第二章近似计算方法

2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明 令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。

这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。

2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。

20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。

数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。

从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。

数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。

数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。

自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。

最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。

航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。

流体运动的规律由一组控制方程描述。

计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。

但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。

计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。

计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。

第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。

当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。

对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。

法、迭代法、牛顿法及割线法。

这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。

也即求非线性方程根的数值方法。

第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。

令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。

在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。

(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。

这说明区间［n x , 1n x +］内无根。

(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。

也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。

下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。

此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。

n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。

《近似数》教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解近似数的概念和作用。

能够理解近似数与精确数的关系。

学会使用四舍五入法来进行近似计算。

1.2 教学内容近似数的概念和作用。

近似数与精确数的区别。

四舍五入法的原理和应用。

1.3 教学方法通过实例引入近似数的概念，激发学生的兴趣。

使用图片和实际例子来说明近似数的作用。

分组讨论，让学生探索近似数与精确数的关系。

1.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。

收集学生的讨论结果，进行评估。

第二章：四舍五入法2.1 教学目标让学生掌握四舍五入法的原理和步骤。

能够运用四舍五入法来进行近似计算。

理解四舍五入法在实际生活中的应用。

2.2 教学内容四舍五入法的原理。

四舍五入法的步骤。

四舍五入法在实际生活中的应用。

2.3 教学方法通过讲解和示例，让学生掌握四舍五入法的原理和步骤。

进行小组活动，让学生练习运用四舍五入法进行近似计算。

联系实际生活中的例子，让学生理解四舍五入法的应用。

2.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。

收集学生的练习结果，进行评估。

第三章：近似数的计算3.1 教学目标让学生能够运用四舍五入法来进行近似计算。

能够理解和运用科学记数法来进行近似计算。

能够解决实际问题，并进行近似计算。

3.2 教学内容四舍五入法进行近似计算。

科学记数法进行近似计算。

实际问题的解决和近似计算。

3.3 教学方法通过示例和练习，让学生掌握四舍五入法和科学记数法的运用。

引导学生运用所学的近似计算方法解决实际问题。

分组讨论，让学生交流解题方法和经验。

3.4 教学评估观察学生在课堂上的参与程度和理解程度。

收集学生的练习结果和解题方法，进行评估。

第四章：近似数在实际应用中的重要性4.1 教学目标让学生理解近似数在实际生活中的重要性。

能够运用近似数进行估算和决策。

能够分析近似数在实际应用中的优缺点。

4.2 教学内容近似数在实际生活中的应用。

近似数进行估算和决策。

近似数在实际应用中的优缺点。

《近似数》教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解近似数的概念及其在实际生活中的应用。

培养学生对近似数的兴趣和好奇心。

1.2 教学内容导入：通过生活中的例子，如天气预报、称重等，引出近似数的概念。

近似数的定义：介绍近似数的概念，即与实际数值接近的数。

近似数的表示：讲解常用的近似数表示方法，如“约等于”、“大于等于”、“小于等于”等。

1.3 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过生活中的实例引发学生的思考。

利用图形、实物等辅助教学，帮助学生形象地理解近似数的概念。

1.4 教学评估学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。

学生作业：布置相关的练习题，检查学生对近似数的理解和掌握程度。

第二章：近似数的求法2.1 教学目标让学生掌握几种常用的近似数求法。

培养学生运用近似数解决实际问题的能力。

2.2 教学内容近似数的求法：介绍几种常用的近似数求法，如四舍五入、向上取整、向下取整实例讲解：通过具体的例子，讲解近似数的求法及其应用。

2.3 教学方法采用案例教学法，通过具体的例子引导学生理解和掌握近似数的求法。

利用计算器等工具，让学生亲自动手实践，加深对近似数求法的理解。

2.4 教学评估学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。

学生作业：布置相关的练习题，检查学生对近似数求法的理解和掌握程度。

第三章：近似数的误差3.1 教学目标让学生了解近似数的精确度及其误差。

培养学生对近似数误差的理解和分析能力。

3.2 教学内容近似数的精确度：介绍近似数的精确度及其表示方法，如有效数字、精确到某位等。

近似数的误差：讲解近似数的误差概念，以及误差的来源和影响。

3.3 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生思考近似数的精确度和误差问题。

利用实际例子和计算器等工具，让学生亲自动手实践，观察和分析近似数的误差。

3.4 教学评估学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。

学生作业：布置相关的练习题，检查学生对近似数精确度和误差的理解和掌握程第四章：近似数在实际应用中的举例4.1 教学目标让学生了解近似数在实际生活中的应用。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点) 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)[基础·初探]教材整理1 变号零点与不变号零点阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题．1．零点存在的判定条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．3．不变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．函数f(x)的图象如图2­4­1所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )图2­4­ 1A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．【答案】 D教材整理2 二分法阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题．1．定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．2．求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )【解析】(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]二分法的概念(1)图2­4­ 2已知函数f(x)的图象如图2­4­2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.【导学号：60210063】【精彩点拨】(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．【答案】(1)D (2)(2,3)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[再练一题]1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．【答案】 B变号零点与不变号零点的判断(1)f(x)＝3x－6；(2)f(x)＝x2－x－12；(3)f(x)＝x2－2x＋1；(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.【精彩点拨】(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得．【解】(1)零点是2，是变号零点．(2)零点是－3和4，都是变号零点．(3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.图象连续不间断的函数f x在[a，b]上，若f a·f b<0，则函数f x在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.[再练一题]2．判断下列函数是否有变号零点．(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝x4－18x2＋81.【解】(1)零点是－2,7，是变号零点．(2)无零点．(3)零点是－3,3，都不是变号零点．[探究共研型]用二分法求方程的近似解探究1 函数y ＝f (x )的零点与方程f (x )＝0的解有何关系？ 【提示】 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解． 探究2 如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？【提示】 设方程为f (x )＝g (x )，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，求方程f (x )＝g (x )的近似解问题就可转化为求函数F (x )＝f (x )－g (x )零点的近似解问题．用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)． 【精彩点拨】 构造函数f (x )＝2x 3＋3x －3→确定初始区间(a ，b )→二分法求方程的近似解→验证|a －b |<0.1是否成立→下结论．【自主解答】 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x ＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75)0.687 5f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0所以方程2x 3＋3x －3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f (x )＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[再练一题]3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]【解析】由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．【答案】 A1．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．【答案】 C2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．【答案】 B3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】由“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．【答案】 B4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：【导学号：97512033】【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4.【答案】 1.45．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0， ∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。