初中数学分式化简

分式的化简及解分式方程一、先化简，再求值1、 先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2、 先化简，再求值：1222)121(22++-÷+---x x xx x x x x ,其中x 满足3=x ．3、先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中6-=x .4、 先化简，再求值：2211()11a a a a++÷--，其中2=x .5、 先化简，再求值：221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中6、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．7、 先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中2-=a8、先化简分式a 2－9a 2＋6a ＋9 ÷a －3a 2＋3a －a －a 2a 2－1 ，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．9、先化简代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛-++222a a a ÷412-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值10、先化简，再求值：112112++-⋅-x x x x ，其中x=2.11、先化简，再求值：21244422--++÷+--x xx x x x x ，其中4-=x12、先化简，再求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =．13、化简2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭14、11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中3-=x 。

15、化简121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并任选一个你喜欢的数a 代入求值．16、计算 22()a b ab b a a a --÷- 17、 化简:35(2)482y y y y -÷+---18、先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =2．19、先将代数式⎝⎛⎭⎫x －xx ＋1 ÷⎝⎛⎭⎫1＋ 1x 2－1 化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．20、先化简，再求值：22332422a a a a a a ++÷---+，其中，5-=a21、老师布置了一道计算题：计算222222()()()()a b a b aba b a b a b a b a b +--÷-+-+-+的值，其中2008,2009a b ==,小明把a b 、错抄成2009,2008a b ==，但老师发现他的答案还是正确的，你认为这是怎么回事？说说你的理由．二、解分式方程1、解分式方程：13321++=+x x x x 2、解分式方程： 31.12x x x -=-+3、解分式方程：23211x x x +=+- 4、解分式方程：54145=----x x x5、解分式方程：xx x --=--212221 6、解分式方程：0)1(213=-+--x x x x7、解分式方程：22111x x =--- 8、解分式方程：22333x x x -+=--。

分式的化简与扩展分式是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在进行分式运算时，经常需要对分式进行化简与扩展，以便更好地进行计算和理解。

本文将介绍分式的化简与扩展的方法与技巧。

一、分式的化简分式的化简是指将分子和分母中的因式进行约分，使得分式的表示更为简洁。

下面介绍几种常见的化简方法。

1. 公因式的约分当分子和分母有相同的因式时，可以进行公因式的约分。

例如，对于分式2x/4x，可以将分子与分母都除以2x，得到简化后的分式为1/2。

2. 同底数的幂的约分当分子和分母的幂有相同的底数时，可以进行同底数的幂的约分。

例如，对于分式x^2/3x^4，可以将分子与分母的x^2约分，得到简化后的分式为1/3x^2。

3. 分式的分子与分母的公因式的约分当分子和分母均含有相同的因式时，可以将分子与分母同时约去这个公因式。

例如，对于分式(x+1)(x-1)/(x-1)，可以约分(x-1)，得到简化后的分式为x+1。

二、分式的扩展分式的扩展是指将一个分式转化为另一个等价的分式，使得分式的形式更方便使用。

下面介绍几种常见的扩展方法。

1. 通分在计算两个分数的和、差、乘积或商时，需要进行通分，将两个分式的分母化为相同的形式。

通分的方法是将两个分母的乘积作为新的分母，同时分子也进行相应的乘法操作。

例如，将分式1/3与2/5通分，可以得到等价的分式5/15与6/15。

2. 分式的分子与分母的因式分解当分子和分母含有多个因式时，可以对其进行因式分解，以便进行简化或者进行其他计算。

例如，对于分式(x^2+2x+1)/(x^2-1)，可以将分子和分母分别进行因式分解为(x+1)(x+1)/(x+1)(x-1)，再进行约分，得到简化后的分式为(x+1)/(x-1)。

3. 分数的倒数分数的倒数是指将一个非零分数的分子和分母互换位置，得到一个等价的分数。

例如，对于分数1/3，其倒数为3/1，即3。

综上所述，分式的化简与扩展是数学中常用的操作，能够简化分式表达式，方便计算和理解。

分式的化简与求值知识定位分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解知识梳理分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。

而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。

又要抓住条件，既要根据目标变换条件。

又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1、恰当引入参数；2、取倒数或利用倒数关系；3、拆项变形或拆分变形；4、整体代入；5、利用比例性质等。

例题精讲◆专题一：恰当引入参数 【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】若，则的值是 。

【答案】0或2- 【解析】设k add c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。

【答案】【解析】解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k 代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。

初中分式中的分母有理化繁分式的化简题目【原创实用版】目录1.分式中的分母有理化2.繁分式的化简题目正文一、分式中的分母有理化在初中数学中，我们经常会遇到一些分式的分母中含有无理数的情况，这时候我们需要对分母进行有理化处理，使得分母变为有理数。

有理化处理可以简化计算过程，使问题变得容易解决。

分母有理化的方法主要有以下两种：1.乘法公式法：根据平方差公式或完全平方公式，将分母中的无理数消去。

例如，对于分式 $frac{1}{sqrt{2}+1}$，我们可以利用平方差公式，将分母有理化为$frac{1}{(sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)}=frac{1}{1}=boxed{1}$。

2.恒等变形法：这种方法主要利用分式的基本性质，对分母进行变形，使其成为有理数。

例如，对于分式 $frac{sqrt{3}+1}{2sqrt{3}-1}$，我们可以将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，即$frac{sqrt{3}+1}{2sqrt{3}-1}timesfrac{2sqrt{3}+1}{2sqrt{3}+1}=f rac{(2sqrt{3}+1)(sqrt{3}+1)}{(2sqrt{3}-1)(2sqrt{3}+1)}=frac{7+4 sqrt{3}}{7-4sqrt{3}}$。

然后，我们再利用差平方公式将分母有理化为$boxed{frac{7+4sqrt{3}}{7-4sqrt{3}}}$。

二、繁分式的化简题目繁分式是指分母中含有多个不同变量的分式，对于这类分式的化简，我们需要运用分母有理化的方法，结合分式的基本性质，进行逐步化简。

以下是一个繁分式化简的例子：例题：化简分式 $frac{2x^3+3xy^2-y^3}{x^2y^2-2x^2y+y^3}$。

解：首先，我们可以将分子、分母进行因式分解，得到$frac{(2x^3+3xy^2-y^3)}{(xy-y^2)(xy-x^2)}$。

然后，我们发现分子可以提出公因式 $(xy-y^2)$，于是化简为$frac{(xy-y^2)(2x^2+3y-y^2)}{(xy-y^2)(xy-x^2)}$。

初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。

我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。

一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。

在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。

首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。

例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。

2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。

具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。

例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。

约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。

再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。

二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。

下面我们将分别介绍这些运算的方法。

1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。

例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。

最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。

2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

数学篇初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过“+”“-”这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项”时，一定要注意整个式子的“+”“-”符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化简分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来.及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的“约分”或“消项”做准备.例1化简（1x +1-1x -1）÷2x 2-1.分析：先计算（1x +1-1x -1），采用“通分”处理可得-2(x +1)(x -1)，再结合后面的2x 2-1计算最终结果.解：（1x +1-1x -1）÷2x 2-1=-2（x +1）（x -1）÷2x 2-1=-2x 2-1÷2x 2-1=-1.评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（1x +1-1x -1），再利用“约分”去掉共同项1x 2-1即可得出最后结果.变式：化简（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2.分析：该题同例1，利用“通分”处理（x +1x -x x -1），得到-1x (x -1)，结合后面的1（x -1）2，利用“约分”抵消1(x -1)项，最后算出结果即可.解：（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2=[(x +1)(x -1)-x 2x (x -1)]÷1（x -1）2=-1x (x -1)÷1（x -1）2=-1x (x -1)∙(x -1)2=1-x x .评注：先计算括号里的内容，利用“通分”处理（x +1x -x x -1）得到-1x (x -1)，整个式子就变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.例2化简（xy -x 2）÷x -yxy.分析：解答这道题，可以先把题目中(xy -x 2)因式分解为x （y -x ），这样，与后面的x -yxy 有共同项（x -y ），再通过“约分”抵消，得到结果.解：（xy -x 2）÷x -y xy =x （y -x ）÷x -yxy =x （y -x ）×xyx -y=-x 2y .谈谈分式化简的几个小技巧新疆阿勒泰地区福海县初级中学李红艳解法荟萃32数学篇评注：通过“因式分解”（xy -x 2），找到共同项(x -y )，再利用乘除法全部或部分“约去”共同项，从而简化分式，得出结果.变式：化简2x -64-4x +x2÷(x +3)∙x 2+x -63-x .分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.2x -64-4x +x2因式分解为2(x -3)(x -2)2，x 2+x -63-x因式分解为(x +3)(x -2)3-x ，最后综合求解即可.解：2x -64-4x +x2÷（x +3）∙x 2+x -63-x =2(x -3)(x -2)2÷（x +3）∙（x +3）(x -2)3-x =2(x -3)(x -2)2∙1x +3∙（x +3）(x -2)3-x =-2x -2.评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.例3化简(y +1y 2-4y +3-y -2y 2-6y +9)÷y -5y -1.分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2，此时观察发现可以“提取公因式”1y -3，得到1y -3（y +1y -1-y -2y -3）.然后再运用“通分”处理（y +1y -1-y -2y -3）得y -5(y -1)(y -3)，最后综合计算1y -3∙y -5(y -1)(y -3)÷y -5y -1，得出结果1(y -3)2.=[y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2]÷y -5y -1=1y -3（y +1y -1-y -2y -3）∙y -1y -5=1y -3∙(y +1)(y -3)-(y -2)(y -1)(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1y -3∙y -5(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1(y -3)2.评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为1y -3（y +1y -1-y -2y -3），然后再计算最后答案.变式：化简(x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4)÷x -4x +2.分析：对（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）分母进行因式分解可得（x -2x (x +2)-x -1(x +2)2）,然后提取公因式1x +2可得1x +2∙（x -2x -x -1x +2）.再通分（x -2x -x -1x +2）可得x -4x （x +2）.最后求1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2得1x （x +2）.解：（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）÷x -4x +2=éëêùûúx -2x (x +2)-x -1(x +2)2÷x -4x +2=1x +2∙（x -2x -x -1x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）∙x +2x -4=1x （x +2）.评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理过程中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取解法荟萃。

分式的化简与约分分式是数学中常见的一种表示形式，它可以帮助我们表示两个数之间的比例关系或者一个数相对于另外一个数的部分。

在处理分式问题时，为了方便计算和理解，我们经常需要对分式进行化简和约分。

本文将介绍分式的化简和约分的方法及其应用。

一、分式的化简方法1. 提取公因式法当分子与分母有相同的因式时，可以利用提取公因式的方法进行化简。

具体步骤如下：例如：化简分式 12/36首先，我们观察到12和36都可以被2整除，因此可以提取公因式2：12/36 = (2×6)/(2×18) = 6/18然后，我们可以继续提取公因式6：6/18 = (6÷6)/(18÷6) = 1/3最终，我们得到了化简后的分式1/3。

2. 分子分母同乘或同除法当分子和分母可以同时乘以或除以一个数时，可以利用分子分母同乘或同除的方法进行化简。

具体步骤如下：例如：化简分式 8/12我们可以发现，8和12都可以被2整除，因此可以同时除以2：8/12 = (8÷2)/(12÷2) = 4/6然后，我们可以继续同时除以2：4/6 = (4÷2)/(6÷2) = 2/3最终，我们得到了化简后的分式2/3。

二、分式的约分方法1. 提取最大公因数法当分子和分母有一个公共的因数时，可以利用提取最大公因数的方法进行约分。

具体步骤如下：例如：约分分式 16/24首先，我们观察到16和24都可以被2整除，因此可以提取公因式2：16/24 = (2×8)/(2×12)然后，我们继续观察到8和12也可以被2整除，因此可以再次提取公因式2：(2×8)/(2×12) = (2×2×4)/(2×2×6)接着，我们可以继续提取公因式2：(2×2×4)/(2×2×6) = (2×2×2×2)/(2×2×3×1)最后，我们得到了约分后的分式1/3。

数学分式化简
数学中，分式是一个非常常见的概念。

然而，分式往往比较复杂，不易计算，而且不太美观。

因此，我们需要对分式进行化简。

分式化简的基本思路是将分式中的分子和分母进行因式分解，然后进行约分。

具体的化简方法取决于分式的形式。

下面列举几种常见的分式化简方法：
1. 同底数分式的化简：将分子分母的底数变成相同的数，然后进行约分。

例如，将$dfrac{2x}{5^2}$和$dfrac{3x}{5^3}$化简为同底数分式，得到$dfrac{2x}{25}$和$dfrac{3x}{125}$，然后约分得到$dfrac{2x}{25}$和$dfrac{3x}{125}$。

2. 分解因式：对分子和分母进行因式分解，然后约分。

例如，将$dfrac{2x^2-6x}{x^2-4}$进行因式分解，得到
$dfrac{2x(x-3)}{(x+2)(x-2)}$，然后约分得到
$dfrac{2(x-3)}{x+2}$。

3. 通分：将分式的分母变成相同的多项式，然后将分子相加或相减，然后约分。

例如，将$dfrac{1}{x+1}+dfrac{1}{x+2}$通分，得到
$dfrac{(x+2)+(x+1)}{(x+1)(x+2)}$，然后约分得到
$dfrac{2x+3}{x^2+3x+2}$。

分式化简在数学中非常重要。

通过化简，我们可以简化计算过程，提高计算效率，同时也可以使分式更加美观易读。

分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。