专题(七) 四边形的有关计算与证明

中考数学二轮复习拔高训练卷专题7 四边形一、单选题（共15题；共45分）1.一个凸多边形的内角和比它的外角和的3 倍还多180°，则这个多边形是（）A. 九边形B. 八边形C. 七边形D. 六边形2.下列命题中，真命题是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形3.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为( )A. 11SB. 10SC. 9SD. 8S4.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中不正确的是（）A. B. C. D.5.如图,在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中,AB=AD,BG=BE,点A，B，E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°,则=( )A. B. C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG ，则四边形EFGH的周长是（）A. B. 13 C. D.7.如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到的图形是（）A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 以上都不对8.边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD=（）A. 4B. 6C. 8D. 109.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°10.如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD= cm；④AC= cm；⑤S菱形ABCD=80cm，正确的有（）A. ①②④⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ①②③⑤11.如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（）A. 70B. 74C. 144D. 14812.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.513.如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（）A. 30B. 20C. 60D. 4014.如图，在正方形ABCD中，点E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，连接AE，交CD于点F，若AB＝1，则线段DF的长是（）A. B. C. 2﹣ D. ﹣115.如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE，③tan∠OCD = ，④中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共5题；共15分）16.小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍．你认为正确的内角和应该是________°.17.□ABCD中对角线AC和BD交于点O，AC=12，BD=10，AB=m，则m取值范围是________.18.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将矩形ABCD折叠使点D和点B重合,折痕为EF,则DE=________.19.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________.20.如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A(1，0)点的一条直线，将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为________。

A ．134,55æöç÷èø【答案】A【分析】过点E 作EH 5OB OA AB ===，求得∵点()1,0A ，()0,2B ∴1,2OA OB ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD Ð=°，AD,Q==PD BC AD\Ð=Ð，DPA DAP在矩形ABCD中，Q ABC BAD,==PC AB CDÐ=Ð=∴DPC CDP Ð=Ð，ACD BAC Ð=Ð，∴APD CDP ACD DPC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，∵DPC DAP Ð>Ð，∴DPC BAC DAP BAC Ð+Ð>Ð+Ð，∴APD BADÐ>Ð∴ABC APD Ð<Ð；\B 项为真命题，不符合题意；如图，∵PC PD =，∴PCD PDC Ð=Ð，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD P ，90ADC BAD Ð=Ð=°，∴PCD BAC PDC Ð=Ð=Ð，∵90PDC PDA BAC PAD Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PAD PDA Ð=Ð；故选项C 是真命题，不符合题意；如图，当PB PD =时，无法证明APB ACD Ð>Ð，故D 选项是假命题，符合题意．故选：D ．3．如图，菱形OABC 边OA 在x 轴的正半轴上，且点B 的纵坐标为4，点P 从点O 开始向点A 运动，至点A 停止，过P 点与x 轴垂直的直线与菱形另一边交点为M ，记OP x =，OPM V 的面积为S ，且S 与x 的函数关系图象如右图，则cos AOC Ð的值为（ ）A ．35B ．45C ．32【答案】A【分析】根据题意得OD a =，OA b OC ==，CD AE ==中，OD a =，2OC a =+，4CD =，利用勾股定理求得根据题意得OD a =，OA b ==∴2n a =，222n b a =+=+，在Rt OCD △中，OD a =，OC ∴()22242a a +=+，A ．2B ．65【答案】C 【分析】利用勾股定理得出答案．60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60GDE \Ð=°，30GED \Ð=°，设GD x =，则2DE x =，EGA．两问都正确B．两问都不正确C．第（1）问正确，第（2）问错误D．第（1）问错误，第（2）问正确【答案】A=，再根据中位线的判定，得出EO是V 【分析】根据平行四边形的性质，得出OA OC3,1B．A．()【答案】A【分析】根据题意易得OA=A．甲、乙正确B．甲、丙正确【答案】C【分析】尺规作图，得到AE平分是菱形，利用菱形的性质，勾股定理，含出结论．【点睛】本题考查角平分线，中垂线的作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移2C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移3V平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形D．在Rt BCD【答案】B【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可．继续平移，当AB与C D¢¢共线时，¢¢是菱形，此时AB B D¢⊥，即四边形AB C D此时的总平移距离为333==，BD AD即再平移23个单位长度后是菱形；¢¢综上可得：平移过程中，四边形AB C D位长度后是菱形，故选B．【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含利用了特殊四边形的判定和性质．二、填空题Т=．（1）EFD（2）线段AE的长是【答案】135°23Ð+Ð【分析】（1）证明AEF DFE∵菱形ABCD ，60ABC Ð=°，AD ∥∴18060120A BCD Ð=°-°=°=Ð，Ð∵A E AB ¢⊥，120EA C A ¢Ð=Ð=°，∴1209030BGC Ð=°-°=°，又∵60ABC Ð=°，∴603030BCG Ð=°-°=°，【答案】 75 84-【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．12．如图，将一副三角板放置在盒子中，动，12cm AC EF ==，则线段【答案】()(623cm AD -££【分析】依题意可知，当点B 度最大，分别求出两个最值即可得解．∵四边形BCHG 是矩形，∴BG CH =，GH BC =，BC ∵BC GH ∥，30ACB Ð=°∵90,CBG DBF DEF Ð=°Ð=Ð同理可得：6cmDH CH ==∴()636cmAD AH DH =-=-即()max 636cmAD =-【答案】 2 74【分析】根据题意可得BE =得到答案；连接CG ，作OM 2BI ED ==，HI GH =，Ð由题意可得2BI ED ==，HI 到BC 的距离，在Rt BGH △和Rt BIH V 中，GH IH BH BH =ìí=î，()Rt Rt HL BGH BIH \V V ≌，【答案】25【分析】当G ，E ，C 三点在同一条直线上时，过点的中点得到12AG DG ==∵点G 是矩形ABCD 的边∴132AG DG AD ===∵90D Ð=°，CD AB =【答案】(16,8)OA的解析式为y=【分析】根据题意求出直线1点1C，2C，3C，4C，的坐标即可．【详解】解：∵点1A坐标为(1,1)，四边形1A BBC，\===(2,1)OB A B BB1,1,【答案】26【分析】证明四边形GCEF 是矩形，4AB BC CD AD ====，ECD Ð1212CEFG S S S +=正方形，设ED BG =()23121138322S S S x x =+-=+-=【详解】解：∵CE CG ⊥，EF ⊥HE点拨1：如图②，延长EH 交AD 于点M ，由题意可知AD EF P ，易证：()AAS AMH FEH V V ≌，可得∵四边形ABCD与四边形CEFG P∴AD EF∴AMH FEHÐ=Ð，MAHÐ又∵点H是AF的中点，即=(1)求证：AG GFAB=，AD=(2)若6【答案】(1)证明见解析(2)5CH=【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例性质(1)若2AD=，1tan2ADMÐ=，求AE(2)若FB NB=．①求ENFÐ的度数；②求证：23DE EC EP=×．【答案】(1)22；∵EN DF ⊥，∴90FEN Ð=°，∵在Rt FEN △中，FB NB =，∴FB EB BN ==，∴12Ð=Ð，设12x Ð=Ð=°，则3122x Ð=Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形∴CD BC =，BCA DCA Ð=Ð，90BCD Ð=°，又AC AC =，∴BCE DCE ≌△△，∴432x Ð=Ð=°，∵90BCD Ð=°，∴1490Ð+Ð=°，即290x x +=，解得：30x =，∴1230Ð=Ð=°，又∵90FEN Ð=°，∴903060ENF Ð=°-°=°；②证明：∵EN DF ⊥，∴90FEN DEG Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形，∴90BCD Ð=°，45BCA DCA Ð=Ð=°，∴180135ECG DCA Ð=°Ð=°－，18090FCG BCD Ð=°Ð=°－，∵90FEN FCG Ð=Ð=°，∴F 、E 、C 、G 四点在以FG 为直径的圆上，∴545ACB Ð=Ð=°，∴1805135EGP Ð=°-Ð=°，∵CEG GEP Ð=Ð，ECG EGP Ð=Ð，∴ECG EGP ∽△△，过点C 作CN AM ∥交DE 的延长线于点N ，则四边AMNC 是平行四边形（依据利用“等积变形”可得：ADEC AMNCS S =正方形平行四边形将AMNC Y 沿直线MQ 向下平移MA 的长度得到A M N C ¢¢¢¢Y 若点A ¢恰好与点Q 重合，即MA AQ =，则A M N C ¢¢¢¢Y 即为QACC ¢Y 延长CC ¢交QP 于点H ，利用“等积变形”可得：QACC QATHS S ¢=四边形四边形ADEC QATHS S =正方形四边形同理：BCFG BPHTS S =正方形四边形∵ABPQ QATH BPHTS S S =+正方形四边形四边形∴ABPQ ACED BCFGS S S =+正方形正方形正方形即222AB AC BC =+(1)上述证明过程中的依据是___________．(2)根据小明的思路，请你帮助小明证明“若点A ¢恰好与点Q 重合”这一猜想．(3)已知：（如图2）正方形ABCD 的边长为8，E 是边CD 上的一个动点，以CE 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BD ，BF ，点E 在运动的过程中，DBF V 的面积是否发生变化，若变化说出变化的理由，若不变，请直接写出DBF V 的面积．【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)证明见解析(3)DBF V 的面积为32【分析】（1）由DE AC ∥，结合AM CN ∥，可得四边形AMNC 是平行四边形，从而可得推理的依据；（2）证明90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，DAM BAC Ð=Ð，再证明ADM ACB V V ≌，可得AM AB =，从而可得结论；（3）设正方形CEFG 边长为a ，由DBF DEF ABD BGF ABCD CEFG S S S S S S =++--V V V V 正方形正方形可得结论．【详解】（1）解：∵正方形ADEC ，∴DE AC ∥，∵AM CN ∥，∴四边形AMNC 是平行四边形，∴依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）∵正方形ABPQ ，∵90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，∵正方形ADEC ，∴90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，∴DAM MAC MAC BAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴DAM BAC Ð=Ð，∴ADM ACB V V ≌，∴AM AB =，而AB AQ =，∴AM AQ =，。

第十九章四边形一、课程学习目标1、平行四边形的性质，平行四边形的判别条件。

2、矩形、菱形、正方形的概念及性质、判别条件。

3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系。

4、平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件的应用。

5、梯形、直角梯形的定义及应用。

6、等腰梯形的定义性质及判别方法的应用。

二、本章知识结构图三、知识要点———基本运用———经典例题———跟踪练习19.1 平行四边形（一）知识要点1、平行四边形的性质（1）平行四边形对边______；对角______；角平分线______；对称。

（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______。

（填“平行”或“垂直”）（3）平行四边形的面积公式____________________。

2、平行四边形的判定（1）定义法：________________________。

（2）边：________________________或_______________________。

（3）角：________________________。

（4）对角线：________________________。

3、三角形的中位线定理： 。

4、两平行线间的距离： 。

5、常作的辅助线： 。

（二）基本运用1、平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝130 o ，则∠D 的度数是 .2、ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____.3、平行四边形ABCD 的周长是18，△ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 .4、如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠Ｃ＝70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度．5、平行四边形ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ）A ．1:2:3:4 B. 3:4:4:3C. 3:3:4:4D. 3:4:3:4 6、在平行四边形ABCD 中，60B ∠=，那么下列各式中，不能．．成立的是（ ） A ．60D ∠= B ．120A ∠=C ．180CD ∠+∠= D ．180C A ∠+∠=7、如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、∠DAE+∠BCD ＝180° C 、 ∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCD D 、AB ＝BC8、如图，如果直线 l 1 ∥l 2，那么△ABC 的面积和△DBC 的面积是相等的，你能说出理由吗？你还能在这两条平行线之间画出其他与△ABC 面积相等的三角形吗？A BD C EBC D第7题 A9、（2011•安徽）如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）10、如图，平行四边形ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB 。

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

特殊四边形的性质和判定定理名称 性质判定平行四边形1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。

1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。

）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a ²（a 表示两边长。

） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。

南昌市中考数学专题题型复习06：四边形有关的计算与证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共12题；共71分)1. （10分）如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD．2. （5分）(2017·绿园模拟) 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E．若点F是AE的中点，求证：BF⊥AF．3. （5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．（1）求∠ABC的度数；（2）如果AC=4，求DE的长．4. （6分） (2018八下·瑶海期中) 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．5. （5分）如图，已知△ABC和直线m ，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）6. （5分） (2020九上·岐山期末) 如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE、CF求证：BE=CF。

7. （5分）在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．8. （5分）(2017·吴忠模拟) 如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF，AE，CE，CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．9. （10分） (2015八下·嵊州期中) 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD 的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？10. （5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．11. （5分）(2016·鄞州模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD并于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．（1）求证：OE=OF．（2）连接DE，BF，则EF与BD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．12. （5分） (2016九上·长春期中) 如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．二、综合题 (共27题；共278分)13. （10分）(2018·沧州模拟) 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．14. （10分）(2015·宁波模拟) 【试题背景】已知:l ∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3 ，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 ．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）【探究1】如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE L于点E,BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．（2）【探究2】矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽 = 2 ：1 ，求矩形ABCD的宽（3）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M．求证：EC=DF．（4）【拓展】如图3，l ∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，于点B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？直接写出结论。

初中三角形、四边形的有关计算证明（经典例题）01考点、热点分析(1)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；(2)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；(3)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论。

(4)进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

(5)了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

(6)经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

(7)在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。

02知识点归纳03经典例题三角形内角和定理的证明例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．探索三角形全等的条件例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．【解析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合．全等三角形的应用例3．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，【解析】又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．利用平行四边形的性质求面积例4．如图，在□ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=S□ABCD．。

中考真题分类汇编（四边形）----命题、四边形中的计算与证明（压轴题）一、选择题1. （2021•湖南省衡阳市）下列命题是真命题的是（ ） A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B ．正六边形的每一个内角为120°C ．有一个角是60°的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形2. （2021•怀化市）以下说法错误的是（ ） A ．多边形的内角大于任何一个外角 B ．任意多边形的外角和是360° C ．正六边形是中心对称图形 D ．圆内接四边形的对角互补3. （2021•岳阳市） 下列命题是真命题的是（ ） A. 五边形内角和是720︒ B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 内错角相等 D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点4. （2021•四川省达州市）以下命题是假命题的是（ ） A ．的算术平方根是2B ．有两边相等的三角形是等腰三角形C ．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5. （2021•四川省广元市）下列命题中，真命题是（ ） A. 1122xx-=B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D. 已知抛物线245y x x =--，当15x -<<时，0y < 6. （2021•四川省凉山州）下列命题中，假命题是（ ） A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C. 若AB BC =，则点B 是线段AC 的中点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 7. （2021•泸州市）下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. （2021•遂宁市）下列说法正确的是（ ） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式D. 若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4 9. （2021•绥化市）下列命题是假命题的是（ ） A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形10. （2021•呼和浩特市）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分②A ，B ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环赛，若A ，B ，C ，D ，E 分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B 队比赛的球队可能是D 队③两个正六边形一定位似④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11. (2021•内蒙古包头市)下列命题正确的是（ ） A. 在函数12y x=-中，当0x >时，y 随x 的增大而减小 B. 若0a <，则11a a +>- C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 各边相等的圆内接四边形是正方形12. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②2OD OG =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D 到CF 的距离为855．其中正确的结论是（ ）A. ①②③④B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②④⑤13.（2021•山东省泰安市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝5，点P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．314. （2021•四川省南充市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝15，BC ＝20，把边AB 沿对角线BD 平移，点A ′，B ′分别对应点A ，B 给出下列结论： ①顺次连接点A ′，B ′，C ，D 的图形是平行四边形； ②点C 到它关于直线AA ′的对称点的距离为48； ③A ′C ﹣B ′C 的最大值为15； ④A ′C +B ′C 的最小值为9．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题1. （2021•江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数为 ． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似2.（2021•四川省广元市）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：①AP PF =；②DE BF EF +=；③2PB PD BF -=；④AEFS为定值；⑤APGPEFG S S=四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．3. （2021•遂宁市）如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，有以下五个结论：①ABF DBE ∠=∠；②ABF DBE ∽；③AF BD ⊥；④22BG BH BD =；⑤若:1:3CE DE =，则:17:16BH DH =，你认为其中正确是_____（填写序号）4. （2021•天津市）如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．5. （2021•湖南省张家界市） 如图,在正方形ABCD 外取一点E ,连接DE ,AE ,CE ,过点D 作DE 的垂线交AE 于点P ,若1==DP DE ,6=PC .下列结论:①CED APD ∆≅∆；②CE AE ⊥；③点C 到直线DE 的距离为3；④225ABCD +=正方形S ，其中正确结论的序号为 .6. （2021•福建省）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，点E 不与A ，B 重合，且EF ＝AB ，G 是五边形AEFCD 内满足GE ＝GF 且∠EGF ＝90°的点．现给出以下结论： ①∠GEB 与∠GFB 一定互补； ②点G 到边AB ，BC 的距离一定相等； ③点G 到边AD ，DC 的距离可能相等； ④点G 到边AB 的距离的最大值为2．其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）D AB CEF7. （2021•广西贺州市）如图．在边长为6的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，3BC BE =且BE CF =，AE BF ⊥，垂足为G ，O 是对角线BD 的中点，连接OG 、则OG 的长为________．8.（2021•湖北省黄石市） 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，AE 交BD 于M 点，AF 交BD 于N 点． （1）若正方形的边长为2，则CEF △的周长是______．（2）下列结论：①222BM DN MN +=；②若F 是CD 的中点，则tan 2AEF ∠=；③连接MF ，则AMF 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．三、解答题1. （2021•辽宁省本溪市）在▱ABCD 中，=BAD α，DE 平分ADC ∠，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转12α得线段EP ．（1）如图1，当=120α︒时，连接AP ，请直接写出线段AP 和线段AC 的数量关系； （2）如图2，当=90α︒时，过点B 作BF EP ⊥于点，连接AF ，请写出线段AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当=120α︒时，连接AP ，若1=2BE AB ，请直接写出APE 与CDG 面积的比值．2. （2021•宿迁市）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周． (1)如图①，连接BG 、CF ，求CFBG的值； (2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．3. （2021•山东省临沂市）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC ． （1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？4.（2021•陕西省）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中点，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．5.（2021•湖北省宜昌市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形； （2）如图2，当点Q 和点D 重合时． ①求证：GC ＝DC ；②若OK ＝1，CO ＝2，求线段GP 的长；（3）如图3，若BM ∥F ′B ′交GP 于点M ，tan ∠G ＝，求的值．6. （2021•广东省）如题24图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD ≠，90ABC ∠=︒，点E 、F 分别在线段BC 、AD 上，且EF CD ∥，AB AF =，CD DE =． （1）求证：CF FB ⊥；（2）求证：以AD 为直径的圆与BC 相切；（3）若2EF =，120DFE ∠=︒，求ADE △的面积．7. （2021•四川省广元市）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE∽；（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求PMN∠的度数及MNPM的值；（3）在（2）的条件下，若2BC=，直接写出PMN面积的最大值．8.（2021•浙江省嘉兴市）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．9.（2021•浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF（1）若EF⊥BD，求DF的长；（2）若PE⊥BD，求DF的长；（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．10.（2021•浙江省温州市）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时11.（2021•湖北省荆门市）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．（1）求证：BE＝CH；（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．12.（2021•海南省）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF 于点G，连接HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC＝，求HE的长．13.（2021•广西玉林市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．14. （2021•广西贺州市）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，12ADB ABD BDC ∠=∠=∠，DE 交BC 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，且EF EC =．（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）若4=AD ，求BED 的面积．15. （2021•江苏省无锡市）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，∠AEF ＝90°，设BE ＝m ．（1）如图，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ， ①当m ＝时，求线段CF 的长；②在△PQE 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．16. （2021•齐齐哈尔市）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、AD 都落在对角线AC 上，展开得折痕AE 、AF ，连接EF ，如图1．（1）EAF ∠=_________︒，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的EAF ∠绕点A 旋转，使它的两边分别交边BC 、CD 于点P 、Q ，连接PQ ，如图2．（2）线段BP 、PQ 、DQ 之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD ，若图2中的PAQ ∠的边AP 、AQ 分别交对角线BD 于点M 、点N ．如图3，则CQ BM=________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4．（4）求证：222BM DN MN +=．17. （2021•深圳）在正方形ABCD 中，等腰直角AEF △，90AFE ∠=︒，连接CE ，H 为CE 中点，连接BH 、BF 、HF ，发现BF BH和HBF ∠为定值.（1）①BF BH =__________；②HBF ∠=__________. ③小明为了证明①②，连接AC 交BD 于O ，连接OH ，证明了OH AF 和BA BO的关系，请你按他的思路证明①②. （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BD EA k AD FA ==，BDA EAF θ∠=∠=（090θ︒<<︒）求①FD HD=__________（用k 的代数式表示） ②FH HD=__________（用k 、θ的代数式表示） 18. （2021•浙江省衢州卷）【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．。