广东省13市2017届高三上学期期末考试数学(理科)分类汇编：圆锥曲线

广东省14市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（潮州市2016届高三上期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点恰为抛物线28y x =的焦点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为A 、2213y x -= B 、221412x y -= C 、2213x y -= D 、221124x y -=2、（东莞市2016届高三上期末）已知圆22()4x m y -+=上存在两点关于直线20x y --=对称，的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（A ）1 （B ） （C ） （D ）43、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点P ，使得︒=∠9021PF F ，且满足12212F PF F PF ∠=∠，那么双曲线的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．254、（广州市2016届高三1月模拟考试）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A （B （C ）2 （D 5、（惠州市2016届高三第三次调研考试）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线2y x=无交点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．6、（揭阳市2016届高三上期末）如果双曲线经过点p ，且它的一条渐近线方程为y x =，那么该双曲线的方程式（A ）22312y x -= （B ） 22122x y -= （C ）22136x y -= （D ）22122y x -=7、（茂名市2016届高三第一次高考模拟考试）设双曲线2214y x -=上的点P 到点的距离为6，则P 点到(0,的距离是（ ）A ．2或10 B.10 C.2 D.4或88、（清远市2016届高三上期末）已知双曲线C ：2221x my +=的两条渐近线互相垂直，则抛物线E ：2y mx =的焦点坐标是（ ） A 、（0,1） B 、（0，－1） C 、（0，12） D 、（0，－12） 9、（东莞市2016届高三上期末）已知直线l 过抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点F 且与x 轴垂直，l 与E 所围成的封闭图形的面积为24，若点P 为抛物线E 上任意一点，A （4,1），则｜PA ｜＋｜PF ｜的最小值为（A ）6 （B ）4＋ （C ）7 （D ）4＋10、（汕尾市2016届高三上期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为，点 A 在其右半支上， 若12AF AF ＝0， 若，则该双曲线的离心率e 的取值范围为) B.（ C. D. ）11、（韶关市2016届高三1月调研）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．焦点相同 D ．顶点相同12、（珠海市2016届高三上期末）点00()P x y ，为双曲线22:149x y C -=上一点,12B B 、为C 的虚轴顶点，128PB PB ⋅<uuu r uuu r，则0x 的范围是( )A ．(2][2-UB ．(2)(2-UC ．(2][2--UD ．(2)(2--U13、（湛江市2016年普通高考测试（一））等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，｜AB ｜＝C 的实轴长为：CA B 、 C 、4 D 、814、（潮州市2016届高三上期末）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)x y +-＝1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是A 、（1,2）B 、［2，＋∞）C 、D 、B 、∞）选择题答案：1、A2、D3、A4、C5、D6、B7、A8、D9、C 10、A 11、A 12、C 13、 14、A 二、解答题1、（潮州市2016届高三上期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶点与右焦点的距离为－1，短轴长为。

圆锥曲线0223、已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 【答案】2-【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)。

圆的标准方程为222()424m m x y ++=+，所以圆心坐标为(,0)2m -，所以由12m-=得2m =-。

24、双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角的大小等于_______ 【答案】3π【 解析】双曲线的渐近线为3y x =±。

3y x =的倾斜角为6π，所以两条渐近线的夹角为263ππ⨯=。

25、设点P 在曲线22y x =+上，点Q 在曲线y =PQ 的最小值为_______【答案】427 【 解析】在第一象限内，曲线22+=x y 与曲线2-=x y 关于直线y =x 对称，设P 到直线y =x 的距离为d ，则|PQ |=2d ，故只要求d 的最小值d =2)(2|2|2||472212+--+-==x x x x y ，当12x =时，d min ,所以|PQ |min4=26、若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________．【答案】4【 解析】双曲线的渐近线方程为2by x =±，因为点P (1, 2)在第一象限，所以点P (1, 2)在渐近线2b y x =上，所以有22b=，所以4b =。

27、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】6448(,)2525【 解析】抛物线的焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-。

因为1()52pMF =--=，所以解得8p =。

所以抛物线方程为216y x =，即216m =，所以4m =。

即(1,4)M ，则直线MF 的方程为43160x y +-=，斜率为43-。

圆锥曲线058、 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 822=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+= 求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

所以圆与x 轴相交。

（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为1(,0)M x ，1143(,),(4,4)k MP x MQ x k m m m=--=-+。

由0MP MQ ⋅= 得2111(44)430k x x x m-+-+=所以211144430x x x -=-+=，即11x =所以定点为(1,0)M 。

9、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.【答案】(1)由222211112a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得 …………………… ……………………..2分 a 2=2,b 2=1,所以，椭圆方程为2212x y +=. …………… …………………..4分 (2)设PQ:y=x-1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0, ………..6分 解得： P(41,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=23. ….. ……………10分(3) 判断：P Q ' 与QT共线. ….. …… …………11分设1122(,),(,)P x y Q x y则P '(x 1,-y 1)，P Q ' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ=(x 2-2,y 2), …… ………..12分由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. ………………………..13分(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k)=3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k 22412k k +-2k 222212k k -+-4k=k(2222124441212k k k k---++)=0. ………..15分 所以，P Q ' 与QT共线. …………… …………..16分10、已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 1.求动点A 的轨迹方程；2.记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.【答案】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分 4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分（第20题图）11、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 ),0(0y Q ，求0y 的取值范围.【答案】解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分 由题意得 a c 24=，2=a2223b a c =-=. ………4分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………6分（2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………10分所以212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k k k k y 4314320+=+=. ………12分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k +≥所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………13分 综上，0y的取值范围是[. ………14分。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）若=﹣12，则sin （α+）的值为（ ）A ．12 B ．﹣12C ．D ．﹣2、(东莞市2017届高三上学期期末）已知函数3sin()3y x πω=+的最小正周期为π,将函数3sin()3y x πω=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一))已知函数12cos 2sin 3)(+-=x x x f ，下列结论中错误的是（ ）A ．)(x f 的图像关于)1,12(π中心对称 B ．)(x f 在)1211,125(ππ上单调递减C ．)(x f 的图像关于3π=x 对称 D ．)(x f 的最大值为34、（广州市2017届高三12月模拟）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ(A ）43 （B)45 （C ）45- （D ）43- 5、（惠州市2017届高三第三次调研)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,22b c ==且4C π=,则ABC ∆的面积为( )(A ）13+ 31 （C ）4 （D ）26、（江门市2017届高三12月调研）设函数f (x )=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (x )=f (−x )，则 A ．f (x )在(0，π2)单调递减 B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减 C ．f (x )在(0，π2)单调递增 D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增7、(揭阳市2017届高三上学期期末）已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-= （A 72(B ）72（C 2(D)28、（茂名市2017届高三第一次综合测试）已知△ABC 30C ∠=︒，BC 则AB 等于（ ）A. 1 B 。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式与不等式选讲一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）设实数x ，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．D ．2、（东莞市2017届高三上学期期末）对于实数m ＞－3,若函数1()2xy =图象上存在点（x , y ）满足约束条件30230x y x y x m -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则实数m的最小值为A ．12B. －1C.－32D 。

－23、（佛山市2017届高三教学质量检测（一)）量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 3+=的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．64、（广州市2017届高三12月模拟)已知,x y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩若()0z x ay a =->的最大值为4，则a = 。

5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知x ,y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ）(A ）3 （B ）2 (C ）－2 （D ）－3 6、（江门市2017届高三12月调研）若x 、y 满足约束条件{y ≤x +15x +3y ≤152y ≥1,则 z =x +y 的最大值为M = ．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知,a b R ∈、且2222290ab ab ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（A)29(B ）25（C ）18 (D ）168、(茂名市2017届高三第一次综合测试）若圆2240xy x my +-+-=关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组2000x y x my y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及边界上运动，则21bz a -=-的取值范围是 ＊ ． 9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知函数,)1ln()(2x x a x f -+=在区间（0、1）内任取两个实数P 、q ，且q P ≠，若不等式(1)(1)1f P f q P q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. []∞+,11 B 。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学（理科）分类汇编：极坐标与参数方程1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知直线l ：（t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为（x ，y ），求x+y 的取值范围．2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面积.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））在极坐标系中，射线6:πθ=l 与圆2:=ρC 交于点A ，椭圆Γ的方程为θρ22sin 213+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求⋅的取值范围5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．6、（珠海市2017届高三上学期期末）已知直线（ t 为参数），曲线为参数）．(1) 当r ＝1时，求C 1 与C 2的交点坐标；(2) 点P 为曲线 C 2上一动点，当r 求点P 到直线C 1距离最大时点P 的坐标．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩学科网（t为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,,x y α⎧=⎨=⎩(α为参数). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40.C ρρθρθ+-+=（Ⅰ）写出曲线21C C ，的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求AB .9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩学科网（其中α为参数）， 曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ，分别交于A ，B 两点，求AB .10、（汕头市2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.11、（韶关市2017届高三1月调研）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=.(Ⅰ)将直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q 的坐标.12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （Ⅰ）直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； （Ⅱ）点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值.参考答案1、【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣6x+5=0即（x ﹣3）2+y 2=4曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆． 直线l 的方程为：xsinα﹣ycosα+sinα=0… ∵直线l 与曲线C 相切∴即…∵α∈[0，π）∴α=…（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ 则 x+y=3+2cosθ+2sinθ=…（9分） ∴x+y 的取值范围是．…（10分）2、(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线C 的普通方程为()()51222=-+-y x …………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：θθρsin 2cos 4+=即曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4+=. …………5分 （Ⅱ）解法一：在极坐标系中，θθρsin 2cos 4+=：C∴由⎪⎩⎪⎨⎧+==θθρπθsin 2cos 46得到132+=OA …………7分 同理32+=OB . ………… 9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB . 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分解法二：：在平面直角坐标系中，C ：()()51222=-+-y x x y l 331=：，x y l 32=： ∴由()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=5123322y x x y得A 学科网 …………6分 ∴132+=OA …………7分 同理⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2332,232B …………8分∴132+=OA ，32+=OB …………9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分 3、【解析】（1）点A 的极坐标为 2 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，对应的直角坐标为)1A ，.………………2分由22312sin ρθ=+得2222sin 3ρρθ+=，因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以22223x y y ++=.即椭圆Γ的直角坐标方程为2213x y +=，对应的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） (5)分（2）设)sin Fθθ，，……………………6分又()0 1E -，，所以() 2AE =- ，，)sin 1AF θθ=-，，……7分于是()()3cos 32sin 12sin 3cos 55AE AF θθθθθϕ⋅=-+--=--+++，……8分因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()555θϕ++≤所以AE5 5⎡⎣，.………………10分4、解:(Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos 4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分 (II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分当2ϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分5、解:（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+= ……4分（Ⅱ）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=． ……………5分设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ……………6分∴12AB t t =-== ……………8分∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π． (10)分6、7、解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------6分 则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，----------------------------------8分 联立曲线C ：2cos +=θρρ． 得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------10分8、解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ ………………1分即曲线1C 的普通方程为221204x y+=…………………………………………2分222,c o s ,s i n,x y x y ρρθρθ=+== 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= ………………………………3分 即1)1()2(:222=-++y x C . …………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） ………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin 2cos αα==…………………………………6分 所以直线l 的参数方程为： 为参数）t t y t x (22224⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=……………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ………………………………8分 设A,B 对应的参数分别为21,t t 则 所以4,232121==+t t t t . ……………………9分所以12AB t t =-===……………………10分解法二：（Ⅰ）同解法一. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） …………………………………………………5分直线l 的斜率为tan14k π==, …………………………………………………6分 直线l 的普通方程为4y x =+. 即40x y -+= ……………………………7分圆2C 的圆心坐标为：（-2，1）. ………………………………………………8分 圆心2C 到直线l的距离2d ==……………………………9分故AB === ……………………………………10分 解法三：（Ⅰ）同解法一. ……………………………………4分（Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………5分 直线l 的斜率为tan14k π==, ………………………………………6分 直线l 的普通方程为4y x =+ ……………………………………………7分2122212423560(2)(1)121y x x x x x x y y y =+⎧⎧⎧=-=-⇒++=⇒⎨⎨⎨++-===⎩⎩⎩或，………9分AB =｜｜ …………………………………10分9、解：（Ⅰ）由2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩，所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=. 把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入()2211x y -+=， 得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅱ）依题意可设12 66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=， 将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=.同理将()06πθρ=>代入曲线2C 的极坐标方程得2ρ=.所以123AB ρρ=-=10、解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(.11、解（Ⅰ） 由cos()4πρθ-=，得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简得，cos sin 4ρθρθ+=， ………………………………………1分 由 cos x ρθ=，sin y ρθ=∴直线l 的直角坐标方程为4x y +=. ………………………………………3分 (Ⅱ)由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q的坐标为),sin αα……………4分点Q 到直线l的距离为d =………………………………5分=. …………………………7分当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即526k αππ=-max d == ……………………9分此时，551cos cos()sin()662απαπ=-==-=- ∴ 点Q 31(,)22--. ………………10分 12、解：（Ⅰ）1C 的普通方程是()2224x y ++= ， （2分）1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， （4分） 2C 的普通方程40x y +-=. （6分）（Ⅱ）方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. （7分）圆心到直线2C2=>，直线和圆相离. （8分） 所以AB的最小值为2. （10分） 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线， （7分）所以AB的最小值即点A到直线的距离d的最小值，d==，（9分）2=. （10分）11。

圆锥曲线031、给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围．【答案】解：（1）由题意知c =a 1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分 （2）由题意可得P 点坐标为(0,2)，设直线l 过P 且与椭圆C 只有一个交点，则直线l 的方程可设为2y kx =+，将其代入椭圆方程可得 ………………6分223(2)3x kx ++=，即22(31)1290k x kx +++=，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得1k =±， ………………8分 所以直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+，或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+． ………………10分（3）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <，则有2213m n +=， 又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--， ………………12分 故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+-- 2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分又m 243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅ 的取值范围是[0,7+． …………………………16分2、已知椭圆12222=+by a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM 长度的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得222222b a b ac +=-= ········································ 1分过点),0(b A -和)0,(a B 的直线方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx ，该直线与原点的距离为23，由点到直线的距离公式得：2322=+ba ab ······················································ 3分 解得：1,322==b a ；所以椭圆方程为11322=+y x ··························································· 4分 （2）（文）设),(y x M ，则)1(322y x -=，422)1(2222++-=++=y y y x AM，其中11≤≤-y ···································································································································· 6分 当21=y 时，2AM 取得最大值29，所以AM 长度的最大值为223 ······························· 9分 （3）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线与椭圆有两个交点，所以0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122->t k ································ 11分设),(11y x C 、),(22y x D ，则221316k ktx x +-=+，222131)1(3kt x x +-=⋅，因为以CD 为直径的圆过E 点，所以0=⋅，即0)1)(1(2121=+++y y x x ， ······································ 13分而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以01316)1(31)1(3)1(22222=++++-+-+t kkt tk k t k ，解得t t k 3122-= ·································· 14分 如果3122->t k 对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．09)1(31)312(2222222>+-=---tt t t t t ，即3122->t k ．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． 16分3、设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证：2221ab k k -=⋅；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．【答案】（1）解法一：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y ……… …2分 212221212k a b pa k x x +-=+∴ ，p k a b pa k k y y 22212221121++-⋅=+212222k a b pb +=… ……4分 又2121221021022x x y y k y y y x x x ++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21222pa k pb -=2221a b k k -=⋅∴…… ………7分 解法二（点差法）：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E)1(12121=+b a ，)2(12222=+ba 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即0)(2)(222102210=-+-b y y y a x x x ……………………… ………3分222020221211k a b y a x b x x y y k ⋅-=⋅⋅-=--=∴ 2221a b k k -=⋅∴ ………………………………………………………………………7分（2）逆命题：设直线p x k y L +=11：交椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．若2221ab k k -=⋅，则E 为CD 的中点． ……9分证法一：由方程组02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y …………………………………… ……………10分 因为直线p x k y L +=11：交椭圆Γ于D C 、两点，所以0>∆，即022212>-+p b k a ，设),(11y x C 、),(22y x D 、),(00y x E则2122212102k a b pa k x x x +-=+=∴ ，212222102k a b pb y y y +=+=……………………12分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=xk y k k p x x k y p x k y 21221又因为2221a b k k -=⋅ ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+===+-=-=0212222021221212y k a b p b x k y x k a b p k a k k px ，故E 为CD 的中点．……………………………14分 证法二：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E则)1(12121=+b a ，)2(12222=+ba 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即)()(21221221211y y a x x b x x y y k +⋅+⋅-=--=………………………………………………………9分 又0022221,x y k ab k k =-=⋅ ，002121y x x x y y =++即00212211x pkx x x p x k p x k +=++++ ……………………………………………………12分 012112x pk x x p k +=++∴得0212x x x =+0212y y y =+∴，即E 为CD 的中点．……………………………14分（3）设直线0,11≠+=p p x k y L ：交双曲线)0,0(12222>>=-Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．则E 为CD 中点的充要条件是2221ab k k =⋅． (16)分。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编统计与概率一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末)对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x1234y4。

543 2.5根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（）A．y=﹣0.7x+5。

20 B．y=﹣0.7x+4.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.252、（东莞市2017届高三上学期期末）从六个数1，3，4,6,7，9中任取2个数，则这两个数的平均数恰好是5的概率为( )A．120B．115C．15D．163、（佛山市2017届高三教学质量检测（一）)本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，图1反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（）A．A班的数学成绩平均水平好于B班B．B班的数学成绩没有A班稳定C ．下次考试B 班的数学平均分要高于A 班D ．在第1次考试中，A 、B 两个班的总平均分为984、(广州市2017届高三12月模拟）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个,现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球。

若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是(A ） 31(B ） 83（C ） 21 （D)85 5、（惠州市2017届高三第三次调研）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为（ ）（A ）31 （B)41 （C ）51 （D)61 6、（茂名市2017届高三第一次综合测试）在｛1，3，5}和｛2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是（ ）1111A. B. C. D.32647、（汕头市2017届高三上学期期末）去nS 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去31)31(2-⋅n城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．918、（汕头市2017届高三上学期期末）某单位为了了解用电量)0,125(π度与气温)0,125(π之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表气温（C ）20 16 12 4 用电量（度） 14642842由表中数据得回归直线方程)0,125(π中)0,125(π，预测当气温为)0,125(π时，用电量的度数是（ ）A ．70B ．68C 。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点成F,过点F 且倾斜角为45°的直线l 与抛物线在第一、第四象限分别交于A 、B ，则等于( ）A ．3B ．7+43C ．3+2D ．22、（珠海市2017届高三上学期期末）已知双曲线221C 1164x y =：－,双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1,F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16,且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．323、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知双曲线)0(1:2222>>=-a b by a x C 的右焦点为F ，O 为坐标原点,若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于B A ,两点，使0=⋅OB OA ，则双曲线离心率的取值范围是________ 4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=， 则双曲线C 的离心率为(A) 25 （B) 5 （C ） 26 (D ） 65、(惠州市2017届高三第三次调研）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ,B 两点，|AB ｜为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为（ ） （A ）错误! （B)错误! （C)2 （D)36、(江门市2017届高三12月调研）过抛物线y 2=2px （p >0）焦点的直线 l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16，则p = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、（揭阳市2017届高三上学期期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为33则分别以,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 .8、(茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线,切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为( ）A ．7224- B ．7224+C ．231+D ．251+9、（清远市清城区2017届高三上学期期末)已知双曲线c:，以右焦点F 为圆心，｜OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O ），若|MN ｜=，则双曲线C 的离心率 是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．31+10、（汕头市2017届高三上学期期末）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 11、(韶关市2017届高三1月调研)已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，F 是右焦点，若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率e 为（A) 2 （B) 3 （C) 12 (D ） 13二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，且椭圆C 过点P(，）．（1）求椭圆C 的方程;（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线?若能,求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能,说明理由．2、（珠海市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点,左焦点为F 1(－1，0)， 离心率e ＝22。

yxO 广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编函数1、（潮州市2017届高三上学期期末）设函数f(x ）=,则使得f （x 2﹣2x ）＞f （3x ﹣6）成立的x 的取值范围是( ）A ．(﹣∞，2）∪（3，+∞）B ．(2，3)C ．（﹣∞，2）D ．(3,+∞）2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数，则函数 y ＝f （1－x ） 的大致图象是（ ）3、(佛山市2017届高三教学质量检测(一））函数xaxx x f -+-=11log1)(2为奇函数，则实数=a ________4、（广州市2017届高三12月模拟）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是5、（惠州市2017届高三第三次调研)函数f （x ）＝错误!cos x （－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ）（A ） （B) （C ） （D ）6、（江门市2017届高三12月调研）若a =log 0.60.3,b =0.30.6，c =0.60.3,则A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a 7、（揭阳市2017届高三上学期期末）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是8、（茂名市2017届高三第一次综合测试)已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =,则不等式2(log )2f x >的解集为( )A 。

(2,)+∞B 。

1(0,)(2,)2+∞C 。

2(0,(2,)2+∞ D 。

(2,)+∞9、(清远市清城区2017届高三上学期期末）已知函数2f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x f f x ====丨，,若存在00xB x A ∈∉，则实数b 的取值范围是（）A ．04b ≤≤ B ． 0b ≤或4b ≥ C ．04b ≤< D ．0b <或4b ≥10、（汕头市2017届高三上学期期末）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（)A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >>11、（韶关市2017届高三1月调研)已知(1),(1)()3,(1)xf x x f x x +<⎧=⎨≥⎩ ,则3(1log 5)f -+=（A ） 15 (B) 53 (C ）5 (D)1512、（肇庆市2017届高三第二次模拟）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（A ）()2xf x = （B ）()sin f x x x =（C ）1()f x x（D ）x x x f -=)(13、(珠海市2017届高三上学期期末）（肇庆市2017届高三第二次模拟)若定义域为R 的偶函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时,()22f x x =-，则方程()sin f x x =在[]10,10-内的根的个数是 ▲ 。