

比如对于分式（x² 4)／（x ＋ 2) ，先对分子进行因式分解，得到（x ＋ 2)（x 2) ，那么分子分母的公因式就是（x ＋ 2) ，约分后得到 x 2 。

除了约分，通分在分式的化简中也经常用到。

当我们需要对几个分式进行加减运算时，如果它们的分母不同，就需要通分。

通分就是把几个分母不同的分式化为分母相同的分式。

例如，计算 1/2 ＋ 1/3 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以通分后得到 3/6 ＋ 2/6 ＝ 5/6 。

再来说说分式的计算。

分式的计算包括加减乘除四种运算。

分式的加法和减法，要先通分，化为同分母分式，然后再将分子相加或相减。

分式的乘法，就是将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母。

例如，（2/x) ×（3/y) ＝ 6/（xy) 。

分式的除法，要将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数。

比如，（2/x) ÷（3/y) ＝（2/x) ×（y/3) ＝ 2y/（3x) 。

在进行分式的化简与计算时，还需要特别注意一些细节。

比如，分母不能为零，因为分数的分母为零是没有意义的。

分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

分式化简求值的七种类型分式的化简与求值是分式运算的重要内容，现摘取几例加以分析.㈠与因式分解相结合的单一化简例1、先化简：22221224323a a a a a a a -+-÷---,再求当3a =-时分式的值。

思路分析：题目中出现了特殊的二次三项式，注意运用多项式因式分解的方法,一般地，若二次项系数是1，一次项的系数可以看作两个数的和（或者是和的相反数），常数项可以作为上面和中的两数的乘积，即可把二次三项式分解因式.如果二次项系数不为1，则可以把二次项系数提出来.解：原式=()()()()()()()()()()()()()()()()21121211131313321222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--++-+-+÷=•=-+---++ 当a=-3时，原式=()()()23142233263-+==⨯-⨯-+ 点评：注意特殊的二次三项式()()()2x a b x ab x a x b +++=++因式分解的方法,以及乘法公式、提取公因式、分组分解等方法的灵活运用,比如2221222333a b b a b a b a b-+--+÷+-+的化简，应注意分组.2221222333a b b a b a b a b -+--+÷+-+()()22133321a b a b a b a b --+=•+--+ ()()()()113121a b a b a ba b a b +--++=•+--+6a b +=。

㈡巧变幻求值型例2：设abc=1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。

思路分析:第一个分式分母中的1可巧妙变换成abc,第3个分式的分子,分母同时乘b. 解：原式=1a b bc ab a abc bc b abc bc b++++++++ 1111111b bc bc b b bc bc b bc b bc b ++=++==++++++++ 点评：仔细分析题中的条件和所求代数式之间的关系，巧妙变幻是解决分式中较复杂运算的重要途径。