2020年河北省九校高三上学期第二次联考 理科数学试题

2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2020年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合P ={x|x 2−4x >0}，Q ={x|log 2(x −1)<2}，则(∁R P)∩Q =( )A. [0,4]B. [0,5)C. (1,4]D. [1,5)2. 若复数z 满足(2−i)z =(1+2i)2，则|z|=( )A. 3B. √5C. 2D. √33. 在△ABC 中，“AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知函数y =sin(ωx −π6)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则该函数图象是由y =cos2x的图象经过怎样的变换得到？( )A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度 C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度5. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是( )A. 38B. 516C. 716D. 136. 已知sin(π3+α)=cos(π3−α)，则cos2α=( )A. 0B. 1C. √22 D. √327. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+12πB. 5+√102+12π C. 5+√102+1+√24πD. 4+1+√24π8. (2x +1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中1x 2系数为( )A. 56B. 448C. 408D. 17929. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是( )A. 132B. 133C. 134D. 13510. 已知点(n,a n )(n ∈N ∗)在函数y =lnx 图象上，若满足S n =e a 1+e a 2+⋯+e a n ≥m 的n 的最小值为5，则m 的取值范围是( )A. (10,15]B. (−∞,15]C. (15,21]D. (−∞,21]11. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1(−c,0)作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若∠F 1AF 2的平分线过点M(−13c,0)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. 3D. √312. 已知方程e x−1+x =e 2(x−1)x−ae x−1有三个不同的根，则实数a 的取值范围为( )A. (−1,e)B. (−e,12)C. (−1,1)D. (−1,12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足：|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，a ⃗ 与b ⃗ 夹角为120°，则|a ⃗ +2b ⃗ |=______． 14. 已知正三棱锥P −ABC ，AB =2√3，PA =2√5，则此三棱锥外接球的半径为______． 15. 已知定义域为R 的函数f(x)=μ+2λe x +λe x x 2+2020sinx2+x 2有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λ−μ=______．16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2=absinC，acosB+bsinA=c，a=√10，则b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n+a n−n=0(n∈N∗)．}为等比数列；(1)求证：数列{a n−12(2)求数列{a n−n}的前n项和T n．18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分100分)，规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如表：(1)试分别估计两种口罩的合格率；(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长2的正方形，PA=PD=√17，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH//DM，交PM于H，且FH=1(1)证明：EF//平面PBM；(2)设点N在线段BC上，若二面角E−DN−A为60°，求BN的长度．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2√3．(1)求椭圆C的方程；(2)经过定点Q(m,0)(m>2)的直线l交椭圆于不同的两点M，N，点M关于x轴的对称点为M′，试证明：直线M′N与x轴的交点S为一个定点，且|OQ|⋅|OS|=4(O为原点)．21. 已知函数f(x)=(a +2)lnx +2a x−x ，(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−2lnx 有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2>8(5ln2−2)；(3)设a =−1，函数f(x)+2x +x 的反函数为k(x)，令k i (x)=k[(in )x ]，i =1，2，…，n −1，n ∈N ∗且n ≥2，若x ∈[−1,1]时，对任意的n ∈N ∗且n ≥2，k 1(x)k 2(x)…k n−1(x)≥1em 恒成立，求m 的最小值．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x =2−12t,y =1+√32t,(t 为参数)． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)在(1)中，设曲线C 经过伸缩变换{x′=xy′=√3y 得到曲线C 1，设曲线C 1上任意一点为M(x 0,y 0)，当点M到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．23.已知f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为M，且a+b+c=M(a,b，c∈R)，求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P ={x|x <0或x >4}，Q ={x|1<x <5}， ∴∁R P ={x|0≤x ≤4}，(∁R P)∩Q =(1,4]． 故选：C ．可以求出集合P ，Q ，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(2−i)z =(1+2i)2，∴z =(1+2i)22−i=4i−32−i=(4i−3)(2+i)(2−i)(2+i)=−2+i ，∴|z|=√(−2)2+12=√5， 故选：B ．根据复数的基本运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ>0， ∴cosθ>0，且θ∈(0,π)， 所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B 的补角， 所以B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形， 反过来，△ABC 为钝角三角形，不一定B 为钝角，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为钝角三角形”的充分条件不必要条件． 故选A利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC 若为钝角三角形，可得B 不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由题可知，函数y=sin(ωx−π6)的最小正周期T=2×π2=π，∴ω=2πT =2ππ=2，∴y=sin(2x−π6)=cos(2x−π6−π2)=cos2(x−π3)，∴该函数图象是由y=cos2x的图象向右平移π3个单位所得．故选：C．先求出函数y=sin(ωx−π6)的周期，再利用ω=2πT求得ω，从而得y=sin(2x−π6)，然后利用诱导公式将其变形为y=cos2(x−π3)，最后利用三角函数的平移变换法则即可得解．本题考查三角函数的周期性和平移变换法则，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设大正方形的边长为4，则面积为4×4=16，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，面积12×2√2×2√2=4，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高为√2，面积12×(√2+2√2)×√2=3，故概率P=3+416=716．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高√2，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.【答案】A【解析】解：∵sin(π3+α)=cos(π3−α)，∴√32cosα+12sinα=12cosα+√32sinα，可得(√32−12)cosα=(√32−12)sinα，可得cosα=sinα，∴cos2α=cos2α−sin2α=0．故选：A．利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得cosα=sinα，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知几何体是一个14的圆锥与一个三棱锥的组合体，圆锥的底面半径为1，高为1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为1，高为2；PA=√5，PO=2，BO=OC=1，AC=√5，PC=√2，S△PAC=1 2×√2×(√22)=32所以几何体的表面积为：14×π×12+12×14×2π×√2+12×1×1+12×2×1+12×1×2+32=4+1+√24π．故选：D．利用三视图画出几何体的直观图，结合三视图的数据，求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状，正确求解三角形的面积是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵(2x+1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等，∴C n2=C n6，∴2+6=n，即n=8．故(2x+1x)n的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅28−r⋅x8−2r，令8−2r=−2，可得r=5，中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中1x2系数，则该展开式中1x2系数为C85⋅23=448，故选：B．先求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得该展开式中1x2系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设所求数列为{a n}，该数列为11、26、41、56、⋯，所以，数列{a n}为等差数列，且首项为a1=11，公差为d=26−11=15，所以，a n=a1+(n−1)d=11+15(n−1)=15n−4解不等式2≤a n≤2021，即2≤15n−4≤2021，解得25≤n≤135，则满足25≤n≤135的正整数n的个数为135，因此，该数列共有135项．故选：D．列举出该数列的前几项，可知该数列{a n}为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{a n}的通项公式，然后求解满足不等式2≤a n≤2021的正整数n的个数，即可得解．本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：∵点(n,a n)(n∈N∗)在y=lnx的图象上，∴a n=lnn，∴S n=lna1+lna2+⋯+lna n=1+2+⋯+n=n(n+1)2；又S n>m时n的最小值为5，∴S4<m≤S5，即10<m≤15．故选：A．根据题意，求出a n与S n的表达式，利用S n>m时n的最小值为5，列出不等式S4≤m<S5，求出m的取值范围．本题考查了指数函数与对数函数的运算问题，数列与函数的综合应用，考查转化思想的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1(−c,0)作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若∠F1AF2的平分线过点M(−13c,0)，可得|MF1||MF2|=|AF1||AF2|=12，|AF1|=1 2|AB|=12×2b2a=b2a，|AF2|=2⋅b2a，|AF 2|−|AF 1|=2a ，所以2b 2a−b 2a=2a ，所以b 2=2a 2，可得c 2=3a 2，解得e =ca =√3． 故选：D ．利用已知条件，结合角的平分线的性质以及双曲线的定义，列出关系式，求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】D【解析】解：原式变形为1+xe x−1=1xe x−1−a ，令m(x)=x e x−1，则1+m =1m−a ，即m 2+(1−a)m −a −1=0，而m′(x)=1−xe x−1，易知函数m(x)在(−∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，作出函数y =m(x)的图象如下图所示，由图象可知，必有m 1∈(0,1)，m 2=1或0或m 2<0， 当m 2=0或1时，易知此时不合题意；故m 1∈(0,1)，m 2∈(−∞,0)，由根的分布可知{−a −1<01+(1−a)−a −1>0，解得−1<a <12．故选：D ．原式变形为1+xe x−1=1xe x−1−a ，令m(x)=xe x−1，则m 2+(1−a)m −a −1=0，作出函数y =m(x)的图象，分析可知m 1∈(0,1)，m 2∈(−∞,0)，由根的分布建立不等式组，解出即可．本题考查函数零点与方程根的关系，考查导数的运用以及根的分布问题，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2√7【解析】解：∵|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,<a ⃗ ,b ⃗ >=120°， ∴a ⃗ ⋅b⃗ =2×3×(−12)=−3，∴(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=4−12+36=28，∴|a⃗+2b⃗ |=2√7．故答案为：2√7．可先求出a⃗⋅b⃗ =−3，然后进行数量积的运算即可求出(a⃗+2b⃗ )2的值，从而可得出|a⃗−2b⃗ |的值．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】52【解析】解：在正三棱锥中，取底面三角形ABC的外接圆的圆心E，则底面外接圆的半径r=AE=23AQ=23×√(2√3)2−(√3)2=2．连接PE可得PE⊥面ABC，如图所示：所以棱锥的高PE=√PA2−AE2=√(2√5)2−(2)2=4；设外接球的球心为O，半径为R，则R2=r2+(R−PE)2，即：2PE⋅R=r2+PE2，即2×4⋅R=22+42，解得：R=52，故答案为：52．由正三棱锥的棱长可得棱锥的高及底面外接圆的半径，再由外接球的半径和高，底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径．本题主要考查正三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，属于中档题．15.【答案】−2【解析】解：f(x)=2020sinx2+x2+λe x+μ，∵f(x)有最大值和最小值，则λ=0，否则，f(x)没有最大或最小值，于是f(x)=2020sinx2+x2+μ，设f(x)的最大值为m，最小值为n，则m+n=4，∵y=f(x)−μ=2020sinx2+x2是奇函数，∴m−μ+n−μ=0，即2μ=m+n=4，∴μ=2．∴λ−μ=−2．故答案为：−2．先确定λ=0，再根据f(x)−μ是奇函数，得出μ=2．本题考查了函数最值，奇函数的性质，属于中档题．16.【答案】3√2【解析】解；∵a 2+b 2−c 2=absinC ，∴2abcosC =absinC ，则tanC =2，∴sinC =√5，cosC =√5． ∵acosB +bsinA =c ，∴sinAcosB +sinBsinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴sinBsinA =cosAsinB ，又sinB ≠0，∴sinA =cosA ，∴A =45°， ∴sinB =sin(A +C)=√10，∵a =√10，则由正弦定理得b =asinB sinA=√10×√10sin45°=3√2，故答案为：3√2．由已知a 2+b 2−c 2=absinC ，acosB +bsinA =c ，利用余弦定理，正弦定理可求角C ，B 的三角函数值，进而求b ．本题考查余弦定理，正弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】(1)证明：由题意，当n =1时，2S 1+a 1−1=0，∵a 1=S 1，∴3a 1−1=0，解得a 1=13， 当n ≥2时，由2S n +a n −n =0，可得 2S n−1+a n−1−(n −1)=0， 两式相减，可得3a n =a n−1+1， 整理，得a n =13a n−1+13，∴a n −12=13a n−1+13−12=13a n−1−16=13(a n−1−12)， ∵a 1−12=13−12=−16，∴数列{a n −12}是以−16为首项，13为公比的等比数列． (2)解：由(1)知，a n −12=−16⋅(13)n−1， ∴a n =−16⋅(13)n−1+12，∴a n −n =−16⋅(13)n−1+12−n =−12⋅(13)n −n +12，T n =(a 1−1)+(a 2−2)+⋯+(a n −n)=[−12⋅(13)1−1+12]+[−12⋅(13)2−2+12]+⋯+[−12⋅(13)n −n +12]=−12⋅[(13)1+(13)2+⋯+(13)n ]−(1+2+⋯+n)+12⋅n=−12⋅13−(13)n+11−13−n(1+n)2+n 2 =14(13n−1)−n 22．【解析】本题第(1)题先将n =1代入表达式计算出a 1=13，当n ≥2时，由2S n +a n −n =0，可得2S n−1+a n−1−(n −1)=0，两式相减，再化简整理可得a n =13a n−1+13，然后计算a n −12并转化可证得数列{a n −12}是以−16为首项，13为公比的等比数列；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{a n −12}的通项公式，以及数列{a n }的通项公式和数列{a n −n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法计算前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求和的问题．考查了转化与化归思想，整体思想，等差数列和等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.【答案】解：(1)由题意知生产KN 90口罩合格率为：P 1=42+31+7100=45，生产KN 95口罩合格率为：P 2=47+35+8100=910．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为−3，1，7，11， P(X =−3)=15×110=150， P(X =1)=45×110=450=225， P(X =7)=15×910=950， P(X =11)=45×910=1825， ∴X 的分布列为：E(X)=−3×150+1×225+7×950+11×1825=9.2．(ii)设“生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元”为事件A ，事件A 包括“生产4个KN 90口罩全合格”和“生产4个KN 90口罩只三个合格”， ∴生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元的概率为：P(A)=(45)4+C 41(45)3(15)=512625．【解析】(1)利用古典概型概率计算公式能求出生产KN 90口罩合格率和生产KN 95口罩合格率． (2)(i)随机变量X 的所有可能取值为−3，1，7，11，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．(ii)设“生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元”为事件A ，事件A 包括“生产4个KN 90口罩全合格”和“生产4个KN 90口罩只三个合格”，由此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率计算公式、n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则EG//AB ，且EG =1，∵FH//DM ，交PM 于H ，且FH =1，AB//DM ，∴EG//FH ，EG =FH.∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EF//GH ， ∵EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， ∴EF//平面PBM ．(2)解：由EF ⊥平面PCD ，得EF ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，EF 与AD 相交，∴CD ⊥平面PAD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ， 取AD 的中点O ，连结PO ，∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ， ∵平面ABCD ∩平面PAD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ， 在等腰△PAD 中，PO =√PA 2−AO 2=√17−1=4，以O 为原点，ON 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，D(0,1，0)，P(0,0，4)，∵E 为PA 中点，∴E(0,−12,2)，设N(2,a ，0)，(−1≤a ≤1)， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−32,2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,a −1,0)， 设平面EDN 法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−32y +2z =0DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x +(a −1)y =0，取y =2，得n⃗ =(1−a,2，32)， 平面ABCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)，∵二面角E−DN−A为60°，∴cos60°=|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=32√(a−1)2+4+4=12，解得a=1−√112，∴BN=a−(−1)=2−√112．【解析】(1)取PB的中点G，连结EG，HG，推导出四边形EFHG为平行四边形，EF//GH，由此能证明EF//平面PBM．(2)由EF⊥平面PCD，得EF⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而平面ABCD⊥平面PAD，取AD 的中点O，连结PO，以O为原点，ON为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BN．本题考查线面平行的证明，考查满足二面角的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得e=ca =12，当椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，可得12⋅(2a)b=2√3，即ab=2√3，又a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，c=1，则椭圆的方程为x24+y23=1；(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，设为k，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，M′(x1,−y1)，S(n,0)，联立直线y=k(x−m)和椭圆方程3x2+4y2=12，可得(3+4k2)x2−8k2mx+4k2m2−12=0，由△>0，即(8k2m)2−4(3+4k2)(4k2m2−12)>0，可得k2<3m2−4，此时M，N存在，所以x1+x2=−8k2m3+4k2，x1x2=4k2m2−123+4k2，当斜率k不为0时，由M′，N，S三点共线，可得k M′S=k NS，即−y1x1−n =y2x2−n，即y2(x1−n)+y1(x2−n)=0，即k(x2−m)(x1−n)+k(x1−m)(x2−n)=0，化简可得2x1x2−(n+m)(x1+x2)+2mn=0，代入韦达定理即2⋅4k2m2−123+4k2−(n+m)⋅(−8k2m3+4k2)+2mn=0，化简可得mn−43+4k2=0，即mn=4，n=4m ，所以S(4m,0)，且|OQ|⋅|OS|=mn=4，当斜率k=0时，直线MN与x轴重合，满足结论．综上可得，直线M′N 与x 轴的交点S 为一个定点(4m ,0)，且|OQ|⋅|OS|=4．【解析】(1)由椭圆的离心率公式，由椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，应用三角形的面积公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； (2)由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，可设直线y =k(x −m)，联立椭圆方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，M′(x 1,−y 1)，S(n,0)，应用韦达定理和判别式大于0，然后讨论直线l 的斜率为0时，直线MN 与x 轴重合，满足结论；再讨论k 不为0，应用三点共线的条件：斜率相等，化简整理可得mn =4.即可得证． 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，应用韦达定理和三点共线的条件，考查方程思想和化简运算能力，以及推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+2x−2a x2−1=−(x−2)(x−a)x 2，①a ≤0时，由f′(x)>0，解得：x <2，由f′(x)<0，解得：x >2， 故f(x)在(0,2)递增，在(2,+∞)递减；②0<a <2时，由f′(x)>0，解得：a <x <2，由f′(x)<0，解得：x >2或x <a ， 故f(x)在(0,a)递减，在(a,2)递增，在(2,+∞)递减； ③a =2时，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)递减；④a >2时，由f′(x)>0，解得：2<x <a ，由f′(x)<0，解得：x >a 或x <2， 故f(x)在(0,2)递减，在(2,a)递增，在(a,+∞)递减； (2)证明：ℎ(x)=f(x)−2lnx =alnx +2a x−x ，x >0，ℎ′(x)=ax −2ax 2−1=−x 2−ax+2ax 2，由已知函数有2个不同的极值点x 1，x 2，知道ℎ′(x)=0有2个不相等的正实数根， 即x 2−ax +2a =0有2个不相等的正实数根， 即{△>0x 1+x 2=a >0x 1⋅x 2=2a >0，解得：a >8， f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2 =(a +2)lnx 1+2a x 1−x 1+(a +2)lnx 2+2a x 2−x 2−x 1x 2 =(a +2)ln(x 1x 2)+2a(x 1+x 2)x 1x 2−(x 1+x 2)−x 1x 2=(a +2)ln(2a)+2a⋅a 2a−a −2a =(a +2)ln(2a)−2a ，令u(a)=(a +2)ln(2a)−2a ，(a >8)，则u′(a)=ln(2a)+(a +2)1a −2=ln(2a)+2a −1， ∵a >8，∴ln(2a)−1>0，u′(a)>0， 故u(a)在(8,+∞)递增，u(a)>u(8)=10ln16−16=8(5ln2−2)，结论得证； (3)a =−1时，f(x)+2x +x =lnx ，则k(x)=e x ，故k i (x)=e (in )x ，i =1，2，3，…，n −1，n ∈N ∗且n ≥2， 对x ∈[−1,1]，k 1(x)k 2(x)…k n−1(x)=e (1n )xe (2n )x…e (n−1n)x≥e −m 恒成立，即e (1n )x ⋅(2n )x ⋅⋅⋅(n−1n)x≥e −m ，即−m ≤(1n )x +(2n )x+⋯+(n−1n)x， ∵y =(in )x 在x ∈[−1,1]递减，∴y =(1n)x +(2n )x +⋯+(n−1n)x也递减， 当x =1时，[(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n )x]min =1n+2n+⋯+n−1n=n−12，即对任意n ∈N ∗且n ≥2，−m ≤n−12恒成立，显然当n =2时，(n−12)min =12，即−m ≤12，m ≥−12，故m 的最小值是−12．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可；(2)求出ℎ(x)的导数，根据ℎ′(x)=0有2个不相等的正实数根，求出a 的范围，求出y =f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2的解析式，令u(a)=(a +2)ln(2a)−2a ，(a >8)，结合函数的单调性证明即可； (3)代入a 的值，问题转化为−m ≤(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n)x，根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程是ρ=2，根据ρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4． 直线l 的参数方程为{x =2−12t,y =1+√32t,(t 为参数).消去参数得到√3x +y −2√3−1=0． (2){x′=xy′=√3y 转换为{x =x′y =√33y′，代入圆的方程得到曲线C 1为x 24+y 212=1．把椭圆转换为参数方程为{x =2cosθy =2√3sinθ(θ为参数)，设点M(2cosθ,2√3sinθ)到直线l ：√3x +y −2√3−1=0的距离： d =|2√3cosθ+2√3sinθ−2√3−1|2=|2√6sin(θ+π4)−2√3−1|2≤2√6+2√3+12． 当且仅当θ+π4=3π2，即θ=5π4时等号成立，即M(−√2,−√6).【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0，∴x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．(2)当x ≥1时，f(x)=x 2+2x −2=(x +1)2−3； 当x =1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>1， ∴f(x)最小值为1，∴a +b +c =M =1， ∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴√a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理√b 2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2．【解析】(1)根据f(x)>|2x|x，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c =M =1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020学年度第二学期二模考试 高三年级数学试卷（理科）一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =U （ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。

【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。

【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。

2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020二本达线人数增加了0.5倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2020年一本达线人数为0.28S .2020年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2020年二本达线人数为0.32S ，2020年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2020年不上线人数为0.32S .2020年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u r（ ）A. 43AD BE +u u ur u u u rB. 53AD BE +u u ur u u u rC. 4132AD BE +u u ur u u u rD. 5132AD BE +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选：B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13B.827C.37D.518【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果． 【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长3PQ c =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫⎪⎝⎭，半径2b r a=；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以23b c a =222ac =220e -=，解得e =故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（ ）A.34B.18C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {1,5}B. {1,6}C. {1,2,5}D.{1,2,22,6}【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为16, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为55. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④. 【详解】①Q 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为()2242137=++=，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,23代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)5,4代入可得2425p =，解得85p =∴抛物线中焦点到准线的距离p 85，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（ ）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A +∞≠∅I ， C. ()1A ⊆+∞， D. ()1R A ⋃+∞=， 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y ax =与曲线()πsin ln 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' , 所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤，当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】 【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{a|log a3＞1}，B＝{a|3a＞9}，则A∩（∁R B）＝（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，2]D．（1，2]2．已知复数z=8−i2+3i（i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（）①复数z在复平面内对应的点在第四象限；②|z|=√5；③z的虛部为﹣2i；④z=1−2i．A．1个B．2个C．3个D．4个3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A．69人B．84人C．108人D．115人4．已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（）①y＝|f（x）|；②y＝f（x2+x）；③y＝f（|x|）；④y ＝e f（x ）+e ﹣f （x ）．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．设实数x ，y 满足不等式组{x −y +4≥0，3x +y ≤0，y ≥0，，若z ＝ax +y 的最大值为1，则a ＝（ ）A ．−14B ．14C ．﹣2D ．26．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+cos2x sin φ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（ ）A ．−π3B ．π3C ．−5π6D ．5π67．设直线l ：ax +by +c ＝0与圆C ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则“a 2+b 2＝2”是“c =√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知α为锐角，且tanα=m ，cos2α=−m 2m 2+4，则sin 2(α+π4)=（ ） A ．23B ．√23+12C ．45D ．959．已知直线l ：abx −(4a −1)y +m =0(a ＞14)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 为直角三角形，则双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F 6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（ ） A ．36种B ．48种C ．56种D ．72种11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC 是下底面．M 是BB 1上的点，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CC 1＝7，过三点A 、M 、C 1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（ ）A ．910B ．109C ．1011D ．111012．如图，在△ABC 中，tan C ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y ＝2x 2上的点A （1，2）到焦点F 的距离为 ． 14．曲线y ＝f （x ）＝x n e x 在x ＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为2e 3，则n ＝ ．15．在△ABC 中，|AB →|=4，AC →⋅AB →=8，则AB →⋅BC →= ．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，A 到平面PBC 的距离是2√55，则三棱锥外接球的表面积为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步票．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．已知数列{a n }满足数列{log 2a n }的前n 项和为A n =12n(n +1)．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）若数列{1a n}的前n 项和为T n ，求S n ﹣8T n 的最小值．18．2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A 、B 、C 三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A 、B 、C 三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为34，23，12，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立．（1）求六个月后A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率； （2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BB 1=√2BC ，D 是CC 1的中点． （1）证明：B 1C ⊥平面ABD ；（2）若AB ＝BC ，E 是A 1C 1的中点，求二面角A ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为−12． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN的垂心，求直线l的方程．21．已知函数f(x)=(1+sinx)cosxsinx+2x−π．（1）证明：函数f（x）在（0，π）上是减函数；（2）若x∈(0，π2)，f(x)＞m(π2−x)2，求m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ={2，0≤θ＜π2，√3sin(θ−π6)，π2≤θ≤π．（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．（1）若m＝1，求x2+4y2+12z2的最小值；（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{a|log a3＞1}，B＝{a|3a＞9}，则A∩（∁R B）＝（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，2]D．（1，2]【分析】先根据条件求得A，B，进而求得结论．解：因为集合A＝{a|log a3＞1}；所以：a＞1；且log a3＞log a a⇒A＝（1，3），∵B＝{a|3a＞9}＝（2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2]；∴A∩（∁R B）＝（1，2]．故选：D．2．已知复数z=8−i2+3i（i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（）①复数z在复平面内对应的点在第四象限；②|z|=√5；③z的虛部为﹣2i；④z=1−2i．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个命题得答案．解：∵z=8−i2+3i=(8−i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=13−26i13=1−2i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限；|z|=√5；z的虚部为﹣2；z=1+2i．故①②正确；③④错误．故选：B．3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A．69人B．84人C．108人D．115人【分析】先求出只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，再用样本容量500乘以此比例，即为所求．解：由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生占的比例为23100，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生共有500×23100=115人，故选：D．4．已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（）①y＝|f（x）|；②y＝f（x2+x）；③y ＝f （|x |）； ④y ＝e f（x ）+e ﹣f （x ）．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【分析】由已知可得f （x ）是R 上的奇函数且单调递增，当x ＞0时，f （x ）＞f （0）＝0，然后结合函数的性质分别进行检验即可． 解：因为f （x ）是R 上的奇函数且单调递增， 故当x ＞0时，f （x ）＞f （0）＝0，①g （﹣x ）＝|f （﹣x ）|＝|f （x ）|＝g （x ）为偶函数，且当x ＞0时，g （x ）＝|f （x ）|＝f （x ）单调递增，符合题意；②g （﹣x ）＝f （x 2﹣x ）≠g （x ），故不满足偶函数；③g （﹣x ）＝f （|﹣x |）＝f （|x |）＝g （x ），且 x ＞0时g （x ）＝f （x ）单调递增，符合题意；④g （﹣x ）＝e f （﹣x ）+e ﹣f （﹣x ）＝e ﹣f （x ）+e f （x ）＝g （x ），满足偶函数，且x ＞0时，f （x ）＞0，e f （x ）＞1，根据对勾函数的单调性可知g （x ）＝e f （x ）+e ﹣f （x ）单调递增，符合题意． 故选：B ．5．设实数x ，y 满足不等式组{x −y +4≥0，3x +y ≤0，y ≥0，，若z ＝ax +y 的最大值为1，则a ＝（ ）A ．−14B ．14C ．﹣2D ．2【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z ＝ax +y 取得最大值的位置，求出a 即可．解：作出实数x，y满足不等式组{x−y+4≥0，3x+y≤0，y≥0，的可行域如图：可知A（﹣1，3），B（﹣4，0），O（0，0），当0＜a≤3或﹣1≤a＜0时，目标函数z＝ax+y经过（﹣1，3），取得最大值为1，解得a＝2，当a＞3时，目标函数z＝ax+y经过（0，0），取得最大值为1，无解，当a＜﹣1时，目标函数z＝ax+y经过（﹣4，0），取得最大值为1，解得a=−14（舍去），当a＝0时，目标函数z＝ax+y取得最大值为3，不符合题意．故选：D．6．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ＝sin（2x+φ），由题意可得，sin（φ−2π3）＝0，所以φ−2π3=kπ即φ=2π3+kπ，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ=−13π．故选：A．7．设直线l：ax+by+c＝0与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，且|AB|=2√3，则“a2+b2＝2”是“c=√2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由半径r＝2和弦长|AB|=2√3，可得圆心（0，0）到直线l的距离d＝1=√a2+b，即a2+b2＝c2．进而判断出结论．解：由半径r＝2和弦长|AB|=2√3，可得圆心（0，0）到直线l的距离d＝1=√a2+b，即a2+b2＝c2．由“a2+b2＝2＝c2，解得c=±√2．∴“a2+b2＝2”是“c=√2”的必要不充分条件．故选：B．8．已知α为锐角，且tanα=m，cos2α=−m 2m2+4，则sin2(α+π4)=（）A．23B．√23+12C．45D．95【分析】利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式解得m2＝2，可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin2α的值，进而利用二倍角公式化简所求即可求解．解：∵cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−m21+m2=−m2m2+4，解得m2＝2，∴cos2α=−1 3，∴sin2α=√1−cos22α=2√23，∴sin2（α+π4）=1−cos(2α+π2)2=12+sin2α2=√23+12．故选：B．9．已知直线l：abx−(4a−1)y+m=0(a＞14)与双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（）A．√2B．√3C．2D．√5【分析】利用双曲线是否是等轴双曲线，结合△OAB为直角三角形，转化求法双曲线的离心率的表达式，求解最大值．解：当双曲线是等轴双曲线时，e=√2，双曲线不是等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直，所以：ab4a−1×ba=1，∴b2＝4a﹣1，e2=c2a2=a2+b2a2=−1a2+4a+1=−（1a−2）2+5≤5，a=12时，取得最大值；∴e≤√5．双曲线的离心率e的最大值为：√5．故选：D．10．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（）A．36种B．48种C．56种D．72种【分析】解：根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，若BC相邻且不与D相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A32＝24种安排方法，则中间5人有12+24＝36种安排方法，则有2×36＝72种不同的安排方法；故选：D．11．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，CC1＝7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（）A．910B．109C．1011D．1110【分析】由题意画出图形，可得当截面周长最小时的BM值，再由已知可得底面中AB ⊥BC，分别求出截面上下两部分的体积，作比得答案．解：由AB＝3，BC＝4，AC＝5，得AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM＝3，设四棱锥A﹣BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V 1V 1=1110．故选：D ．12．如图，在△ABC 中，tan C ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可． 解：S =12BC ⋅ACsinC =14tanC ⋅2BC ⋅ACcosC ＝BC 2+AC 2﹣AB 2＝AC 2+BC 2﹣（AD +BD ）2 ＝2（CD 2﹣BD •AD ） ＝6． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y ＝2x 2上的点A （1，2）到焦点F 的距离为178．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可． 解：抛物线y ＝2x 2，的标准方程为：x 2=12y ．准线方程为：y =−18，点A （1，2）到焦点F 的距离为A 到准线的距离：2+18=178．故答案为：178．14．曲线y ＝f （x ）＝x n e x 在x ＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为2e 3，则n ＝ 2或−23．【分析】先求出x ＝1处的切线方程，然后分别求出切线与x ，y 轴交点的横坐标、纵坐标，然后表示出三角形的面积，令其等于2e 3，解出n 的值．解：由已知得：f ′（x ）＝（x n +nx n ﹣1）e x ， 所以f （1）＝e ，f ′（1）＝（n +1）e ， 所以切线为：y ﹣e ＝（n +1）e （x ﹣1）． 令x ＝0得y ＝﹣ne ；令y ＝0得x =nn+1，所以S △=12×n 2|n+1|e =2e3， 解得n ＝2或−23．故答案为：2或−23．15．在△ABC 中，|AB →|=4，AC →⋅AB →=8，则AB →⋅BC →= ﹣8 ．【分析】先根据平面向量的减法运算可知BC →=AC →−AB →，再代入原等式，并结合数量积的运算即可得解．解：∵|AB→|=4，AC→⋅AB→=8，∴AB→⋅BC→=AB→⋅(AC→−AB→)=AB→⋅AC→−AB→2=8﹣42＝﹣8，故答案为：﹣8．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，A到平面PBC的距离是2√55，则三棱锥外接球的表面积为20π．【分析】取BC的中点，连结AD，PD，由题意得AD⊥BC，推导出平面PAD⊥平面PBC，过A点向PD引垂线交PD于M，则AM⊥平面PBC，延长AD到O1，O1是△ABC的外心，过O1作平面ABC的垂线，交PA的垂直平分面于O，O是三棱锥外接球球心，三棱锥外接球半径r＝AO=√5，由此能求出三棱锥外接球表面积．解：取BC的中点，连结AD，PD，由题意得AD⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，BC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PBC，过A点向PD引垂线交PD于M，则AM⊥平面PBC，∴AM=2√55=PA⋅ADPD，解得AD＝1，∠BAC＝120°，延长AD到O1，使AO1＝2，∴O1是△ABC的外心，过O1作平面ABC的垂线，交PA的垂直平分面于O，∴O是三棱锥外接球球心，∴三棱锥外接球半径r＝AO=√5，∴三棱锥外接球表面积S＝4πr2＝20π．故答案为：20π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步票．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足数列{log2a n}的前n项和为A n=12n(n+1)．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）若数列{1a n}的前n项和为T n，求S n﹣8T n的最小值．【分析】（1）先求得首项a1，再由log2a n＝A n﹣A n﹣1⇒a n＝2n，然后求得前n项和S n；（2）由（1）可求得1a n =12n，然后求出T n，再求S n﹣8T n的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可．解：（1）由已知得当n＝1时，log2a1＝A1＝1，解得a1＝2，当n≥2时，log2a n＝A n﹣A n﹣1=12n(n+1)−12n(n−1)=n∴a n＝2n，当n＝1也符合，∴a n＝2n，S n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2；（2）由（1）知1a n=12，∴T n=12[1−(12)n]1−12=1﹣（12）n，∴S n﹣8T n＝2n+1﹣2﹣8+82n=2n+1+82n−10≥2√2n+1⋅82n−10＝8﹣10＝﹣2，当且仅当2n+1=82n时取等号，即当n＝1时取得最小值﹣2．18．2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A、B、C三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A 、B 、C 三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为34，23，12，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立．（1）求六个月后A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率； （2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X ，求X 的分布列和数学期望．【分析】（1）A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种分两种情况：A 团队研究出但B 团队未研究出，B 团队研究出但A 团队未研究出，然后根据相互独立事件的概率求解即可；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，再根据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）由题意得，六个月后，A 、B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率为P =23×14+13×34=512． （2）X 的可能取值为0，1，2，3，P （X ＝0）=12×13×14=124，P （X ＝1）=12×13×14+12×23×14+12×13×34=624=14， P （X ＝2）=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P （X ＝3）=12×23×34=624=14． ∴X 的分布列为X 0123P12414112414数学期望E （X ）=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312． 19．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BB 1=√2BC ，D 是CC 1的中点．（1）证明：B 1C ⊥平面ABD ；（2）若AB ＝BC ，E 是A 1C 1的中点，求二面角A ﹣BD ﹣E 的大小．【分析】（1）设BC ＝2，证明△DCB ∽△CBB 1，得∠BDC ＝∠BCB 1，可得∠DBC +∠BCB 1＝90°，则BD ⊥B 1C ，由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，得BB 1⊥AB ，进一步得到AB ⊥平面BCC 1B 1，从而有AB ⊥B 1C ，进一步得到B 1C ⊥平面ABD ；（2）设BC ＝2，以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABD 的一个法向量与平面BDE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BD ﹣E 的大小．【解答】（1）证明：设BC ＝2，∴BB 1=2√2，DC BC=√22，BCBB 1=2√2=√22． ∴DC BC=BC BB 1，则△DCB ∽△CBB 1，得∠BDC ＝∠BCB 1，∵∠DBC +∠BDC ＝90°，∴∠DBC +∠BCB 1＝90°，得BD ⊥B 1C ． ∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ， 又AB ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，又∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCC 1B 1， 而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥B 1C ， 又BD ∩AB ＝B ，∴B 1C ⊥平面ABD ；（2）解：设BC ＝2，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知，E （1，1，2√2），D （0，2，√2）， A （2，0，0），B 1（0，0，2√2），C （0，2，0）． 由（1）知平面ABD 的一个法向量CB 1→=(0，−2，2√2)， BE →=(1，1，2√2)，BD →=(0，2，√2)．设平面BDE 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)．由{n →⋅BE →=x +y +2√2z =0n →⋅BD →=2y +√2z =0，取z =−√2，得n →=(3，1，−√2)． ∴cos ＜CB 1→，n →＞=23×23=−12．由图可知二面角A ﹣BD ﹣E 为锐角，则二面角A ﹣BD ﹣E 的大小为60°．20．已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为−12． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN 的垂心，求直线l 的方程．【分析】（1）由题意可得P 的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P 的轨迹方程；（2）由（1）可得右焦点F 的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F 是△AMN 的垂心可得AF ⊥MN ，NF ⊥AM ，可得m 的值．解：（1）由题意可得y−2x⋅y+2x =−12（x ≠0），整理可得x 28+y 24=1，所以动点P 的轨迹C 的方程：x 28+y 24=1（x ≠0）；（2）由（1）可得右焦点F （2，0），可得k AF =2−00−2=−1， 因为F 为垂心，所以直线MN 的斜率为1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程：{y =x +mx 2+2y 2=8整理可得：3x 2+4mx +2m 2﹣8＝0，△＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣8）＞0，即m 2＜12，x 1+x 2=−4m3，x 1x 2=2m 2−83， 由已知可得AM ⊥NF ，所以k AM •k NF ＝﹣1，即y 1−2x 1⋅y 2x 2−2=−1，整理可得y 2（y 1﹣2）+x 1（x 2﹣2）＝0，即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2y 2＝0，即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2（x 2+m ）＝0，整理可得y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣2m ＝0，而y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=m 2−83所以m 2−83−2⋅−4m3−2m +2m 2−83=0，解得m =−83或m ＝2（舍）， 所以直线l 的方程为：y ＝x −83．21．已知函数f(x)=(1+sinx)cosxsinx+2x −π．（1）证明：函数f （x ）在（0，π）上是减函数；（2）若x ∈(0，π2)，f(x)＞m(π2−x)2，求m 的取值范围．【分析】（1）求导，结合基本不等式可得f ′（x ）≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得证；（2）当m ≤0时，由（1）f(x)＞m(π2−x)2在x ∈(0，π2)上成立；当m ＞0时，利用导数可推导存在x ∈(t ，π2)，使得f(x)＜m(π2−x)2与f(x)＞m(π2−x)2矛盾， 综合即可得出结论．解：（1）证明：f(x)=cosxsinx +cosx +2x −π，则f′(x)=−1sin 2x −sinx +2≤−1sin 2x −sin 2x +2≤−2√1sin 2x⋅sin 2x +2=0，当且仅当sin x ＝1时取等号， 故函数f （x ）在（0，π）上是减函数；（2）因为x ∈(0，π2)，当m ≤0时，由（1）知，f(x)＞f(π2)=0≥m(π2−x)2成立； 当m ＞0时，令g(x)=cosx +x −π2，g ′（x ）＝﹣sin x +1＞0， ∴g （x ）在(0，π2)上单调递增， ∴g(x)＜g(π2)=0，即cosx ＜π2−x ，∴f(x)−m(π2−x)2=cosx sinx +cosx +2x −π−m(π2−x)2＜cosx sinx +x −π2−m(π2−x)2，令h(x)=cosx sinx +x −π2−m(π2−x)2，则h′(x)=−cos 2x sin 2x +2m(π2−x)＞−(π2−x)2sin 2x+2m(π2−x) =π2−x sin 2x[2msin 2x −(π2−x)]=π2−x sin 2x[2mcos 2(π2−x)−(π2−x)]，令p（x）＝2m cos2x﹣x，p′（x）＝﹣4m cos x sin x﹣1＜0，∴p（x）在(0，，π2)上单调递减，则q(x)=p(π2−x)=2mcos2(π2−x)−(π2−x)在(0，π2)上递增，∵q(0)＜0，q(π2)＞0，∴存在t∈(0，π2)，使得q（t）＝0，即x∈(0，π2)时，q（x）＞q（t）＝0，∴h′（x）＞0，则h（x）在(t，π2)递增，故h(x)＜h(π2)=0，∴存在x∈(t，π2)，使得f(x)＜m(π2−x)2与f(x)＞m(π2−x)2矛盾，∴实数m的取值范围为（﹣∞，0]．一、选择题22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ={2，0≤θ＜π2，√3sin(θ−π6)，π2≤θ≤π．（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，求|AB|．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆周及一个两直角边分别为2与2√3的直角三角形，所以S=π+2√3．（2）曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，所以{ρ=2ρsinθ=1，得到A（2，π6）转换为直角坐标为A（√3，1）．极坐标方程ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为y＝1，极坐标方程ρ=√3sin(θ−π6)转换为直角坐标方程为x−√3y+2√3=0，所以B（−√3，1），所以|AB|＝2√3．[选修4-5：不等式选讲]23．设x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．（1）若m＝1，求x2+4y2+12z2的最小值；（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求实数m的取值范围．【分析】（1）由均值不等式及其变形把x2+4y2+12z2转化成z（x+2y）＝1，求出最小值．（2）由均值不等式和绝对值不等式得x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，进而得到关于m的不等式，解出即可．解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即a2+b2≥12（a+b）2，∴x2+4y2+12z2≥12（x+2y）2+12z2≥12•2|（x+2y）z|＝1，当且仅当x＝2y，x+2y＝z时，即x＝2y=12z，等号成立，∴x2+4y2+12z2的最小值是1．（2）∵m2﹣8＝x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|，（当且仅当|x|＝|y|＝|z|时等号成立），又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，（当且仅当xz与yz非异号时等号成立）．∴m2﹣8≥2|m|，即m2﹣2|m|﹣8≥0，解得|m|≥4，即m≥4或m≤﹣4，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．。

河北省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或33．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm35．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．217．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.88．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．111．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax ﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8【考点】EF：程序框图．【分析】由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故选：D．8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π，故选：A．9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦距2c=2=2，分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，此时双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线的方程为y=±x，故选：B．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：C．11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．【考点】KE：曲线与方程．【分析】取特殊点代入进行验证即可．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】IS：两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积公式可得•=||•||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵AB=3，AC=4，，∴•=||•||cosA=6，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB••cosA=9+16﹣12=13，∴BC=，故答案为：．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是7 名．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．故答案为：7．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为210 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，求出a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（x+﹣2）5的展开式中x的系数．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，∴，解得a=2，∴=（x+﹣2）5，∴展开式中x的系数为：++=80+120+10=210．故答案为：210．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b ．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数；由题意得∀x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2015x是定值，设t=f（x）﹣log2015x，则f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a n}的通项公式；（2）先化简b n，再利用定义证明即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5，∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根∴以a1=1，a2=5，∴{a n}等差数列的公差为4，∴=2n2﹣n；（2）证明：当时，=，∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣2n=2，∴{b n}是以2为首项，公差为2的等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则=．因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，因此，ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3p∴．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG 为平行四边形，即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：，；，根据余弦定理=，即可．【解答】解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD（2）由AB=2，AE=1可知，，同理又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，知△BEC≌△DEC，过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，所以∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中，BC=2．由面积相等可知：，；根据余弦定理=所以二面角D﹣EC﹣B正弦值为20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）求得直线PA的方程，求得丨BM丨，同理求得丨AN丨，由，代入即可求得四边形ABNM的面积．【解答】解：（1）由题意得，解得a=2，．∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知，A（2，0），，由题意可得，因为P（x0，y0），﹣2＜x0＜0，，．∴直线PA的方程为令x=0，得．从而=．直线PB的方程为．令y=0，得．从而|AN|=|2﹣x N|=．∴|AN|•|BM|=，=，=，=．∴=，四边形ABNM的面积2．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，从而求解函数f（x）的极值；（2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．【解答】（1）解：①若a≤0时，＞0所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故无极大值和极小值②若a＞0，由得，所以．函数f（x）单调递增，，函数f（x）单调递减故函数f（x）有极大值a﹣lna﹣1，无极小值．（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则=，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得令，则，所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．又x0为m（x）的一个零点，所以①若x1∈（0，1），因为，，所以，因为所以=1﹣lnx1，所以1＜a＜2．②若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=1﹣lnx1=0（舍去）．综上可知，1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）圆C的参数方程化为普通方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1，（2）圆心到直线的距离，故直线l被圆C所截得的弦长为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；（2）f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或解得：或，∴不等式的解集为或．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．。

2020届河北省九校高三上学期第二次联考试题数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|}20,A x x x x =-<∈-Z ，{}|2,xB y y x A ==∈，则A B =U （ ） A ．{1} B ．{0,1,2}C ．1,1,2,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,2,4}【答案】B【解析】解出集合A 中的不等式，得出解集，求出集合B ，即可求得A B U . 【详解】解不等式220x x --<，()()120x x +-<，得12x -<<，所以{}2{|}0,120,A x x x x =-<-=∈Z ，{}{}|2,1,2x B y y x A ==∈=，所以{0,1,2}A B =U . 故选：B 【点睛】此题考查解一元二次不等式，求函数值域，求两个集合的并集，关键在于根据集合关系准确求解. 2．已知复数z =（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第三象限 C．直线y =上 D．直线y =上【答案】C 【解析】因为z ==11z -∴=-在复平面内对应的点为(-在第二象限，在直线y =上 ，选C.3．设124a -=，121log 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得． 【详解】112211log log 132>=，12142-=，3311log 2log 32>>=，∴1231214log 2log 3-<<，即a c b <<．故选：B. 【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较．4．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案．【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论． 【详解】甲企业的成本为：10000； 乙企业的成本为：12000； 丙企业的成本为：15000故成本最大的是丙企业，故A 正确； 甲企业费用支出为：100005%500⨯=； 乙企业费用支出为：1200017%2040⨯=； 丙企业费用支出为：1500015%2250⨯= 故费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确； 甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=； 乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=； 丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=； 故甲企业支付的工资最少，故C 错误； 甲企业材料成本为：1000060%6000⨯=； 乙企业材料成本为：1200053%6360⨯=； 丙企业材料成本为：1500060%9000⨯= 故材料成本最高的企业是丙企业，故D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题．6．设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件、必要条件以及等差数列的性质判断即可. 【详解】解：由{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若20a >，则10n a +>，又 11n S S n n a ++=-，1n S S n +∴>，故充分性成立； 若1n S S n +>，则1n 10S S n n a ++-=>，20a ∴>，故必要性成立； 综上可得，“20a >”是“1n S S n +>”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质以及充分条件必要条件的判定，属于基础题.7．已知两个不相等的非零向量a v ，b v ，满足1a =v ，且a v 与b v －a v的夹角为60°，则b v 的取值范围是( )A．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．,12⎫⎪⎪⎣⎭ C．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．()1,+∞【答案】D【解析】设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，由已知a r 与b a -r r的夹角为60︒可得120ABC ∠=︒，由正弦定理sin sin120a b C=︒rr得1b >r，从而可求b r 的取值范围 【详解】解：设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，，如图所示：则由BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r又Q a r 与b a -r r 的夹角为60︒，120ABC ∴∠=︒又由1AB a ==u u u r r由正弦定理sin sin120a b C=︒r r得b =r0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q3sin 0,C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭()31,b ∴=∈+∞r故选：D ．【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．7842π++B ．7442π++C ．5842π++D ．5442π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体， 故所求的表面积为(221142234222584284πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27B ．57C ．913D ．413【答案】D【解析】本题从颜色使用数量上来分类，又由条件知至少使用三种颜色，所以只剩三种情况了．然后选色，再按照规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，使用分步计数原理逐一涂色，即可求出总的基本事件，再弄清A ，C 区域涂同色的占了多少个基本事件，利用古典概型及其概率计算公式求答案． 【详解】解：根据题意，至少使用3种颜色．由使用颜色数量，下面我们分三种情况：（1）使用5种颜色：选色56C ，涂上去55A ，共有5565720C A =种； （2）使用4种颜色：选色46C ，先涂D 有4种，下面，①、若A 、C 同色，则B 和E 各涂剩余的两色，有223A 种，②、若A 、C 不同色，则B 和E 必同色，有33A 种．∴共42436263434360360720C A C A ⨯⨯+⨯⨯=+=种；（3）使用3种颜色：选色36C ，先涂D 有3种选择，D 用掉一种颜色，下面只有A 、C同色，B 、E 同色，有22A 种，共32623120C A ⨯=种， ∴共计7207201201560++=种，其中A ，C 区域涂同色的有360120480+=种， 则A ，C 区域涂同色的概率为4804156013=． 故选：D ． 【点睛】本题考查古典概型概率计算与分类、分步计数原理的应用，关键正确理解题意，选择好分类标准．属于中档题．10．某学生对函数()sin f x x x =的图象与性质进行研究，得出如下结论： ①函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ②点(),0π是函数()f x 的图象的一个对称中心；③函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；④存在常数0M >，使()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立.其中正确的结论是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】根据函数的奇偶性，单调性，对称性，值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】易知()sin f x x x =为偶函数，()sin cos f x x x x '=+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，所以()f x 在[0]2π，上单调递增，又()sin f x x x =为偶函数，所以()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故①正确；因为()(2)sin (2)sin(2)sin (2)sin f x f x x x x x x x x x ππππ+-=+--=--2sin 2sin 0x x x π=-=不恒成立，所以点(),0π不是函数()f x 的图象的对称中心，故②错误；因为()()sin ()sin()sin ()sin f x f x x x x x x x x x ππππ--=---=--2sin sin 0x x x π=-=不恒成立，即()()f x f x π=-不恒成立，所以直线2x π=不是函数()f x 的图象的对称轴，故③错误；因为|()||sin ||||sin |||f x x x x x x ==…，所以当1M =时，()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立，故④正确. 综上可知，正确的结论是①④. 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的逻辑推理能力和基本运算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.11．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】设直线l ：()b y x c a=+，由2F 到l 的距离大于a ，得出ba 的范围，再由e =.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+， 由题知2F 到直线l 的距离d a >， 即d =2b a =>，可得12b a >，所以离心率e =>故选：C. 【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e =可使计算变得简便，属于常考题. 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-U B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(1,)-?? D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】D【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0,1)时,g (x )>0,∵lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,∵lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∵f (x )是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、填空题13．已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为__________. 【答案】4【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，建立方程计算得到答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5a 与432a 的等差中项为12，所以54312a a +=，所以233312a q a q +=，又31a =，所以22320q q +-=， 又数列{}n a 的各项均为正数，所以12q =，所以3124a a q ==.故答案为：4. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.14．已知2nx⎛⎝的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________. 【答案】-32【解析】先写出二项式展开式中第5项，因为第5项为常数项解出n ，然后令1x =得各项系数和. 【详解】解：因为()44424210581n n n n T C x C x--⎛== ⎝，且第5项为常数项 所以2100n -=，即5n =令1x =，得所有项系数和为()()5513232-=-=- 故答案为：32- 【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式，以及各项系数和问题，属于基础题.15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 【答案】±1【解析】令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===，设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，计算得到答案. 【详解】由题意知()0,2A -，()0,2F ，过点P 作PB l ⊥（l 为抛物线的准线），垂足为B . 由抛物线的定义可知||||PF PB =.令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===， 当sin α最小时，t 最大，当直线PA 与抛物线28x y =相切时，sin α最小，即t 最大.设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，所以在点P 处的切线方程为()200084x xy x x -=-，又切线过()0,2A -，所以2200284x x --=-，解得04x =±，所以当t 取得最大值时，直线PA 的斜率为±1. 故答案为：±1.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值和直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时6cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】3π【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据6cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ， 因为8PA PB PC ===，故82AB AC ==6cos 3PA PAO AD ∠==Q ，4666AD ∴===2242BD AB AD =-=，PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，282BC BD ∴==，222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径222432PA PB PC R ++==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为()344325633V ππ=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+. （1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积312abcS =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）(33,6]【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即3R b =， ∴3sin 223b B b R b==⨯=，又B为锐角，∴3B π=. （2）∵ABC ∆的面积31sin 1223abc S ac π==， ∴3b =，∴232233R b ==，又2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴2332(sin sin )23sin sin 23sin cos 32a c R A C A A A A π⎫⎡⎤⎛⎫⎛+=+=+-=+⎪ ⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎭ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(33,6]a c +∈，即a c +的取值范围为(33,6]. 【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.18．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14-【解析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得()3,0,3AQ =-u u u v为平面PBC 的法向量，求得平面PCD 的法向量为()0,3,1n =v，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒， 所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D，()2,2,0C -，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(0,DP =-u u u v ，()2,0,0CD =u u u v ， 由（1）知，AQ uuu v为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点，所以(Q -，所以(AQ =-u u u v，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =v，由00n CD n DP u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()n =v.所以cos ,AQ nAQ n AQ n⋅==u u u v vu u u v v u u u v v 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F，短轴长为A ，上顶点为B ，ABF V. (1)求椭圆的标准方程；(2)过A 作直线l 与椭圆交于另一个点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当AMN V 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 22143x y += (2) 1(2)2y x =±-【解析】试题分析：（1）根据题意布列方程组，从而得到椭圆的标准方程；（2）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠，由()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩，得到()22234690k yky k +--=，借助韦达定理表示AMN S =V 法转为二次函数最值问题，即可得到直线l 的方程. 试题解析：（Ⅰ）根据短轴长知b =()12ABF S a c V =+=则3a c +=，因为222b a c =-，则1a c -=，故21a c ==，， 则椭圆方程为22143x y +=．（Ⅱ）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠，()()1122M x y N x y ，，，121||?||2AMN S AF y y V =-=①()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩， ()22234690k y ky k ⇒+--=， 122634k y y k +=+，21229·34k y y k-=+． 代入①式得AMNS ==V ，令2343t k =+>，则234t k -=，92AMNS ==<V ， 当k 不存在时，92AMN S =V ． 故当AMN V 面积最大时，MN 垂直于x 轴，此时直线l 的斜率为12±， 则直线l 方程：()122y x =±-． 20．已知函数()cos xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.（2）当0x >时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】（1）()cos xf x e x =-Q ，则()sin xf x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=. （2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点； 又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.21．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【答案】（1）300（千米）（2）0.8186（3）说明详见解析，此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x ． （2）由~(300X N ，250)．利用正态分布的对称性可得(250400)P X <„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．可得：211122n n n P P P --=+．变形为112(1)2n n n n P P P P ----=--．即可证明149n 剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为10P P -，公比为12-的等比数列．利用112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯⋯+-+，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率49P ，失败的概率50P ．进而得出结论． 【详解】 解：（1）0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千米）．（2）由~(300X N ，250)．0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -∴<=-=„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =． 遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -． ②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -． 211122n n n P P P --∴=+． 1121()2n n n n P P P P ---∴-=--．149n ∴剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列．1112P ∴-=-，2211()2P P -=-，3321()2P P -=-，⋯⋯，11()2nn n P P --=-． 1112100111()()()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P ----∴=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯-+ 1111()212[1()]1321()2n n ++--==----(0n =，1，⋯⋯，49)． ∴获胜的概率504921[1()]32P =--，失败的概率49495048112111[1()][1()]223232P P ==⨯--=+． 5049484950211111[1()][1()][1()]0323232P P ∴-=---+=->． ∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为74π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值.【答案】（1）1C 的普通方程为4320x y +-=.2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）815【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪代入2y x =，利用韦达定理得到12809t t ''+=，12503t t ''=，计算得到答案. 【详解】（1）消去参数t 得曲线1C 的普通方程为4320x y +-=.曲线2C 的极坐标方程可化为2cos sin ρθθ=，即22cos sin ρθρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪（t '为参数）， 代入2y x =得29801500t t ''-+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设'1t ，'2t 分别是,A B 对应的参数， 则12809t t ''+=，12503t t ''=. ∴121211||||8||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ''''+++===⋅. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程标准形式的应用，考查的核心素养是数学运算和直观想象.23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz .（2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值.【详解】（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥＝4，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >，∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）∵xyz x y z ++＝13，即1113yz xz xy ++=．∵112yz yz yz +=…， 112xz xz xz+=…，12xy xy +=…， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++…， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥8，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。