最新版河北省唐山高一下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案

一、单选题1．设集合，则（ ） (){}21,1221x A xB x x x x ⎧⎫+===+<⎨⎬+⎩⎭A B ⋃=A ． B ．C ．D ．(]2,1-()1,2-(]2,1--[]1,1-【答案】A【分析】计算，，再计算并集得到答案.{}1A ={}21B x x =-<<【详解】，， {}21121x A xx ⎧⎫+===⎨⎬+⎩⎭(){}{}1221B x x x x x =+<=-<<.{}21A B x x ⋃=-<≤故选：A2．已知向量，若，则（ ） ()()1,4,3,2a b λ=-=-()2a a b +∥ λ=A ．-1 B ．2 C ．-6 D ．6【答案】D【分析】计算，根据向量平行得到，解得答案. ()21,82a b λ+=-()18241λ-⨯-=⨯【详解】向量，则， ()()1,4,3,2a b λ=-=-()21,82a b λ+=- ，故，解得.()2a a b +∥()18241λ-⨯-=⨯6λ=故选：D3．在中，角的对边分别是若，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 3πa b B ===C =A ．B ．C ．D ．4π5π127π123π4【答案】B【分析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案. π4A =πC B C =--【详解】，故， =sin A =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4A =. 5ππ12C B C =--=故选：B4．如图所示，，则（ ）122,3BC BE AD CF CD === BF AE +=A ．B ．41033AB AD +2833AB AD +C ．D ． 2433AB AD -+ 21736AB AD + 【答案】B【分析】根据题意，得到，结合向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.2,BC AD CD EA ==【详解】因为，可得，122,3BC BE AD CF CD === 2,BC AD CD EA ==可得111152()33333BF BC CD BC EA AD AB AD AB AD =+=+=+--=-+ 且，AE AB BE AB AD =+=+ 所以.1528()()3333BF AE AB AD AB AD AB AD +=-+++=+故选：B.5．若正数满足，则的最小值为（ ）,a b 133a b +=113a b+A ．8 B ．C ．16D ．48163【答案】C 【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案. ()11113333a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】， ()111110103333163333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立. 112a b ==故选：C6．在中，角的对边分别是.已知，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 2sin sin 1,cos 24B A A a b ==-c b=A ．B ．C ．D ．32233412【答案】A【分析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到，设，代入计算得到2a b =131224c b b c -=-c t b=答案.【详解】，即，故， 2sin sin 2B Aa b=224a b =2a b =，222223131cos 22224b c a c b c b A bc bc b c +--===⋅-⋅=-设，则，解得或（舍去）.c t b =1311224t t -⋅=-32t =2t =-故选：A7．十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且120APB BPC APC ∠∠∠=== P ABC A E MNQ △，则（ ）6MN = EM EN EM EQ EN EQ ⋅+⋅+⋅=A ．-12B ．-36C ．D ．-18-【答案】D【分析】设，由等边三角形的性质可知，即点为的中EMN α∠=EMN ENQ EQM ≅≅A A A E MNQ △心，从而求出，利用向量数量积公式即可计算结果. EM EN EQ ===【详解】设，则，因为为等边三角形， EMN α∠=60ENM α∠=- MNQ △所以，，同理：，， ENQ α∠=60EQN α∠=- EQM α∠=60EMQ α∠=- 又，所以，则， MN NQ MQ ==EMN ENQ EQM ≅≅A A A EM EN EQ ==所以点为的中心，E MNQ △，，6MN NQ MQ === EM EN EQ ∴===120MEN NEQ QEM ∠=∠=∠=则cos120318EM EN EM EQ EN EQ ⋅+⋅+⋅=⨯=-故选：D8．已知，则（ ）27,,log 6π34a b c ==-=A ． B ． a b c <<b a c <<C ．D ．c<a<b b<c<a 【答案】B【分析】计算得到，，得到答案.7333log 8log 3b a =<=2732log 62log a c =>=【详解】， 37851232187=<=故， 7333log 8log 34πb a =-=-==<=，故，3762161282=>=2732log 62log a c =>=故. b a c <<故选：B二、多选题9．已知向量，则（ ）()()3,9,1,2a b =-=A ．B ．15a b ⋅=-a = C ．D ．与不共线()75a a b ⋅-= b a b +【答案】ABD【分析】对于A ：计算即可判断；对于B ：计算模即可判断；对于C ：计算即可判a b ⋅()a ab ⋅- 断；对于D ：利用共线的坐标表示即可判断.【详解】对于A ：，A 正确； ()319215a b ⋅=⨯+-⨯=-对于B ：因为，所以B 正确；a =a = 对于C ：因为，所以，C 错误；()2,11a b -=-()()()32911105a a b ⋅-=⨯+-⨯-= 对于D ：因为，又，所以与不共线，D 正确．()4,7a b +=-()1742150⨯--⨯=-≠b a b + 故选：ABD10．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以ABC A ,,A B C ,,a b c π8,6c B ==ABC A b 是（ ） A ．4 B ．5C ．7D ．10【答案】BC【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，根据选项，得出结果即可. sin c B a c <<a 【详解】解：如图：要使有两个解，则， ABC A sin c B a c <<即，解得：， π8sin86a <<48a <<故选：BC11．已知函数与函数的图象的对称中心完全()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()s πco 42g x x θθ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭相同，则（ ）A ．函数为偶函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．π3θ=C ．直线是图象的一条对称轴 π3x =()g x D ．是图象的一个对称中心7π,024⎛⎫⎪⎝⎭()g x 【答案】ABD【分析】根据对称中心完全相同得到，计算，得到函数解析式，，A4ω=π3θ=c s 4π6o x f x ⎛⎫+ =⎪⎝⎭正确，，B 正确，代入验证知C 错误D 正确，得到答案. π3θ=【详解】对称中心完全相同，则周期相同，，则， 2π2π4T ω==4ω=，是的一个对称中心，()46πsin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故，，即，πcos 06π24g θ⎝⎛=⎫+= ⎪⎝⎛⎪⎭⎫ ⎭πππ,Z 62k k θ+=+∈ππ,Z 3k k θ=+∈又，故当，时满足条件，故，π2θ<0k =π3θ=()πcos 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对选项A ：，函数定义域为，为偶函数，正ππsin 4si πn 4cos 466π62x x x f x ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎝⎭⎭⎣R 确；对选项B ：，正确； π3θ=对选项C ：当时，不是的对称轴，错误； π3x =π5π433x +=cos y x =对选项D ：当时，，,故是的对称中心，正确. 7π24x =π3π432x +=07π24g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π,02⎛⎫⎪⎝⎭cos y x =故选：ABD12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH ，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．2BG AH =B ．在向量上的投影向量为 AD AB1AB ⎫⎪⎪⎭C ．若，则为的中点(1OA FC PA ED ⋅=⋅P ED D ．若在线段上，且，则的取值范围为P BC AP x AB y AH=+x y +1,2⎡⎣【答案】BD【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A 错误，投AE y GC x 2BG AH ≠影向量为，B 正确，直线与正八边形有两个交点，C 错误，D 正确，1AB ⎫⎪⎪⎭ x y +=得到答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，AE y GC x设，OA OB OC OD OE OF OG OH a ========则，整理得到222π22cos4a a a =+-⨯22a =+， ()()()0,,,,,0,,0,,A a B C a D E a F ⎫⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭，，设， (),0G a -,H ⎛⎫⎪⎪⎝⎭()00,P x y 对选项A ：，，，错误；B a G ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,a A H ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭2BGAH ≠ 对选项B ：，，AD D a⎫=+⎪⎪⎭,AB a ⎫=⎪⎪⎭，即投影向量为，正确；21AD AB AB ⋅=== 1AB⎫⎪⎪⎭ 对选项C：， ()20,,OA FC a a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎪⎝⎭， ()()0000,P x a A E a x D y a y a ⎫⎫=-=-⎪⋅+-⎪⎪⎪⎭---⋅⎭，整理得到，与(1OA FC PA ED ⋅=⋅ ()00a y a ⎫-+-=⎪⎪⎭)001y x =正八边形有两个交点，错误；对选项D ：，，， ()00,x y a AP =+ ,AB a ⎫=⎪⎪⎭,a A H⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ，， AP x AB y AH =+ ()00,,,x y a x a y a ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭整理得到，故，正确. x y+=0,0y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,2x y ⎡+∈⎣故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.三、填空题13．已知向量，则__________. ()()3,5,2,4AC BC == AB =【答案】()1,1【分析】根据计算得到答案.AB AC CB AC BC =+=-【详解】. ()()()3,52,41,1AB AC CB AC BC =+=-=-=故答案为：()1,114．已知是一个锐角三角形的三边长，请写出一个的值__________. 2,4,a a 【答案】（答案不唯一）4【分析】根据锐角三角形的条件列出不等式组，解之即可求解. 【详解】因为是一个锐角三角形的三边长，2,4,a 所以，解得，任取一个的值，222222222240240420x x x ⎧+->⎪+->⎨⎪+->⎩x <<a 4故答案为：（答案不唯一）.415．已知，则__________.()cos cos5f x x =()sin78f =【答案】##0.512【分析】通过诱导公式五转化函数名称即可.【详解】解：由已知可得 ()()()1sin78cos12cos 5122f f ︒=︒=⨯︒=故答案为：1216．已知函数的最小值为1，则函数的最小值为__________. ()ln f x x x =-()2ln g x x x=+【答案】1ln 2+【分析】将改写为，令得到，结合已知函数最小值即可()f x ()ln f t t t =-20t x=>()()ln 2f t g x =-得目标函数的最小值.【详解】令且，而， ()ln f t t t =-0t >min ()1f t =若，则， 20t x =>222()ln ln ln 2f t y x x x x==-=+-所以，故. min min min ()[()ln 2]()ln 21f t g x g x =-=-=min ()1ln 2g x =+故答案为：1ln 2+四、解答题17．若函数的部分图象如图所示.()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求的解析式； ()f x (2)求的单调递增区间. ()f x 【答案】(1)()π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) ()π2π5π2π,Z 183183k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由函数图象可以得出最值从而求，再由函数周期从而求，最后带入特殊点求； A ϖϕ(2)通过解析式由正弦函数单调性即可求得单调递增区间.【详解】（1）解：由函数的部分图象可知()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，()()max min 2,2,2f x f x A ==-∴=设周期为，则即，()f x T 15πππ2π2π418963T T ω=-=∴==3ω=∵图象过点且()f x 5π,218⎛⎫⎪⎝⎭π2ϕ<∴,5π5π5ππ2sin 322π,Z 181862f k k ϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=∴+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，当时，符合题意,π2π,Z 3k k ϕ=-+∈0k =π3ϕ=-故的解析式为：;()f x ()π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：令，解之得 πππ2π32π232k x k -+≤-≤+()π2π5π2π,Z 183183k k x k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦故的单调递增区间是： ()f x ()π2π5π2π,Z 183183k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦18．已知向量满足，且,a b()139222a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2,a b == (1)求；2a b - (2)求与的夹角.a 2ab -【答案】(1)(2) π6【分析】（1）根据得到，.()139222a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 4a b ⋅=- 2a b -=（2）计算，设与的夹角为， ，计算得到答案.()212a a b ⋅-= a 2a b - θ()22cos a a b a a b θ⋅-=⋅-【详解】（1），故，()2211739222822222a b a b a a b b a b ⎛⎫-⋅-=-⋅+=-⋅+= ⎪⎝⎭ 4a b ⋅=-a -=== （2），设与的夹角为，， ()2224812a a b a a b ⋅-=-⋅=+= a 2a b - θ[]0,πθ∈则，.()22cos 12a a b a a b θθ⋅-=⋅-== cos θπ6θ=19．如图，在中，.ABC A 1114,6,,,,4222AB AC BD DC BE EA AF FC DE DF =====⋅=-(1)求的长； BC (2)求的长. AD【答案】(1)【分析】（1）确定，，13DE AC =- 23DF AB =- 18AB AC ⋅=- 案.（2）. 2133AD AB AC =+ 【详解】（1）； ()1111133333DE DB BE CB AB AB AC AB AC =+=-=--=- ， ()2222233333DF DC CF BC CA AB AC AC AB =+=+=-+-=- ，故， 429AB A DE DF C =⋅⋅=- 18AB AC ⋅=-===（2）， ()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+=. ==20．在中，角所对的边分别为ABC A ,,A B C ,,,3sin cos ,a b c C c A a ==(1)若，求；3b =sin B (2)求面积的最大值.ABC A 【答案】(1) 1sin 3B =(2)【分析】(1)法一、利用正弦定理和已知可得， 3sin cos sin c a C A A ===解得，从而可得的结果； sin sin a A B b==sin B 法二、由正弦定理及已知条件进行消元转化得到，再利用同角三角函数的平方关sin cossin B A B A =⎧⎪⎨=⎪⎩系即可解得； 1sin 3B =(2)由可以化简得到，3sin cos ,C c A a ==tan A =最大值.【详解】（1）解：法一、利用正弦定理和已知可得 sin sin sin a b c A B C ==，3sin cos sin c a C A A ===化简可得：，sin A A =又∵，解之得22sin cos 1A A +=sin A=∴ 1sin sin 3b B A a ===法二、由正弦定理及已知可得 sin sin sin a b c A B C ==， cos sin sin 3c A c B C b==sin sin a B b A =又∵∴即3a b ==sin cos 333sin cB c A B A ⎧=⎪⎨⎪=⎩sin cos sin B A B A =⎧⎪⎨=⎪⎩两式平方相加可得： 1sin 3B =故：若时，. 3b=1sin 3B =（2）解：由已知可得，化简可得sincos sin a c A c A ==tan A =即 1sin 3A A =由余弦定理得 2221cos 23b c a A bc +-==2227223b c bc bc +=+≥∴即54bc ≤1sin 2ABCS bc A ==≤A 当时，的面积取得最大值.b c ==ABCA 故的面积最大值为：.ABC A 21．农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD 是一片农田，为了实现节水灌溉，BC 为农田与河流分界的部分河坝，BC 长为800米，∠B =75°.现在边界BC 上选择一点Q ，修建两条小水渠QE ，QF ，其中E ，F 分别在边界AB ，DC 上，且小水渠QE ，QF 与边界BC 的夹角都是60°.(1)探究小水渠QE ，QF 的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(2)为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD 内再修建一条小水渠EF ，试问当点Q 在何处时，三条小水渠（QE ，QF ，EF ）的长度之和最小，最小值为多少？【答案】(1)是定值，为(4001(2)故当点是的中点时，长度之和最小，最小为米. QBC )6001 【分析】（1）根据正弦定理得到，，相加得到答案. QE=QF =（2）根据余弦定理结合均值不等式得到，再求和得到答案. ()12EF QE QF ≥+【详解】（1）在中，，故， BQE △180607545BEQ ∠=︒-︒-︒=︒sin sin EQ QB B BQE =∠∠即， ()sin 4530sin 75sin 45sin 45BQ BQ QE BQ ︒+︒⋅︒⋅====︒︒同理可得：，QF =，为定值. )(4001QE QF QC QB +=+=（2）在中，，QEF △2222cos 60EF QE QF QE QF =+-⋅︒即， ()()()()2222233144EF QE QF QE QF QE QF QE QF QE QF=+-⋅=≥+-++故， ())11220EF QE QF ≥+=当且仅当时等号成立，1)QE QF ==+故当点是的中点时，三条小径的长度之和最小， 最小为 米. Q BC (,,)QE QF EF )600122．已知函数. ()22log f x x x =+(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.()0,λ∈+∞()0,μ∞∈+()0f x >(),x λμ∞∈+(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.()23tf x x t +<-[]0,1t ∈x 【答案】(1)证明见解析；(2)()0,1【分析】（1）先判断为增函数，找出隐零点从而得证；()22log f x x x =+（2）把不等式等价为，从而借助二次函数的图象建立不等式，再构造函数()230t f x t x ++-<，利用单调性可解.()()22log 20h x x x x x =++->【详解】（1）的定义域为，()22log f x x x =+()0,∞+在上为增函数，又在上为增函数，2y x = ()0,∞+2log y x = ()0,∞+所以在为增函数，()22log f x x x =+()0,∞+因为，，所以在内存在唯一的零点， 111024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()f x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭0x 所以当时，．0x x >()0f x >故对任意，总存在，使得对恒成立．()0,λ∈+∞()00,x μλ=∈+∞()0f x >(),x λμ∞∈+（2）由，得．()23tf x x t +<-()230t f x t x ++-<设函数，为关于t 的二次函数．()()23g t t f x t x =++-()g t 因为对恒成立，()230t f x t x ++-<[]0,1t∈由图可知，即 ()()0010g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩()2230log 200x x x x x -<⎧⎨++-<>⎩设函数，()()22log 20h x x x x x =++->在上为增函数， 22192()24y x x x =+-=+- ()0,∞+又在上为增函数，则在上为增函数，2log y x = ()0,∞+()h x ()0,∞+因为，所以不等式的解集为，()10h =22log 20x x x ++-<()0,1而当时，显然成立，()0,1x ∈30x -<所以x 的取值范围为．()0,1【点睛】关键点睛：第一问的关键是借助，，找到的隐零点，从而问题得证. 111024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()f x。

2021-2022年高一3月月考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）( ) 1、点M（-1,2,0）所在的位置是A.在yOz平面上B.在xOy平面上C.在xOz平面上D.在z平面上( ) 2.已知角的终边经过点P（-1,2），则COS=A. B. C. D.( )3. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).( ) 4．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于A．8 B．4 C．2 2 D．42( )5．两圆和的位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切( )6．圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为A． B．C．D．（）7、直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是．A .B . C. D.( ) 8、直线3x+4y=b与圆相切，则b=A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12( ) 9、直线3x+4y-13=0与圆的位置关系是：A. 相离;B. 相交;C. 相切;D. 无法判定.( ) 10．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值为A. B. C. D.( )11.经过圆的圆心C ，且与直线垂直的直线方程是A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0（ ）12.已知θθθθtan |tan |,cos |cos |-==，则的终边落在A.第二、四象限B.第一、三象限C.第一、三象限或x 轴上D.第二、四象限或x 轴二、填空题（每小题5分，共20分）13、若角的终边上有一点（4，a ）,则a= .14、已知点A （1，-1,1），B(-3，3，-3)，则线段AB 的距离为_________．15、以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的标准方程是 .16、直线 的倾斜角的大小是 ．三、解答题（共70分）17.(14分)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．18.（14分）过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，求圆C的方程，并确定圆心坐标和半径.19、(14分) 已知圆的圆心为（1,2）和圆上的一点为（-2,6），求圆的标准方程。

一、单选题1．化简后等于（ ）AB AC BC BA +-+A ．B ．C ．D ．AB 3AB BA CA 【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解. 【详解】.()()0AB AC BC BA AB BA AC CB AB AB +-+=+++=+=故选：A2．已知平面向量，且，则(1,2),(2,)a b m ==-//a b23a b += A ． B ． C ． D ．(5,10)--()4,8--()3,6--()2,4--【答案】B【详解】试题分析：因为，，且，所以，(1,2)a = (2,)b m =- //a b40,4m m +==-，故选B. ()()2321,232,4a b +=+--=(4,8)--【解析】1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.3．已知向量，其中，且，则与的夹角是（ ）,a b|||2a b == ()a b a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．6π4π2π3π【答案】B【分析】求得，根据夹角公式求得与的夹角.a b ⋅ a b【详解】由于，所以，()a b a -⊥ 2()20,2a b a a a b a b a b -⋅=-⋅=-⋅=⋅=设与的夹角为，a bθ则，cos θ=由于，所以.[]0,θπ∈4πθ=故选：B4．在中，若，则此三角形（ ） ABC A 18,24,45a b A ===︒A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定【答案】B【分析】利用正弦定理求出，再结合，即可得出结论.sin B b a >【详解】因为，， 18,24,45a b A ===︒sin sin a bA B=所以， sin sin sin b A B A a ==>因为，所以， b a >45B A >=︒所以满足的有两个，所以此三角形有两解. sin B =B 故选：B.5．在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c cos cos a B b A a +=ABC A A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【分析】根据正弦定理可得结合条件可得，进而即得. sin sin C A =【详解】因为在，， ABC A cos cos a B b A a +=所以， ()sin cos sin cos sin sin A B B A A B A +=+=又，πA B C ++=所以，， sin sin C A =c a =所以为等腰三角形. ABC A 故选：A.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） ,,a b c||1,||2,||2a b c === a b c ++=A ．1B ．1或5CD ．5【答案】B【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分夹角为时，和当夹角为时，两,,a b c0︒120︒0︒120︒种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.【详解】.+= a b 因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，，0︒1225a b c ++=++=当夹角为时，120︒+= a b=1，=所以1或. a b c ++=5故选：B ．7．在中，角的对边分别是向量向量，且满足ABC A ,,A B C ,,,a b c ()2,sin ,m b c C =+ ()sin ,2n B c b =+则角（ ）2sin ,m n a A ⋅=A =A ．B ．C ．D ．6π3π23π56π【答案】C【分析】根据向量的数量积运算结合条件可得，再由正弦定理()()2sin 2sin 2sin .a A b c B c b C =+++可得，然后由余弦定理可得答案.222a b c bc =++【详解】由已知得2sin ,m n a A ⋅=()()2sin 2sin 2sin .a A b c B c b C =+++再根据正弦定理有，，即.()()2222a b c b c b c =+++222a b c bc =++由余弦定理得，,所以2222cos a b c bc A =+-1cos ,2A =-因为所以 ()0,,A π∈2.3A π=故选：C8．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足，，则点P 的轨迹经过的（ ） ()cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ=++[)0,λ∈+∞ABC A A ．内心 B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】C【分析】由得出，结合三角形的性质得出答案.OP BC OA BC ⋅=⋅⊥AP BC 【详解】 cos cos AB BCAC BC OP BC OA BC AB B AC C λ⎛⎫⋅⋅ ⎪⋅=⋅++ ⎪⎝⎭()OA BC BC BC OA BC λ=⋅+-+=⋅ 则，即，故0OP BC OA BC ⋅-⋅= 0AP BC ⋅=⊥AP BC 即点P 的轨迹经过的垂心 ABC A 故选：C二、多选题9．已知向量，，则（ ）()1,0m =11,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ． |||m n =()// m n n - C ．D ．与的夹角为()m n n -⊥ m n4π【答案】ACD【解析】由，的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项m n的正误.【详解】∵，，(1,0)m =11,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，||1m = ||n ==∴，故A 正确；|||m n =∵，11,22m n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴与不平行，故B 错误； m n - n又，C 正确；()0m n n -⋅=∵， cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==,[0,]m n π〈〉∈ ∴与的夹角为， D 正确.mn4π故选：ACD10．在中，若，则为（ ） ABC A 2,30a b A ===︒B A ．60° B ．150° C ．120° D ．30°【答案】AC【分析】由大边对大角可知，从而得，由正弦定理可得，根据特殊30B >︒(30,150)B ∈︒︒sin B =三角函数值即可得答案.【详解】解：因为， 2,30a b A ===︒所以(大边对大角)， 30B A >=︒由正弦定理可知， sin sin a bA B=∴， sin sin b AB a===又因为， (30,150)B ∈︒︒∴或． 60B =︒120B =︒故选:．AC 11．已知是单位向量，且，若向量满足，则（ ）12,e e 1212e e ⋅= a12e a ⋅= A ．与夹角为 B ．1e 12e e - 512π121e e -= C ．在上的投影向量的模为 D ．在上的投影向量为1e 2e 12a 1e 12e 【答案】BCD【分析】由是单位向量，且，推得的夹角为，构造三角形为等边三角12,e e 1212e e ⋅= 12,e e 3πOAB A 形，可判断A;计算出，判断B;根据投影向量的概念，可求出在上的投影向量，判断C;21e e - 1e 2e求出在上的投影向量，判断D.a 1e【详解】因为，所以的夹角为，1212111cos ,2e e e e ⋅=⨯⨯〈〉= 12,e e 3π设，则，由此可得是一个等边三角形，12,OA e OB e == 12BA e e =-OAB A 所以，故A 错误；112,3e e e π<->= ，故，故B 正确；22212112221e e e e e e -=-⋅+= 121e e -= 因为在上的投影向量为，所以模为，故C 正确； 1e 2e 122221()2e e e e e ⋅=12设与的夹角为，因为，1e a θ12||cos e a a θ⋅==所以在上的投影向量为，故D 正确． a 1e 11(||cos)2a e e θ=故选：BCD12．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，ABC A A B C a b c 4a =4sin 5A =cos C=列结论正确的是（ ）A ．B ． 3cos5A =±π4B =C ．D ．的面积为b =ABC A 【答案】BC【分析】由题设得不为钝角，进而确定，应用sin C =A cos A 余弦定理求及，最后由面积公式求的面积，即可判断各项正误.b cos B ABC A【详解】由题设，即，故，sin C ==sin sin a c A C=4c a =>=C A >所以不为钝角，否则、都为钝角，则，A A C 3cos5A ==又，即， 2222cos a b ab C c +-=249162b +=整理得，故210855)0b --=+-=b ==为三角形内角，则，222cos 2a c b B ac +-===B π4B =综上，的面积， ABC A 114sin 7225S bc A ===故A 、D 错误，B 、C 正确. 故选：BC三、填空题13．已知中.角的对边分别是，若等于ABC A ,,A B C ,,a b c 60,A a =︒=sin sin b cB C++__________. 【答案】2【分析】利用正弦定理求出即可得解. ,b c 【详解】因为 60,A a =︒=所以， 2sin sin sin a b cA B C===所以， 2sin ,2sin b B c C ==所以.()2sin sin 2sin sin sin sin B C b cB C B C++==++故答案为：.214．在中角，，的对边分别为，，，若,，ABC ∆A B C a b c ()(sin sin )a b AB +-=()sin a cC -2b =则的外接圆面积为________ ABC ∆【答案】43π【解析】化简得到，根据余弦定理得，再利用正弦定理得到222a b ac c -=-1cos 2B =R =到答案.【详解】，故，即.()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-()()()a b a b a c c +-=-222a b ac c -=-根据余弦定理：，故. 2221cos 22a c b B ac +-==sin B =根据正弦定理：，解得. 2sin b R B =R =243S R ππ==故答案为：. 43π【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.15．如图，在中，为的中点，，若，则______.ABC A D AB 2DE EC =BE x AB y AC =+ x y -=【答案】32-【分析】先用表示，再用表示，即可得到答案. BD DE 、BEAB AC 、BD DE 、【详解】，()121252232363BE BD DE AB DC AB AC AD AB AC =+=-+=-+-=-+所以.523632x y -=--=-故答案为：.32-【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.16．正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，ABCD 4O ABCD O l AB M 与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为CD N P ()21OP OB OC λλ=+- PM PN ⋅ __________. 【答案】7-【解析】建立坐标系，根据求出点的坐标，设出的坐标分别为()21OP OB OC λλ=+-P ,M N ，，将，转化为关于的函数，即可得其最小值.(),2a -(),2a -PMPN u u u r,a λ【详解】以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴，建立坐标O O AB x O AB y 系，则，，()2,2B -()2,2C 所以， ()()()()()212,212,22,24OP OB OC λλλλλ=+-=-+-=- 所以，即点坐标为， ()1,12OP λ=-P ()1,12λ-设，则，，(),2M a -(),2N a -22a -≤≤所以，， ()1,23PM a λ=-- ()1,21PN a λ=--+ 所以， ()()()()221123211443PM PN a a a λλλλ⋅=---+-+=-+-- 当且时，有最小值为， 2a =±41242λ-=-=⨯PM PN ⋅ 7-故答案为：7-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴建立坐O O AB x 标系，则，，利用求出点的坐标，设出的坐标分别()2,2B -()2,2C ()21OP OB OC λλ=+-P ,M N 为，，，利用二次函数的性质可求最小值.(),2a -(),2a -221443PM PN a λλ⋅=-+--四、解答题17．已知非零向量、，满足，，且．a b ||1a = ()()1·2a b a b -+=12a b ⋅= (1)求向量、的夹角；a b(2)求．||a b - 【答案】(1)4π【分析】（1）对化简结合可得，然后利用结合数量积的定()()1·2a b a b -+= ||1a = ||b =r 12a b ⋅= 义可求得答案，（2）先求出，然后平方可得结果2||a b -【详解】（1）∵，()()1·2a b a b -+=∴，即，2212a b -= 221||||2a b -=又，∴、的夹角为，||1a = ||b r a b θ∵，12a b ⋅= ∴，1cos 2a b θ=∴ cos θ=∵，[0,]θπ∈∴，即向量、的夹角为； 4πθ=a b 4π（2）∵222111||212222a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=∴||a b -= 18．平面内给定三个向量，，. (3,2)a = (1,2)b =- (4,1)c =（1）求满足的实数，；a mb nc =-m n （2）若，求实数的值.()//(2)a kc b a +-k 【答案】（1），；（2）.59m =89n =-1613k =-【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可； mb nc -（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； a kc +2b a - 【详解】解：（1）因为，，，且(3,2)a = (1,2)b =- (4,1)c = a mb nc =-，，，，. (32)(1a mb nc m ==-=-2)(4n -1)(4m n =--2)m n -，解得，.∴4322m n m n --=⎧⎨-=⎩59m =89n =-（2），，，.(3a kc +=2)(4k +1)(34k =+2)k +，，，.22(1b a -=-2)(3-2)(5=-2)，解得. 5(2)2(34)0k k ∴-+-+=1613k =-19．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度； (2)求的值.sin α【答案】(1)14海里小时； /【分析】（1）由题意知，，，. 120BAC ∠=︒12AB =20AC =BCA α∠=在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度. ABC BC （2）在△中，，，，， ABC 12AB =120BAC ∠=︒28BC =BCA α∠=由正弦定理，即可解出的值. sin sin120AB BCα=︒sin α【详解】（1）(1）依题意，，，，. 120BAC ∠=︒12AB =10220AC =⨯=BCA α∠=在△中，由余弦定理，得ABC2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠22122021220cos120=+-⨯⨯⨯︒.784=解得.故渔船甲的速度为海里小时. 28BC =142BC=/即渔船甲的速度为14海里小时./（2）在△中，因为，，，，ABC 12AB =120BAC ∠=︒28BC =BCA α∠=由正弦定理，得，即. sin sin120AB BC α=︒sin120sin AB BC α︒===sin α∴20．如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点.ABCD E AB ,F G ,AD BC ，设. 22,33AF AD BG BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭,AB a AD b ==(1)用表示；a b ､,EF EG (2)如果，用向量的方法证明：. 43a b = ⊥EF EG 【答案】(1)， 1223EF a b =-+ 2231EG a b += (2)证明见解析【分析】（1）根据平面向量基本定理结合平面向量的线性运算即可得解；（2）利用数量积的运算律证明即可.0EF EG ⋅= 【详解】（1）由题意，， 21123223EF AF AE AD AB a b =-=-=-+ ； 12122323EG EB BG AB BC a b =+=+=+ （2）由（1）得 22121214232349EF EG a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 221440439b b ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭ 所以.⊥EF EG21．在中，，，的对边分别为，，，且 ABC A A B C a b c sin A a =（1）求角的大小；C （2）如果，求的面积的最大值．2c =ABC A【答案】（1）；（23C π=【解析】（1）由 sin A a =tan C =（2）由，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.2c =4ab ≤【详解】（1）因为sin A a =由正弦定理得：sin 2sin A R A =即tan C =又∵，(0,)C π∈∴．3C π=（2）因为，2c =由余弦定理得，2224c a b ab ==+-而，当时取等号，222a b ab +≥a b =所以， 4ab ≤所以. 4S =≤=22．在中，角所对的边分别是，设的面积为.已知. ABC A ,,A B C ,,a b c ABC A S )222S a b c =+-(1)求角的值；C(2)若，点在边上，为的平分线，的值. 4b =D AB CD ACB ∠CDB △a 【答案】(1) π3C =(2)2a =【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理求出，即可得解； tan C （2）根据的面积求出，再利用等面积法即可得出答案.CDB △CD【详解】（1）因为， )2221sin 2S a b c ab C =+-=即， 222sin a b c C +-=所以， 222cos 2a b c C C ab +-==所以tan C =又，所以； ()0,πC ∈π3C =（2）因为为的平分线，所以，CD ACB ∠30BCD ACD ∠=∠=︒又 11sin 3024CDB S a CD a CD =⋅⋅︒=⋅A CD =由 ABC ACD BCD S S S =+△△△=解得或，2a =43-所以.2a =。

2018-2019 学年河北省唐山一中高一（下） 3 月月考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 在△ABC 中，已知 a=4，b=6，B=60°，则 sinA 的值为（ ）A.B.C.D.2. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a3a8=9，则 log3a1+log3a10=（ ）A. 1B. 2C. 4D. log353. 在等差数列{an}中，若 a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则 a3+a6+a9 的值为（ ）A. 30B. 27C. 24D. 214. 在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于（）A.B.C.D.5. 在△ABC 中，sin2 = （a、b、c 分别为角 A、B、C 的对应边），则△ABC 的形状为（ ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 117. 设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和为 S4=4S2，则 的值为（ ）A. -2 或-1B. 1 或 2C. ± 或-1D. ±1 或 28. 如图，一栋建筑物 AB 的高为（30-10 ）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点 M（B，M，D 三点共线）处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15°和 60°，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°，则通信塔 CD 的高为（ ）A. 30mB. 60mC.D.9. 数列{an}中，已知对任意自然数 n，a1+a2+a3+…+an=2n，则 a12+a22+a32+…+an2=（ ）A. （4n-1）B. （2n-1）C. 4n-1D. （4n+8）10. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csinA＝ acosC， 则 sinA＋sinB 的最大值是( )第 1 页，共 12 页A. 1B.C. 3D.11. 在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且 a11＞|a10|，则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为（ ）A. S17B. S18C. S19D. S2012. 已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an-12+an+12（n≥2），bn=记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，则 S33 的值是（ ）A.B.C. 4D. 3二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 如图，一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N处，则这只船的航行速度为______海里/小时．14. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5=10，S10=30，则 S15=______． 15. 已知数列{an}满足 a1=3 且 an+1=4an+3（n∈N+），则数列{an}的通项公式为______ ． 16. 已知数列{an}中，an=-4n+5，等比数列{bn}的公比 q 满足 q=an-an-1（n≥2），且 b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 在△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 b=4c，B=2C．（1）求 cosB； （2）若 c=5，点 D 为 BC 上一点，且 BD=6，求△ADC 的面积．18. 已知等差数列{an}的前三项分别为 λ，6，3λ，前 n 项和为 Sn，且 Sk=165． （1）求 λ 及 k 的值；（2）设，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．19. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AB=1，，，．第 2 页，共 12 页（Ⅰ）求 sin∠BAC； （Ⅱ）求 DC 的长．20. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）求 的值； （2）若角 A 是钝角，且 c=3，求 b 的取值范围．=．21. 各项为整数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn= an2+ an+ （n∈N+）． （1）求 an； （2）设数列{an+bn}的首项为 1，公比为 q 的等比数列，求{bn}的前 n 项和 Sn．22. 已知数列{an}是等比数列，首项 a1=1，公比 q＞0，其前 n 项和为 Sn，且 S1+a1，S3+a3， S2+a2 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足 an+1=（ ） ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，若 Tn≥m 恒成立， 求 m 的最大值．第 3 页，共 12 页第 4 页，共 12 页1.答案：C-------- 答案及其解析 --------解析：解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理可得：sinA= = = ．故选：C． 由已知利用正弦定理即可计算得解． 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．2.答案：B解析：【分析】 根据等比数列的性质可知 a1a10=a3a8=9，再利用对数的性质即可得到答案． 本题主要考查了等比数列的性质．即若 m、n、p、q∈N*，且 m+n=p+q，则 aman=apaq． 【解答】 解：log3a1+log3a10=log3（a1a10）=log3（a3a8）=log39=2 故选 B．3.答案：B解析：解：设等差数列的公差为 d，则 ∵等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33， ∴两式相减可得 3d=-6 ∴d=-2 ∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=a2+a5+a8-6=33-6=27 故选：B． 利用等差数列的定义，求出数列的公差，从而可求 a3+a6+a9 的值． 本题考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】 本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求 cosA 是关键，属于 中档题．作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得 cosθ= == ，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案． 【解答】 解：设△ABC 中角 A、B、C、对应的边分别为 a、b、c，AD⊥BC 于 D，令∠DAC=θ，∵在△ABC 中，B= ，BC 边上的高 AD=h= BC= a，第 5 页，共 12 页∴BD=AD= a，CD= a，在 Rt△ADC 中，cosθ= ==，故 sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ-sin sinθ= × - × =- ． 故选 C．5.答案：B解析：解：因为 sin2 = =，即，由余弦定理可得，可得 a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形． 故选 B． 直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状． 本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力．6.答案：B解析：【分析】 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式，属于基础题． 由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得 a5，a4 的值，进一步求得公差， 代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数． 【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列 ，其前 n 项和为 ，设等差数列 的公差为 d，由题可得 a2+a5+a8=15，S7=28， 由 a2+a5+a8=15，得 3a5=15，∴a5=5， 由 S7=28，得 7a4=28，∴a4=4， 则 d=a5-a4=1， ∴a9=a5+4d=5+4×1=9． 故选：B．7.答案：C解析：解：设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠1．∵S4=4S2， =，解得 q2=3 或 q=-1，则 = =q，所以 的值为± 或-1． 故选：C． 利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．第 6 页，共 12 页本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．8.答案：B解析：【分析】 本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 根据题中条件得到各角的大小，利用正弦定理，求出 AM，MC,即可求出 CD. 【解答】 解：在△ABM 中，AM==20 ，易知∠AMC=105°，∠MAC=45°，∠ACM=30°，∴，∴MC= ， ∴CD=MCsin60°=60m. 故选 B．9.答案：D解析：解：当 n=1 时，可得 a1=21=2， 当 n≥2 时，an=（a1+a2+…+an）-（a1+a2+…+an-1） =2n-2n-1=2n-1， 当 n=1 时上式不成立，∴an=，当 n≥2，∴ = =4，∴{an2}是从第二项起 4 为首项，4 为公比的等比数列，当 n≥2 时，a12+a22+a32…+an2=4+ = （4n+8）．当 n=1 时，显然成立，∴a12+a22+a32…+an2= （4n+8）．故选 D． 由题意求得数列{an}通项公式，则{an2}是从第二项起 4 为首项，4 为公比的等比数列， 利用等比数列的前 n 项和公式即可求得答案． 本题考查等比数列前 n 项和的应用，考查等比数列通项公式的求法，考查分类讨论思想， 属于中档题．10.答案：D解析：分析： 本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出 C 的大小是解决本题的关键， 属于中档题. 根据正弦定理求出角 C 的大小，利用辅助角公式即可得到结论． 解：∵csinA= acosC， ∴由正弦定理可得 sinCsinA= sinAcosC，第 7 页，共 12 页∴tanC= ， 即 C= ，则 A+B= ，∴B= -A，0＜A＜ ，∴sinA+sinB=sinA+sin（ -A）=sinA+= sinA+ cosA= sin（A ），∵0＜A＜ ，∴ ＜A+ ＜ ，∴当 A+ = 时，sinA+sinB 取得最大值 ，故选：D．11.答案：C解析：解：由题意 a10＜0，a11＞0，且 a11＞|a10|， ∴a11＞-a10，∴a10+a11＞0，∴S19===19a10＜0，∴S20==10（a10+a11）＞0，∴{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为 S19， 故选：C 易得 a10+a11＞0，进而由求和公式和性质可得 S19=19a10＜0，S20=10（a10+a11）＞0，可 得{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为 S19． 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．12.答案：D解析：解：∵2an2=an-12+an+12（n≥2），∴数列{an2}为等差数列，首项为 1，公差为 22-1=3．∴an2=1+3（n-1）=3n-2．an＞0．∴an=，∴bn===（-），∴数列{bn}的前 n 项和为 Sn= [（ -1）+（ - ）+…+（-）]=（-1）．则 S33= （10-1）=3．故选：D由 2an2=an-12+an+1（2 n≥2），可得数列{an2}为等差数列，进而得到 bn= （-），再利用“裂项求和”方法即可得出． 本题考查了等差数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．第 8 页，共 12 页13.答案：解析：解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°， ∠PNM=45°． 在△PMN 中，由正弦定理，得=，∴MN==34 ．又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4（小时）， ∴船的航行速度 v= = （海里/时）；故答案为： ．根据题意可求得∠MPN 和，∠PNM 进而利用正弦定理求得 MN 的值，进而求得船航行的 时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案． 本题主要考查了解三角形的实际应用．解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了 学生分析问题和解决问题的能力．14.答案：60解析：解：由数列{an}为等差数列，∴S5，S10-S5，S15-S10 也成等差数列． ∴2（S10-S5）=S5+S15-S10， ∴2（30-10）=10+S15-30， 解得 S15=60． 故答案为：60． 由数列{an}为等差数列，可得 S5，S10-S5，S15-S10 也成等差数列．即可得出． 本题考查了等差数列的性质，属于基础题．15.答案：an=4n-1解析：解：∵an+1=4an+3（n∈N+），∴an+1+1=4（an+1）， ∴数列{an+1}是等比数列，首项为 4，公比为 4． ∴an+1=4n，可得 an=4n-1， 故答案为：an=4n-1． an+1=4an+3（n∈N+），变形为 an+1+1=4（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出． 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．16.答案：4n-1解析：解：q=an-an-1=（-4n+5）-[-4（n-1）+5]=-4，b1=a2=-4×2+5=-3， 所以 bn=b1qn-1-3•（-4）n-1，|bn|=|-3•（-4）n-1|=3•4n-1，所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3•4+3•42+…+3•4n-1=3• =4n-1，故答案为：4n-1 先由 an=-4n+5 及 q=an-an-1 求出 q，再由 b1=a2，求出 b1，从而得到 bn，进而得到|bn|，根 据等比数列前 n 项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|bn|．第 9 页，共 12 页本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前 n 项和公式，考查学生的运算能力， 属中档题．17.答案：解：（1）因为 B=2C，所以有 sinB=sin2C=2sinCcosC．从而 cosC= = = ．故 cosB=cos2C=2cos2C-1= = ．（2）由题意得，b=4 ， 由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB．即 80=，化简得 a2-6a-55=0，解得 a=11 或 a=-5（舍去）．从而 DC=5，又 cosC= ，则 sinC==．所以△ADC 的面积=10．解析：（1）由 B=2C，推导出 cosC= = = ，由此能求出 cosB．（2）由题意得，b=4 ，由余弦定理得 a=11，从嘏求出 DC=5，sinC= ，由此能求出△ADC 的面积． 本题考查三角形内角的余弦值、三角形面积、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创 新意识、应用意识，是中档题．18.答案：解：（1）∵λ，6，3λ 成等差数列，∴λ+3λ=12，∴λ=3．∴等差数列{an}的首项为 3，公差 d=3，前 n 项和公式 Sn==，由 Sk=165，可得 3k+=165，解得 k=10．（2）∵bn= ==，∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=+…+=1- = ．解析：（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”方法即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2-2BC•BAcosB，即 BC2+BC-6=0，解得：BC=2，或 BC=-3（舍）由正弦定理得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以，第 10 页，共 12 页由正弦定理得：．（其他方法亦可）解析：（Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin D的值，由正弦定理即可得解DC的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.答案：解：（1）∵在△ABC中, =，∴c（cos B-2cos A）=（2a-b）cos C，∴sin C（cos B-2cos A）=（2sin A-sin B）cos C，∴sin C cos B+cos C sin B=2sin A cos C+2cos A sin C，∴sin（B+C）=2sin（A+C），∴sin A=2sin B，∴a=2b，即=2；（2）由（2）可得a=2b，由三角形三边关系可得b+c＞a=2b，解得b＜c=3，由角A是钝角可得cos A＜0，∴由余弦定理可得cos A=＜0，解得或(舍去），综合可得b的取值范围为（，3）．解析：本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的边角关系和三角函数公式，属中档题．（1）由已知式子，结合三角函数公式和正弦定理以及三角形的内角和可得a=2b，=2；（2）由三角形三边关系和，余弦定理可得cos A＜0，解不等式组可得b的范围．21.答案：解：（1）由S n=a n2+a n+①得，当n≥2时，S n-1=a n-12+a n-1+②；由①-②化简得：（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，又∵数列{a n}各项为正数，∴当n≥2时，a n-a n-1=2，故数列{a n}成等差数列，公差为2，又a1=S1=a12+a1+，解得a1=1，故a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）∵数列{a n+b n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n+b n=q n-1，∴b n=-2n+1+q n-1，∴S n=-n2+（1+q+q2+…+q n-1）当q=1时，S n=-n2+n；当q≠1时，S n=-n2+.解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．（1）由递推公式得出{a n}为等差数列，再令n=1求出a1,从而得出通项公式；（2）求出数列{b n}的通项公式，再由分组求和，分别运用等差数列和等比数列的求和公式，注意公比为1的情况．22.答案：解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3，即4a3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）-（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．解析：（Ⅰ）法一：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式．（Ⅰ）法二：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）求出，利用错位相减法求出，转化T n≥m恒成立，为（T n）min≥m，通过{T n}为递增数列，求解m的最大值即可．本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力．。

高一下学期第三次月考数学试卷（附含答案）试卷满分150分（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.四边形是平面图形D.经过两条相交直线有且只有一个平面2.在ABC △中，AC=1，AB =和BC=3，则ABC △的面积为（ ）D.3.设m ，n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面（ ） A.若m n ⊥ n α∥，则m α⊥B.若m β∥βα⊥，则m α⊥C.若m β⊥ n β⊥ n α⊥，则m α⊥D.若m n ⊥ n β⊥ βα⊥，则m α⊥4.在ABC △中4a = 3b = 2sin 3A =，则B =（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π5.如图 在长方体1111ABCD A B C D -中2AB = 11BC BB == P 是1A C 的中点，则直线BP 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.13C.36.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工 该工件底面半径15cm 高10cm 加工方法为在底面中心处打一个半径为cm r 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）cmC.4D.57.已知在ABC △中2B A C =+ 2b ac =，则ABC △的形状是（ ） A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）22C.D.二、多项选择题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.在每小题给出的四个选项中至少有两个是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡相应位置上）9.如图 已知正方体1111ABCD A B C D - M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）A.1C M AC ∥B.1BD AC ⊥C.1BC 与AC 所成的角为60°D.CD 与BN 为异面直线10.在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 下列关系式恒成立的是（ ） A.cos cos c a B b A =⋅+⋅B.22sin1cos 2A BC +=+ C.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅D.tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-11.如图 在正四棱锥S ABCD -中E M N 分别是 BC CD SC 的中点 动点P 在线段MN 上运动时 下列四个结论恒成立的是（ ）A.EP AC ⊥B.EP BD ∥C.EP ∥平面SBDD.EP ⊥平面SAC12.如图 在正方体1111ABCD A B C D -中M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.平面1D MN 与11B C 的交点是11B C 的中点B.平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三等分点C.平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D.平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积之比为1：1三、填空题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC △中若4AB = 7AC = BC 边的中线72AD =，则BC =______.14.已知圆锥的顶点为P 底面圆心为O 高为1 E 和F 是底面圆周上两点 PEF △面积的最大值为______.15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2 4 侧棱长为2，则其体积为______.16.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α 使α∥平面11A B CD 11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角为______.四、解答题（本大题共6小题 共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成 其尺寸如图所示. （1）求此几何体的表面积；（2）如图 点P Q 在几何体的轴截面上 P 为所在母线中点 Q 为母线与底面圆的交点 求在几何体侧面上 从P 点到Q 点的最短路径长.18.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c cos cos 3cos b A a B c A +=.（1）求cos A ；（2）若2a = 求ABC △面积的最大值.19.（本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中2AB = M 是11B C 的中点. （1）求证：1AC ∥平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点 当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时 求三棱锥1P A MB -的体积.20.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 已知cos cos b A a B b c -=-. （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上 且2CD BD = cos B =求tan BAD ∠. 21.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中90ABC ACD ∠=∠=︒ 30BCA CDA ∠=∠=︒ PA ⊥平面ABCD E F 分别为PD PC 的中点 2PA AB =. （1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ； （2）求二面角E AC B --的余弦值.22.（本题满分12分）如图 在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所 海岸线北侧有一个小岛 岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向处 另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向 且与点A 相距10km 研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站. （1）若4km CP = 求此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠的正切值； （2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大 问点P 应选址何处？参考答案17.（1）由题设 此几何体是一个圆锥加一个圆柱 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=.（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面 展开如图.则PQ ===∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为. 18.（1）因为cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A += ∴()sin 3sin cos A B C A +=∴sin 3sin cos C C A =.在ABC △中sin 0C ≠ ∴1cos 3A =；（2）由（1）知1cos 3A =由22sin cos 1A A += A 为锐角 得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-= 因为2a =∴2233122b c bc +-= ∴22212336bc b c bc +≥=+ 即3bc ≤ 当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△ ABC △. 19.（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N 连接MN因为四边形11AA B B 为平行四边形 11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点 因为M 为11B C 的中点，则1MN AC ∥∵1AC ⊂/平面1A MB MN ⊂平面1A MB 故1AC ∥平面1A MB . （2）因为1CC ⊥平面ABC ∴1AC 与平面ABC 所成的角为1CAC ∠因为ABC △是边长为2的等边三角形，则2AC =∵1CC ⊥平面ABC AC ⊂平面ABC ∴1CC AC ⊥，则11tan 2CC CAC AC ∠==所以 124CC AC ==∵1AC ∥平面1A MB 1P AC ∈ 所以点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433A P A MB C A MB B A C M C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△.20.（1）解：因为cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac +-+-⋅-⋅=-化简可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==因为0A π<< 所以 3A π=.（2）解：因为cos B =，则B 为锐角 所以 sin 3B ===因为A B C π++= 所以 23C B π=-所以22211sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B πππ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭设BAD θ∠=，则23CAD πθ∠=-在ABD △和ACD △中由正弦定理得sin sin BD AD B θ==sin sin 3CD AD C πθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为2CD BD =(3sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(1sin 3sin 22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以tan tan BAD θ∠===21.（1）由题意 设AB a =，则2PA AC a == 4AD a =CD =∴PD == 又PA ⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD∴PA AC ⊥，则在Rt PAC △中PC =在PCD △中222CD PC PD +=，则CD AC ⊥ 又CD ⊂面ABCD 有PA CD ⊥ 又AC PA A ⋂= 故有CD ⊥面P AC 又E F 分别为PD PC 的中点 即EF CD ∥ ∴EF ⊥面P AC 又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；（2）过E 作EH AD ⊥ 易知H 为AD 中点 若G 是AC 中点 连接EH HG EG∴GH AC ⊥ EH AC ⊥ GH EH H ⋂= 故AC ⊥面EHG 即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角∴由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠易知EH PA ∥，则EH ⊥面ABCD GH ⊂面ABCD 所以EH GH ⊥在Rt EHG △中EH a = GH =，则2GE a =∴cos 2EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为()cos 2EGH π-∠=-.22.（1）设APB θ∠= 由题意知AC CP ⊥ AC = 4km CP = 30yAB ∠=︒ 所以tanCAP ∠==即30CAP ∠=︒ 8km AP = 1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒ 在BAP △中10km AB =由正弦定理得 ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒- 即()108sin sin 60θθ=︒-化简得13sin θθ= 即tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠. （2）过点B 作BD CP ⊥于点D 设km CP x =由（1）得 当5x >时 点P 在点D 的右侧 ()5km PD x =-，则tan BD BPC PD ∠==当05x <<时 点P 在点D 的左侧 ()5km PD x =-，则tan 5BD BPC PD x ∠=-=-.又tan APC ∠=，则当0x > 且5x ≠时有())24tan tan 5108x BPC APC x x θ+=∠-∠==-+. 当5x =时 点P 与点D 重合tan tan CD CAD AC θ=∠== 满足上式所以)24tan 5108x x x θ+=-+.令4x t +=，则)tan 445410813t t t t t θ===>---++- ⎪⎝⎭因为14424t t +≥=，则0tan θ<≤= 当且仅当1444t t =>即12t = 8x =时取等号 此时tan θ。

河北省唐县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） 2i 1z =-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数对应的点的坐标即可确定结果. 【详解】对应的点为，位于第二象限. 2i 1z =-()1,2-故选：B.2．已知向量，若，则（ ）(2,1),(,2)a b x ==- //a ba b += A ．(－2，－1) B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)【答案】A【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x ，再利用向量和的坐标运算求.//a b a b +【详解】解析：因为，所以，解得x ＝－4．所以. //a b 2(2)x ⨯-=()214,22,()()1a b +=---- ,＋＝故选：A3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误， ,,A B C //AC BC故选：A4．在中，已知，，，则（ ）ABC a =12c =π3C =A =A ．B ．C ．或D ．或π36π6π5π66ππ3【答案】B【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由于，所以是锐角，a c <A由正弦定理得， sin sin a c A C =12πsin3=解得，所以. 1sin 2A =π6A =故选：B5．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）,a b ||2,4a a b =⋅=b a A ．B ．C ．D ．12a12b r ab 【答案】C【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【详解】在方向上的投影向量为 b a()2cos ,a a b a a b b a bb a a a a a a b ⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯==⎪⎝⎭故选：C.6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）a b 1a = 2b = ()a b a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= ，所以，得解1cos ,2a b = π3a b ⋅=r r 【详解】因为，所以()0a a b-⋅=20a a b -⋅= 所以22cos a a b a b a b a =⋅=⋅⋅⋅= 又，，，,1a = 2b = 1cos ,2a b = [],0,πa b ∈ 所以，π,3a b = 故选：C ．7．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）ABCD G BCD △AG xAB y AD =+3x y +=A ．B ．C ．D ．732833【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，AC BD O G BCD △O BD，则，2CG GO =()144122333233AG AO OG AO OC AO AB AD AB AD =+=+==⨯+=+可得，故23x y ==83.3x y +=故选：C.8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）C A C 分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东， 80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里， ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里， AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里. 65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若，为共扼复数，则为实数 1z 2z 12z z ⋅B ．若为虚数单位，为正整数，则 i n 43i i n +=C ．复数在复平面内对应的点在第三象限 2i --D ．复数的共轭复数为 5i 2-2i --【答案】AC【分析】根据共轭复数的概念可判断A 项；利用复数的乘方运算可判断B 项；利用复数的几何意义可判断C 项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D 项.【详解】解：设，则，故，故A 正确；1i(,R)z a b a b =+∈1i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b ⋅=+-=+因为，故B 错误；()4343i i =1i =i-i n n +=⨯⨯-因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C 正确； 2i --(2,1)--因为，其共轭复数为，故D 错误； ()()()5i 25i 2i 2i 2i 2+==----+2i -+故选：AC.10．在中，下列命题正确的是（ ） ABC A ．是的充要条件A B >sin sin A B >B ．若，则是直角三角形 cos cos a B b A =ABC C ．若，，则是等边三角形 60B =︒2=b ac ABC D ．若，则 cos sin b a C c A =+45A =︒【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断ACD 正确，选项B 中由正弦定理可得，所以是等腰三角形. =A B ABC 【详解】对于A ，若，则，由正弦定理知， A B >a b >sin sin A B >反之，若，由正弦定理知，则有， sin sin A B >a b >A B >故是的充要条件，A 正确；A B >sin sin A B >对于B ，若且，易得：，cos cos a B b A =,(0,π)A B ∈π,(0,2A B ∈由正弦定理得：，即，则，有，sin cos sin cos A B B A =sin()0A B -=ππ(,)22A B -∈-=A B 所以是等腰三角形，B 错误；ABC 对于C ，若，由正弦定理得，而， 2=b ac 2sin sin sin B A C =π3B =则，化简得：且， 23sin sin()34A A π-=sin(2)16A π-=2(,)666A ππ11π-∈-即，得，故，所以是等边三角形，C 正确； 262A ππ-=π3A =3C π=ABC 对于D ，若，由正弦定理得， cos sin b a C c A =+sin sin cos sin sinB AC C A =+从而，化简得：， sin()sin cos sin sin A C A C C A +=+cos sin sin sin A C C A =而，所以且，得，D 正确. sin 0C ≠cos sin A A =(0,π)A ∈45A =︒故选：ACD11．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）(0,0),(1,2),(3,1)O OA OB ==A ．||AB =B ．是直角三角形AOB C ．在方向上的投影向量的坐标为OA OB 11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与垂直的单位向量的坐标为或 OB⎛⎝【答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A ；求出向量、以及的模，根据勾股定||AB OA OB AB理逆定理可判断B ；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C ；根据向量垂直OA OB的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.OB【详解】因为，A 正确()2,1AB OB OA =-=-=，所以， ==222||||OAAB OB += 所以，即为直角三角形，B 正确；OA AB ⊥OAB 设与同向的单位向量为，， OB eOB e OB ==所以在方向上的投影向量为，OA OB31cos ,,22OA OB OA OA OB e e e OB ⋅⎛⎫〈=⋅== ⎪〉⎝⋅⎭C 错误；因为，设与垂直的单位向量为，(3,1)OB = OB(,)y m x = 则，解得22301x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与垂直的单位向量的坐标为或，D 正确，OB⎛ ⎝故选：ABD ．12．在中，角A ，B，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC 23cos 3cos b C c B a +=确的是（ ）A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABCAOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC ABC 圆半径，从而求的面积.AOB 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即 ， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误； ()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得 ，即 ， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC所以 ，即，解得， π02π02π02A BC ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sinC C C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，， ，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABC 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++= ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知向量满足，且，则__________. ,a b1,2a b == ||||a b a b +=- 2a b +=【答案】【分析】根据向量的模长公式可得，进而根据模长公式即可求解.a b ⊥【详解】由得，所以，||||a b a b +=-()()220a ba ba b +=-⇒⋅=2a故答案为：14．若复数，则实数的值为________.()2390m m i -+-≥m 【答案】3【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. ()239m m i -+-00【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，()239m m i -+-可得解得23090m m -≥⎧⎨-=⎩3m =所以实数的值为， m 3故答案为：315．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．()1,2a = ()1,1b = a a b λ+λ【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等()1,2a b λλλ+=++式求解作答【详解】解：因为，，所以，()1,2a = ()1,1b = ()1,2a b λλλ+=++因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，a ab λ+ ()0a a b λ+⋅> a a b λ+所以且，()1220λλ+++>()212λλ+≠+解得且，所以的取值范围为，53λ>-0λ≠λ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为．若，则ABC ,,a b c 2sin sin cos 1cos 2=-B C A A 222+=b ca_____；的最大值为_____． sin A 【答案】 3【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，根据基本不等式可求2223+=b c a ，结合范围，利用三角函数的性质即可求解的最大值．2cos 3≥A ()0,A π∈sin A 【详解】解：∵，∴， 22sin sin cos 1cos 22sin B C A A A =-=22222cos 2==+-bc A a b c a ∴，当且仅当时不等式两边取等号， ()2222122233cos 223b c b c bc A bc bc +-+⋅=≥=b c =∴当取得最小值时，cos A 23sinA =故答案为：3． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题.五、解答题17．已知，，.()1,3A ()2,2B -()4,1C (1)若，求D 点的坐标；AB CD =(2)设向量，，若与平行，求实数k 的值. a AB = b BC = ka b -3a b + 【答案】(1)4(5,)D -(2)13k =-【分析】（1）根据题意设，写出的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；(,)D x y ,C AB D（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设，又因为， (,)D x y ()()()1,3,2,2,4,1A B C -所以，=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--因为，=AB CD 所以，得，4115x y -=⎧⎨-=-⎩54x y =⎧⎨=-⎩所以.4(5,)D -（2）由题意得，，，(1,5)a =- (2,3)b =所以，，=(2,53)ka b k k ----3(7,4)a b += 因为与平行，ka b -3a b + 所以，解得.4(2)7(53)0k k ----=13k =-所以实数的值为.k 13-18．已知a ，b ，c 分别为锐角三个内角A ，B ，C 的对边，，且ABC ),3m =()2sin ,n B b =-． 0m n ⋅=(1)求A ；(2)若，的周长为6，求△ABC 的面积． 2a =ABC 【答案】(1)3A π=【分析】（1）由，得到，求得的大小；0m n ⋅= sin 30B b -+=sin A =A （2）由余弦定理得到，结合题意求得，利用面积公式，即可求解.224b c bc =+-4bc =【详解】（1）解：由题意，向量，，),3m =()2sin ,n B b =-因为，可得， 0m n ⋅=sin 30B b -+=由正弦定理得，sin 3sin 0A B B -+=因为为锐角三角形，可得，所以，ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >所以，即， 30A -+=sin A 因为，所以．0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3A π=（2）解：在中，由余弦定理得，即 ABC 2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-可得()243b c bc =+-因为，的周长为6，所以，可得，2a =ABC 4b c +=4bc =故的面积为ABC 1sin 2S bc A ==19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满ABC 90,22A CB CA ∠=︒==,D E ,AB BC 足．,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈u u r u u u r u u u r u u u r(1)求的取值范围；AE BC ⋅ (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．λAE CD ⊥ λ【答案】(1)(3,1)-(2)存在， 23λ=【分析】（1）由题意得，结合即可得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+(0,1)λ∈解；（2）由，求解即可.()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 2230λλ=-=【详解】（1）在直角三角形中，．ABC 90,22A CB CA ∠=︒==∴，30,B BA ∠=︒=2cos303BA BC ⋅=⨯︒= ，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ∵，∴．(0,1)λ∈(3,1)AE BC ⋅∈- （2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅-22AB AB AC BC AB BC AC λλλ=-⋅+⋅-⋅2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令，得或（舍）. 2230λλ-=23λ=0λ=∴存在实数，使得． 23λ=AE CD ⊥ 20．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记45,60ABC BCD ∠=∠= . ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量;,a b →→,AD CD →→（2）若，求. 1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=)1CD a b →→→=+1【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=【详解】（1）因为，所以， ,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD =所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为， ， 1b →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+⋅==⎢⎥⎣⎦21．在中，角所对的边长分别为，面积为，且. ABC A B C ､､,2a b c c =､､S cos2A b S =(1)求角的大小.A (2)求的取值范围. b c a +【答案】(1)π3A =(2)(]1,2b c a +∈【分析】(1)结合面积公式，二倍角的正弦公式对条件进行恒等变换即可得出，利用三角1sin22A =形中角的取值范围即可求解；(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式得到，然后利用正弦函数的图象和性质即π2sin()6b c B a +=+可求解.【详解】（1），所以，又， cos2A b S = 1cos sin 22A b bc A =2c =，则， cos sin 2A A ∴=cos 2sin cos 222A A A =，因为， 1sin22A ∴=0πA <<所以，故； π26A =π3A =（2）由正弦定理可得：)sin sin sin sin sin b c B C B C a A ++==+()sin sin B B A ⎤=++⎦sin sin 3B B π⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2B B B ⎤=+⎥⎦π2sin 6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 302πB << πππ666B +<5<∴，也即. 1sin 126B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭(]1,2b c a +∈22．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形的麦田ABCD成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B ，D 连接，经测量知，AB BC CD ====AD(1)霍尔顿发现无论都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，BD cos A C -求出此定值；若不正确，请说明理由.(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记与的面积分别为ABD △CBD △和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．1S 2S 2212S S +【答案】(1)正确，1 (2)632【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出ABD △CBD △BD ,A C是一个定值； cos A C -（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出2212S S +2212S S +的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅即，2186224BD A A =+-⨯=-在中，，CBD △2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅即26621212cos BD C C =+-=-因此，即，241212cos A C -=-21cos A C =-．cos 1A C -=（2）因为， 11sin 212S A A AD AB A ⨯=⋅==， 21sin 3sin 212S C C BC CD C =⋅==于是得22221227sin 9sin S S A C +=+由（1）知，cos 1C A =-因此 )22222123627cos 9154cos 27S S A A A A +=---=-++， 26354cos 2A ⎛=-+ ⎝在中，ABD △BD <<在中， CBD △0BD <<BD <<由，得 224BD A =-cos A =即有，0cos 1A <<从而当， cos A =()2212max 632S S +=所以的最大值是． 2212S S +632。

唐山一中2016-2017学年度第二学期第一次月考高一数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在ABC ∆中，已知04,6,60a b B ==∠=，则sin A 的值为A．2．2 C．3 D．32、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a += A ．2 B ．4 C ．1 D ．3log 53、等差数列{}n a 中，14725839,33a a a a a a ++=++=，则 369a a a ++= A ．30 B ．27 C ．24 D ．214、在ABC ∆中，,4B BC π=边上的高等于13BC ，则cos A = AB． D．5、在ABC ∆中，2sin (,,22A c ba b c c-=分别为角,,A B C 所对的边），则ABC ∆的形状是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为A ．8B ．9C ．10D ．117、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和为424S S =，则3825a a a 的值为 A ．-2或-1 B ．1或2 C ．2±或-1 D ．1±或28、如图，一栋建筑物AB的高为(30m -，在该建筑物的正东方有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为015和060，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为030，则通信塔CD 的高为 A ．60m B ．30m C． D． 9、在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>且1110a a >， 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的负数为 A ．20S B ．18S C ．17S D ．19S10、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c，且满足sin cos c A C =，则sin sin A B +的最大值是A ．1 BC．311、数列{}n a 中，已知对任意自然数212123,22221n nn n a a a a -++++=-， 则2222123n a a a a ++++=A ．3(41)n -B ．3(21)n -C ．41n- D ．2(21)n -12、已知正项数列{}n a 中，2221212111,2,2(2),n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是A．．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西075 ，且距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N 处，则这只传的航行速速为海 里/小时.14、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51010,30S S ==，则15S =15、已知数列{}n a 满足13a =且143()n n a a n N ++=+∈，则数列{}n a 的通项公式为16、已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b =，则12n b b b +++=三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 4,2c B C ==. （1）求cos B ；（2）若5c =，点D 为BC 上一点，且6BD =，求ABC ∆的面积.18、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n b S =且225535,82a b S ⋅==. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求证：1232n b b b +++<.19、（本小题满分12分）如图在平面四边形ABCD 中，2,1,,33AB AD AB AC ABC ACD ππ⊥==∠=∠=. （1）求sin BAC ∠；（2）求CD 的长.20、（本小题满分12分）ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos 2B A Ca b c-=-. （1）求ab的值； （2）若角A 是钝角，且3c =，求b 的取值范围.21、（普通、实验班学生做）（本小题满分12分）各项为整数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111()424n n n S a a n N +=++∈. （1）求n a ；（2）设数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 21、（英才班学生做）（本小题满分12分）各项为整数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111()424n n n S a a n N +=++∈. （1）求n a ；（2）设函数(),()(),()2n a n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，(24)()n n c f n N +=+∈，求数列{}n c 的前n项和n T .22、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，首项为11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且113322,,S a S a S a +++成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11(),2n na b n n a T +=为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.理科 答案D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D 13.1726 14.60 15.14-=n n a 16.理科： 14-=n n a17.（1）因为2B C =，所以有sin sin22sin cos B C C C ==.从而sin cos 2sin 2B b C C c ===.故23cos cos22cos 15B C C ==-=.（2）由题意得，b =，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-.即223805255a a =+-⨯⨯，化简得26550a a --=，解得11a =或5a =-（舍去）. 从而5DC =，又cos C =，则sin C =.所以11sin 51022ADC S DC AC C =⋅⋅⋅=⨯⨯=△.18.（Ⅰ）1n n b S =，2258a b =，5352S =，()11115,2872,2a d a d a d ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩∴解得：13,21.a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 12n a n =+，()22n b n n =+.（Ⅱ）()122222++1324352n b b b n n +++=++⨯⨯⨯+……11111111131131324351122122n n n n n n =-+-+-++-+-=--<-++++….19.解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得AC2=BC2+BA2-2BC ·BAcos B, 即BC2+BC-6=0,解得BC=2,或BC=-3(舍去),由正弦定理得=⇒sin ∠BAC==.(2)由(1)得cos ∠CAD=sin ∠BAC=,sin ∠CAD==,所以sin D=sin(∠CAD+)=×+×=,由正弦定理得=⇒DC===.20. （1）由题意及正弦定理得sin Ccos B －2sin Ccos A ＝2sin Acos C －sin Bcos C ， ∴sin Ccos B ＋sin Bcos C ＝2(sin Ccos A ＋sin A ·cos C ∴sin(B ＋C 2sin(A ＋C .3分∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴ab ＝2.（2）由余弦定理得cos A ＝b2＋9－a22b ·3＝b2＋9－4b26b ＝9－3b26b<0，∴b> 3.①∵b ＋c>a ，即b ＋3>2b ，∴b<3，② 由①②得b 的取值范围是(3，3).21. （普班、实验班学生做）解：（1）由2111424n n n S a a =++①得，当n ≥2时，2111111424n n n S a a ---=++②； 由①－②化简得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，又∵数列{}n a 各项为正数，∴当n ≥2时，12n n a a --=，故数列{}n a 成等差数列，公差为2，又21111111424a S a a ==++，解得11,21n a a n =∴=-；∵数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，∴1-=+n n n q b a ，即112-=+-n n q b n ，∴112-++-=n n q n b ，∴)1(122-++++-=n n q q q n S当1=q 时，n n S n +-=2；当1≠q 时，q q n S nn --+-=112.21. （英才班学生做）解：（1）由2111424n n n S a a =++①得，当n ≥2时，2111111424n n n S a a ---=++②； 由①－②化简得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，又∵数列{}n a 各项为正数，∴当n ≥2时，12n n a a --=，故数列{}n a 成等差数列，公差为2，又21111111424a S a a ==++，解得11,21n a a n =∴=-；（2）由分段函数,()(),2n a n f n nf n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 可以得到：1321(6)(3)5,(8)(4)(2)(1)1c f f a c f f f f a ==========当n ≥3，n N *∈时，1221(24)(22)(21)2(21)121n n n n n n c f f f ----=+=+=+=+-=+，2312n 351(21)(21)(21)4(12)6(2)2125,12,2n n n n n nT n nn T n n --≥=++++++++-=++-=+-=⎧∴=⎨+≥⎩故当，时，22.（1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,即314a a =,于是12311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭. （2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++, ①232122232...2nn T n ∴=⨯+⨯+⨯++ ,②∴①-②得:()2112122 (2)2212112nn nn n n T n n n ---=++++-=-=---,()112nn T n ∴=+-, n T m≥恒成立，只需()()()11min212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+>,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.。

一、单选题1．已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ）(3,4)a =- aA ．B ．C ．D ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】求出，计算即得．a r aa-rr 【详解】，．5=34,55a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故选：C ．2．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）a b4AB a b =+ 9BC a b =-+ 3CD a b =- A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【答案】A【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.,BD AC【详解】向量，不共线，且，，，a b4AB a b =+ 9BC a b =-+ 3CD a b =- ，则有，而有公共点B ，有A ，B ，D 共282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= //AB BD,AB BD 线，A 是；，不存在实数，使得，因此不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是； 0BC ≠ λAB BC λ=,AB BC ，不存在实数，使得，因此不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是； 0BC ≠μCD BC μ= ,BC CD ，不存在实数，使得，因此不共线，A ，C ，D 不共线，130AC AB BC b =+=≠ t CD t AC =,AC CD D 不是. 故选：A3．已知非零向量的夹角为60°，且，则（ ） a b，1||12b a b ＝，-＝||a = A ． B ．1CD ．212【答案】A【分析】利用数量积的计算即可求得.【详解】由题意得.1·122aa b a ⨯⨯=＝又，1|2|a b-＝∴， 22221|2|24441a b a a b b a a -⋅--+ ＝+＝＝即，又，2420a a -=0a ≠ 解得.12a = 故选：A4．已知向量，，．若，则实数k 的值为（ ） ()3,3a = ()1,0b = c a kb =+ a c ⊥A ．B ．C ．0D ．66-43-【答案】A【分析】由题意得，利用向量垂直，则数量积为0，得到方程解出即可. ()3,3c k =+【详解】，()()()3,31,03,3c a kb k k =+=+=+，，即，解得，a c ⊥·0a c ∴= ()3390k ++=6k =-故选：A.5．已知向量，，且的夹角是（ ） 2= a 1= b a - ,a bA ．B ．C ．D ．5π6π62π3π3【答案】D【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.237a b -= a b ⋅【详解】，，2223691367a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= 1a b ∴⋅=，又，. 1cos ,2a b a b a b ⋅∴<>==⋅ [],0,πa b <>∈ π,3a b ∴<>= 故选：D.6．已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（ ）()()1,2,2,4a x b =-= a b3x >-A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求与夹角为锐角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.a bx 【详解】当，解得：，()21240a b x ⋅=-+⨯> 3x >-且当时，，解得：，//a b()4140x --=2x =所以“与夹角为锐角时，的取值范围是且，a bx 3x >-2x ≠所以“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.a b3x >-故选：A7．如图，在△OAB 中，点P 在边AB 上，且．则（ ） 32AP PB =OP =A ．B ．3255OA OB +2355OA OB +C ．D ．3255OA OB -2355OA OB -【答案】B【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于，所以， 32AP PB =35AP AB =所以35OP OA AP OA AB =+=+ .()323555OA OB OA OA OB =+-=+ 故选：B8．在中，，点D ，E 分别在线段，上，且D 为中点，，ABC A 4,6AB AC ==AB AC AB 12AE EC =若，则直线经过的（ ）.AP AD AE =+AP ABC A A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心【答案】A【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.ADPE AP BAC ∠【详解】因为，且D 为中点，，4,6AB AC ==AB 12AE EC =则， 2AD AE == 又因为，则可得四边形为菱形， AP AD AE =+ADPE 即为菱形的对角线，AP ADPE所以平分，即直线经过的内心 AP BAC ∠AP ABC A 故选:A二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．若为单位向量，则B ．若与共线，则或12,e e 12e e = a ba b = a b =-r r C ．若，则D ．是与非零向量共线的单位向量0a =0a = a aa【答案】CD【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，向量的方向不一定相同，所以A 错误；12,e e对于B 中，向量与的长度不一定相等，所以B 错误；a b对于C 中，由，根据零向量的定义，可得，所以C 正确；0a =0a = 对于D 中，由，可得与向量同向， 1a a a a =⋅a a a又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D 正确. aa1a aa故选：CD.10．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）(3,2)a =A ．，B ．，1(0,0)e = 2(1,2)e =1(1,2)e =- 2(5,2)e =-C ．，D ．，1(3,5)e = 2(6,10)e =-1(2,3)e =- 2(2,3)e =-【答案】BC【分析】确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示.12,e e a 【详解】对于A ．＝(0，0)，， 不可以作为平面的基底，不能表示出； 1e 12//e e 12,e e a对于B ．由于，不共线，可以作为平面的基底，能表示出； 1252-≠-12,e e 12,e e a 对于C ．，不共线， 可以作为平面的基底，能表示出； 35610≠-12,e e 12,e e a 对于D ．，， 不可以作为平面的基底，不能表示出．21e e =- 12//e e 12,e e a11．在中，若，下列结论中正确的有（ ） ABC A ::4:5:6a b c =A ．B ．是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6A B C =ABC A C ．的最大内角是最小内角的2倍 D ．若，则ABC A 6c =ABC A 【答案】ACD【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.【详解】根据正弦定理由，因此选项A 正确； ::4:5:6sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C =⇒=设，所以为最大角，4,5,6a k b k c k ===C ，所以为锐角，因此是锐角三角形，因2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⋅⋅C ABC A 此选项B 不正确；，显然为锐角，2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅A ，23cos 2cos 1cos cos 224C C C A =-⇒====因此有，因此选项C 正确； 22CA C A =⇒=由1cos sin 8C C =⇒===外接圆的半径为：D 正确，ABC A 112sin 2c C ⋅==故选：ACD【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.12．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ） A ． B ．36c C π==，564b c C π===，，C ． D ．63a b B π===，20156a b B π===，，【答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得. 【详解】A 选项有无穷多解，显然错误； B 中，因为，C 为锐角，所以，所以该三角形有一解，B 正确； sin bC =sin b C b c <<C 中，因为B 为锐角，所以，所以该三角形有一解，C 正确； sin a B =sin b a B =D 中，因为，B 为锐角，所以，所以该三角形有两解，D 错误.sin 10a B =sin a B b a <<三、填空题13．已知向量，若，则__________.()()2,1,3,5a b ==()a b b λ- ∥λ=【答案】0【分析】根据向量线性运算的坐标计算即可求解.【详解】由题意知，又，所以()()()2,13,523,5a b λλλλ-=-=--()a b b λ-∥，解得,()()523350λλ---=0λ=故答案为：014．已知，，若，则______．()1,2AB = ()2,AC t = 0AB BC ⋅=t =【答案】32【分析】由求出的对应坐标，再由已知及数量积的坐标表示列方程求参数t . BC AC AB =- BC【详解】由，又， (1,2)BC AC AB t =-=- 0AB BC ⋅=所以，可得. 12(2)0t +⨯-=32t =故答案为：3215．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是ABC A A B C a b c 222a b c =-+B ______. 【答案】##6π30︒【分析】利用余弦定理的推论求解.【详解】解：因为，所以，222a b c =-222a c b +-=由余弦定理的推论，得 222cos 2a c b B ac +-==因为，所以.()0,B π∈6B π=故答案为：.6π16．如图，在中，，是边上一点，，，，则ABC A 45B = D BC 5AD =7AC =3DC =AB =________.【分析】首先利用余弦定理得到，从而得到，再利用正弦定理11cos 14C =sin C =sin sin AB AC C B =即可得到答案.【详解】在中，由余弦定理可得：，ACD A 4992511cos 27314+-==⨯⨯C ，则. 0C π<<sin C =在中，由正弦定理可得， ABC A sin sin AB ACC B=则sin sin===AC CAB B【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属于简单题.四、解答题17．如图，平面上A ，B ，C 三点的坐标分别为、、．()2,1()3,2-()1,3-(1)写出向量，的坐标；AC BC(2)如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标． 【答案】(1)， (3,2)-(2,1)(2) (4,2)【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.【详解】（1）， (12,31)(3,2)AC =---=-.(13,32)(2,1)BC =-+-=（2）设，所以(,)D x y (2,1)AD x y =--四边形ABCD 是平行四边形，所以，所以解得，BC AD = 2211x y -=⎧⎨-=⎩42x y =⎧⎨=⎩所以.(4,2)D 18．已知向量，．()3,2a =()1,1b =- (1)求与的坐标；a b + 23a b -(2)求向量，的夹角的余弦值．a b【答案】(1)，． ()4,1a b += ()233,7a b -=【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算； （2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.【详解】（1），．()4,1a b += ()()()2323,231,13,7a b -=--=（2），，321a b ⋅=-=a ==b ==,．cos a ∴< a b b a b⋅>===⋅19．已知向量，，与的夹角为.||3a = ||2b = a b 3π（1）求及； a b ⋅||a b + （2）求. (2)(3)a b a b +⋅- 【答案】（1），2）．3a b ⋅=a + 18-【分析】（1）根据数量积的定义求数量积，模平方转化为数量积的运算求解； （2）由数量积的运算律计算．【详解】（1）， cos ,32cos 33a b a b a b π⋅=<>=⨯⨯=a + （2）． 2222(2)(3)6336218a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=-20．在中，内角的对边分别为.已知. ABC A ,,A B C ,,a b c π,4C a ==(1)求的值； sin A(2)若的值. c =b【答案】 (2)或 3b =1b =【分析】（1）根据正弦定理即可求出的值sin A （2）通过余弦定理表达出的关系，解方程即可得到的值 ,,a b c b【详解】（1）在中，， ABC A π,4C a ==由正弦定理得.∴sin A C ===（2） ,c a a =∴=由余弦定理，得， 2222cos c a b ab C =+-2582=+-⋅b b 整理得，解得或.2430b b -+=3b =1b =21．已知的三个顶点的直角坐标分别为 ABC A ()()()3,4,0,0,,0A B C c (1)若，求的值； 5c =sin A (2)若为钝角，求的取值范围； A c【答案】 (2) 25,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据向量夹角公式计算,再结合同角函数基本关系即可求出;cos A sin A (2)应用向量的数量积公式因为为钝角,所以,计算的取值范围即可.A 0AB AC ⋅<c 【详解】（1）， ， (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--当时，，5c =(2,4)AC =-cos cos ,A AC AB ===又，0πA <<所以. sin A ==（2）若为钝角，则, A ()33160AB AC c ⋅=--+< 解得, 253c >显然此时有和不共线，故当为钝角时，的取值范围为.AB AC A c 25,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭22．在锐角三角形中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，为在方向上的投影向ABC A CD CACB量，且满足2sin c B =(1)求的值；cos C(2)若，求的周长. b =3cos a c B =ABC A 【答案】(1) 23【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即， CD CACB cos CD b C = 2sin cos c B C =根据正弦定理，，2sin sin cos C B B C =在锐角中，，则，即，ABC A 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >2sin C C =由，则，整理可得，解得.0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22cos sin 1C C +=225cos cos 14C C +=2cos 3C =（2）由，根据正弦定理，可得，3cos a c B =sin 3sin cos A C B =在中，，则，，ABC A A B C π++=()sin 3sin cos B C C B +=sin cos cos sin 3sin cos B C B C C B +=，sin cos 2sin cos B C C B =由（1）可知，，则， 2cos 3C =sin C ==sin B B =由，则，解得22sin cos 1B B +=225cos cos 1B B +=cos B =sin B =根据正弦定理，可得，则， sin sin b c B C =sin sin C c b B ==a ==故的周长ABC A ABC C a b c =++=A。

高一下学期第三次阶段考试试题一、选择题1、若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于( )A.2B.3C.9D.-92、已知四点,则下面四个结论题①;②;③;④,其中正确结论的序号为( )A.①③B.①④C.②③D.②④3、若经过原点的直线与直线的夹角为,则直线的倾斜角是( )A. B. C.或 D.或4、直线经过(∈)两点,那么直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.5、下列命题中,错误的是( )A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.若直线不平行平面,则在平面内不存在与平行的直线D.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面6、设为不重合的平面,为不重合的直线,则下列命题正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则7、将边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,若点A、B、C、D都在一个以为球心的球面上,则球的体积与面积分别是( )A. B. C. D.8、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A. B. C. D.9、在中,,,,若使绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )A. B. C. D.10、设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列结论中,不正确的是( )A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC11、一棱锥的各棱都相等,则这棱锥必不是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥12、如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是,那么圆柱的体积等于( )A. B. C. D.13、设三棱柱侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积( )A. B. C. D.14、如图,若是长方体,被平面截去几何体后得到的几何体,其中为线段上异于的点,为线段上异于的点,且,则下列结论中正确的个数是( )①②四边形是矩形③是棱柱④是棱台A 1B 2C 3D 4二、填空题15、直线的倾斜角为,且,则它的斜率的取值范围为.16、与是两个全等的正方形 , 且两个正方形所在平面互相垂直 , 则与所成角的大小为.17、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是.18、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，11A B 中点为P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为 。

2019届高一下学期第三次月考数学（理）试卷一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1.1.数列，，，，的一个通项公式可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，数列的一个通项公式可能是，故选D．2.2.如果等差数列中，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等差中项的性质先求，。

详解：，故选C点睛：等差数列的性质：若，则。

3.3.设等比数列的公比，前项和为，则=A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式化简即得解.【详解】由题得.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 等比数列的前项和公式：.4.4.已知单位向量满足，则与的夹角是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，选D. 5.5.设四边形ABCD为平行四边形，，，若点M,N满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图形得出，，,结合向量结合向量的数量积求解即可．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，点M，N满足，∴根据图形可得：，，,,||=9，||=8，∴.故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的三角形加法减法法则，考查向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.6.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足,则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【详解】将向量放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则x+y=，故答案为：A【点睛】本题主要考查向量的分解和坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.7.7.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】成等比数列，，整理得，又，故选B.8.8.已知函数图象上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）﹣，结合图象可得A、B、C的坐标，可得向量的坐标，计算可得．【详解】由三角函数公式化简可得f（x）=sinxcosx﹣sinxsinx=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣，令2x+=可得x=，可取一个最低点A（，﹣），同理可得B（，），C（，），∴=（﹣，2），=（，2），∴=﹣+4，故答案为：B【点睛】本题主要考查三角恒等变换和向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9.9.在数列中，，，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】数列是以为首项为公差的等差数列，故选点睛：由已知条件化简求得数列是等差数列，即可求出的通项公式，继而求出的通项公式，然后利用裂项求和法求得结果，注意对条件的转化10.10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若、的图象都经过点，则的值可以是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数的图象经过点，可得，所以函数向右平移个单位长度后得到函数的图象，又因为的图象经过点，所以，将答案代入只有B满足考点：图像的平移11.11.已知数列满足,数列为等差数列,且,,则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得a n+1=b1+b2+b3+…+b n，从而a31==15（b15+b16），由此能求出结果．【详解】∵数列{a n}满足，a1=0，数列{b n}为等差数列，且a n+1=a n+b n，b15+b16=15，∴a n+1=b1+b2+b3+…+b n，∴a31=b1+b2+b3+…+b30==15（b15+b16）=15×15=225．故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和公式的运用，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 由已知得a n+1=b1+b2+b3+…+b n这是解题的关键.12.12.在平面内，定点A.B.C.O满足,，动点满足,，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明△ABC的中心为O,且△ABC为正三角形，再建立直角坐标系，求出，最后即得的最大值.【详解】由题得=0，所以,同理O是△ABC的重心，又,所以O为△ABC的外心，因此，△ABC的中心为O,且△ABC为正三角形，建立直角坐标系，易得,所以,设P(x,y),,所以Q为PC的中点，C,A(0,2)，所以所以，故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和数量积，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有三点，其一是分析得到△ABC的中心为O,且△ABC为正三角形，其二是建立直角坐标系，其三是求出.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知数列满足:,(n∈N*)，则________【答案】2【解析】试题分析：由可得考点：数列递推公式14.14.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则．【答案】4【解析】试题分析：由题意得：考点：等差数列15.15.已知为锐角，向量、满足，则．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，即，由为锐角，得，则，则；故填．考点：1.平面向量的数量积；2.两角和差的正余弦公式．16.16.直角三角形的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】由题意，=||≤||+2||，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出的最大值．【详解】由题意，=||≤||+2||,当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即取得最大值，因为,,所以最大值是,故答案为：【点睛】（1）本题主要考查向量的运算法则和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分析出=||≤||+2||是解题关键.三、解答题（本题共6小题，共70分）17.17.已知向量（1）若，求角的值；（2）若，求cos2的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得到的方程，解方程即得角的值.(2)先化简得，再求cos2的值．【详解】（1）∵m⊥n，∴m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，即-cos2α+sinα-sin2α=0．由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，∴，k∈Z.（2）∵m-n=(2cosα，1-2sinα)，∴ |m-n|=，∴ 5-4sinα=3，即得，∴．【点睛】（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) ,注意灵活运用.18.18.已知等差数列满足：，，数列的前n项和为．（1）求及；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根据已知求出，再求及.(2)先根据已知得到，再利用分组求和求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.19.19.设向量，，其中，，为实数．（1）若，求的最小值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）首先根据条件求得，从而求得的表达式，然后根据二次函数的性质求得的最小值；（2）首先利用向量相等的条件求得的关系式，然后利用两角和的正弦公式求得的范围，从而求得的取值范围．试题解析：（1）当时，，，．（2）由题知：，，，解得，而，所以．考点：1、平面向量的模；2、两角和的正弦公式．20.20.设是公比为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根据已知求出再求的通项公式.(2)利用错位相减法求数列的前项和.【详解】（1）设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此所以的通项为（2）∴.【点睛】（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.21.21.如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，其中在线段上，在线段上，记为,（1）若的周长为，求的值；（2）求的最大值，并求此时值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解；（2）结合向量的数量积公式，结合三角函数的带动下进行求解. 试题解析：（1），由，得，平方得，即，解得（舍）或，则.（2）由，得，∴，则,，∵，∴，∴当，即时，有最大值.22.22.已知数列{a n}为等比数列，公比为为数列{a n}的前n项和.（1）若求;（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）17（2）（3）【解析】试题分析：（1）先根据条件求公比，再利用等比数列求和公式求比值（2）分类讨论三个数成等差情况，依次求出对应公比（3）化简不等式得，代入n=1得，代入n=2得，再由，得试题解析：解：（1）因为所以，所以或（舍去）．所以（2）若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若成等差数列，则，解得（舍去）.综上，（3）由，可得，故等价于恒成立.因为所以得到当时，不可能成立.当时，另，得，解得因为，所以即当时，，所以不可能成立.当时，由，即，所以即当时，不成立.当时，所以当时，恒成立. 综上，存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立, 的取值范围为.。