荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2020届高三10月联考理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1．已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 2．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是A ．()22x x f x -=-B ．2()1f x x =-C ．()cos f x x x =D ．()ln f x x =- 3．下列命题中错误的是A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．00,x ∃>使“00x x ab >”是“0a b >>”的必要不充分条件4．若tan 2α=，则sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值为A ．16B ．16-C ．12D ．12-5．已知11617a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 6．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ()0ϕ>个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ=A．3- B．3C． D7．已知函数21()7,0(x)2log (1),0xx f x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A.()[),30,1-∞-UB.()()3,01,1--UC.()3,1-D.()(),31,-∞-+∞U 8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：为A ．6升 B．8升 C ．10升 D ．12升 9．平面直角坐标系xOy 中，点00(,)P x y 在单位圆O上，设xOP α∠=，若5 36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且3sin()65πα+=，则0x 的值为A．310- B ．310+ C ．310 D ．310-10．已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是A B C D 11．已知函数()xf x e =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin sin f A f B ≤C ．()()cos sin f A f B ≤D ．()()cos cos f A f B ≤12．设实数0λ>，若对任意的()2,x e ∈+∞，不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，则λ的最小值为A ．22eB ．22eC ．212eD ．22e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (1)4a y x =-+的图象恒过定点P , 点P 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f = ． 14．若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ．15．已知命题2:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为真命题，则实数m的取值范围为． 16．已知1()2sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,AC =． （Ⅰ）若30DAC ∠=o ，求角B 的大小；（Ⅱ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值．19．（本小题满分12分）国家质量监督检验检疫局于2020年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x e x π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩根据上述条件，回答以下问题：（Ⅰ）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （Ⅱ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40,ln90 4.50≈≈≈）20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为()1,0.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆E 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)1()xf x e ax x x R =+++-∈.（Ⅰ）若0x ≥时,()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求证：23e2<.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1(x tt y t =-⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-． （Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x x ->；（Ⅱ）若2(43)((4)1)f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围．荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟E DB C AP2020届高三10月联考理科数学参考答案13．9 14．20x y--= 15．2m< 16．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：17．解：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有sin sinAC DCADCDAC=∠∠.因为AC=,所以sin ADC DAC∠=∠=.………………………………3分又οο6060>+∠=∠+∠=∠BBADBADC所以120ADC∠=°.于是οοοο3030120180=--=∠C,所以60B∠=°. ……………………………………6分（Ⅱ）设DC x=,则2BD x=,3BC x=,AC=.于是sinACBBC==,cos B=,.6xAB=………………………………………9分在ABD∆中,由余弦定理,得2222cosAD AB BD AB BD B=+-⋅,即222264222x x x x=+-⨯=,得x=DC=．………12分18．证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接,OF EF．因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF PAP，且12OF PA=，因为DE PAP，且12DE PA=，所以OF DEP，且OF DE=．所以四边形OFED为平行四边形，所以OD EFP，即BD EFP．······2分因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA BD⊥．因为ABCD是菱形，所以BD AC⊥．因为PA AC A=I，所以BD⊥平面PAC．···············4分因为BD EFP，所以EF⊥平面PAC．因为FE⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE．··········5分（Ⅱ）因为直线PC与平面ABCD所成角为45o，所以45PCA∠=o，所以2AC PA==．所以AC AB=，故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则AM BC⊥．以A为原点，AM，AD，AP分别为x yz，，轴，建立空间直角坐标系A xyz-．···························7分则()0,02P，，)0C，，()0,21E，，()0,20D，，)2,PC=-u u u r(),CE=u u u r()0,0,1DE=u u u r．设平面PCE的法向量为()111,,x y z=n，则0,0,PCCE⎧=⎪⎨=⎪⎩nnuu u rguu u rg即11111120,0.y zy z+-=++=⎪⎩令11y=，则112.xz⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n．…………………………………………9分设平面CDE的法向量为()222,,x y z=m，则0,0,DECE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mmuu u ruu u r即22220,0.zy z=⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x=则220.yz⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m．cos,4⋅===⋅n mn mn m，设二面角P CE D--的大小为θ，由于θ为钝角，所以cosθ=，···11分即二面角P CE D--的余弦值为．················12分19．解：（Ⅰ）由图可知，当函数()f x取得最大值时，02x<<，…………………1分此时()40sin()133f x xπ=+，……………………………………………………………2分当32xππ=，即32x=时，函数()f x取得最大值为max401353y=+=．………………4分故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升．………………5分（Ⅱ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x>．由0.5901420xe-⋅+<，得0.5115xe-<，…………………………………………………7分两边取自然对数，得0.51ln ln15xe-<………………………………………………………8分即0.5ln15x-<-，所以ln15 2.715.420.50.5x->==-，…………………………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分．20．解：（Ⅰ）由已知得2,1a c==，∴b=E的方程为22143x y+=；...........4分（Ⅱ）假设存在点0(,0)M x,使得MA MB⋅u u u r u u u r为定值，当直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为1x my=+，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 得22(34)690m y my++-= (6)分设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++，............................7分101202(,),(,)MA x x y MB x x y =-=-u u u r u u u r22102012120120()()(1)(1)()(1)MA MB x x x x y y m y y x m y y x ∴⋅=-⋅-+⋅=+⋅+-++-u u u r u u u r=22002296(1)()(1)()(1)3434mm x m x m m +-+--+-++22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.............................................................................9分要使上式为定值, 即与m 无关，应有0615934x -=- 解得0118x =，此时13564MA MB ⋅=-u u u r u u u r ．.................................................................................11分当直线l 的斜率为0时，不妨设(2,0),(2,0)A B -，当M 的坐标为11(,0)8时13564MA MB ⋅=-u u u r u u u r综上，存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=-u u u r u u u r 为定值．.……………………………………12分21．解:（Ⅰ）法一：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++..................................................1分()()211x f x e x ''=-+，()()211xf x e x ''=-+在[)0+∞，上单调递增， 则()()0=0f x f ''''≥................................................................................................................. .....3分 则()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+..............................................................4分① 当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在[)0+∞，上单调递增， 此时()()0=0f x f ≥，满足题意................................................................................................5分②若2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增， 由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. ............................................ .....................................7分 法二：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++...................................................................................1分① 2a ≥-，令()1xg x e x =--，则()10xg x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+．………………………………………………….... .... .... ...3分∴()()1112011xf x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增. ∴()()00f x f ≥=，成立.......….............5分 ②若2a <-,由()()()()222111011x xx e f x e x x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增.由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=, ∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. .........................................................................7分 （Ⅱ）证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11xe x x -++-在[)0,+∞上单调递增....................... ........ ..................... ........................ ...................................... .....................9分则()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1211ln 1102e ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭. ∴3ln 22>∴232e>,即232e <.............................................................................................. .....12分22.解：（Ⅰ）.24cos ,4cos ρθρθ=∴=Q , 由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=, 所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1x t y t =-⎧⎨=⎩,消去t 解得：10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=．………5分（Ⅱ）把1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 代入224x y x +=,整理得230t +-=,设其两根分别为 12,t t，则12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-== .……………………………………………10分亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的距离为d =，从而PQ =23．解：（Ⅰ）()0f x x ->可化为1x x ->， 所以22(1)x x ->，所以12x <， 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………5分（Ⅱ）因为函数()1f x x =-在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围是(2,6)．……………………………………………………………10分荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 2020届高三10月联考理科数学参考答案13．9 14．20x y --= 15．2m < 16．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：17．解：（Ⅰ）在△ABC 中,根据正弦定理,有sin sin AC DCADC DAC=∠∠. 因为AC =,所以sin ADC DAC ∠=∠=.………………………………3分 又οο6060>+∠=∠+∠=∠B BAD BADC 所以120ADC ∠=°.于是οοοο3030120180=--=∠C ,所以60B ∠=°. (6)分 （Ⅱ）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,AC =.于是sin 3AC B BC ==,cos 3B =,.6x AB = ………………………………………9分 在ABD ∆中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,即222264222x x x x =+-⨯=,得x =DC =．………12分 18．证明：（Ⅰ）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA P ，且12OF PA =， 因为DE PA P ，且12DE PA =，所以OF DE P ，且OF DE =． 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ． ······· 2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC． ··············· 4分 因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ·········· 5分（Ⅱ）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45o ，所以45PCA ∠=o ，所以2AC PA ==．所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ， 则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -． ··························· 7分则()0,02P ，，)0C ，，()0,21E ，，()0,20D ，，)2,PC =-u u u r (),CE =u u u r()0,0,1DE =u u u r ．设平面PCE的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n uu u rg uu u r g 即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 令11y =，则112.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．…………………………………………9分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uu u ruu u r 即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ． cos ,⋅==⋅n m n m n m ， 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos θ=， ··· 11分 即二面角P CE D --的余弦值为．················ 12分 19．解：（Ⅰ）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，…………………1分 此时()40sin()133f x x π=+，……………………………………………………………2分当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 401353y =+=．………………4分 故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升．………………5分（Ⅱ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >．由0.5901420x e -⋅+<，得0.5115x e -<， …………………………………………………7分两边取自然对数，得0.51ln ln 15x e -< ………………………………………………………8分即0.5ln15x -<-，所以ln15 2.715.420.50.5x ->==-， …………………………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分．20．解：（Ⅰ）由已知得2,1a c ==，∴b =E 的方程为22143x y +=；...........4分（Ⅱ）假设存在点0(,0)M x ,使得MA MB ⋅u u u r u u u r为定值，当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(34)690m y my ++-= (6)分设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++，............................7分101202(,),(,)MA x x y MB x x y =-=-u u u r u u u r22102012120120()()(1)(1)()(1)MA MB x x x x y y m y y x m y y x ∴⋅=-⋅-+⋅=+⋅+-++-u u u r u u u r=22002296(1)()(1)()(1)3434mm x m x m m +-+--+-++22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.............................................................................9分要使上式为定值, 即与m 无关，应有0615934x -=- 解得0118x =，此时13564MA MB ⋅=-u u u r u u u r ．.................................................................................11分当直线l 的斜率为0时，不妨设(2,0),(2,0)A B -，当M 的坐标为11(,0)8时13564MA MB ⋅=-u u u r u u u r综上，存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=-u u u r u u u r 为定值．.……………………………………12分21．解:（Ⅰ）法一：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++..................................................1分()()211x f x e x ''=-+，()()211xf x e x ''=-+在[)0+∞，上单调递增， 则()()0=0f x f ''''≥................................................................................................................. .....3分 则()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+..............................................................4分① 当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在[)0+∞，上单调递增， 此时()()0=0f x f ≥，满足题意................................................................................................5分②若2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增， 由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. ............................................ .....................................7分 法二：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++...................................................................................1分② 2a ≥-，令()1xg x e x =--，则()10xg x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+．………………………………………………….... .... .... ...3分∴()()1112011xf x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增. ∴()()00f x f ≥=，成立.......….............5分②若2a <-,由()()()()222111011x xx e f x e x x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增.由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=, ∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. .........................................................................7分 （Ⅱ）证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11xe x x -++-在[)0,+∞上单调递增....................... ........ ..................... ........................ ...................................... .....................9分则()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1211ln 1102e ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭.∴3ln 22>∴232e >,即232e <.............................................................................................. .....12分22.解：（Ⅰ）.24cos ,4cos ρθρθ=∴=Q , 由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=, 所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1x ty t =-⎧⎨=⎩,消去t 解得：10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=．………5分（Ⅱ）把12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=,整理得230t +-=, 设其两根分别为 12,t t，则12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-== .……………………………………………10分亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的距离为2d =，从而PQ =23．解：（Ⅰ）()0f x x ->可化为1x x ->， 所以22(1)x x ->，所以12x <， 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………5分（Ⅱ）因为函数()1f x x =-在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围是(2,6)．……………………………………………………………10分。
