浙教版八年级下专题五 与平行四边形的性质有关的计算与证明

浙教版初中数学初二数学下册《平行四边形》教案及教学反思一、教学目标通过本节课的学习，学生能够：1.熟悉平行四边形的定义和性质；2.掌握平行四边形的判定方法；3.能够解决平行四边形的相关问题。

二、教学重点1.平行四边形的判定方法；2.平行四边形内角和定理。

三、教学内容1. 平行四边形的定义和性质（1）定义平行四边形是有四条边两两平行的四边形。

（2）性质1.对边平行；2.对角线互相平分；3.相邻角互补，即相邻角之和为 $180^\\circ$；4.对角线互相垂直，即对角线所夹的角为直角。

2. 平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法有以下两种：（1）对边平行法对边平行法指的是，如果一个四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。

例如下面这个图中，$AB\\parallel CD$，$AD\\parallel BC$，所以ABCD是一个平行四边形。

A-------B| || |D-------C（2）邻角互补法邻角互补法指的是，如果一个四边形的相邻两角互补，则它是一个平行四边形。

例如下面这个图中，$\\angle A$ 和$\\angle C$ 是相邻角，$\\angle A+\\angle C=180^\\circ$，$\\angle B$ 和 $\\angle D$ 也是相邻角，$\\angleB+\\angle D=180^\\circ$，所以ABCD是一个平行四边形。

A-------B| || |D-------C3. 平行四边形内角和定理平行四边形内角和定理指的是，一个平行四边形的每个内角都等于 $180^\\circ$，也就是说，平行四边形的内角和等于 $360^\\circ$。

例如下面这个图中，$\\angle A+\\angle B+\\angleC+\\angle D=360^\\circ$。

A-------B| || |D-------C四、教学步骤1. 导入新知识（1）课前准备提问：请问什么是平行四边形？它有哪些性质？（2）引入新知识通过多媒体讲解、实例演示等方式，让学生了解平行四边形的定义、性质以及判定方法。

平行四边形的性质与证明方法平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和证明方法。

本文将探讨平行四边形的性质，并介绍一些常用的证明方法。

一、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的任意两条对角线互相平分，即将平行四边形的两个对角点相连，得到的线段互相平分。

2. 对边性质：平行四边形的对边相等，即平行四边形的对边长度相等。

3. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度，即平行四边形的四个内角之和等于360度。

4. 外角性质：平行四边形的相邻外角互补，即相邻外角的和为180度。

5. 底角性质：平行四边形的底角（与底边相对的内角）相等。

二、平行四边形的证明方法1. 平行线法：当两条边分别平行时，可根据平行线之间的性质，如余角、内错角、同旁内角等来进行证明。

通过利用平行线的特性可以得出平行四边形的存在和性质。

2. 对角线法：利用平行四边形对角线互相平分的性质进行证明。

通过证明对角线的相互平分可以推出平行四边形的性质。

3. 相等法：利用平行四边形对边相等的性质进行证明。

通过证明四边形的对边相等可以推出平行四边形的性质。

4. 夹角法：利用平行四边形内角和为360度的性质进行证明。

通过证明四个内角之和等于360度可以推出平行四边形的存在。

5. 相补法：利用平行四边形相邻外角互补的性质进行证明。

通过证明相邻外角的和为180度可以推出平行四边形的存在和性质。

通过以上的证明方法，可以有效地证明平行四边形的存在和性质。

在实际应用中，理解和掌握这些证明方法对于解决几何问题具有重要意义。

总结：平行四边形是一个常见的几何概念，具有对角线平分、对边相等、内角和为360度等性质。

通过平行线法、对角线法、相等法、夹角法和相补法等证明方法，我们可以证明平行四边形的存在和性质。

在实际问题中，熟练掌握这些证明方法对于解决几何问题非常有帮助。

（以上内容仅供参考，具体写作时请根据实际情况补充完善。

）。

版本科目年级课时教学设计图片欣赏：请同学们观察它们由什么图形组成？菱形具有工整，匀称，美观等许多优点，常被人们用在图案设计上.一组邻边相等平行四边形菱形菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.画出菱形的两条折痕,并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：1、对称性2、是否有特殊的三角形3、边4、角5、对角线菱形性质定理的探究：通过上面的折叠猜想菱形的四条边有什么关系？你的猜想是什么？你能证明这个猜想的正确性吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形.求证：AB=BC=CD=DA.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，AD=BC.∴AB=BC=CD=AD.菱形性质定理1:菱形的四条边都相等.几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∵四边形ABCD是菱形,通过上面的折叠猜想菱形的对角线有什么关系？你的发现是什么？你能证明你的猜想的正确性吗？已知:如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.求证: （1）AC⊥BD;（2）AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD，AO=CO.∵DO=DO，∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.∴AC⊥BD.（2）∵AD=AB,DA=DC，AC⊥BD;∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ADC和∠ABC.菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，对称轴有两条．几何语言：∵菱形ABCD，∴ AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC 和∠ABC ，BD 平分∠ADC 和∠ABC ．例1.在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAC=30°，BD=6. 求菱形的边长和对角线AC 的长.解：∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义)AC 平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60° ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分) AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得 AO=22226333AB BO -=-=AC=2AO= 63 典例解析：如图，菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边的中点． 求证：AE=AF ．证明：在菱形ABCD 中， AB=BC=CD=AD ， ∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，∴BE=12BC ，DF=12CD ，∴BE=DF ， ∴△ABE ≌△ADF ， ∴AE=AF ．思考：利用菱形的对角线能计算菱形的面积吗？如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ．求该菱形的面积． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD =S △ABD +S △CBD1122BD AO BD CO =+1()2BD AO CO =+12BD AC =结论：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半． 针对练习：如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，∠BAD=120°．对角线AC 、BD 相交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积．解：∵菱形ABCD 中∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AO=12×4=2，BO=22AB AO -=23， ∴AC=2AO=2×2=4，1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=12AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是1 2×AC•DB=12×6×8=24，∴BC•AE=24，AE=245．拓展提升：已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．解：连接BD．∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．∴四边形EFBD为平行四边形．∴FB=ED=2．∵E是AD的中点．∴AD=2ED=4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．。

初二数学平行四边形的判定某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：平行四边形的判定二. 重点、难点：1. 如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合。

（1）那这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心。

（平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心）（2）一个图形绕着一个点O 旋转180°后，能够和另一个图形互相重合，那么这两个图形关于点O 成中心对称。

（3）对称中心平分连结两个对称点的线段。

2. 平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形，是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形，是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

【典型例题】例1. 在线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形和圆中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？解：关键是寻找一条“直线”和一个“中心”根据定义可知：轴对称图形是：线段、角、等边三角形、正方形和圆；中心对称图形是：线段、平行四边形、正方形和圆。

注意：一般有奇数个“角”的图形一定不是中心对称图形、比如三角形、五角星等。

例2. 等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，使点B 落到B’处，问：点B’与点B 的原来位置相距多少？解：如图所示，∵△ABC 与△AB’C 关于点O 中心对称∴B 、B’是一对对称点∴必过点，且BB O OB OB BB '''==12又在Rt △BCO 中，BC=2，OC AC ==121 ∴∴OB BC OC BB =+==22525'A B例3. 如图所示，△ABC 中，∠BCA=90°，DE//BC 且BC=2DE ，F 在BC 的延长线上，∠CDF=∠A 。

平面几何的性质平行四边形的性质及其证明平面几何的性质——平行四边形的性质及其证明平行四边形是平面几何中的一种特殊形状，具有独特的性质和特点。

本文将介绍平行四边形的性质以及相关的证明。

一、平行四边形的定义及性质平行四边形是指四边形的对边两两平行，即其中任意两条边都是平行的四边形。

在平行四边形中，存在以下性质：1. 对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分。

证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

由于平行四边形的两组对边平行，因此∠BAD=∠BCD、∠ABD=∠ACD。

再结合共同顶点A和共线的点B、D，根据三角形内角和定理可得：∠BAD+∠ABD+∠ACD=180°。

又因为∠BAD=∠BCD，代入上述等式，得到2∠BAD+∠BAD=180°，即3∠BAD=180°，所以∠BAD=∠BCD=60°。

同理可证，∠ABC=∠ADC=120°。

因此，以点O为圆心，OB为半径的圆可以过点D，以点O为圆心，OD为半径的圆可以过点B，这说明对角线AC和BD互相平分。

2. 对边相等平行四边形的对边相等。

证明如下：由于平行四边形的两组对边平行，可以得到以下等式：AB ∥ CD，AD ∥ BC。

根据平行线与横切线定理可知，任意一条横切线AB与平行线CD之间的交角等于对边AD与平行线BC之间的交角。

因为平行线CD与AD之间的交角等于∠ADC，平行线BC与AB之间的交角等于∠ABC，根据前述证明可得∠ADC=∠ABC=120°。

再结合对角线互相平分的性质，可以推导出∠ACD=∠ABD=60°。

根据三角形的全等条件，可以得到△ADC≌△ABC，因此AD=BC，AB=CD，即平行四边形的对边相等。

3. 对角线长度关系平行四边形的对角线长度关系。

证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

根据三角形内角和定理可得∠ADC+∠ACD+∠ADC=180°。

浙教版八年级数学下册平行四边形全章复习讲义(总29页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平行四边形全章复习巩固讲义1．平行四边形的概念定义：两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是性质，又是判定．（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．平行四边形的基本元素：边、角、对角线．典型例题(2019秋﹒新泰市期末）如图，在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,若AB＝8,AC＝12，则BD的长是（）A．22 B．16 C．18 D．20【考点】平行四边形的性质．平行四边形【专题】计算题；运算能力；推理能力．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC,AB＝8,OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OA＝12AC＝6,BD＝2OB,∵AB⊥AC,AB＝8，∴OB＝8＋6＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用．熟记握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解题的关键．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角__________；（3）平行四边形的对角线互相__________．【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；（3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．典型例题(2019秋﹒新泰市期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论，其中正确的有（）个①DE＝DF；②AG＝GF：③AF＝DF：④BG＝GC；⑤BF＝EF,【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．平行四边形【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF,得出对应边相等AF＝DF,BF＝EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB＝CD，即AB∥CE,∴∠ABF＝∠E，∵DE＝CD，∴AB ＝DE ，在△ABF 和△DEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABF ＝∠E∠AFB ＝∠DFE AB ＝DE， ∴△ABF ≌△DEF (AAS ), ∴AF ＝DF ,BF ＝EF ； 可得③⑤正确， 故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．两条平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．性质：（1）两条平行线之间的距离处处__________； （2）夹在两条平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且__________的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．5．三角形的中位线及其定理定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的__________．【注意】（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点．知识参考答案：1．平行 2．相等；平分 3．相等 4．相等 5．一半一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．【例1】将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为__________．【答案】3【解析】如图所示：可以拼成3个平行四边形．分别是：DBCA，BACF，AECB．故答案为：3．二、平行四边形的性质平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B=55°，那么∠DAE的角度为A．25°B．35°C．45°D．55°【答案】B【解析】∵平行四边形ABCD，∴∠D=∠B=55°，∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE=90°–55°=35°.故选B．【名师点睛】本题主要利用平行四边形对角相等解题．【例3】在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是A．2cm<OA<5cm B．2cm<OA<8cmC．1cm<OA<4cm D．3cm<OA<8cm【答案】C【解析】∵AB=3，BC=5，∴2<AC<8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，∴1<OA<4．故选C．【例4】如图，在ABCD中，AB=4，BC=5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE=，则四边形EFCD的周长为A．10 B．12 C．14D．16【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=，CF=AE．故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．故选B．三、两条平行线之间的距离两条平行间的距离处处相等．【例5】如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度B．CE=FGC．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离D．AC=BD【答案】C【解析】A、∵FG⊥l2于点G，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG，故本选项正确；C、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误；D、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，故本选项正确；故选C．四、平行四边形的判定平行四边形的判定有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【例6】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO 【答案】D五、平行四边形性质与判定的综合平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．【例7】如图，在ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠ABD=∠CDB，又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BAM=∠DCN，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．六、三角形的中位线及其定理利用三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系．【例8】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【解析】△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=12 BC，同理：PN=12 AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．基础1．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则ABCD的面积为A．6 B．9 C．12 D．182．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是A．90°B．60°C．120°D．45°3．如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，那么BC的长是A．6 B．8 C．10 D．164．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°5．如图，AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是__________．6．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22 m，则AB=__________m．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=23BC=3DE=12，DG=12AB，求四边形DEFG的周长．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C 出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．能力9．已知ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是A．AB>2 B．AB<8 C．2<AB<8 D．2≤AB≤810．平行四边形ABCD与等边三角形AEF按如图所示的方式摆放，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是A．75°B．80°C．100°D．120°11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④12．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点．点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN 的长；②△PMN 的面积；③△PAB 的周长；④∠APB 的大小；⑤直线MN ，AB 之间的距离．其中会随点P 的移动而不改变的是A ．①②③B ．①②⑤C ．②③④D ．②④⑤13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是边AB 的中点，将△ABC 沿着AB 平移到△DEF 处，那么四边形ACFB 的面积等于__________．14．如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，:DMN CEM S S △△等于_________．15．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA =5cm ，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且DE =12OD ，BF =12OB ，连接AE ，CE ，CF ，AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若DE =13OD ，BF =13OB ，上述结论还成立吗由此你能得出什么结论（3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC =60°，求四边形AECF 的周长．真题16．（2019·贵州黔东南、黔南、黔西南）如图在ABCD 中，已知AC =4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则ABCD 的周长为A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm17．（2019·甘肃兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒18．（2019·黑龙江绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A ．AD BC ∥，AB CD ∥ B ．AB CD ∥，AB CD =C ．AD BC ∥，AB DC = D ．AB DC =，AD BC =19．（2019·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC =AD ③∠A =∠C ④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种20．（2019·广西玉林）在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有 A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种21．（2019·四川德阳）如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使3FO OC =，连接AB 、AC 、BC ，则在ABC ∆中::ABO AOC BOC S S S △△△A ．621∶∶B ．321∶∶C ．632∶∶ D ．432∶∶ 22．（2019·安徽）ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是 A ．BE =DF B ．AE =CF C ．AF ∥CED ．∠BAE =∠DCF23．（2019·广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC =6 cm ，则DE 的长度是__________cm ．24．（2019·湖北十堰）如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为__________．25．（2019·江苏泰州）如图，ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为__________．26．（2019·辽宁抚顺）如图，ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是__________．学科=网27．（2019·山东淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．28．（2019·福建）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．29．（2019·广西梧州）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．30．（2019·辽宁大连）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．∥，31．（2019·湖北孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB DE∥，AC DF ，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．BE CF32．（2019·江苏无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．33．（2019·湖北恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．34．（2019·浙江衢州）如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．35．（2019·江苏宿迁）如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG=CH．36．（2019·青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．37．（2019·云南曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．38．（2019·黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．参考答案1．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．∵△AOB的面积为3，∴ABCD的面积为4×3=12．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B∶∠C=1∶2，∴∠B=13×180°=60°，故选B．3．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，∴四边形ABCD周长为：6÷316=32，∴AB+BC=12×32=16，∴BC=10．故选C．5．【答案】△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB【解析】根据AB∥CD可得：△ABC和△ABD的面积相等，△ACD和△BCD的面积相等，则△ACD的面积减去△OCD的面积等于△BCD的面积减去△OCD的面积，即△AOD和△BOC的面积相等．6．【答案】44【解析】∵E、F是AC，CB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，∵EF=22m，∴AB=44m，故答案为44．7．【解析】∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，∴DG=12AB=6，∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG=12BC=9，EF=12AB=6，∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25．8．【解析】（1）作AM⊥BC于M，如图所示：∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=12BC=5，∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5–t，∵CE=CQ–QE=2t–2，∴5–t=2t–2，解得：t=73，BQ=BC–CQ=10–2×71633；（2）存在，t=4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，∴t=10–2t+2，解得：t=4，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4．9．【答案】C【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AO=CO=5，BO=DO=3，∴2<AB<8．故选C．10．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°–∠B=180°–45°=135°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠BAE=∠BAD–∠EAF=75°．故选A．11．【答案】D【解析】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴①正确；∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴②正确；∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，∴∠ADC–∠DCE=∠DBC+∠BCD–∠DCE=∠DBC+∠BCF，∵∠DFC=∠DBC+BCF，∴∠DFC=∠ADC–∠DCE；∴③正确；∵AB∥CD，∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，∴由三角形面积公式得：S△BED=S△EBC，都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，∴④正确；综上得①②③④都正确，故选D．12．【答案】B【解析】∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=12AB，即线段MN的长度不变，故①正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故②正确；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误．直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；综上所述，随点P的移动而不变化的是①②⑤．故选B．13．【答案】9【解析】∵将△ABC沿AB方向向右平移到△DEF，∴四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFB是是梯形．∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴5AB=．∵点D是边AB的中点，∴AD=BD=15522⨯=，∴CF=AD=12AB52=，设AB边上的高为x．∵AB=5，AC=3，BC=4，AB边上的高为x，∴12AC·BC=12AB·x，∴125x =．∴S梯形ACFB=1512(5)9225⨯+⨯=．14．【答案】1∶3【解析】如图，作EF AD ∥，M 是DE 的中点，则△DMN ≌△EMF ，得MN =MF ，E 是AC 的中点，则FC =NF ，所以13MF MC =，得13FEM CEM S S =△△，得:DMN CEM S S △△=1∶3．16．【答案】D【解析】∵AC =4 cm ，若△ADC 的周长为13 cm ，∴AD +DC =13-4=9（cm ）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∴平行四边形的周长为2（AB +BC ）=18 cm ．故选D ． 17．【答案】B【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，由折叠可得ADB BDF ∠=∠，∴DBC BDF ∠=∠，又∵40DFC ∠=︒，∴20DBC BDF ADB ∠=∠=∠=︒，又∵48ABD ∠=︒，∴ABD △中，1802048112A ︒︒-︒∠=-=︒，∴112E A ∠∠==︒，故选B ．18．【答案】C【解析】A 、由AD BC ∥，AB CD ∥可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意；B 、由AB CD ∥，AB CD =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意；C 、由AD BC ∥，AB DC =不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项符合题意； D 、由AB DC =，AD BC =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意，故选C ． 19．【答案】C【解析】当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形，故选C ． 20．【答案】B【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定； （2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定，共4种组合方法，故选B ． 21．【答案】B【解析】如图，连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC =3：1，BE =OB ，AF ∥OE ，∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =13m ，S △AOC =23m ，∴S △AOB ∶S △AOC ∶S △BOC =m ∶23m ∶13m =3∶2∶1，故选B ． 22．【答案】B【解析】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B．23．【答案】3【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=162=3cm，故答案为：3．24．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为：14．25．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．26．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，∴AD=BC=3，CD=AB=7，∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，故答案为：10．27．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=2，由折叠，∠DAC=∠EAC，∵∠DAC=∠ACB，∴∠ACB=∠EAC，∴OA=OC，∵AE过BC的中点O，∴AO=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，由折叠，∠ACD=90°，∴E、C、D共线，则DE=4，∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10，故答案为：10．28．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，OAE OCF OA OCAOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．29．【解析】∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，EAO FCO AO OCAOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．31．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，B DEF BC EFACB F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．32．【解析】在ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，AB CDA C AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠ABF=∠CDE．33．【解析】如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，ABC DEF BC EFACB DFE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．34．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中，AEB CFDBAE DCF AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．35．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∠A =∠C ， ∴∠E =∠F ， 又∵BE =DF ， ∴AD +DF =CB +BE ， 即AF =CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ， ∴CH =AG ．36．【解析】（1）∵E 是AB 边上的中点，∴AE BE =， ∵AD BC ∥， ∴ADE F ∠=∠，在ADE △和BFE △中，ADE F ∠=∠，DEA FEB ∠=∠，AE BE =， ∴ADE △≌BFE △， ∴AD BF =．（2）如图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，∵AB ∥DC ，∴DM 同时也是平行四边形ABCD 的高，∴11113282244AED S AB DM AB DM =⋅⋅=⋅=⨯=△，∴32824EBCD S =-=四边形．37．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM，∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM，∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°．38．【解析】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥F C．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得AB=13 cm．30。

【基础知识】一、多边形边数 内角和外角和 从某顶点出发的对角线条数对角线总条数3 4 5 6 … … … … … n例题1 如图，一个六边形的六个内角都是120°，AB=1，BC=CD=3，DE=2，求该六边形的周长。

EFDBCA二、平行四边形1、定义：两组对边 的四边形叫做平行四边形。

2、性质：（1）平行四边形的对角 。

（2）平行四边形的对边 。

（3）平行四边形的对角线 。

（4）平行四边形具有 性。

3、平行线（1）性质定理:夹在两条平行线间的平行线段 。

推论:夹在两条平行线间的 相等。

（2）平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

4、判定：（1）根据定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）一组对边 的四边形是平行四边形。

（3）两组对边 的四边形是平行四边形。

（4）对角线 的四边形是平行四边形。

例题2 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，求该平行四边形的面积。

A 10 DOB 5 M C例题3 如图，平行四边形ABCD ，O 是对角线AC 、BD 的交点，EF 过点O 分别交AD 、CB 的延长线于点M 、N ，求证：四边形DMBN 是平行四边形。

MD E COA F BN12三、中心对称1、定义：如果一个图形绕着一个点旋转 度后，所得到的图形能够和原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心。

类似地，如果一个图形绕着一个点O 旋转 度后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O 。

2、中心对称图形的性质：对称中心 连结两个对称点的线段。

例题4 如图，已知MN⊥PQ，垂足为O ，点A 、A 1是以MN 为轴的对称点，而点A 、A 2是以PQ 为轴的对称点，则点A 1、A 2关于点O 成中心对称，你能说明其中的道理吗？21A A OAQPNM四、三角形中位线1、定义：连结三角形两边的线段叫做三角形的中位线。