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周期信号的频谱

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周期信号的频谱解读

周期信号的频谱解读

X
第
3.3.2 周期矩形脉冲信号的频谱
本小节以周期矩形脉冲信号为例进行分析
7 页
主要讨论：频谱的特点，频谱结构，
频带宽度，能量分布。
X
第
一．频谱结构
f (t ) E
8 页
脉宽为 脉冲高度为E
T1
t
T1
O 2 2
周期为T1
1. 三角函数形式的谱系数 2. 指数函数形式的谱系数 3. 频谱特点

2
0
2


n 1
X
不变， T1改变
E 2π T1 幅度 , 谱线 间隔1 T1 T1
f (t )
2π 第一个过零点频率 不变
第 13 页
当ET1 ，时， 1 0， 为无限小， T1 f t 由周期信号 非周期信号。 4

T1 2T1
T1 5E
Fn
2π
O 1 2 1


第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
X
第
周期矩形脉冲信号的功率
1 P T
16 页

T
0
f 2 ( t )dt
n


Fn
2

n


F ( n1 )
2
1 1 以 s, T1 s为例，取前5 次谐波 20 4
X
1 2 1


第
4．讨论
2π 谱 线 间 隔1 不变 T1不变， 改变 T1 E 2π 幅 度 , 第 一个 过零 点 T1
f (t ) E
12 页

4.3 周期信号的频谱及特点

4.3 周期信号的频谱及特点
A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：

周期信号的频谱

周期信号的频谱
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。
解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的傅 里叶级数展开式。据
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π 分别为二、 三、六次谐波频率。
编辑版
7
f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
编辑版
13
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 画周期矩形脉冲的频谱
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
Fn
A
T
San1
2
与横轴的交点由下式决定： n1 k
n1
2
离散自变量
k(1,2,3 )
n1
2k
2,4,6
编辑版
14
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
2.确定各谐波分量的幅度
• 周期矩形脉冲信号
A f (t) 0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
A
－T
－
T 2
－τ 2o
τ 2
T 2
T
编辑版
2T t
10
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
•
复系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt 1 T
2
2
Aejn1tdt
T Aj1n 1(ej
n12ej
A0 0， 0 0，
A1
4A，
1
－
2
A3
4A，
3
3
－
2

周期信号的频谱

周期信号的频谱
X
第
1．三角形式的谱系数
f (t ) E
9 页
T1

f t 是个偶函数
bn 0, 只有a0 , an
O 2 2
T1
t
X
第
2．指数形式的谱系数
1 Fn T1
10 页

1 = T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn1t d t

2
E 1 jn 1 t 2 Ee dt e jn1t 2 T1 jn 1
P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2 2
2
F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2
2
0.181E 2 1 T1 2 f ( t )dt 0.2 E 2 而总功率 T1 0 P5 n 二者比值 90.5% P
jn 1 jn1 2 e e 2

2
E jn 1T1


2E sin n 1 n 1T1 2 sin n 1 E 2 E Sa n 1 T1 T1 2 n 1
X
3．频谱及其特点

n)
E

f (t )
E 2E 1 f (t ) [sin(1 t ) sin(31 t ) 2 3 1 1 sin(51 t ) sin(n1 t ) ] 5 n

T1

T1 2
0
T1 2
T1
t
n 1,3,5,
E 2E 2E f (t ) cos(1 t ) cos(31 t ) 2 2 3 2 2E 2E cos(51 t ) cos(71 t ) 5 2 7 2

4.2周期信号的频谱

4.2周期信号的频谱

2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统

周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t

4.2-5

f (t )
0

2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2

周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱

信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统

周期信号频谱的特点

周期信号频谱的特点

周期信号频谱的特点
1、周期信号频谱的特点
(1)周期信号频谱是指周期信号的函数X（t）的傅里叶变换结果。

它由若干不同的频率的正弦波组成，这些正弦波的频率正是信号的基本频率。

正弦波的幅值与其相应的频率乘积成正比，而每种频度的信号都有一个相应的幅值谱和一个同频率相等的相位谱。

(2)对小波周期信号出现的情况而言，它的频谱具有带状分布特点。

假设一个小波信号X（t）的基本频率为F0，它的频谱X（f）的分布范围接近[F0, 2F0]之间，其中最大的幅值在F0处，幅值谱有一个主峰，而且相位谱空间分布也同样有一个主峰。

(3)小波周期信号具有连续宏观理论谱线的特点，实际谱线与理论谱线相比会有一个谷底，其图形模型会形成一回带状，理论上谷底深度接近0.
(4)周期信号频谱中有定向性，主要表现在除脉冲信号以外的其他周期信号中。

针对某一个方向发射信号，其谱仍然会有以频率以F0作为中心呈现梯度变化和微小平移的特点。

如果从不同方向发射信号，最终得到的谱会有一定的差异，但其趋势仍然相同。

2、周期信号频谱的作用
(1)周期信号频谱是信号分析的基础，它包括了信号的基本指标，包括信号的频率、幅值谱和相位谱，可用于分析信号的特性和特征。

(2)有了周期信号频谱，可以更准确地测量一个周期信号的实际频率，利用其中的相位谱可以判断信号之间是否存在某些相关性。

(3)频谱可以用于检测信号中的杂波，如果周期信号频谱发现不属于原有频率的有害信号，则说明信号中出现了一些杂波，可以使用滤波等方法对这部分信号进行处理，从而提高信号的有效性。

(4)同时，周期信号频谱也可以用来研究信号强度分布情况，可以查看赋予信号的频率和相位，从而进行有效的信号处理。

典型周期信号的频谱

f (t) f (t)（全波对称） f (t) f (t T（) 半波对称）
2
T
证：an
T
8 T
4 0
f
(t) cosntdt
22
20
f (t) f (t) f (t) f (t T )
2
an T T f (t) cosntdt T T f (t) cosntdt
2
2
T
由复振幅cn 的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所
sin x
构成的包络是 x 的形式----称为抽样函数。
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
cn
2E
T
sin 2
2
与横轴的交点由下式决定：
sin
2
0
即： ,2 ,3
2
2
0
2
4
6
2m
2f
f
f0
1, 2, 3
T
2 T
2
f (t)e jn1t dt
b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。 各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不 变的。
2.几点说明
a.F ( j) 代表了信号中各频率分量振幅的相对
大小。
|
b.各频率分量的实际振幅为
F ( )
|
d
是无穷
小量。
C. F ( j )具有单位角频率振幅的量纲。
| f (t) | dt 存在。
六.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
1.它们都具有抽样函数 sin x 的形式。
2.
Cn
2E
T1
sin n1
2
n1
x

§3.2 周期信号的频谱和功率谱


不变，T增大，谱线间隔
1
2 T
减小，谱线逐渐密集，幅度
A T
பைடு நூலகம்
减
小
当 T
1 0
A 0 T
非周期信号连续频谱
非周期信号 n1 连续频率
2.当T不变， 减小时
T不变
1
2 间隔不变
T
A 振幅为0的谐波频率
T
2
,
4
,......
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
不改变 不改变 不改变
Fn
2 T
2
f (t)dt
T
2 A
2
Adt
2
T
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
a 2 nT
T
2 T
2
f (t) cos n1tdt
2A sin n n T
2 A
T
sin n
T
n
2A Sa(n )
T
T
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa( n
T
)
cos(n1t )
A 2A
TT
S a(
立叶展开式并画出其频谱图。
1
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
Tt
f (t) 2 t T t T
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
信号与系统
4
bn T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
(1
2
T
)
An &n 2

信号与系统 §4.3 周期信号的频谱

理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
■
第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点

Signal_2_周期信号的频谱


Cn
1 An 2
复指数形式的傅里叶级数的复系数
的计算公式为(P15)
1 Cn T0

T0 / 2
T0 / 2
f (t )e
jn0t
dt
24
例：求周期为T的矩形脉冲信号的频 谱图（见教案，难度较大，不讲）
25
周期矩形脉冲信号的频谱
E f (t ) 0 (t (t
2 T2 T 2 sin n 0tdt T 0 sin n 0 tdt
0


， ,
n 2， 4， （偶数） n 1,3, (奇数)
4 1 1 f (t ) sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t 3 5
2 bn x(t ) sin n 0 tdt 0 T
18
T 2 T 2
2 an x(t ) cosn0tdt T
8E 1 2 T n 0
2
T 2 T 2


T 2
0
n 0 t cosn 0 td (n 0 )t
, n 1,3, n 2,4,
n
是单边频谱，只取n>0的项；
但就数学关系式本身而言，前者是关于n的偶函数， 后者是关于n的奇函数
10
例1 周期方波的傅里叶级数
11
• 解： （1）在一个周期内，波形与横轴围成的面 积上、下相等，所以它的平均值 T 1 2 a0 T x(t )dt 0 T 2 （2）为奇函数，因此余弦项的系数

29
位相谱的解释
注意： n
bn tg n an
(负号一定要写在上面）
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当 n1 0
2
即 n1 0
基波分量的幅度：A Sa1
T 2
Fn
A
T
San1
2
Fn
为最大值 ：A T
二次谐波分量的幅度：
A Sa 21
T 2
编辑版

15
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
3.相位的确定
Fn
A
T
San1
2
是 n1 的实函数
Fn Fnejn Fn(consjsinn) Fn cosn
当
Fn 0 时：
cos n 0 sin n 0
当
Fn 0
时：
scionsnn
0 0
n 0 n
编辑版
16
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲的频谱
Fn
F n 是 n1 的偶函数
n n 是 n1 的奇函数
0 1
n
0 1
n1 n1
编辑版
17
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。
解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的傅 里叶级数展开式。据
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π 分别为二、 三、六次谐波频率。
编辑版
7
f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
若 T ： 1 即谱线的变密，幅度减小，
• 当 T 时：谱线无限密集，幅度趋于无穷小，
周期信号趋于非周期信号。
编辑版
20
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线， 即：周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。
实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去
A0 0， 0 0，
A1
4A，
1
－
2
A3
4A，
3
3
－
2
其余 An 0
编辑版
5
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 振幅频谱
n
0 1
2
31 51 7 1
• 相位频谱
n 0
编辑版
6
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 例 f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
信号f1(t)和f2(t)的波形如图所示，设 f(t)=f1(t)*f2(t),则f(0)等于( )。
卷积练习
编辑版
1
3.3 周期信号的频谱
编辑版
2
3.3 周期信号的频谱
• 3.3.1 周期信号频谱的特点 • 3.3.2 双边频谱与信号的带宽 • 3.3.3 周期信号的功率
编辑版
3
3.3.1 周期信号频谱的特点
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
A0 1
0 0
A1 3
1 10
A2 2
A3 0.4
2 20
3 45
A6 0.8 6 30
其余 An 0
编辑版
8
• 双边频谱
Fn
1 2
An
Fn Fn
n n
3.2.2 双边频谱与信号的带宽
振幅谱
编辑版
相位谱
9
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
n12)
2A
n1T
sinn(1)
2
A
T
sin n1
[
2
n 1
]
A Sa(n1)
T2
2
f
(t)
A
T
n1
sinn1
2
n1
ejn1t
编辑版
2
11
3S.2a(.x2) 双边频谱与信号的带宽
1
• 取样函数定义为： Sa(x) sinx x
• 偶－ 函3数－2
－ o
2 3
x
1 • 看成振幅为 x 的正弦函数，振幅衰减的正弦振荡
• 周期信号频谱的特点：
❖离散性：
由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以
此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为 ❖谐波性：
1
2
T
每一条谱线只能出现在基波频率 1 的整数倍频率上，即含 有 1 的各次谐波分量，而决不含有非 1 的谐波分量。
❖收敛性：
各次谐波分量的振幅虽然随 n1 的变化有起伏变化，但总的 趋势是随着 n1的增大而逐渐减小。
编辑版
13
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 画周期矩形脉冲的频谱
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
Fn
A
T
San1
2
与横轴的交点由下式决定： n1 k
n1
2
离散自变量
k(1,2,3 )
n1
2k
2,4,6
编辑版
14
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
2.确定各谐波分量的幅度
•当x=kπ时，Sa(kπ)=0
• 且x→0时，Sa(x)=1
0 Sa(x)dx 2
Sa(x)dx
编辑版
12
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 因此：
可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
A
T
San1
2
由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成的包
络是 Sa(x) 的形式。
周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，
因而，常常将 0 ~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信号
的频带宽度。记为 或
B
2(rad/s)
Bf
1(Hz)
2(rad/s)
f 1 (Hz)
信号的频带宽度与信号的持续时间成反比
以相位为纵坐标所得到的谱线图
编辑版
4
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波
f( t ) 4 A [ c o s (1 t 2 ) 1 3 c o s ( 3 1 t 2 ) 1 5 c o s ( 5 1 t 2 ) ]
可知，其基波频率 1 ， 分别有一、 三、五……奇次谐波分量
• 周期信号的两种展开式：
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
f (t) Fnejn1t n
Fn
1 2
A n
1 2
Ane
jn
Fn ejn
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
当 n1 →∞时，|Fn|→0。 编辑版
18
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• T相同，不同τ值时周期矩形信号的频谱
T2
T4
编辑版
19
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• T 不变， 1不变： 即谱线的疏密不变
若 ： 则 F n 收敛速度变慢， 幅度减小，
包络零点间隔增大。
• 不变： 包络零点间隔不变。
• 周期矩形脉冲信号
A f (t) 0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
A
－T
－
T 2
－τ 2o
τ 2
T 2
T
编辑版
2T t
10
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
•
复系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt 1 T
2
2
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