高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)几何证明选讲文档专练 文 新人教A版选修41(1)

高考数学第一轮总复习 第13单元《几何证明选讲》同步训练 理 新人教B 版第71讲 相似三角形的判定与性质1.如图，△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，那么下列比例式成立的是( )A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB. AB AB ＝AE AC ＝DE BCC.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2.在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，那么DE ∶BC ＝( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶13.在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，过C 作CE ⊥BD 于E ，则BE ＝( )A.b aB.a bC.b2a2＋b2D.a2＋b2b(第3题图) (第4题图)4.如图，在△ABC 中，AE ＝ED ＝DC ，FE ∥MD ∥BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于点N ，且EF ＝2，则BN ＝( )A ．7B ．6C ．8D ．125.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为 .(第5题图) (第6题图)6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝______.7.如图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝3，下底BC＝33，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上任取一点P，使△PAD和△PBC两个三角形能构成一对相似三角形，这样的点P有个．8.把一个面积为4的三角形ABC用以下方式生成一个新的三角形DEF：点D与点A关于点B对称，点E与点B关于点C对称，点F与点C关于点A对称，求三角形DEF的面积．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3＝BC·BE·CF.第72讲 直线与圆的位置关系1.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过点C 的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于( )A ．15° B．20°C ．25° D．30° 2.已知AB 与CD 相交于圆内一点P ，且∠APD ＝30°，则弧AD 与弧BC 所成的圆心角的度数和为( )A ．30° B．45°C ．60° D．180°3.点P 为⊙O 的弦AB 上一点，且AP ＝9，PB ＝4，连接PO ，作PC ⊥OP 交圆于C ，则PC 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．94.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝3，PB ＝1，则∠ABC ＝( )A ．70° B．60°C ．45° D．30°5.如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若PA BC ＝32，则PB BC＝________.6.如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，以AC 为直径作圆O 交AB 于D ，则CD ＝ .7.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB ，垂足为D ，且AD ＝5DB ，设∠COD ＝θ，则tan θ的值为________．8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的大小；(2)当OA＝3时，求AP的长．9.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．第十三单元 几何证明选讲第71讲 相似三角形的判定与性质1．A 由△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，可确定两个相似三角形的对应边，由此可知AD AC ＝AE AB＝DE BC，故选A. 2．C3．C 由直角三角形射影定理可知BC2＝BE·BD，所以BE ＝BC2BD ＝b2a2＋b2. 4．C 因为FE ∥MD ∥BC ，AE ＝ED ＝DC ， 所以EF BC ＝AE AC ＝13，EF CN ＝ED DC ＝11＝1， 所以EF ＝CN ，所以EF BN ＝EF BC ＋CN ＝14， 所以BN ＝4EF ＝8. 5.92 AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13. 因为BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 6．15 由三角形相似可得EO BC ＝AO AC ，解得EO ＝152. 由对称性知OF ＝OE ，所以EF ＝15.7．2 设AP ＝x.(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x 33，所以x2－6x ＋9＝0，得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x 6－x，所以得x ＝32. 所以符合条件的点P 有2个．8．解析：连接AF ，BD ，CE ，则S △DEF ＝S △ECF ＋S △FAD ＋S △DBE ＋S △ABC ＝2S △ABC ＋2S △ABC ＋2S △ABC ＋S △ABC ＝28.9．证明：在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ，所以AD2＝BD·DC，且AD·BC＝AB·AC.在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由射影定理，BD2＝BE·BA，DC2＝CF·AC，所以BD2·DC2＝BE·BA·CF·AC＝BE·CF·AD·BC＝AD4，所以AD3＝BC·BE·CF. 第72讲 直线与圆的位置关系1．B 由已知，CO ⊥CP ，即∠OCP ＝90°.又∠COB ＝2∠CAB ＝70°，所以∠P ＝90°－∠COB ＝20°.故选B.2．C 特殊位置法：点P 是圆心即可得正确答案为C.3．B 如右图．因为OP ⊥PC ，所以P 为弦CD 的中点，故PC2＝PA·PB＝9×4，即PC ＝6(负值舍去)． 4.B 由切割线定理得PA2＝PB·PC. 因为PA ＝3，PB ＝1，所以解得PC ＝3，即BC ＝2，OA ＝1，OP ＝2，因为OA ⊥PA ，所以∠P ＝30°，∠AOB ＝60°，因为OA ＝OB ，所以∠ABC ＝60°，故选B.5.12根据切割线定理有 PA2＝PB·PC＝PB(PB ＋BC)，PA BC ＝32， PB2＋PB·BC－34BC2＝0， (2PB ＋3BC)(2PB －BC)＝0，所以PB BC ＝－32(舍去)，PB BC ＝12. 6.125∠ADC 为直径AC 所对的圆周角，则∠ADC ＝90°. 在Rt △ACB 中，CD ⊥AB.由等面积法有AB·CD＝CA·CB，故得CD ＝125. 7.52 设BD ＝k(k>0)． 因为AD ＝5DB ，所以AD ＝5k ，AO ＝OB ＝5k ＋k 2＝3k ， 所以OC ＝OB ＝3k ，OD ＝2k.由勾股定理得，CD ＝OC2－OD2＝3k 2－2k 2＝5k ，所以tan θ＝CD OD ＝5k 2k ＝52. 8．解析：(1)因为在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°， 所以∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.因为PA ，PB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ， 即∠OAP ＝∠OBP ＝90°，所以∠APB ＝60°.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D.因为在△OAB 中，OA ＝OB ，所以AD ＝12AB. 因为在Rt △AOD 中，OA ＝3，∠OAD ＝30°，所以AD ＝OA·cos 30°＝332，AP ＝AB ＝3 3.9．解析：(1)证明：连接DE ，因为ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE ＝∠BCA ，又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DE CA，而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE ， 又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD.(2)由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB －AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t ＋2)，即2t2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.。

选修4－1几何证明选讲1．平行线截割定理与相似三角形了解平行线截割定理，理解相似三角形的判定和性质定理，了解直角三角形射影定理．2．圆的初步(1)理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理．(2)理解相交弦定理、割线定理、切割线定理．(3)理解圆内接四边形的判定与性质定理．知识点一平行线截割定理与相似三角形1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．易误提醒1．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[自测练习]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ，所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5，即BF ∶FD ＝25.答案：252.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45.答案：453.在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD 的值为________．解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，CD ＝3x . Rt △CDB 中 ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13知识点二 圆的初步 1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． (2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．易误提醒1．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，要注意角之间关系，易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[自测练习]4.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：过B 作⊙O 的直径BA ，连接AC (图略)，则∠ACB ＝90°.又由弦切角定理得∠CAB ＝∠BCD ＝30°，∴AB ＝2BC ＝4.∴半径OA ＝2，∴S ＝πr 2＝4π.答案：4π5.如图所示，已知⊙O 的割线P AB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若P A ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为________．解析：设⊙O 的半径为r .由割线定理得P A ·PB ＝PC ·PD,3×7＝(PO －r )(PO ＋r )，即21＝25－r 2，∴r 2＝4，∴r ＝2.答案：2考点一 平行线分线段成比例定理的应用|1.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，所以x 4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.2.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质|1．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF . 因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°，所以△AFH ∽△GFB ，所以HF BF ＝AFGF ，所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF .所以DF 2＝GF ·HF . 2.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ，∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC.∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15. 3.如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝DB .在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ，所以AD 2＝AF ·AC .同理BD 2＝BG ·BE .所以AF ·AC ＝BG ·BE .1．证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例； (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．注意射影定理的其他变式．考点三 圆中有关定理及推论的应用|(1)(2015·高考湖北卷)如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.[解析] 因为P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知P A 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )．因为BC ＝3PB ，所以P A 2＝4PB 2，即P A ＝2PB .由△P AB ∽△PCA ，所以AB AC ＝PB P A ＝12.[答案] 12(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .①若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； ②若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．[解] ①证明：如图，连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB . 在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB .又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．②设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．(2)与圆有关的比例线段解题思路：①见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理．②见到圆的两条割线就要想到割线定理．③见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．1．(2015·高考重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.解析：由切割线定理，知P A2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE ＝2.答案：22．如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2的另一交点为G.(1)求证：A、E、G、F四点共圆；(2)若AG切⊙O2于G，求证：∠AEF＝∠ACG.证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ，∠AFG ＝∠CDG ， 又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°， ∴A 、E 、G 、F 四点共圆．(2)∵A 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠AEF ＝AGF ，∵AG 与⊙O 2相切于点G ，∴∠AGF ＝∠ACG ，∴∠AEF ＝∠ACG .32.四点共圆的证明方法【典例】 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .(1)求证：BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2；(2)若D 是BE 的中点，证明E ，F ，C ，B 四点共圆．[思路点拨] (1)利用割线定理易证；(2)本题已知AB 是⊙O 的直径，可得到线段相等，利用四个点到一定点的距离相等证明四点共圆．[解] (1)证明：由割线定理得EA ·EC ＝DE ·BE ， 所以BE ·DE ＋AC ·CE ＝EA ·CE ＋AC ·CE ＝CE 2， 所以BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2. (2)连接CB ，CD ，FD . 因为AB 是⊙O 的直径， 所以∠ECB ＝90°， 所以CD ＝12EB .因为EF ⊥BF ， 所以FD ＝12BE .所以E ，F ，C ，B 四点到点D 的距离相等． 所以E ，F ，C ，B 四点共圆． [方法点评] 四点共圆的证明方法：(1)若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆． (3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．(5)若AB ，CD 两线段相交于点P ，且P A ·PB ＝PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆． (6)若AB ，CD 两线段延长后相交于点P ，且P A ·PB ＝PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆．(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆． [跟踪练习] 如图，点F 是△ABC 外接圆上BC 的中点，点D ，E 在边AC 上，使得AD ＝AB ，BE ＝EC .证明：B ，E ，D ，F 四点共圆．证明：如图，连接FC ，FB ，则FC ＝FB .连接EF ，则△CEF ≌△BEF ，所以∠BFE ＝∠CFE .因为A ，B ，F ，C 共圆，所以∠CAB ＋∠CFB ＝180°，所以∠CAB ＋2∠BFE ＝180°.连接BD ，因为AB ＝AD ，所以∠ABD ＝∠ADB ，所以∠CAB ＋2∠ADB ＝180°.所以∠ADB ＝∠BFE .所以B ，E ，D ，F 四点共圆．A 组 考点能力演练1.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8，所以x x ＋8＝13，3x ＝x ＋8，所以x ＝4.所以AE ＝4.2.(2016·洛阳模拟)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆； (2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM (图略)，则∠AMB ＝90°. ∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆． (2)连接AC ，CB (图略)．由A ，E ，F ，M 四点共圆， 得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .4.(2016·兰州双基)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝π， ∴四点P ，D ，C ，E 共圆．(2)连接DE (图略)，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°，由正弦定理知∠CED ＝90°， 由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC ＝∠DEC ，∴AP ⊥CP .5.如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD .(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ，∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线．(2)由(1)可知OP ＝12(AC ＋BD )， ∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6.过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2.∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6.∴CD ＝4 6.B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)如图，设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD .所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．2.(2015·高考湖南卷)如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F .证明：(1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°；(2)FE ·FN ＝FM ·FO .证明：(1)如图所示．因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .3．(2015·高考陕西卷)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.4.(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线． 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线． 又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1. 于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。

高考数学大一轮复习-．几何证明选讲教师用书-理－苏教版————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:§１4.1 几何证明选讲1．平行截割定理(１)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条（与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等.（2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．2.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似.（2）相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于相似比.②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3.直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．４．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．（２)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． (3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． ②切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径. (4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等. (5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半． (６)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等． (7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线,该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项.(9）圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理（ⅰ）如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；(ⅱ）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角互补;(ⅱ）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.1.(2014·广东）如图，在平行四边形ABCD 中,点E 在A Ｂ上且E Ｂ=２A Ｅ,ＡC 与D Ｅ交于点F ，则△C ＤＦ的面积△ＡEF 的面积=___＿___＿.答案 ９解析 在平行四边形ＡＢCD 中,因为EB =2AE ，所以＼ｆ（AE ，AB )=错误!＝错误!,故错误!=３.因为AE ∥ＣD ,所以△AEF ∽△ＣDF ,所以错误!=（错误!)2＝９.2.如图，在直角梯形AＢCD中，DC∥ＡB,ＣB⊥ＡB，AＢ＝AD＝a,CD＝＼f(a,２)，点Ｅ,F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝_＿＿＿＿＿＿_.答案错误!3.(2０1４·湖北)如图,Ｐ为⊙O外一点，过Ｐ点作⊙O的两条切线，切点分别为A，Ｂ.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C,Ｄ两点.若QC＝1，CD＝3,则PB=____＿___.答案 4解析由切割线定理得QA２=QＣ·QD＝4，解得QＡ＝2.由切线长定理得PＢ＝PA＝２QＡ＝4.4．如图所示,过点P的直线与⊙O相交于Ａ，B两点．若ＰA=1,AB＝２,ＰＯ＝3,则⊙O的半径等于__＿_＿_＿_．答案＼r（6)解析设⊙O的半径为r（r>0),∵PA=1，AB=２，∴PB=PA+ＡB=3．延长ＰO交⊙O于点Ｃ，则PC＝PO＋r=３+r.设PO交⊙O于点D，则PD=3－r．由圆的割线定理知，PＡ·PB=PD·PＣ，∴1×3＝(３-r)（3+r）,∴９－r2=3,∴r＝错误!.题型一相似三角形的判定及性质例1如图,已知在△AＢC中,点D是BC边上的中点,且ＡD＝AC，DE⊥ＢC,DＥ与AＢ相交于点E，EC与ＡD相交于点F.(１）求证：△ABC∽△FＣD;(2)若S△FCD＝5，BＣ=10，求DE的长．(1)证明∵DE⊥BＣ，D是BC边上的中点，∴EB ＝EC ，∴∠Ｂ＝∠ECD ，又A Ｄ=AC ，∴∠ADC =∠ACD ，∴△ABC ∽△F ＣD ．(2)解 过点A 作ＡM ⊥ＢC ，垂足为点Ｍ， ∵△ＡB Ｃ∽△FCD ,BC =２C Ｄ, ∴错误!＝(错误!)2=4,又∵Ｓ△FC Ｄ＝5，∴S △ABC ＝20， 又Ｓ△A ＢC ＝错误!×BC ×AM =错误!×10×ＡM ＝20,解得ＡM ＝4, 又DE ∥AM ,∴D ＥAM＝＼f(BD,ＢＭ)， ∵DM ＝＼f(1，2)DC ＝错误!,BM =BD +DM ＝5+错误!=错误!,∴错误!＝错误!,解得ＤE =错误!.思维升华 (1）三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序：先找两对内角对应相等;若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.(２)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式,若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明.如图,在梯形AB ＣD 中,ＡＤ∥BC ,AB =CD ,ＤE ∥CA ，且交BA的延长线于Ｅ,求证：ＥＤ·CD ＝E Ａ·B Ｄ. 证明 在梯形ABCD 中,∵AB ＝DC ，∴∠ＡBC =∠DC Ｂ. 又BC ＝BC ,∴△ＡBC ≌△DCB . ∴∠BAC =∠ＢDC , ∵A Ｃ∥ＥＤ，AD ∥ＢＣ，∴∠Ｅ=∠B ＡC ＝∠BDC ，∠EA Ｄ=∠A ＢC =∠ＤCB , ∴△EAD ∽△DCB . ∴错误!＝错误!,即ED ·ＣＤ=EA ·BD .题型二 直角三角形的射影定理例2 如图,在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上,且AB ⊥AC ,AF ⊥B Ｃ,BＤ＝D Ｃ=F Ｃ＝1,求AC .解 在△ABC 中，设ＡC 为x , ∵AB ⊥AC ,ＡF ⊥ＢＣ. 又FC =1，根据射影定理, 得AC 2＝ＦC ·B Ｃ, 即BC ＝x 2.再由射影定理,得AF ２＝ＢF ·F Ｃ＝（BC -FC )·FC ， 即ＡF 2＝x ２-1， ∴AF ＝＼r （x 2－1).在△BDC 中,过D 作DE ⊥BC 于E ．∵B Ｄ=ＤC ＝1，∴BE ＝E Ｃ＝＼f(１,２)x ２. 又∵A Ｆ⊥ＢC ，∴DE ∥A Ｆ,∴错误!＝错误!,∴ＤE =错误!＝错误!.在Ｒｔ△DEC 中,∵D Ｅ2＋EC 2＝DC 2, 即(错误!)2＋（错误!x 2)2＝１２，∴ｘ2-1x ２＋x 44＝1.整理得x 6＝4,∴x =32, 即AC ＝错误!.思维升华 (1）在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2）证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.如图所示,在△ABC 中，∠ＣAB =90°,A Ｄ⊥B Ｃ于D ,ＢＥ是∠AＢC 的平分线，交ＡD 于Ｆ，求证：错误!=错误!.证明 由三角形的内角平分线定理得, 在△ABD 中,ＤF AF =BD AB,① 在△ＡB Ｃ中,错误!=错误!,②在R ｔ△ＡＢC 中,由射影定理知，A Ｂ2=ＢD ·B Ｃ,即＼ｆ（BD,AB ）＝ABB Ｃ.③ 由①③得:＼ｆ(DF,A Ｆ)＝AB BC,④由②④得：错误!=错误!.题型三 圆的切线的判定与性质例3 如图,在Rt△ＡBC 中，∠C =90°，B Ｅ平分∠A ＢＣ交AC 于点E ,点D 在AB 上,D Ｅ⊥EB ,且ＡD ＝２错误!,AE =6．（1）判断直线AC 与△BDE 的外接圆的位置关系; （2)求EC 的长．解 (1)取B Ｄ的中点Ｏ，连结OE ． ∵ＢE 平分∠ＡBC ， ∴∠ＣB Ｅ＝∠OBE ． 又∵O Ｂ=O Ｅ, ∴∠OBE ＝∠BEO ，∴∠CBE ＝∠B ＥO ，∴BC ∥OE . ∵∠C =90°,∴OE ⊥A Ｃ，∴直线AC 是△ＢＤＥ的外接圆的切线， 即直线ＡC 与△BDE 的外接圆相切. (2)设△ＢDE 的外接圆的半径为ｒ. 在△A ＯＥ中，O Ａ2=OE 2＋A Ｅ2, 即(r +2＼ｒ（3))2＝ｒ２＋62，解得r =2错误!，∴OA ＝2ＯE ，∴∠A ＝3０°,∠AOE =6０°. ∴∠C ＢE ＝∠OBE ＝30°， ∴EC ＝＼f(１,2）ＢＥ=错误!×错误!r ＝错误!×错误!×2错误!=3.思维升华 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点）,则连结圆心和这个公共点,设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径.(2013·广东改编）如图，ＡB 是圆O 的直径，点Ｃ在圆O 上,延长BC 到D 使B Ｃ＝C Ｄ,过Ｃ作圆O 的切线交ＡD 于E .若AB =6，ED =2，求BC 的长.解 C 为BD 中点，且ＡＣ⊥BC ， 故△ABD 为等腰三角形．AB =AD =６, 所以A Ｅ=4,DE =2． 又＼ｆ(AE,ＡC )=ACAD，所以AC ２=ＡE ·AD =4×6=2４,A Ｃ＝2错误!，在△ＡBC 中,BC ＝ＡB ２-A Ｃ２＝＼ｒ（３6－24）＝２错误!.题型四 与圆有关的比例线段例4 (2014·课标全国Ⅱ)如图,Ｐ是⊙O 外一点,ＰA 是切线,Ａ为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ,Ｃ,P Ｃ＝２P Ａ，Ｄ为PC 的中点,ＡD 的延长线交⊙O 于点E .证明： (1)ＢE ＝E Ｃ； （2)AD ·ＤE =2ＰB ２． 证明 (1）连结AB ，A Ｃ． 由题设知P Ａ＝PD ， 故∠ＰAD =∠P ＤA . 因为∠PDA =∠DAC +∠DCA , ∠PAD ＝∠ＢＡD +∠PAB , ∠ＤCA ＝∠PAB , 所以∠D ＡC =∠ＢAD ， 从而错误!=错误!.因此ＢＥ＝E Ｃ.(２)由切割线定理得PA 2=PB ·ＰC . 因为P Ａ＝PD =D Ｃ， 所以DC =2ＰB ，BD ＝P Ｂ.由相交弦定理得AD ·DE ＝ＢD ·D Ｃ， 所以AD ·ＤＥ＝2P Ｂ2.思维升华 （1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图,⊙Ｏ的半径OB垂直于直径AC,Ｍ为ＡO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过Ｎ点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2=PA·ＰＣ；(2)若⊙O的半径为２＼r(3)，OA＝错误!ＯM,求ＭN的长．（1)证明连结ＯN，则OＮ⊥PＮ,且△OBＮ为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，∵∠ＰMN＝∠OＭＢ=9０°－∠ＯBN,∠PNM＝９0°－∠ＯNB，∴∠PMN=∠PＮM，∴PM=ＰN.根据切割线定理，有PＮ２=ＰA·PC，∴PM2＝PA·PC．（2）解OM＝2，在Rt△BOＭ中，BM=错误!=4.延长BＯ交⊙O于点D,连结ＤN.由条件易知△ＢＯM∽△BND,于是＼f(ＢO,BN)=错误!,即错误!＝错误!，∴BN＝６．∴ＭN=BＮ-BM＝６-4＝2.与圆有关的几何证明问题典例：(10分)如图,D，E分别为△ABＣ边AB，ＡC的中点，直线DE交△ＡBＣ的外接圆于F,G两点．若ＣF∥AB,证明:(１)CD＝BC；(２）△BCD∽△ＧBD．思维点拨 (1）连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论;(２)先证△BＣD和△GBD为等腰三角形,再证明两三角形顶角相等即可.规范解答证明(1)因为D,E分别为AB,AＣ的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥ＡB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=ＢＤ=AＤ．而CF∥AD,连结AＦ，所以四边形ＡDCF是平行四边形，故CD=ＡF．[5分]因为CＦ∥AB,所以BC＝AＦ,故CＤ=ＢC.[6分]（2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BＧD=∠ＢDG．[８分]由ＢC=CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFＣ=∠DBC，所以△BCD∽△ＧBD.［１0分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：（1)利用圆的有关定理;(2)利用相似三角形；（3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(４)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征,利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决.(2)证明等积式时,通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明.(3）弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得到角相等,进而为三角形的相似创造了条件.方法与技巧１．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似,则进行线段替换或等比替换. 2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角,找相似三角形，从而得出线段的比.由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用． 失误与防范1.在应用平行截割定理时,一定要注意对应线段成比例.2.在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.Ａ组 专项基础训练(时间:50分钟)1．如图,△A ＢC 中，ＢF ⊥ＡC 于点F ，ＣＥ⊥ＡB 于点E ，BF 和C Ｅ相交于点P ,求证：(1)△B ＰE ∽△ＣPF ;(２）△E ＦP ∽△ＢC Ｐ.证明 (1)∵ＢF ⊥AC 于点F ,ＣE ⊥AB 于点E ,∴∠BF Ｃ＝∠CEB ＝90°.又∵∠C ＰF ＝∠BPE ,∴△CP Ｆ∽△ＢＰE .(２）由(1）得△ＣPF ∽△BPE ，∴＼f(EP,BP ）=＼ｆ(FP,CP ).又∵∠ＥPF ＝∠BPC ，∴△E ＦＰ∽△BCP .2.如图，△ABC 中，∠ＢＡC =９0°,AD ⊥BC 交B Ｃ于点D ，若E 是AC 的中点，ＥD 的延长线交ＡＢ的延长线于F ，求证：AB AC ＝ＤF AF. 证明 ∵Ｅ是Ｒt△ＡDC 斜边AC 的中点，∴AE ＝EC =DE .∴∠ＥDC =∠ECD ，又∠ED Ｃ＝∠BDF ，∴∠EDC =∠C =∠BDF .又ＡD ⊥BC 且∠ＢA Ｃ=90°，∴∠BAD =∠C ，∴∠BAD =∠ＢDF ,∴△DBF ∽△ADF .∴ＤB AD =DF AF.又Rt△ABD ∽Ｒt△CBA ,因此错误!=错误!.∴错误!＝错误!.３．(２０14·江苏）如图，A Ｂ是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明:∠OCB =∠D .证明 因为B ，Ｃ是圆O 上的两点,所以OB ＝OC ．故∠O ＣＢ=∠B .又因为C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D .因此∠ＯCB ＝∠Ｄ.４.(２０1３·江苏)如图,ＡＢ和BC 分别与圆Ｏ相切于点D ，C ，AC 经过圆心Ｏ，且B Ｃ=２OC .求证:ＡC =2AD .证明 连结O Ｄ.因为AB 和ＢC 分别与圆O 相切于点D ,C ，所以∠ＡD Ｏ＝∠ACB =9０°.又因为∠Ａ=∠A ,所以Rt△ADO ∽Ｒｔ△A ＣＢ．所以B ＣO Ｄ=AC AD. 又ＢＣ=２OC ＝2O Ｄ,故AC ＝2A Ｄ.5.如图所示,平行四边形ＡB ＣＤ中,E 是CD 延长线上的一点，B Ｅ与AD 交于点F ,ＤE =错误!ＣD .(1）求证:△A ＢF ∽△CEB ；(2）若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．(1)证明 ∵四边形ABC Ｄ是平行四边形，∴∠A =∠C ，ＡＢ∥ＣＤ.∴∠ABF ＝∠ＣEB .∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形A ＢCD 是平行四边形，∴AD ∥B Ｃ,A Ｂ∥CD .∴△D ＥF ∽△ＣＥB ，△DEF ∽△ＡＢF .∵DE =＼ｆ(1，2)ＣＤ,∴错误!＝（错误!)2=错误!， ＼f(Ｓ△DE Ｆ,Ｓ△AB Ｆ）＝（D ＥAB ）２＝14. ∵S △ＤEF ＝2，∴S △ＣＥB ＝１8,S △ABF ＝８.∴S 四边形BCDF ＝S △ＣEB －S △D ＥF =１6.∴S 四边形ＡBC Ｄ＝Ｓ四边形ＢＣD Ｆ+S △ABF =16+８=2４.6．(2０1４·课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,A Ｂ的延长线与ＤC 的延长线交于点E ，且CB =ＣE .（１)证明：∠D ＝∠E ；(２）设AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为M ,且ＭB =MC ,证明:△ADE 为等边三角形． 证明 (１)由题设知,Ａ,Ｂ,C ，Ｄ四点共圆，所以∠D =∠CBE ,由已知CB =C Ｅ得∠CBE =∠E ,故∠D =∠E .（2）如图,设B Ｃ的中点为N ,连结MN ，则由ＭB ＝ＭC 知M Ｎ⊥BC ,故O 在直线ＭN 上.又AD 不是⊙Ｏ的直径，M 为A Ｄ的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥ＡＤ．所以AD ∥BC ，故∠Ａ＝∠CBE ．又∠C ＢE =∠E ,故∠A ＝∠E ，由(1)知，∠D =∠E ,所以△ＡD Ｅ为等边三角形．B 组 专项能力提升(时间:30分钟)1.如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＣB =90°,M 是BC 的中点，C Ｎ⊥AM ,垂足是N ，求证：ＡB ·BM ＝A Ｍ·BN .证明 ∵CM 2=M Ｎ·AM ，又∵Ｍ是BC 的中点,∴B Ｍ2＝ＭN ·ＡM ，∴B ＭＡM =错误!, 又∵∠BMN =∠AMB ,∴△AM Ｂ∽△BM Ｎ,∴错误!=错误!,∴AB ·BM ＝AM ·ＢN .2.如图所示，在△AB Ｃ中，ＡD 为ＢC 边上的中线,F 为AB 上任意一点,CF 交ＡD 于点Ｅ．求证：AE ·BF ＝2DE ·A Ｆ．证明 过点Ｄ作AB 的平行线DM 交ＡＣ于点M ,交FC 于点Ｎ.在△BCF 中,Ｄ是BC 的中点，DN ∥B Ｆ，∴D Ｎ＝错误!ＢF .∵D Ｎ∥ＡＦ，∴△A ＦE ∽△DNE ，∴＼f （ＡE ，AF )＝错误!.又DN ＝错误!BF ，∴错误!=错误!,即AE ·B Ｆ＝2DE ·AF .3.(２０１3·辽宁)如图,AB 为⊙O 的直径，直线ＣD 与⊙O 相切于E ,A Ｄ垂直ＣD 于Ｄ，BC 垂直CD 于Ｃ,EF 垂直AB 于F ，连结A Ｅ,BE .证明：（1）∠F ＥB =∠ＣEB ；(2)EF 2=ＡD ·BC ．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠ＣEB ＝∠ＥAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠ＥAB ＋∠EBF ＝错误!；又EF ⊥AB ，得∠ＦE Ｂ＋∠ＥＢＦ=＼ｆ(π,2)，从而∠FE Ｂ=∠ＥAB .故∠FEB ＝∠C ＥＢ．(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB=∠CEB,ＢE是公共边，得Ｒt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF．同理可证，得ＡD=AF.又在Rt△ＡＥB中,ＥＦ⊥AB，故EＦ２=AF·ＢF,所以EF２=AD·BＣ.4.（2０1４·辽宁)如图，EP交圆于E，C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD，连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：ＡB为圆的直径；(2）若ＡC＝BD，求证：AB=ED．证明 (1）因为PD=PG，所以∠PDＧ＝∠PＧＤ.由于ＰD为切线,故∠PDA=∠ＤBA.又由于∠ＰGD＝∠EGA，故∠ＤＢA=∠EＧA，所以∠DＢA＋∠BAD=∠EGA＋BAD，从而∠BＤA=∠PFA.由于AＦ⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠ＢＤA＝9０°，故AＢ是直径．(2)连结BC,DＣ.因为ＡC=BD,所以错误!=错误!，所以∠ABC=∠BAD,又因为∠DCB=∠DAB所以∠AＢＣ＝∠DＣB所以DC∥AB.又因为AB⊥EＰ,所以DC⊥ＥP,即∠DCE为直角.于是ED为直径．由(1)得AＢ也是直径.所以ＡＢ＝ED.。

几何证明选讲1.【2014广东（理）高考15】 (几何证明选讲选做题)如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .【答案】92.【2013广东（理）高考15】 (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上.延长BC 到D 使BC ＝CD ,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6,ED ＝2,则BC ＝__________.【答案】323.【2012广东（理）高考15】 (几何证明选讲选做题)如图3，圆O 的半径为1,,,A B C 是圆周上的三点，满足，30ABC ο∠=，过点A 做圆O 的切线与OC的延长线交于点P ，则_____PA =【答案】34错误！未指定书签。

．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）(几何证明选讲选做题) 如图所示, 过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于D C ,两点,AB 切⊙O 于B ,弦MN 过CD 的中点P ,已知,6,4==AB AC 则=⋅NP MP ____*****___.【答案】2545．（2013-2014学年广东省（宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）(几何证明选讲选做题)如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点,3BC =,过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠=________________.【答案】30º6．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题）如图, 圆O 的直径6AB P =，是AB 延长线上的一点,过P 作圆的切线,切点为C ,若030CPA ∠=,则CP =________.【答案】错误！未指定书签。

7．（广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题）(几何证明选讲选做题)如图,AB 为⊙O 的直径,弦AC 、BD 相交于点P ,若3AB =,1CD =,则cos APB ∠的值为______.【答案】13- 错误！未指定书签。

第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 的长为________． 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝ACCD，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：452．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90° 对应学生用书P172考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5. 即BF ∶FD ＝25.答案：252.(2014·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝________. 解析：由平行线分线段成比例定理得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1. 答案：1[备课札记] [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质[典例] (2013·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PE PA，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6. [答案]6[备课札记] [类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2014·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD＝AE AC， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2. 答案：4 2考点三射影定理的应用[典例] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③ 由①③得：DF AF ＝AB BC ， ④由②④得：DF AF ＝AE EC.[备课札记] [类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm. 解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ， ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn(m ，n >0)，取CF的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋nn.两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn.答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72.答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ， ∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED . ∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 35．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BABC ＝33，所以∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：212[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC .所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AF AG ＝BFAD， 即AF ·AD ＝AG ·BF .2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 上且CD ＝1，若∠CAD ＝∠B ，求BD 的长．解：作出图形(如图)，依题意， 有tan ∠CAD ＝tan ∠B ， 即12＝21＋BD . 故BD ＝3.3.已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BPCP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19， 即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEFS 四边形DEFC＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AFAC的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ， 交BF 的延长线于点G . ∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ， ∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ， ∴AF FC ＝AG BC ＝16， ∴AF AC ＝17. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2014·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2014·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35.答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ， 所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83.答案：83 2．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC＝________.解析：连结OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定 [典例] (2014·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段[典例] (2014·锦州模拟)如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连结DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，所以BE BA ＝DE CA， 而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE . 求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF . 由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2. 对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2014·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7. 答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.答案： 23．(2014·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能] 1．(2013·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .2．(2013·江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M .(1)求证：MD ＝ME ；(2)设圆O 的半径为1，MD ＝3，求MA 及CE 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵∠CEO ＋∠ECO ＝90°，∠MDE ＋∠EDO ＝90°，又∠EDO ＝∠ECO ，∴∠CEO ＝∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME .(2)∵MD 2＝MA ·MB ，∴3＝MA ·(MA ＋2)，∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3， ∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°， CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2. 4．(2014·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB. 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 5．如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AF AC，所以AC 2＝AE ·AF . 6．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第十二章几何证明选讲文北师大版考点一平行线与相似(全等)三角形命题点平行线分线段成比例定理1．平行线截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.1.(2015·高考课标卷Ⅱ)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积． 解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ， 所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，即△AEF 也是等腰三角形． 故AD ⊥EF .从而EF ∥BC . (2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ， 故AD 是EF 的垂直平分线． 又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝ 12MN ＝3，所以OD ＝1. 于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 2．(2016·某某三市调研)如图，切线AB 与圆切于点B ，圆内有一点C 满足AB ＝AC ，∠CAB 的平分线AE 交圆于D ，E ，延长EC 交圆于F ，延长DC 交圆于G ，连接FG ，EG .(1)证明：AC ∥FG ；(2)证明：EC ＝EG . 证明：(1)∵AB 切圆于点B ，∴AB 2＝AD ·AE ，又∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AD ·AE ，即AC AE ＝AD AC，又∠DAC ＝∠CAE ， ∴△ACD ∽△AEC ，∴∠ACD ＝∠AEC ，又∵∠AEC ＝∠DGF ，∴∠ACD ＝∠DGF ，∴AC ∥FG .(2)连接BD ，BE ，由AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 及AD ＝AD ，知△ABD ≌△ACD .∴∠ADB ＝∠ADC ，∴∠BDE ＝∠CDE ，故BE ＝EG ，由AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，知△ABE ≌△ACE ，∴BE ＝CE ，∴EC ＝EG .判定三角形相似的思路与方法1．抓住判定两个三角形相似的常规思路： (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3．(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相似图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．选考部分考点二 圆中的相关定理与有关线段命题点 圆周角定理 1．圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ②推论：(ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．与圆有关的比例线段5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．第十二章几何证明选讲解：(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.2.(2016·某某中学检测)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DG＝GF.求证：(1)D、E、C、F四点共圆；(2)GE⊥AB.证明：(1)如图，连接OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，易知∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2，所以∠DGC＝180°－∠DOC＝180°－(180°－2∠1－2∠2)＝2(∠1＋∠2)，由题意得∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2.又因为∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F四点共圆．(2)延长GE交AB于H.因为GD＝GC＝GF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC.又因为∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB.解与圆有关的几何证明题的方法；1．首先观察分析图形的特点，认准图形中圆的切线所形成的弦切角，再利用弦切角定理，寻找相等的角，往往与相似三角形的相关知识联系在一起得到最终的结论．2．利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解．3．抓住角度相等或互补，转化为四点共圆，另一方面，利用四点共圆，可以得到相关的角度相等．4．与圆有关的等角问题找角相等，要找同弧或等弧所对的圆周角，并注意结合应用弦切角定理的意识．。

版高考数学一轮总复习中的几何证明题解析高考数学一轮总复习中的几何证明题解析几何证明题一直是高考数学中的难点和重点，需要我们熟练掌握相关的证明方法和技巧。

本文将针对高考数学一轮总复习中的几何证明题进行解析，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 三角形的中线定理证明三角形的中线定理是高考中经常涉及的证明题。

该定理表明，一个三角形的三条中线交于一点，且这个点到各顶点的距离是各顶点到对边中点距离的2倍。

具体的证明步骤如下：首先，连接三角形的两个顶点和对边的中点，然后证明这两条线段相等。

由于中点是线段的一半，根据等腰三角形的性质，可以得出这两条线段相等。

然后，再连接三角形的另外两个顶点和对边的中点，接着证明这两条线段相等。

同样地，根据等腰三角形的性质，可以得出这两条线段相等。

最后，通过相邻的三个点所组成的两个三角形，利用辅助线的方式进行证明。

具体证明步骤较为复杂，需要运用一些几何证明的基本原理和定理，包括等角定理、三角形内角和等于180度等相关知识。

2. 相似三角形的证明相似三角形在几何证明题中也经常出现。

相似三角形的证明需要我们找到一些可以相互对应的角和对应边，然后利用几何证明的基本原理来推导出相似关系。

下面我们以求解两个三角形相似的证明为例进行解析。

首先，需要找到两个三角形中可以相互对应的角。

可以通过观察两个三角形的内角和、对角和等性质来确定这些对应的角。

然后，根据几何证明的基本原理，我们可以利用对应角相等的性质来推导出两个三角形的对应边之间的等比关系。

最后，结合角和边的对应关系，我们可以得出两个三角形相似的结论。

3. 圆的性质证明圆的性质在高考几何证明题中也有一定的考查频率。

其中，常见的有圆的切线定理、弦切角定理等。

以下以圆的切线定理为例进行解析。

圆的切线定理表明，如果一个线段与圆相交，并且这个线段的一个端点在圆上，那么这条线段就是圆的切线。

证明该定理时，我们首先绘制圆和线段，并确认线段的一个端点在圆上。

第十三章 几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定与性质A 级训练(完成时间：10分钟)1.如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________.2.(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝ 9 .3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC＝________.4.如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．5.在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，过C 作CE ⊥BD 于E ，则BE ＝______________.6.如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，D 在边AC 上，已知BC ＝2，CD ＝1，∠ABD ＝45°，则AD ＝ 5 .B 级训练(完成时间：17分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6 cm ，CD ＝9 cm ，则EF ＝____________.2.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE ∶AF ＝3∶4，则AC ∶AB ＝ 3∶4 .3.[限时2分钟，达标是( )否( )]在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝ .4.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，已知CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径等于 5 .5.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，S △ADE ∶S △ABC ＝4∶9，则S △ADE ∶S △CDE ＝ 2∶1 .6.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝ 2 . 7.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.8.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·广东肇庆一模)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AE ，D 、E 为垂足，若AE ＝4，BE ＝1，则AC ＝ 10 .第2讲直线与圆的位置关系A级训练(完成时间：10分钟)1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD＝130°.2.如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.3.如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC＝30°，则AD的长为 1 .4.(2014·广东珠海二模)如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC＝2，∠BCD＝30°，则圆O的面积为4π.5.如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝12，直角边AC＝6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为________．6.如图圆O的直径AB＝6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，则PC＝________.B级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.2.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠CPA＝30°，则BP＝ 3 cm.3.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·广东韶关二模)如图，AB是半径为3的⊙O的直径，CD是弦，BA，CD的延长线交于点P，PA＝4，PD＝5，则∠CBD＝30°.4.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·广东湛江二模)如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C 作圆O的切线l，则点A到直线l的距离AD＝________.5.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF＝45°.6.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于________．7.[限时2分钟，达标是( )否( )]AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC＝2，BC＝1，则sin∠DCA＝.8.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB＝3，CD＝1，则cos ∠APB的值为________．9.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图所示，C 、D 是半圆周上的两个三等分点，直径AB ＝4，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 与CE 相交于点F ，则BF ＝ .第十三章 几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定与性质【A 级训练】1．27 解析：在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7， 依题意得，△ADB ∽△ACE ，所以DB EC ＝AD AC， 可得EC ＝DB ×ACAD＝27. 2．9 解析：在平行四边形ABCD 中， 因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ， 所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE)2＝9.3.12解析：如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ， 又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.4.14解析：因为M ，N 分别是AB 、BC 中点， 故MN ∥AC ，MN ＝12AC ，所以△MON ∽△COA ，所以S △MON S △AOC ＝(MN AC )2＝14.5.b 2a 2＋b 2 解析：由直角三角形射影定理可知BC 2＝BE ·BD ，所以BE ＝BC 2BD ＝b 2a 2＋b2.6．5 解析：设AD ＝x ，则AC ＝1＋x ，BD ＝4＋1＝5，AB ＝4＋＋x 2，由余弦定理可知cos45°＝BD 2＋AB 2－AD 22BD ·AB ＝5＋4＋＋x 2－x 22·54＋＋x2＝22， 整理得3x 2－10x －25＝0，解得x ＝5或x ＝－53(舍去)．【B 级训练】 1.185 cm 解析：在△ABC 中，因为EF ∥AB ， 所以EF AB ＝CF CB.在△DBC 中，因为EF ∥CD ，所以EF CD ＝BF BC. 两式相加，得EF AB ＋EF CD ＝CF CB ＋BFBC＝1，所以EF 6＋EF 9＝1，故EF ＝185cm.2．3∶4 解析：由AD ⊥BC 可知△ABD 和△ADC 均为直角三角形．在Rt △ABD 中，由射影定理可得AD 2＝AE ·AB .同理，AD 2＝AF ·AC ，则AE ·AB ＝AF ·AC ，因此AC AB ＝AE AF ＝34.3.3625解析：由勾股定理得：BC ＝AB 2＋AC 2＝5，由射影定理得：CD ＝AC 2BC ＝95， 由三角形面积得：AD ＝AB ·AC BC ＝125，由三角形面积得：DE ＝AD ·DC AC ＝3625.4．5 解析：由已知可知△ABC 为直角三角形，则CD 2＝AD ·BD ，而AD ＝CD 2BD ＝428＝2，从而AB ＝AD ＋BD ＝10，故圆O 的半径为5. 5．2∶1 解析：因为DE ∥BC ， 所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE S △ABC ＝(AE AC )2＝49，所以AE AC ＝23，所以AE EC ＝21.设D 到边AC 的距离为h ，则S △ADE S △CDE ＝12AE ·h12EC ·h ＝AE EC ＝21. 6．2 解析：由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ， 所以△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AE AC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，所以AE ＝AB ×AC AD ＝2412＝2.7.12a 解析：连接DE 和BD ，依题意知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，CB ⊥AB ， 所以EBCD 为矩形，所以DE ⊥AB ， 又E 是AB 的中点，所以EF ＝12AD ＝12a .8．10 解析：因为在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AE ， 所以∠EAD ＋∠ADE ＝90°，∠ADE ＋∠BDE ＝90°， 所以∠EAD ＝∠BDE .因为∠AED ＝∠DEB ＝90°， 所以△AED ∽△DEB . 因为AE ＝4，BE ＝1，所以ED 2＝AE ·BE ＝4，即ED ＝2， 根据勾股定理得：AD ＝AE 2＋ED 2＝25，BD ＝DE 2＋BE 2＝5，同理△ABD ∽△CAD ，即AD 2＝BD ·DC ，所以DC ＝2525＝45，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋DC 2＝100，则AC ＝10.第2讲 直线与圆的位置关系【A 级训练】1．130° 解析：由题设∠BAD ＝12∠BOD ＝50°，则∠BCD ＝180°－∠BAD ＝130°.2.125解析：因为PC 是圆O 的切线， 所以由切割线定理得：PC 2＝PA ×PB ， 因为PC ＝4，PB ＝8， 所以PA ＝2， 所以OA ＝OB ＝3， 连接OC ，OC ＝3， 在直角三角形POC 中，利用面积法有CE ＝OC ×PC PO ＝125. 3．1 解析：因为AB 是圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°.因为圆O 的面积为4π， 所以OA ＝2. 所以AB ＝4.因为∠ABC ＝30°， 所以AC ＝2.因为直线CE 与圆O 相切于点C ， 所以∠ACD ＝∠ABC ＝30°.因为AD ⊥CE 于点D,30°所对直角边是斜边的一半，所以AD ＝1.4．4π 解析：因为弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角， 所以，∠BCD ＝30°，∠A ＝30°， 则∠BOC ＝60°，根据60°的圆心角所对弦等于半径． 因为BC ＝2，所以圆的半径为2， 所以圆的面积为4π.5．3 3 解析：在Rt △ABC 中，斜边AB ＝12，直角边AC ＝6，所以BC ＝AB 2－AC 2＝122－62＝6 3.因为AB 与⊙C 相切于点D ，连接CD ，所以CD ⊥AB ，所以S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，所以CD ＝AC ·BC AB ＝6×6312＝33， 所以⊙C 的半径长为3 3.6．3 3 解析：连接OC ，因为PC ⊙O 的切线，所以OC ⊥PC ， 又因为∠CPA ＝30°，R ＝3，所以tan 30°＝OC PC ＝3PC，所以PC ＝333＝3 3. 【B 级训练】 1.165解析：因为易知AB ＝32＋42＝5， 又由切割线定理得BC 2＝BD ·AB ，所以42＝BD ·5.所以BD ＝165.2．3 解析：连接OC ，因为CP 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥CP ， 因为OC ＝3，∠CPA ＝30°，所以OP ＝OC sin 30°＝312＝6，所以BP ＝OP －OB ＝6－3＝3.3．30° 解析：由圆的割线定理，PA ·PB ＝PC ·PD ，PA ＝4，PD ＝5，AB ＝6， 所以PC ＝8，即CD ＝3. 因为CD ＝OC ＝OD ＝3，所以弦CD 所对应的圆心角是60°，又由于同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍， 所以弦CD 对应的圆周角是30°， 即∠CBD ＝30°. 4.92 解析：因为圆O 的直径AB ＝6，BC ＝3， 所以∠BAC ＝30°，AC ＝33，又因为直线l 为圆O 的切线，所以∠DCA ＝∠B ＝60°，所以AD ＝AC ·sin∠DCA ＝92.5．45° 解析：因为AC 为圆O 的切线， 由弦切角定理，则∠B ＝∠EAC . 又CD 平分∠ACB ，则∠ACD ＝∠BCD . 所以∠B ＋∠BCD ＝∠EAC ＋∠ACD .根据三角形外角定理，∠ADF ＝∠AFD ， 因为BE 是圆O 的直径，则∠BAE ＝90°，△ADF 是等腰直角三角形， 所以∠ADF ＝∠AFD ＝45°.6. 6 解析：设圆的半径为r ，且PO 与圆交于C ，D 两点， 因为PAB 、PCD 是圆O 的割线， 所以PA ·PB ＝PC ·PD .因为PA ＝1，PB ＝PA ＋AB ＝3；PC ＝3－r ，PD ＝3＋r ，所以1×3＝(3－r )×(3＋r )，r 2＝6，r ＝6.7.35解析：设圆半径为r ，所以CD 2＝CB ·(CB ＋2r )， 即4＝1×(1＋2r )，解得r ＝32，连接OD ，则OD ⊥CD ，所以sin ∠DCA ＝OD OC ＝3232＋1＝35.8．－13解析：连接AD ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°. 所以sin ∠DAP ＝DP AP.因为△APB ∽△DPC ，所以DP AP ＝DC AB ＝13.所以cos ∠APB ＝cos (90°＋∠DAP ) ＝－sin ∠DAP＝－13.9.233解析：因为C 、D 是半圆周上的两个三等分点，所以∠DBA ＝30°.连接AD ，则∠ADB ＝90°，所以AD ＝2， 过点D 作DG ⊥AB 于G ，在Rt △ADG 中，∠ADG ＝30°，所以AG ＝12AD ＝1，则AG ＝BE ＝1，所以BF ＝BE cos 30°＝233.。

§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。