2014年中考数学四边形专题复习：四边形的证明与计算 (2)

滚动小专题（七）四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.例(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.1.(2013·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH ⊥AB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.2.(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.(1)求证：BF=DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).3.(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.4.(2014·舟山)已知：如图，在□ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF.(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由.5.如图，点O 是线段AB 上的一点，OA=OC ，OD 平分∠AOC 交AC 于点D ，OF 平分∠COB ，CF ⊥OF 于点F.(1)求证：四边形CDOF 是矩形；(2)当∠AOC 为多少度时，四边形CDOF 是正方形？并说明理由.6.(2014·成都)如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=1nAD(n 为大于2的整数)，连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG.(1)试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；(2)当AB=a(a 为常数)，n=3时，求FG 的长；(3)记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当12S S = 1730时，求n 的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)。

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

最新中考数学一轮复习专题复习教案讲义最新讲义中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．1.如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点．（1）求证：∠CED =∠DAG ；（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB ∠的值．【答案】（1）见解析（2）154【解析】：（1）证明：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC .∴∠CED =∠ADE .又∵点G 是DF 的中点，∴AG =DG .∴∠DAG =∠ADE .∴∠CED =∠DAG .(2)∵∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ，∴∠AED =∠AGE .∴AE =AG .∵AG =4，∴AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB∴sin 4AB AEB AE ∠==.2.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC=63．(1)求BD 的长；(2)求AD 的长．【答案】（1）10（2）2【解析】(1)在Rt △BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan ∠BDC=63，∴23 CD .∴CD= 6.∴由勾股定理得BD=BC 2+CD 2=10.3.已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°,AB ＝BC ＝26,tan ∠CDE ＝32.求对角线BD 的长和△ABD 的面积.【答案】（1）（2）45【解析】过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒,AB BC ==，∴6BF AF CF ===90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴FBE CDE∠=∠∴2tan tan 3FBE CDE ∠=∠=即23EF BF =∴4EF =∴2,3EC CD ==∴BE ===DE ===∴BD BE DE =+=(2)114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅=4.已知：如图，正方形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，联结CE.求cos ∠ACE 和tan ∠ACE 的值.【答案】1013【解析】过点E 作AC EF ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC D BAD ,90︒=∠=∠平分BAD ∠，DC AD =．∴︒=∠45CAD ，AD AC 2=．∵E 是AD 中点，∴AD DE AE 21==．设x DE AE ==，则x DC AD 2==，x AC 22=，x CE 5=．在Rt △AEF 中，x CAD AE EF 22sin =∠⋅=，x EF AF 22==．∴x x x AF AC CF 2232222=-=-=．∴101035223cos ===∠x xCE CF ACE ，3122322tan ===∠x xCF EF ACE ．5.如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形;（2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值.【答案】（1）见解析（2）35【解析】（1）∵DE ∥AC ，CE ∥BD∴四边形OCED 是平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC BD⊥90DOC ∠=o∴四边形OCED 是矩形（2）∵四边形ABCD 是菱形，BD =8∴12OD BD ==4，OC=OA ，AD=CD ∵AD =5，由勾股定理得OC =3∵四边形OCED 是矩形∴DE=OC=3，在Rt △DEC 中，sin DCE ∠=35DE DC =6.已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33+CD =3（1）求tan ∠ABD 的值；（2）求AD 的长.【答案】（1）1（213【解析】(1)作DE BC ⊥于点E .∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =3，∴3, 3.CE DE ==∵BC =33+∴333 3.BE BC CE =-=+∴ 3.DE BE ==∴在Rt △BDE 中，∠EDB =∠EBD =45º.∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º，∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º.∴tan ∠ABD =1.(2)作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º,AB =1，2BF AF ∴==∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==，∴BD =∴22DF BD BF =-=-=∴在Rt △AFD中，AD ==7.如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点、F 为AC 的中点，过点C 作CE //AB 交DF 的延长线于点E ，连结AE．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形．（2）若EF =22，︒=∠︒=∠4530AED FCD ，，求DC 的长．【答案】（1）见解析（2）2+32【解析】（1）证明：∵CE //AB ，∴∠DAF =∠ECF ．∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ．在△DAF 和△ECF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，CFE AFD CF AF ECF DAF ∴△DAF ≌△ECF ．∴AD =CE ．∵CE //AB ，∴四边形ADCE 为平行四边形．（2）作FH ⊥DC 于点H ．∵四边形ADCE 为平行四边形．∴AE //DC ，DF =EF =22，∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF =22，∠FDC=45°，∴sin ∠FDC=22=DF FH ，得FH =2，tan ∠FDC=1=HDHF ，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH =2，∠FCD=30°，∴FC =4．由勾股定理，得HC =32．∴DC=DH+HC=2+32．8.如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．【答案】（1）见解析（2）7210【解析】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ．∠F =45°，∴∠DAE=45°．AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠= ．。

2014年中考数学二轮精品复习试卷：四边形1、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是【】A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC2、（2013年四川资阳3分）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】A．48 B．60 C．76 D．803、正六边形的边心距与边长之比为A．B．C．1：2 D．4、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为A．78°B．75°C．60°D．45°6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A．B．C．D．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为【】A．B．C．D．128、如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为【】A．14 B．15 C．16 D．179、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为【】A．1 B．2 C．3 D．410、下列命题中是假命题的是【】A．平行四边形的对边相等B．菱形的四条边相等C．矩形的对边平行且相等D．等腰梯形的对边相等11、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为A．B．C．4 D．812、如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为A．cm2B．cm2 C．cm2D．cm213、下列命题中的真命题是A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形14、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有A．1个B．2个C．3个D．4个15、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【】A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为【】A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm17、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【】个．A．2 B．3 C．4 D．518、顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是【】A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形19、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=A．B．C．2 D．120、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞CD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。

滚动小专题(八) 四边形的有关计算与证明1．(·长春)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G.(1)求证：BD ∥EF ；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴DF ∥BE.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形．∴BD ∥EF.(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽△CEG.∴DG CG ＝DF CE. ∴CE ＝DF·CG DG ＝4×32＝6.2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AC ＝8，BD ＝6，求△ADE 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD.∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°.又∵DE ⊥BD ，即∠EDB ＝90°，∴∠AOB ＝∠EDB.∴DE ∥AC.∴四边形ACDE 是平行四边形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，AD ＝CD ＝5.又∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8.∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18.3．(2016·台州)如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H.(1)求证：△PHC ≌△CFP ；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.又∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC.∴∠CPF ＝∠HCP ，∠CPH ＝∠PCF.∵PC ＝PC ，∴△PHC ≌△CFP(ASA)．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°.∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形．S 矩形PEDH ＝S 矩形PFBG .4．(2016·遵义)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠E ＝∠F.∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF.在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠A ，CF ＝AE ，∠F ＝∠E ，∴△CFP ≌△AEQ(ASA)．∴CP ＝AQ.(2)∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°.∵∠AEF ＝45°， ∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形．∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE.∴PE ＝2BP ＝ 2.∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝3 2. ∴AQ ＝AE ＝3.∴AB ＝AE －BE ＝2.∵CP ＝AQ ＝3，∴BC ＝BP ＋CP ＝1＋3＝4.∴S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝2×4＝8.5．(2016·毕节)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F.(1)求证：△AEC ≌△ADB ；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．解：(1)证明：由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE.∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB.在△AEC 和△ADB 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD ，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB(SAS)．(2)∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°.由(1)得，AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝2AB ＝2 2.∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2.∴BF ＝BD －DF ＝22－2.6．准备一张矩形纸片ABCD ，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD.由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°.∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.∴△EDM ≌△FBN(ASA)．∴ED ＝FB.∴四边形BFDE 是平行四边形．(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433. ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S △ABE ＝12AB·AE ＝233， S 矩形ABCD ＝AB·AD ＝4 3.∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝833.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AO ＝OC ，△ABC 是等腰直角三角形．在△ACF 中，AC ＝CF ，CF 平分∠ACF ，∴AE ＝EF.∴EO 为△AFC 的中位线．∴CF ＝2EO ＝2 2.∴AC ＝2 2.∴AB ＝AC 2＝2. (2)EM ＝12CN. 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE ⊥AF.∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°.∵∠ANE ＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN.在△ABF 和△CBN 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠BCN ，AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°，∴△ABF ≌△CBN(ASA)．∴AF ＝CN.∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ，∴∠BAF ＝∠OCM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∴∠ABF ＝∠COM ＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.∴EOCB＝EMCM＝22.∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.。

1四边形证明（讲义）Ø知识点睛（ ）（ ）正方形菱形矩形平行四边形（ ）（ ）（ ）Ø精讲精练1.如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD ．求证：四边形ABCD 是菱形．OAEBCFD2.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°．AG ∥CD ，交BC 于点G ，E ，F 分别为AG ，CD 的中点，连接DE ，FG ，DG ．（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形ABGD 是矩形．3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，O 为AB 的中点，连接DO 并延长至点E ，使OE =DO ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形？请说明理由．OED CB AADFE BGC24. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FEDCBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCBA6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ．（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A37. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O 作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ． （1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．（2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABC DEF NMOABC D四边形证明（习题）Ø 巩固练习1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 在边BC 上，且AB ∥DE ，AF ∥DC ，四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当AB =DC 时，求证：平行四边形AEFD 是矩形．2. 如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 的直线分别交AB ，CD 的延长线于点E ，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．FDC OEB AFE DCBA43. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB ，交AE 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：DB =CF ；（2）若AC =BC ，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．4. 如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ； （2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．5. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠ACB 的平分线相交于点E ，与∠DCA（△ABC 的外角）的平分线相交于点F ． （1）求证：OE =OF ；（2）若CE =12，CF =5，求OC 的长；（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．FE DC BAQPNMBCDA ABCDEF NM O AB C D。

中考数学专题复习《以平行四边形为背景的计算与证明》经典题型讲解类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z11－1，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .求证：BE ＝DF .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CFD ，∵AB ＝CD ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD ，∴BE ＝DF .【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，连结AF ，CE .求证：AF ＝CE .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠ADB ＝∠CBD .又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， 图Z11－1图Z11－2∴∠AED ＝∠CFB ，AE ∥CF .∴△AED ≌△CFB (AAS )．∴AE ＝CF .∴四边形AECF 是平行四边形．∴AF ＝CE .2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H .求证：AG ＝CH .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CFH ，∠EAG ＝∠FCH ，∵E ，F 分别为AD ，BC 边的中点，∴AE ＝DE ＝12AD ，CF ＝BF ＝12BC ，∵AD ＝BC ，∴AE ＝CF ＝DE ＝BF .∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ∥DF ，∴∠AEG ＝∠ADF ，∴∠AEG ＝∠CFH ，在△AEG 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAG ＝∠FCH ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AEG ≌△CFH (ASA )，∴AG ＝CH .【中考预测】[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E ，F 分别是▱ABCD的边BC ，AD 上的点，且BE ＝DF .(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若四边形AECF 是菱形，且BC ＝10，∠BAC ＝90°，图Z11－3图Z11－4求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，中考预测答图∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE ＝12BC＝5.类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．图Z11－5 经典母题答图解：如答图，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD 的四个内角度数分别为∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠BCD ＝120°.【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．【中考变形】1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E .(1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)只需添加一个条件，即__AD ＝BC __，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC (SSS )；(2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由如下：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，由(1)得△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形．故答案为AD ＝BC (答案不唯一)．2．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC＝4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； 图Z11－6图Z11－7(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB ＝OD ，∴∠OBE ＝∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )，∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴x 2＝42＋(6－x )2，解得x ＝133，∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213，∴OB ＝12BD ＝13，∵BD ⊥EF ，∴OE ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.3．[2017·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD 中，∠ABD ，∠CDB 的平分线BE ，DF 分别交边AD ，BC 于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠BDC ，∴∠EBD ＝12∠ABD ，∠FDB ＝12∠BDC ，图Z11－8∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．4．[2016·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．解：(1)证明：正方形ABCD中，∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE＝90°，在△ADF与△ABE中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE(SAS)；(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝12ED·AH＝12AD·BA＝92，图Z11－9∴AH ＝95， 在Rt △AHD 中，DH ＝AD 2－AH 2＝125，∴EH ＝ED －DH ＝135，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝913.5．[2017·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD 中，AD∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE (SSS )，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．图Z11－106．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．图Z11－11中考变形6答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．理由：如答图，连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，∴BO＝DO，即O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.【中考预测】如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.图Z11－12(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，∴∠EFD＝∠BCD.。

专题四四边形的相关证明及计算1.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接B D.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)若DA＝DB＝2，cos A＝14，求点B到点E的距离．第1题图2.如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥C D.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．第2题图3.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE＝6，BF＝8，S▱ABCD＝36，求AD的长．第3题图4.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB，E为AD的中点，连接AC，BE.(1)求证：BE＝CD；(2)若∠ABD＝90°，求证：AC＝3B C.第4题图5.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥B D.(1)求证：四边形OCFD是矩形；(2)若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值．第5题图6.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．第6题图7.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．第7题图8. (2019玉林)如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH.(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；(2)已知：AB＝22，EB＝4，tan∠GEH＝23，求四边形EHFG的周长．第8题图参考答案专题四四边形的相关证明及计算1. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵DE＝AD，∴DE∥BC，DE＝BC.∴四边形BCED是平行四边形；(2)解：如解图，连接BE交CD于点O.∵DE＝AD，AD＝BD，∴BD＝DE.∴四边形BCED是菱形．∴BE⊥CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD.∴cos∠BCD＝cos A＝1 4.在Rt△BCO中，OC＝BC·cos∠BCD＝2×14＝12，∴BO＝BC2－OC2＝15 2.∴BE＝2BO＝15，即点B到点E的距离为15.第1题解图2.解：(1)四边形ABCD是菱形；理由：由折叠得AD＝AB，BC＝DC，∠BCA＝∠DCA.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∴∠BAC＝∠BCA.∴AB ＝BC .∴AD ＝AB ＝BC ＝DC . ∴四边形ABCD 是菱形； (2)如解图，连接BD 交AC 于点O . 由(1)知四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CO ＝AO ＝12AC ＝12×16＝8，BO ＝DO ＝12BD . 在Rt △OBC 中，由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝2OB ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝12×16×12＝96.第2题解图3. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC . ∴∠DAE ＝∠AEB .∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ， ∴∠DAE ＝∠BAE . ∴∠BAE ＝∠BEA . ∴BA ＝BE . 同理：AB ＝AF . ∴AF ＝BE . 又∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形． ∵AB ＝AF ，∴四边形ABEF 是菱形；(2)解：如解图，过点A 作AH ⊥BE 于点H .第3题解图∵四边形ABEF是菱形，∴AO＝EO＝12AE＝3，BO＝FO＝12BF＝4，AE⊥BF.∴BE＝BO2＋EO2＝5.∵S菱形ABEF ＝12AE·BF＝12×6×8＝24，∴BE·AH＝24.∴AH＝24 5.∵S▱ABCD＝AD×AH＝36，∴AD＝15 2.4.证明：(1)∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC.∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．∴BE＝CD；(2)∵∠ABD＝90°，AD＝2AB，∴∠ADB＝30°.∵AD＝2BC，点E为AD的中点，∴AB＝BC＝BE.∴∠BAC＝∠BCA.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠CAB＝∠CAD＝30°.∵BE＝BC，四边形BCDE是平行四边形，∴四边形BCDE是菱形．∵∠ADB＝30°，∴∠ADC＝60°.∵∠CAD＝30°，∴∠ACD＝90°.∴在Rt△ACD中，AC＝3CD.∴AC＝3BC.5. (1)证明：∵DF∥AC，CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCFD是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5，∴AD＝CD＝5.∵菱形ABCD两条对角线交于点O，BD＝8，∴OD＝OB＝12BD＝4.∵四边形OCFD是矩形，∴OD＝CF.∴在Rt△CFD中，CF2＋DF2＝CD2.∴DF＝3.∴tan∠DCF＝DF CF＝34.6. (1)证明：∵点F，H分别是BC，CE的中点，∴FH∥BE，FH＝12BE，BF＝FC.∴∠CFH＝∠FBG.又∵点G是BE的中点，∴FH＝12BE＝BG.在△BGF和△FHC中，⎩⎨⎧BF ＝FC ，∠FBG ＝∠CFH ，BG ＝FH ，∴ △BGF ≌ △FHC (SAS)； (2)解：如解图，连接EF 、GH .当四边形EGFH 是正方形时，可知EF ⊥GH 且EF ＝GH . ∵ 在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点， ∴ GH ＝12BC ＝12AD ＝12a 且GH ∥BC . ∴ EF ⊥BC .又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC , AB ⊥BC . ∴ AB ＝EF ＝GH ＝12a .∴ S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝12a ·a ＝12a 2.第6题解图7. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AD －DE ＝DC －CF ，即AE ＝DF . 在△ABE 和△DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF (SAS) . ∴BE ＝AF ；(2)解：∵AB ＝4，DE ＝1， ∴AE ＝4－1＝3.∴BE＝AB2＋AE2＝42＋32＝5.由(1)知，∠EBA＝∠F AD，∴∠F AD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，即∠AGE＝90°＝∠BAE.∴△AGE∽△BAE.∴AGAB＝AEBE，即AG4＝35.解得AG＝12 5.8. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA＝45°.∴∠EAB＝∠FCD＝135°.∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA.∴△DFC≌△BEA(AAS)．∴DF＝BE.∵BH＝DG，∴HE＝GF.∵HE∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形；(2)解：如解图，连接BD交AC于点O，过点D作DM⊥BE于点M，过点G作GN⊥BE 于点N.∵四边形EHFG是平行四边形，∴四边形GNMD是矩形．∴GN＝DM，GD＝MN.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，DO＝BO＝AO.∵AB＝22，∴BO＝2，BD＝4.∴cos∠OBE＝OB BE＝12.— 11 —∴∠OBE ＝60°.∴GN ＝DM ＝BD ·sin ∠DBM ＝4×32＝23，BM ＝BD ·cos ∠DBM ＝4×12＝2.∵tan ∠GEH ＝GN EN ＝23，∴EN ＝1.∴EG ＝EN 2＋GN 2＝13.∵MN ＝EB －BM －EN ＝4－2－1＝1，∴EH ＝BE ＋BH ＝BE ＋GD ＝BE ＋NM ＝4＋1＝5.∴四边形EHFG 的周长为2(EG ＋EH )＝2(13＋5)＝213＋10.第8题解图。

专题复习四边形的证明与计算楚雄市云龙中学罗文教学目标:1. 通过四边形的简单复习，会解决相应的四边形问题。

2. 会利用三角形全等来证明四边形及其相应的计算，培养学生数形结合的思想。

教学重难点会利用所学知识解决几何问题教学流程一、复习回顾我们学过了三角形全等、平行四边形、矩形、菱形和正方形，在考查的知识点上多在和图形的边、角分不开。

本节我们继续学习四边形的证明及其计算。

二、自主学习教师出示题目，学生独立思考完成。

出示题目：1、如图，已知AB//DE AB= DE AF= CD / CEF= 90°(1)若/ ECF= 30°, CF= 8,求CE的长；⑵求证：△ ABF^A DEC⑶求证：四边形BCEF是矩形由学生思考后，教师请学生进行分析，指名学生到黑板进行板演。

教师检查、并进行指导。

出示题目2、如图，菱形ABC的对角线AC与BD相交于点Q且BE// AC CEJI BD(1)求证：四边形QBE(是矩形；⑵若菱形ABCD勺周长是4, tan a = 1/2,求四边形QBE啲面积.由学生思考后，教师请学生进行分析，指名学生到黑板进行板演。

教师检查、并进行指导。

二、例题讲解教师出示例题：如图，在矩形ABC呼，对角线BD的垂直平分线MNW AD相交于点M 与BD相交于点Q与BC相交于点N连接BM DN(1)求证：四边形BMD是菱形；⑵若AB= 4, AD= 8,求MD勺长教师引导学生分析，由学生思考，进行板书证明：(1)v MN是BD的垂直平分线，••• MB= MD QB= QD / BQNh Z DQ猜90°T四边形ABC兎矩形，•AD// BC.•/ QBN=Z QDM•△ BQNm DQM(ASA)•BN= MD•四边形BMD是平行四边形.又T MB= MD•四边形BMD是菱形；⑵解：设MD= x,则AMh8-x, BMhx,在Rt△ ABM中, BM2= AB2+ AM2即x2 = 42 + (8 -x)2，解得x= 5,MD= 5.四、巩固提高：如图，四边形ABC呼，BD垂直平分AC垂足为点F,点E为四边形ABC疗卜一点，且/ ADE=Z BAD AE!AC(1)求证：四边形ABD至平行四边形；⑵如果DA平分/ BDE AB= 5, AD= 6,求AC的长.五、小结分别回顾四边形的解题技巧。

第二讲：正方形、梯形训练学习（2）—2014年中考数学四边形专题三、正方形的学习例题1.（2013贵州铜仁，18，4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．例题2.( 2013年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I 都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(A)90 (B)100 (C)110 (D)121相应练习一1.（2013四川内江，21，9分）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．2.（2013贵州贵阳，21，10分）如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E ,F 分别在BC 和CD 上.（1）求证：CE =CF ；（2）若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长.3．（2013深圳市 16 ，3分）如图，已知Rt ABC ∆中，ACB ∠=90，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交于点O ，连接OC 。

已知 AC =5，OC =BC 的长为 。

四、梯 形 的 学 习例题3. （2013四川达州，8，3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论：①EF ∥AD ； ②S △ABO =S △DCO ；③△OGH 是等腰三角形；④BG =DG ；⑤EG =HF .其中正确的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例题4. （2013南京市，22，8）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD =2，BC =4，求四边形EFGH 的面积.O H GF E DCB A相应练习二4. （2013四川内江，16，5分）如图8，四边形ABCD 是梯形，BD ＝AC且BD ⊥AC ，若AB ＝2，CD ＝4，则S 梯形ABCD ＝ .5.（2013湖北襄阳，23，7分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 的中点，BC ＝2AD ，EA ＝ED ＝2，AC 与ED 相交于点F ．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）当AB 与AC 具有什么位置关系时，四边形AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD 的面积．三、课后巩固1.（2013四川宜宾，14，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=2.（2013，黔东南州，10）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P 顺时针旋转90º，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（）A、75ºB、60ºC、45ºD、30º3．（2013湖北黄冈，18，7）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M. 求证：AM⊥DF.4.（2013四川南充，19，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.(1)求证:△APB∽△PEC;(2)若CE＝3,求BP的长.。

第三讲：四边形的证明与计算—2014年中考数学四边形专题复习一、小练习1.（2013•荆州）如图，△ACE 是以□ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称.若E 点的坐标是（7，－，则D 点的坐标是 .2（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形， 顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ， 连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．3.（2013•十堰）如图，▱ABCD 中，∠ABC =60°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，EF =，则AB 的长是 ．二、类型题解析例题1（2013•铁岭）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，连接AE ，BE ． （1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．4．（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，点A 关于对角线BD 的对称点F 刚好落在腰DC 上，连接AF 交BD 于点E ，AF 的延长线与BC 的延长线交于点G ，M ，N 分别是BG ，DF 的中点． （1）求证：四边形EMCN 是矩形；（2）若AD =2，S 梯形ABCD =，求矩形EMCN 的长和宽．5（2013•北京）如图，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE =21BC ，连结DE ，CF 。

（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形； （2）若AB =4，AD =6，∠B =60°，求DE 的长。

例题2。

（2013•长春）探究：如图①， 在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ,AE ⊥CD 于点E ．若AE =10,求四边形ABCD 的面积.应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ,AE ⊥BC 于点E .若AE =19，BC =10,CD =6,则四边形ABCD 的面积为 .6.（2013•厦门））如图9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点E ，若AE ＝4，CE ＝8，DE ＝3，梯形ABCD 的高是365，面积是54. 求证：AC ⊥BD .例题3．（2013•衡阳）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE ⊥BP ，C F ⊥BP ，垂足分别为点E 、F ，已知AD =4．（1）试说明AE 2+CF 2的值是一个常数；（2）过点P 作PM ∥FC 交CD 于点M ，点P 在何位置时线段DM 最长，并求出此时DM 的值．相应练习三7. （2013•宁夏）在▱ABCD 中，P 是AB 边上的任意一点，过P 点作PE ⊥AB ，交AD 于E ，连结CE ，CP ．已知∠A =60°；（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE ≌△CPB 时，▱ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？图9E DCBA三、课后巩固1.（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若AB =8，AD =6，AF =4，求AE 的长．2（江苏省盐城市）如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30º．求 DFFC 的值．3（2013•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ． （1）求证：△APB ≌△APD ；（2）已知DF ：F A =1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．①求y 与x 的函数关系式； ②当x =6时，求线段FG 的长．ABCDE 图1 ABCDE 图2F。

中考数学特殊四边形的计算与证明问题【方法归纳】握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC 上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45，求BF和AD的长．【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF 平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．BC，5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC 上，AB∥DE，AE平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点BC，连结DE．A作AE，且AE=12(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。

DCBA2014年北京市各城区中考二模数学——四边形的证明与计算题19题汇总1、（2014年门头沟二模）19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AB=6，AD=4，求BD的长.2、（2014年丰台二模）19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长.3、（2014年平谷二模）19．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=5，AD=3．（1）求证：AD=DC；（2）求四边形ABCD的周长．4、(2014年顺义二模) 19．如图，在ABC△中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若4CE=，120BCF∠=°，求菱形BCFE的面积．5、（2014年石景山二模）19．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG 的长．FEDCBAC6、（2014年海淀二模）19．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF ∥BC 交DE 的延长线于F 点，连接CF . （1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若∠CAF =45°，BC=4，CAF 的面积. 7、（2014年西城二模）19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ， E 是CD 的延长线上一点，且12AEC ADC ∠=∠． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形．（2）若DB ⊥CB ，∠BCD ＝60°，CD ＝12，作AH ⊥BD 于H ，求四边形AEDH 的周长．8、（2014年通州二模）20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE 、BD 交于点F ，AE ＝AB .（1）若∠AEB ＝2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形. （2）若AB ＝10，BE ＝2EC ，求EF 的长.EADCBBGDC BAE9、（2014年东城二模）19．在平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G，BG 求EFC V 的周长.10、（2014年朝阳二模）19．如图，在四边形ABCD 中，AB =34，∠DAB =90°，∠B =60°，AC ⊥BC ．（1）求AC 的长．（2）若AD=2，求CD 的长．11、（2014年密云二模）19．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F,且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，求AE 的长.12、（2014年延庆二模）13、(2014年房山二模) 19. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD=BC ，F 为BC 的中点，AB=2，∠A =120°，过点F 作EF ⊥BC 交DC 于点E ，且EF = 3 ，求DC 的长.14、（2014年昌平二模）18．如图，已知□ABCD ，E ，F 是对角线BD 上的两点，且BE =DF .（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当AE 垂直平分BC 且四边形AECF 为菱形时，直接写出AE ∶AB 的值.15、（2014年怀柔二模）19.如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；FE DCBA（2）若BF=EF ，求证：AE=AD ．16、（2014年大兴二模）19．已知： 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 .(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB=8，AD=4，求BD 的长 . 17、（2014年燕山二模）19. 如图，在四边形ABCD 中，BC AD //，25=AB ，4=BC ，连接BD ，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，且CD AE //． （1）求AD 的长； （2）若︒=∠30C ，求四边形ABCD 的周长．ED CBA。

题型专项：四边形的有关证明与计算四边形的有关证明与计算是历年中考的必考内容之一，通常与三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题．难度中等，复习时应予以重视．【例】 （2019·云南模拟）已知：如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于点G.（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形BEDF 是菱形，求四边形AGBD 的面积．【思路点拨】 （1）通过已知条件得出AD ＝CB ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝CF ，通过“SAS ”即可证明△ADE ≌△CBF ；（2）先证明四边形AGBD 是矩形，然后利用勾股定理求出BD ，进而求出四边形AGBD 的面积．【自主解答】 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DA ＝BC ，∠DAE ＝∠C ，CD ＝AB.∵E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，∴AE ＝12AB ，CF ＝12CD. ∴AE ＝CF.∴△ADE ≌△CBF （SAS ）．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BG.又∵BD ∥AG ，∴四边形AGBD 是平行四边形．∵四边形BEDF 是菱形，∴DE ＝BE.∵AE ＝EB ，∴DE ＝AE ＝EB.∴∠ADE ＝∠EAD ，∠EDB ＝∠EBD.∵∠EAD ＋∠EDA ＋∠EDB ＋∠EBD ＝180°，∴∠EDA ＋∠EDB ＝90°，即∠ADB ＝90°.∴四边形AGBD 是矩形．∵BD ＝AB 2－AD 2＝43，∴S 矩形AGBD ＝AD ·DB ＝16 3.1．（2018·玉溪红塔区模拟）如图，在△AEC 中，AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线，四边形BECD 是平行四边形，BD 与AC 交于点O ，连接AD.（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB ＝1，tan ∠BCE ＝12，求AC 的长．解：（1）证明：∵AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线，∴AB ＝BE ，CB ⊥AE.∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°.∵四边形BECD 是平行四边形，∴BE ＝DC 且BE ∥DC.∴AB ＝DC 且AB ∥DC.∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．（2）由（1）知AB ＝BE ＝1，∵tan ∠BCE ＝BE BC ＝12，∴BC ＝2. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝ 5.2．（2018·昆明盘龙区二模）如图，已知AB ＝AE ＝CD ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.（1）求证：△DCA ≌△EAC ；（2）若AB ∥CD ，只需再添加一个条件，即________，可使四边形ABCD 为正方形，请加以证明．解：（1）证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AE ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC （SSS ）． （2）添加AB ＝AD （答案不唯一）．证明：∵AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°.由（1）得△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°.∴四边形ABCD 为矩形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形．3．（2019·云南考试说明）如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，BD 与AE ，AF 分别相交于G ，H 两点．（1）求证：△ABE ∽△ADF.（2）若AG ＝AH ，求证：四边形ABCD 是菱形．证明：（1）∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE ＝∠ADF.∴△ABE ∽△ADF.（2）∵△ABE ∽△ADF ，∴∠BAG ＝∠DAH.∵AG ＝AH ，∴∠AGH ＝∠AHG.∴∠AGB ＝∠AHD.∴△ABG ≌△ADH （SAS ）．∴AB ＝AD.又∵四边形ABCD 是平行四边，∴四边形ABCD 是菱形．4．（2019·新疆）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连接OE.过点C 作CF ∥BD 交OE 的延长线于点F ，连接DF.求证：（1）△ODE ≌△FCE ；（2）四边形OCFD 是矩形．证明：（1）∵CF ∥BD ，∴∠ODE ＝∠FCE.∵E 是CD 中点，∴CE ＝DE.在△ODE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODE ＝∠FCE ，DE ＝CE ，∠DEO ＝∠CEF ，∴△ODE ≌△FCE （ASA ）．（2）∵△ODE ≌△FCE ，∴OD ＝FC.∵CF ∥BD ，∴四边形OCFD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.∴∠COD ＝90°.∴四边形OCFD 是矩形．5．（2019·大理祥云县一模）如图，已知在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是AD ，AE ，DE 的中点．（1）求证：四边形AGHF 是平行四边形；（2）若BC ＝10 cm ，当四边形EHFG 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．解：（1）证明：∵点F ，G ，H 分别是AD ，AE ，DE 的中点，∴FH ∥AE ，GH ∥AD.∴四边形AGHF 是平行四边形．（2）当四边形EHFG 是正方形时，连接EF ，可得EF ⊥GH 且EF ＝GH.∵在△AED 中，点G ，H 分别是AE ，DE 的中点，∴GH ＝12AD ＝12BC ＝5 cm ，且GH ∥AD. ∴EF ⊥AD.∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴AB ＝EF ＝GH ＝5 cm.∴S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝5×10＝50（cm 2）．6．（2019·昆明模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC 且2DE ＝AC ，连接AE 交OD 于点F ，连接CE ，OE.（1）求证：OE ＝AB ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，求AE 的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ，AD ＝AB. ∵DE ∥AC 且2DE ＝AC ，∴DE ＝OA ＝OC.∴四边形OADE 和四边形OCED 都是平行四边形．∴OE ＝AD.∴OE ＝AB.（2）∵AC ⊥BD ，∴四边形OCED 是矩形．∴∠OCE ＝90°.∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．∴AC ＝AB ＝2，AO ＝12AC ＝1.∴在矩形OCED 中，CE ＝OD ＝AD 2－AO 2＝ 3. ∴在Rt △ACE 中，AE ＝AC 2＋CE 2＝7.。