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第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。
本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。
1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。
自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。
位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。
第4章《实数》：4.4 近似数一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．下列数据中，精确数是（）A．测得五台山最高处的海拔高度为3061.1米 B．某天某地的气温为8℃C．称得小华的体重为45kg D．小华所在班有46名学生2．下列数据中，近似数是（）A．小敏的身高为1.50m B．四月份有30天C．小芳家有3口人 D．小红所在班里有24名女生3．用四舍五入法得到的近似数是2.003万，关于这个数下列说法正确的是（）A．它精确到万分位 B．它精确到0.001 C．它精确到万位 D．它精确到十位4．用四舍五入法得到近似数300与0.03万，关于这两个数下列说法正确的是（）A．它们的有效数字不同，精确度相同 B．它们的有效数字相同，精确度不相同C．它们的有效数字和精确度都相同 D．它们的有效数字和精确度都不相同5．下列各组近似数中，有效数字相同的一组是（）A．0.02kg与2kg B．2.0kg与2.00kg C．2×10kg与2.0×10kg D．0.02kg与2.0kg 6．某校初三共有四个班，在一次英语测试中四个班的平均分与各班参加人数如下表：班级一班二班三班四班参加人数51 49 50 60班平均分83 89 82 79.5则本校初三参加这次英语测试的所有学生的平均分为（）（保留3个有效数字）A．83.1 B．83.2 C．83.4 D．82.57．0.3998四舍五入到百分位，约等于（）A．0.39 B．0.40 C．0.4 D．0.4008．近似数2.30是精确到（）A．十分位 B．0.1 C．0.01 D．个位9．用四舍五入得到的近似数为4.007万，下列说法正确的是（）A．它四舍五入到千分位 B．它四舍五入到0.001 C．它精确到万位 D．它精确到十位10．科学家发现某种病毒的长度约为0.08954微米，精确到千分位的长度是（）微米，结果有（）位有效数字．A．0.0895，3 B．0.09，1 C．0.090，2 D．0.090，111．0.00016489的近似数（保留两个有效数字）是（）A．1.6×10-4 B．1.7×10 -4 C．1.6×10-5 D．1.7×10 -512．下列叙述正确的是（）A．近似数3.140是精确到百分位的数，它有3个有效数字B．近似数72.0和近似数72的精确度一样C．7325保留一位有效数字，可以表示为7×103D．近似数1500万是精确到个位的数13．北冰洋的面积是1475.0万平方千米，精确到_____位，有____个有效数字（）A．十分位，四 B．十分位，五 C．千位，四 D．千位，五14．近似数4.80所表示的精确数n的范围是（）A．4.795≤n＜4.805 B．4.70≤n＜4.90 C．4.795＜n≤4.805 D．4.800≤n＜4.805 15．五位同学用最小刻度是cm的尺子，分别对一张餐桌的一边长进行测量，其结果分别如下：122.2cm，122.2cm，122.3cm，123.3cm，122.35cm，其中四位同学对餐桌的边长进行了计算，你认为谁的计算较为合理（）A．123.3cm B．122.2cm C．122.35cm D．122.3cm二、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）16．小敏用测量工具量得她的课桌高为1.015米，则这个数精确到位．17．近似数1.50万精确到位．18．将381 500取近似数，保留两个有效数字，并且科学记数法表示为．19．近似数4.00×10-2有个有效数字，精确到位．20．将0.04097取近似数，保留三个有效数字为，这个近似数精确到位．21．太阳的半径约是69 660千米，用科学记数法表示（保留3个有效数字）约是千米．22．人民网北京5月30日电．据民政部报告，截止5月30日12时，全国共接受国内外社会各界捐赠款物总计399.24亿元，请用科学记数法表示为元（保留两个有效数字）．23．2002年，我国发现首个世界级大气田，储量达6 050亿立方米，6 050亿立方米用科学记数法表示为立方米（保留两个有效数字）．24．小亮和肖晓共同测量一本新华字典的厚度，由于选择的测量工具不同，小亮测得的数据是2.62厘米，肖晓测得的数据是2.621厘米，在小亮测得的数据中，最后一位的“2”是（填“精确的”或“估计的”）；在肖晓测得的数据中，是精确的，是估计的．25．一个数a有三个有效数字，经过四舍五入后得50，则原数所在的范围是．26．近似数 1.02，精确到位，有个有效数字；近似数 1.010，精确到位，有效数字是；2.4万四舍五入到位，有效数字是．27．小强的体重为56.029kg，请按下列要求取这个数的近似数；（1）四舍五入到百分位，有个有效数字，它们是．（2）四舍五入到个位，有个有效数字，它们是．（3）四舍五入到十位，有个有效数字，它们是．答案：一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．故选D．考点：近似数和有效数字．分析：精确数往往是生活中可以用自然数来表示的人数或物体的个数等．如小华所在班的46名同学，是精确数．解答：解：A、B、C、都是测量得到的数据，一定是近似数；D、是精确数．故选D．点评：注意区别精确数和近似数．精确数往往是生活中可以用自然数来表示的人数或物体的个数等；近似数往往是生活中表示测量的数据．2．故选A ． 考点：近似数和有效数字． 分析：近似数是与准确数的概念是相对的，就是与准确值比较接近的一个数值． 解答：解：∵四月份30天、家中的人口数以及班里的女生人数都是确定的数， 近似数是小敏的身高为1.50m ．故选A ．点评：本题主要考查对近似数概念的理解．3．故选D ．考点：近似数和有效数字．分析：考查近似数的精确度，要求由近似数能准确地说出它的精确度．2.003万中的3虽然是小数点后的第3位，但它表示30，它精确到十位．解答：解：根据分析得：这个数是精确到十位．故选D ．点评：本题主要考查学生对近似数的精确度理解是否深刻，这是一个非常好的题目，许多同学不假思考地误选B ，通过该题培养学生认真审题的能力和端正学生严谨治学的态度．4．故选D ．考点：近似数和有效数字．分析：从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；确定精确度时，要先把科学记数法的形式还原成数字形式，再做判断．解答：解：300的有效数字是3，0，0三个，精确到个位；0.03万的有效数字是3一个，精确到百位．所以它们的有效数字和精确度都不相同．故选D ．点评：考查了有效数字和精确度的概念．5．故选A ．考点：科学记数法与有效数字．分析：有效数字的概念：从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位为止，所有数字都叫这个数的有效数字．确定精确度时，要先把科学记数法的形式还原成数字形式，再做判断．解答：解：根据有效数字的概念，知：A 、0.02的有效数字是2，2的有效数字也是2，两个数的有效数字相同．正确；B 、2.0的有效数字是2，0；2.00的有效数字是2，0，0．不相同；C 、2×10的有效数字是2；2.0×10的有效数字是2，0．不相同；D 、0.02的有效数字是2；2.0的有效数字是2，0．不相同．故选A ．点评：解答此题时，需要熟练掌握定义，近似数写成科学记数法形式（a×10n ）的，有效数字以a 所含有效数字个数为准．6．故本题选B ． 考点：加权平均数．专题：计算题．分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．解答：解：该组数据的平均数=51×83+49×89+50×82+60×79.551+49+50+60≈83.2；故本题选B．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求83，89，82，79.5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．7．故本题选B．考点：近似数和有效数字．分析：把0.399 8四舍五入到百分位就是对这个数百分位以后的数进行四舍五入．解答：解：0.399 8四舍五入到百分位，约等于0.40．故选B．点评：本题考查了四舍五入的方法，是需要识记的内容．8．故本题选C．考点：近似数和有效数字．分析：一个数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位．解答：解：近似数2.30是精确到0.01．故选C．点评：确定一个近似数精确到哪位的方法是需要熟记的内容．9．故选D．考点：近似数和有效数字．分析：考查近似数的精确度，要求由近似数能准确地说出它的精确度．解答：解：4.007万中的7虽然是小数点后的第3位，但它表示7个十，它精确到十位．故选D．点评：本题主要考查学生对近似数的精确度理解是否深刻，这是一个非常好的题目，通过该题培养学生认真审题的能力和端正学生严谨治学的态度．10．故选C．考点：近似数和有效数字．专题：应用题．分析：精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．解答：解：把0.089 54精确到千分位，看万分位上的数是5，需要进位，所以0.08954≈0.090，有效数字是9，0两个．故选C．点评：本题四舍五入后容易出现0.089 54≈0.090=0.09的错解，这样就不符合精确到千分位的要求，所以四舍五入后千分位上的0不能省略．11．故选A．考点：科学记数法与有效数字．分析：一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，精确到个位以后的数，数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入．解答：解：0.000 164 89≈0.000 16=1.6×10-4．故选A．点评：此题不能先写成0.000 165，再四舍五入成0.000 17，即1.7×10-4．确定10的指数时，由1左边的0的个数来决定．12．故选C．考点：近似数和有效数字．分析：有效数字，即从这个数的左边第一个不是0的数字起，所有的数字．一个数的末位数字在什么位，即精确到了什么位．解答：解：A、近似数3.140是精确到千分位的数，它有4个有效数字．错误；B、近似数72.0精确到十分位，近似数72精确到个位，两者精确度不一样．错误；C、根据有效数字的定义和四舍五入法，可知7 325保留一位有效数字，则可以表示为7×103．正确；D、近似数1 500万是精确到万位的数．错误．故选C．点评：本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念，要求同学们在平时的学习中熟练掌握概念，方能灵活应用．13．故选D．考点：近似数和有效数字．专题：应用题．分析：一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．解答：解：1 475.0万=14 750 000，精确到千位，有效数字是1，4，5，7，0五个．故选D．点评：1 475.0万的精确度由最后一位0所处的位置决定，有效数字只与1475.0有关，与万无关．14．故选A．考点：近似数和有效数字．分析：利用四舍五入法并根据近似数的定义可进行判断．解答：解：由于近似数4.80精确到了百分位，所以它所表示的准确数必须至少精确到千分位，且符合四舍五入法的要求，则需4.795≤n＜4.805．故选A．点评：与平常题目不同，此题不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数的范围．这是对逆向思维能力的考查，有利于培养同学们健全的思维能力．15．故选D．考点：近似数和有效数字．专题：应用题．分析：因为最小刻度是cm的尺子，精确值应该是cm，它后面的数应该是一个估计的数值，应只有一位，因而122.35cm不合理，在122.2cm，122.2cm，122.3cm，123.3cm这四个数中，122.3cm比较接近四个数的平均数，因而比较合理的是122.3cm．解答：解：根据分析可得：计算较为合理的是122.3cm．故选D．点评：本题主要考查了测量中的近似值的问题．二、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）16．故本题答案为千分位．．考点：近似数和有效数字．分析：考查近似数的精确度，近似数的最后一位是什么数位就是精确到哪一位．解答：解：1.015米精确到小数点后第三位，即精确到千分位．点评：本题很容易，但在数数位时不要出错．17．故本题答案为百位．考点：近似数和有效数字．分析：一个近似数精确到哪一位，即要看末位数字实际在哪一位，就是精确到了哪一位．解答：解：近似数1.50万中，末位数字0在百位上，则精确到了百位．点评：考查了精确度的概念．18．故本题答案为3.8×105．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．题中381 500整数位数有6位，n=6-1=5．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：381 500≈3.8×105．点评：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．19．故本题答案为3个；万分位．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．其中a的有效数字的个数就是a×10n的有效数字的个数，a×10n的有效数字与n的值无关，但精确到哪一位就与n的值有关．近似数4.00×10-2中的4应是百分位，4.00×10-2的最后一位应是万分位，因而这个数精确到万分位．解答：解：近似数4.00×10-2有4，0，0三个有效数字，其中4位于数中的百分位，则最后一个有效数字0位于该数中的万分位．点评：用科学记数法表示的a×10n的形式，它的有效数字的个数只与a有关，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定．20．故本题答案为0.0410；万分位．考点：近似数和有效数字．分析：一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．精确到哪位就是看最后一位是什么位，就是精确到哪位．解答：要求保留三个有效数字，第四位是7，0.04097四舍五入为0.0410，最后的有效数字0位于该数中的万分位．点评：本题考查了学生对有效数字的概念和精确度的掌握情况．用四舍五入法取近似值时，根据精确度要求的哪一位，看下一位数字是否大于或等于5来决定“舍”还是“入”．21．故答案为6.97×104千米．考点：科学记数法与有效数字．专题：应用题．分析：科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．题中69 660有5位整数，n=5-1=4．一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止都是这个数的有效数字．保留3个有效数字，要观察第4个有效数字，四舍五入．解答：解：69660≈6.97×104．答：约是6.97×104千米．点评：本题考查了用科学记数法表示较大的数以及取近似数的方法．用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n．确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1．要注意保留3个有效数字时，需观察第4个有效数字，四舍五入．22．故答案为4.0×1010元．考点：科学记数法与有效数字．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数．题中399.24亿=39 924 000 000，有11位整数，n=11-1=10．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关．解答：解：399.24亿≈4.0×1010元．点评：此题考查用科学记数法表示大数，用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n．确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1．23．故答案为6.1×1011．考点：科学记数法与有效数字．专题：应用题．分析：把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时．将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．然后保留有效数字．用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关．解答：解：6 050亿=605 000 000 000=6.05×1011≈6.1×1011．点评：本题考查用科学记数法表示较大的数和用科学记数法保留有效数字．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．24．故答案为估计的；2.62；1 .考点：近似数和有效数字．专题：应用题．分析：本题主要考查利用刻度尺测量长度的方法，所用刻度尺的最小刻度不同，那么所得到的数精确程度就不同．解答：解：2.62厘米最后一位的“2”是估计的，数据2.621厘米中2.62是精确的，1是估计的．点评：本题的测量方法，是经常用到的，需要识记．25．故答案为估计的；2.62；1 .考点：近似数和有效数字．分析：近似值是通过四舍五入得到的，50可以由大于或等于49.5的数，9后面的一位数字，满5进1得到．或由小于50.5的数，舍去0后的数字得到，因而49.5≤a＜50.5．解答：解：根据分析得：原数所在的范围是49.5≤a＜50.5．点评：本题主要考查了如何对一个数进行四舍五入．26．故答案为百分位；3个；千分位；1，0，1，0；千位；2，4．考点：近似数和有效数字．分析：近似数的最后一个数字实际在哪一位上，即精确到了哪一位；有效数字即从左边不是0的数字起，所有的数字即为有效数字．解答：解：根据精确度和有效数字的概念，知近似数1.02，精确到了百分位，有1，0，2三个个有效数字；近似数1.010，精确到了千分位，有效数字是1，0，1，0；2.4万四舍五入到千位，有效数字是2，4．点评：考查了精确度以及有效数字的概念．27．故答案为（1）4个；它们是5，6，0，3．（2）2个；它们是5，6．（3）1个；它们是6．考点：近似数和有效数字．分析：有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字．依据概念解答即可．解答：解：（1）四舍五入到百分位，得56.03kg，有4个有效数字，5，6，0，3．（2）四舍五入到个位，得56kg，有2个有效数字，它们是5，6．（3）四舍五入到十位，得6×10kg，有1个有效数字，它们是6．点评：考查了有效数字的概念．。
