学案6 山西大学附中高一年级含绝对值不等式的解法 高一

学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】1．绝对值的意义是：⎩⎨⎧<-≥=)0x (x )0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝．【思考导学】1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的根本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组一样．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．解法一：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x ∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或 ∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x －5≤7(Ⅱ)2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．［例2］解关于x 的不等式：(1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )；(2)｜2x ＋1｜＞x ＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 －24+a ＜x ＜22-a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为∅， 综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜22-a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是∅．(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－32 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－32或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为∅． 解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．［例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1．解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1(1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1∴⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或 即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或均无解(2)由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1∴⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或，∴x ＞0或x ＜－32 综上讨论，原不等式的解集为{x |x ＜－32或x ＞0}． 点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外〞向“里〞，反复应用解答绝对值根本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x |＞0的解集是( )A ．∅B ．RC ．{x |x ≠38，x ∈R } D ．{38} 答案： C2．以下不等式中，解集为R 的是( )A ．｜x ＋2｜＞1B ．｜x ＋2｜＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞0答案： C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A ．｛x ｜－2＜x ＜2}B ．｛x ｜0＜x ≤2}C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝解析： 所求点的集合即不等式｜x ｜≤2的解集．答案： C4．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( )A ．｛x ｜x ＜1}B ．｛x ｜－1＜x ＜2}C ．｛x ｜x ＞2｝D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝解析： 由｜1－2x ｜＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2答案： B5．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________．解析： 由原不等式得x ＋4＞9或x ＋4＜－9，∴x ＞5或x ＜－13答案： ｛x ｜x ＞5或x ＜－13}6．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax ｜＜a 的解集是________．解析： 由原不等式得｜ax －b ｜＜a ，∴－a ＜ax －b ＜a ∴a b－1＜x ＜a b＋1∴｛x ｜a b－1＜x ＜a b＋1}答案： ｛x ｜a b－1＜x ＜a b＋1｝【强化训练】1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋aB ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a }C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜}D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝解析： 由｜x ＋a ｜＜1得－1＜x ＋a ＜1∴－1－a ＜x ＜1－a答案： B2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝D ．｛x ｜4≤x ≤9｝解析： 不等式等价于⎩⎨⎧≤-≤≥-63103x x 或⎩⎨⎧≤-≤<-63103x x 解得：4≤x ≤9或－3≤x ≤2．答案： A3．以下不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )A ．｜x －2｜＞5B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜2x －1｜≤21 D ．1－｜2x －1｜＜21 解析：A 中，由｜x －2｜＞5得x －2＞5或x －2＜－5∴x ＞7或x ＜－3 同理，B 的解集为｛x ｜x ＞27或x ＜－1｝ C 的解集为｛x ｜x ≤1或x ≥3｝D 的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝答案： D4．集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x ||x －1|＞1}，那么A ∩B 等于( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}解析： |x －1|＜2的解为－1＜x ＜3，|x －1|＞1的解为x ＜0或x ＞2．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}．答案： D5．不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，那么a ＋2b ＝．解析： 不等式｜x －2｜＜a 的解集为｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝由题意知：｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝＝｛x ｜－1＜x ＜b ｝∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-53212c a c a a ∴a ＋2b ＝3＋2×5＝13答案： 136．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．解析：∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|＝x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解．当x ＋2＜0时，|x ＋2|＝－(x ＋2)＞0＞x ＋2∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2答案： ｛x ｜x ＜－2｝7．解以下不等式：(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．解：(1)由原不等式得－2≤2－3x ≤2，各加上－2得－4≤－3x ≤0，各除以－3得34≥x ≥0，解集为{x |0≤x ≤34}． (2)由原不等式得3x －2＜－2或3x －2＞2，解得x ＜0或x ＞34，故解集为{x |x ＜0或x ＞34}．8．解以下不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ．解：(1)原不等式等价于不等式组由①得x ≤－1或x ≥5；由②得－7＜x ＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，∴原不等式的解集为{x |－7＜x ≤－1或5≤x ＜11}．(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：①⎩⎨⎧+>-≥-;2143,043x x x ②⎩⎨⎧+>--<-.21)43(,043x x x 由不等式组①解得x ＞5；由不等式组②解得x ＜53． ∴原不等式的解集为{x |x ＜53或x ＞5}． 9．设A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝，B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝，求集合M ，使其同时满足以下三个条件：(1)M ⊆［(A ∪B )∩Z ］；(2)M 中有三个元素；(3)M ∩B ≠∅解：∵A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝＝｛x ｜－1≤x ≤2｝B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝＝｛x ｜－3＜x ＜－1｝∴M ⊆［(A ∪B )∩Z ］＝｛x ｜－1≤x ≤2｝∪｛x ｜－3＜x ＜－1｝∩Z ＝｛x ｜－3＜x ≤2｝∩Z ＝｛－2，－1，0，1，2｝又∵M ∩B ≠∅，∴－2∈M ．又∵M 中有三个元素∴同时满足三个条件的M 为：｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化〞．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．不等式｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)：不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b＞0)型的不等式的解法．123534。

⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。

2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。

是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。

把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。

当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。

答案为{x - 1 < x < 5}。

(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。

教材：含绝对值不等式的解法目的：从绝对值的意义出发，掌握形如 | x | = a 的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)不等式的解法，并了解数形结合、分类讨论的思想。

过程：一、实例导入，提出课题实例：课本 P14（略） 得出两种表示方法：1．不等式组表示：⎩⎨⎧≤-≤-55005500x x 2．绝对值不等式表示:：| x - 500 | ≤5课题：含绝对值不等式解法二、形如 | x | = a (a ≥0) 的方程解法复习绝对值意义：| a | =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a几何意义：数轴上表示 a 的点到原点的距离． 例：| x | = 2 ．三、形如| x | > a 与 | x | < a 的不等式的解法 例 | x | > 2与 | x | < 21︒从数轴上，绝对值的几何意义出发分析、作图。

解之、见 P15 略 结论：不等式 | x | > a 的解集是 { x | -a< x < a}| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < -a}2︒从另一个角度出发：用讨论法打开绝对值号| x | < 2 ⇒ ⎩⎨⎧<≥20x x 或 ⎩⎨⎧<-<20x x ⇒ 0 ≤ x < 2或-2 < x < 0 合并为 { x | -2 < x < 2}同理 | x | < 2 ⇒ ⎩⎨⎧>≥20x x 或 ⎩⎨⎧>-<20x x ⇒ { x | x > 2或 x < -2} 3︒例题 P15 例一、例二 略4︒《课课练》 P12 “例题推荐”四、小结：含绝对值不等式的两种解法。

五、作业： P16 练习 及习题1．4 -2 0 2。

不等式的解法: 例1 解不等式 3x 1 2.
例2 解不等式 2 -3x 7.
例 1 解不等式 3x 1 2.
解： 由 1
3
因此，原不等式的解集为
x
1 3
x
1
不等式 3x 1 2 的解的几何意义：
3x 1 2 可以化为：
（-1,4）
(-, 1) (1， ) 2
(-, 1) (1， ) 2
R
[-3,2) (1，2]
课堂小结
1.绝对值的意义
2.几何意义
3.归纳： x a(a 0) a x a
x a(a 0) x a或x a
4.归纳：
ax b c c ax b c
ax b c(c 0) ax b c或ax b c
-1
0
1
x
不等式│x│>1解集? {x│x<-1 或x > 1}
-1
0
1
x
类归比纳求：：|x|<x|a<（3的a>解0集） |x|->a3<的x<解a集
|x|>a（a>0） x<-a或x>a
如果 a 0 ，则
x a a x a
x a x a或x a
试求： |x|<-2的解集 |x|>-2的解集 R
3
型如 ax b c(c 0)和ax b c(c 0)
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c(c 0) ax b c或ax b c
巩固练习
求下列不等式的解集
（1）2x 3 5 (2)1 4x 3 (3)31 4x 9 (4) 4x 1 (5) x 6 (6)3 2x 1 5

即|a|-|b|≤|a+b|， ②
综合①②:
| a | | b || a b || a | | b | .
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即
| a | | b | | a b || a | | b |;
一、复习回顾
• 不等式解集含义； • 会在数轴上表示解集； • 不等式性质及其利用； • 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法，
当a>0时，| x | a a x a;
| x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
推论2： | a | | b || a b || a | | b | .
证明：在定理中以-b代b得：
| a | | b || a (b) || a | | b |,
即： | a | | b || a b || a | | b | .
定理：| a | | b || a b || a | | b |
b
c
d
a
a b 2 a b 2 a ,
bc
bc
c
c d 2 c d 2 c ,
da
da
a
又
a c 2 a
c 2 4 a c 2,
ca
ca
ca
由以上可得
a b

b c

c d

d a
2
a c
c a
4.
定理：| a | | b || a b || a | | b |

高中高一数学教案设计含绝对值的不等式一、教学目标1.掌握简单的不等式求解方法，了解绝对值的概念。

2.能够分析绝对值不等式的种类，并运用不等式性质进行解题。

3.能够理解绝对值不等式的图像表示，能够正确绘制以及通过图像求解不等式。

二、教学重点和难点1.教学重点：绝对值的概念、绝对值不等式的种类及图像表示。

2.教学难点：绝对值不等式的图像表示、通过图像求解不等式。

三、教学流程3.1 概念解释1.介绍绝对值的概念，如|x|的定义。

2.引导学生思考|−x|和|x−1|等的意义和概念。

3.2 绝对值的性质1.给出两个数a和b，讨论|a|<|b|和|a|>|b|的意义。

2.引导学生思考|a|=|−a|等的性质，并让学生举例说明。

3.3 不等式的解法1.列出几个简单的不等式，如2x−1>0或3x+2<5等，并分别解答。

2.引导学生思考没有符号的绝对值不等式的解法，如|x|>2、|x+1|<3等。

3.4 含绝对值的不等式1.介绍含绝对值的不等式，如|x−2|>3或$|x+1|\\leqslant 2$ 等。

2.围绕绝对值不等式的种类进行讲解，如|f(x)|>a、|f(x)|<a、$|f(x)|\\geqslant a$ 和 $|f(x)|\\leqslant a$ 等。

3.5 图像表示1.讨论含一个绝对值的不等式，如|x−1|<2的图像表示。

2.引导学生思考含两个绝对值的不等式的图像表示，如||x|−1|<2的表示方法。

3.6 图像求解1.引导学生对含一个绝对值的不等式进行图像求解，并指导解题方法。

2.引导学生对含两个绝对值的不等式进行图像求解，并指导解题方法。

四、巩固练习1.练习求解含绝对值的不等式，如|2x−5|>3或$|3x+1|\\leqslant 4$ 等。

2.练习不等式的图像求解，如 $|x-2|+|x+1|\\leqslant 5$ 等。

高中高一数学教案设计：含绝对值的不等式教学目标：1. 理解绝对值的定义和性质；2. 掌握解含绝对值的不等式的方法；3. 应用所学知识解决相关问题。

教学重点：1. 解含绝对值的一元一次不等式；2. 解含绝对值的一元二次不等式。

教学难点：1. 解含绝对值的一元二次不等式。

教学准备：教材、讲义、黑板、白板、笔等教学过程：Step 1: 引入绝对值的定义和性质（10分钟）1. 回顾绝对值的定义：对于任意实数x，|x|表示x的绝对值，即|x|=x（x≥0）或|x|=-x（x＜0）。

2. 引导学生理解绝对值的性质：- |x|≥0，即绝对值不小于0；- 若|x|=0，则x=0；- |x|＝|y|，则x=y或x=-y；- |x·y|=|x|·|y|。

Step 2: 解含绝对值的一元一次不等式（15分钟）1. 提出示例：解不等式|x-2|<3。

2. 解题过程：a. 分情况讨论|x-2|的值：- 若x-2≥0，则有|x-2|=x-2。

- 若x-2＜0，则有|x-2|=-(x-2)=-x+2。

b. 分别解两种情况下的不等式，并求解集。

c. 合并求解集，得到最终解。

Step 3: 解含绝对值的一元二次不等式（25分钟）1. 提出示例：解不等式2|x-1|+1≥5。

2. 解题过程：a. 将不等式转化为两个一元一次不等式：- 2|x-1|+1≥5 → 2|x-1|≥4。

b. 分情况讨论|x-1|的值：- 若x-1≥0，则有|x-1|=x-1。

- 若x-1＜0，则有|x-1|=-(x-1)=-x+1。

c. 分别解两种情况下的不等式，并求解集。

d. 合并求解集，得到最终解。

Step 4: 应用实例解答相关问题（10分钟）1. 提示学生将所学知识应用到实际问题中，例如解决含有绝对值的代数方程、几何问题等。

Step 5: 总结与延伸（5分钟）1. 复习所学知识要点和解题方法。

2. 提醒学生继续巩固和拓展此类题型的练习。

［解析］ 为了求出同时满足三个条件的集合C，可选择其中一个条件入手，求出满足这个条件的C，再根据另外两个条件逐步缩小解的范围，直至最后求出满足三个条件的C．
［解］ 依题意，有A＝{x||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，
B＝{x||x＋2|＜1}＝{x|－3＜x＜－1}．
∴ C＝(A∪B)∩Z＝{x|－1≤x≤2}∪{x|－3＜x＜－1}∩Z
【剖析难点】
例4 解不等式：|x－2|＞2x－10．
［解析］ 本例不等号两边均有未知数x，虽不能直接运用最简绝对值不等式，但解题的关键仍是去掉绝对值，因而可采用分段讨论的方法．
［解法1］ (1)当x≥2时，不等式转化为：x－2＞2x－10，得x＜8．∴ 2≤x＜8．
(2)当x＜2时，不等式转化为：2－x＞2x－10，得x＜4．∴ x＜2．
［解析］ 解含参量的绝对值时要进行分类讨论．
［解］ 不等式可化为|2x＋3|＜a＋1． ①
当a＋1＞0，即a＞－1时，由①式得－a－1＜2x＋3＜a＋1，
点拨 对参变量a进行讨论，最后的结论不能合并．
【应用创新能力升级】
本节知识常在集合、函数、方程、解析几何等章节中应用，解题时要灵活运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，以使解题直观、简便．
6．含有多个绝对值符号的不等式的解法
方法1：利用绝对值的几何意义．如解不等式|x＋1|＋|x－2|＜3．
方法2：利用“零点”进行分段讨论，最后求并集．如上例，可分x≤－1，－1≤x≤2，x＞2三段分别去掉绝对值符号，然后求解．
思维整合
【重点】 |x|＜a与|x|＞a(a＞0)型不等式的解法；以及对|ax＋b|＜c(c＞0)转化为－c＜ax＋b＜c，|ax＋b|＞c(c＞0)转化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c的理解．

备选题 2 解关于 x 的不等式 |3x-2|<2m-1(m∈R). ∈ 可讨论如下: 解: ∵m∈R, ∴可讨论如下 ∈ (1)当 2m-1≤0 即 m≤ 1 时, x 不存在 当 不存在; 2 (2)当 2m-1>0 即 m> 1 时, 原不等式等价于 当 2 1-2m<3x-2<2m-1. 2m+1 解得 - 2m-3 <x< 3 . 3 综上所述, 当 m≤ 1 时, 原不等式的解集为 ∅; 当 m> 1 时, 综上所述 2 2 原不等式的解集为 (- 2m-3 , 2m+1 ). - 33
典型例题 3 3x 解不等式 | x2-4 |≤1. 3x 2 3x 解法二 | 2 |≤1⇔( 2 ) ≤1 ⇔ x -4 x -4 ⇔9x2≤(x2-4)2(x≠± ≠±2) ≠± ⇔x4-17x2+16≥0 ⇔x2≤1 或 x2≥16 ⇔x≤-4 或 -1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为 (-∞, -4]∪[-1, 1]∪[4, +∞). ∪∪ ∞
学一学, 学一学 练一练 x>0, 解不等式组 3-x 2-x >| x+2 |. 3+x x-3 2-x 3-x 3-x 2-x 解法一 3+x >| x+2 |⇔ 3+x < x+2 < 3+x . ⇔ x>0, ⇔ (3-x)(x+2)>(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)>(2-x)(3+x). x>0, x>0, 2+x+6>x2+x-6, ⇔ ⇔ -x x2<6. -x2+x+6>-x2-x+6, ∴0<x< 6 . ∴原不等式组的解集为 (0, 6 ).

第四节 绝对值不等式的解法不等式的性质 绝对值的意义 最基本的不等式|x|<a,|x|>a(a>0)的解以及它的几何意义. 形如|ax+b|<c,|ac+b|>c,|ax+b|<mx+n, |ax+b|>mx+n,型不等式的解法.含多个绝对值不等式的问题.例1.解不等式:①|x+1|>2-x ②|x+3|+|x+2|+|x+1| >3 ③|x+1|+|x -1|<1例2.关于实数x 的不等式|x -21(a+1)2|≤21(a+1)2与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(其中a ∈R)的解集依次为A 与B,求使A ⊆B 的a 的取值范围.例3.若不等式|x+1|+|x -1|<m 的解集为非空数集,求实数m 的取值范围例4.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x -2|>k 恒成立,则的取值范围是:第五节 一元二次不等式例1. 已知不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)的解集是{x|α<x<β,0<α<β},求不等式cx 2+bx+a<0 的解集.例2. m 为何值时,关于x 的方程8x 2-(m -1)x+(m -7)=0的两根(1)都大于1 (2)一根大于2,一根小于2; (3)两根在0,2之间.第六、七、八节逻辑联结词 命题 四种命题 充分条件 必要条件[重点]理解逻辑联结词“或”、“且”“非”的意义，并会用它们构造复合命题，把握“若p 则q ”形式的复合命题，特别是会构造其逆命题、否命题、逆否命题；掌握四种命题及其关系；理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题的充要关系。

[难点]对逻辑中的“或”、“且”的理解，特别是对一些代数命题真假的判断。

例1．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的（ ）A ．原命题B 逆命题C 否命题D 逆否命题例2．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，问D 是A 的什么条件？例3．已知p ：|5x -2|>3, q:5412-+x x >0,则┐p 是┐q 的什么条件？例4．对于实数x,y,判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件？本章综合含例题:1．设全集U={1，2，3，4}，且={x x 2-5x+m=0,x ∈U}若C U A={1，4}，求m 的值。

绝对值不等式的解法【教学目标】1. 理解绝对值不等式的几何意义2. 学会解绝对值不等式的一般方法3. 会用绝对值不等式的几何意义解一些特殊的绝对值不等式【教学重点与难点】1. 绝对值不等式的几何意义2. 解绝对值不等式的一般方法【教学过程】I. 自学指导1. 绝对值可以转化为什么样的形式?它有什么几何意义?2. 不等式)0(><a a x 的几何意义是什么?3. 请总结出不等式)0(><a a x 和不等式)0(>>a a x 的解集.4. 绝对值不等式还有其他的解题途径吗?5. 回顾不等式的几何意义,你能用用几种方法来解决不等式521>-++x x ?6. 如果我们将分式不等式和绝对值不等式结合起来,解题的时候应该注意什么?并解不等式232+-x x >1.II. 自学点评与拓展1. 绝对值的几何意义就是表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离.2. 不等式)0(><a a x 几何意义就是求数轴上到原点距离小于a 的点所对应的实数x 的集合.3. 绝对值不等式)0(><a a x 的解集为}{a x a x <<-,)0(>>a a x 的解集为}{a x a x x -<>或.4. 绝对值不等式还可以转化为一元二次不等式来解.5. 绝对值521>-++x x 可以用x 分段讨论或用不等式几何意义等多种解法来解决,强调通法,解释几何意义来解不等式.6. 注意提醒绝对值不等式和分式不等式整合时候的解题要领和注意问题.III ．自学检测一． 必做题1．解下列不等式（1）462≤-x（2）432>-x x（3）1232>+-x x （4）321≤-+-x x（5）3223+>+x x二．选做题1．解不等式xx x x +>+11 2．已知b a x <-的解集是}93{<<-x x ，求a,b3．若A=}107{>+x x ，B=}0,5{><-a a x x ，且A B=B ，求实数a 的取值范围。

学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】1．绝对值的意义是：⎩⎨⎧<-≥=)0x (x )0x (x x .2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝． ｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝．【思考导学】1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．解法一：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x(Ⅱ)⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝．点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x 的不等式： (1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )； (2)｜2x ＋1｜＞x ＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 －24+a ＜x ＜22-a当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为∅，综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜22-a }当a ≤－1时，原不等式的解集是∅． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解(Ⅰ)⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－32∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－32或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为∅．解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．［例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1．解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1 (1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1∴⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或 即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或均无解 (2)由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1∴⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或，∴x ＞0或x ＜－32 综上讨论，原不等式的解集为{x |x ＜－32或x ＞0}．点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x |＞0的解集是( ) A ．∅ B ．RC ．{x |x ≠38，x ∈R }D ．{38}答案： C2．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．｜x ＋2｜＞1 B ．｜x ＋2｜＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞0 答案： C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( ) A ．｛x ｜－2＜x ＜2} B ．｛x ｜0＜x ≤2}C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝解析： 所求点的集合即不等式｜x ｜≤2的解集． 答案： C4．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( ) A ．｛x ｜x ＜1}B ．｛x ｜－1＜x ＜2}C ．｛x ｜x ＞2｝D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝解析： 由｜1－2x ｜＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2 答案： B5．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________．解析： 由原不等式得x ＋4＞9或x ＋4＜－9，∴x ＞5或x ＜－13 答案： ｛x ｜x ＞5或x ＜－13}6．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax ｜＜a 的解集是________． 解析： 由原不等式得｜ax －b ｜＜a ，∴－a ＜ax －b ＜a∴a b －1＜x ＜ab＋1 ∴｛x ｜a b －1＜x ＜ab＋1}答案： ｛x ｜a b －1＜x ＜ab＋1｝【强化训练】1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( ) A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋a B ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a } C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜}D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝ 解析： 由｜x ＋a ｜＜1得－1＜x ＋a ＜1 ∴－1－a ＜x ＜1－a 答案： B2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( ) A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝ B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝ C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝ D ．｛x ｜4≤x ≤9｝解析： 不等式等价于⎩⎨⎧≤-≤≥-63103x x 或⎩⎨⎧≤-≤<-63103x x解得：4≤x ≤9或－3≤x ≤2．答案： A3．下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( ) A ．｜x －2｜＞5 B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜2x －1｜≤21D ．1－｜2x －1｜＜21解析： A 中，由｜x －2｜＞5得x －2＞5或x －2＜－5∴x ＞7或x ＜－3同理，B 的解集为｛x ｜x ＞27或x ＜－1｝ C 的解集为｛x ｜x ≤1或x ≥3｝ D 的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝ 答案： D4．已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x ||x －1|＞1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}解析： |x －1|＜2的解为－1＜x ＜3，|x －1|＞1的解为x ＜0或x ＞2． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}． 答案： D5．已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝ ． 解析： 不等式｜x －2｜＜a 的解集为｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝ 由题意知：｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝＝｛x ｜－1＜x ＜b ｝∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-53212c a c a a∴a ＋2b ＝3＋2×5＝13 答案： 136．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．解析： ∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|＝x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解． 当x ＋2＜0时，|x ＋2|＝－(x ＋2)＞0＞x ＋2 ∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2 答案： ｛x ｜x ＜－2｝ 7．解下列不等式：(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．解：(1)由原不等式得－2≤2－3x ≤2，各加上－2得－4≤－3x ≤0，各除以－3得34≥x ≥0，解集为{x |0≤x ≤34}． (2)由原不等式得3x －2＜－2或3x －2＞2，解得x ＜0或x ＞34，故解集为{x |x ＜0或x ＞34}． 8．解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ． 解：(1)原不等式等价于不等式组由①得x ≤－1或x ≥5；由②得－7＜x ＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)， ∴原不等式的解集为{x |－7＜x ≤－1或5≤x ＜11}．(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：①⎩⎨⎧+>-≥-;2143,043x x x ②⎩⎨⎧+>--<-.21)43(,043x x x由不等式组①解得x ＞5；由不等式组②解得x ＜53． ∴原不等式的解集为{x |x ＜53或x ＞5}． 9．设A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝，B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝，求集合M ，使其同时满足下列三个条件：(1)M ⊆［(A ∪B )∩Z ］； (2)M 中有三个元素； (3)M ∩B ≠∅解：∵A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝＝｛x ｜－1≤x ≤2｝ B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝＝｛x ｜－3＜x ＜－1｝∴M ⊆［(A ∪B )∩Z ］＝｛x ｜－1≤x ≤2｝∪｛x ｜－3＜x ＜－1｝∩Z ＝｛x ｜－3＜x ≤2｝∩Z ＝｛－2，－1，0，1，2｝又∵M ∩B ≠∅，∴－2∈M ． 又∵M 中有三个元素∴同时满足三个条件的M 为： ｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集． 不等式｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)：不等式｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＞a 或x ＜－a ｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)中的x 替换成ax ＋b ，就可以得到｜ax ＋b ｜＜b 与｜ax ＋b ｜＞b (b ＞0)型的不等式的解法．123534。

1.3含绝对值不等式的解法
一、明确复习目标
（1）
掌握简单的含绝对值不等式常见的两种解法； （2） 进一步领悟“转化”的思想,掌握“转化“的方法及其依据。

二、建构知识网络
1.绝对值的意义：x =⎪⎩
⎪⎨⎧ 几何意义x 不等式)0(><a a
x ⇔ ；
)0(>>a a x ⇔ ｜ax ＋b |＜c （c ＞0）
⇔
例题分析
例1：解不等式：|23|5x -<.
解法说明：由绝对值的意义和不等式的基本性质
例2：解不等式：2|3|4x
x -≥。

（请一个学生在黑板上做）
总结：由例1和例2知解含绝对值不等式时，应先根据绝对值的意义,将它转化为不含有绝对值的不等式，再求解。

例3:解不等式：23||12
x x -≥+。

两种解法:（1）先去绝对值,再解分式不等式
（2） 先化成整式不等式，再去绝对值，注意等价
（1）
例4：解不等式：|2||1| 5.x x ++->
方法：要去绝对值，因而分类讨论
（2）
例5：若|1||2|x x a ++->的解集为R,求a 的取值范围。

一、 小结
解绝对值不等式的方法：
去绝对值，注意要等价变形
二、
作业
三、 板书设计。

山西大学附中高中数学（必修1）学案 编号5高次不等式及分式不等式的解法【学习目标】会用“数轴标根法”解分式不等式，简单的高次不等式.【学习重点】会解分式不等式及高次不等式【学习难点】理解数轴标根法及分式不等式的等价转化【学习过程】一.导读解高次不等式的一般步骤：(1)将不等式化为)0(0)())((21<>---n x x x x x x 形式，并将各因式x 的系数化“+”；(2)求根，并在数轴上表示出来；(3)由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；(4)若不等式（x 的系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例:解不等式：0)1()3()2(32<+--x x x .解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④故原不等式的解集为：}3221|{<<<<-x x x 或.说明：因3是三重根，则在C 处穿三次，2是二重根，则在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧)(x f 有相同因式n x x )(1-时，n 为奇数时，曲线在1x 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在1x 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.解分式不等式的方法：先把分式不等式转化成一元二次或高次不等式；注意对于)0()()(≠>a a x g x f 的分式，移项，通分是关键，切忌去分母. ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 二.导练例1. 解下列不等式：（1）073<+-x x （2） 0322322≤--+-x x x x（3）0)5)(1)(3()2(2>-+++x x x x （4）0)44)(1)(3-(2≤+++x x x x（5）22411372x x x x -+<-+ （6）120)4)(3)(2)(1(>----x x x x例2.求适合不等式11)1(02<+-<x x 的整数x 的值.例3.若不等式6163922<+--+<-x x mx x 对一切x 恒成立,求实数m 的范围.三．目标检测1.不等式1213≥--x x 的解集为 （ ） A. }243|{≤≤x x B. }243|{<≤x x C. }243|{>≤x x x 或 D. }243|{<≤x x x 或 2.不等式21≥+x x 的解集为 . 3.如果不等式1122+-->++-x x b x x x a x 的解集为（21，1），则b a ⋅= .。

含绝对值的不等式_高一数学教案_模板教学目标（1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．（2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；教学重点：型的不等式的解法；教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．教学过程设计教师活动学生活动设计意图一、导入新课【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？【概括】口答绝对值的概念是解与（）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫．二、新课【导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来．【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2．【提问】如何解绝对值方程．【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？【质疑】的解集有几部分？为什么也是它的解集？【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误．【练习】解下列不等式：（1）；（2）【设问】如果在中的，也就是怎样解？【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．所以，原不等式的解集是【设问】如果中的是，也就是怎样解？【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．，或，由得由得所以，原不等式的解集是口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数．画出数轴，思考答案不等式的解集表示为画出数轴思考答案不等式的解集为或表示为，或笔答（1）（2），或笔答笔答根据绝对值的意义自然引出绝对值方程（）的解法．由浅入深，循序渐进，在（）型绝对值方程的基础上引出（）型绝对值方程的解法．针对解（）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑．落实会正确解出与（）绝对值不等式的教学目标．在将看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习．继续强化将看成一个整体继续强化解不等式时不要犯丢掉这部分解的错误．三、课堂练习解下列不等式：（1）；（2）笔答（1）；（2）检查教学目标落实情况．四、小结的解集是；的解集是解绝对值不等式注意不要丢掉这部分解集．或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法．五、作业1．阅读课本含绝对值不等式解法．2．习题2、3、4课堂教学设计说明1．抓住解型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础．2．在解与绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的．3．针对学生解（）绝对值不等式容易出现丢掉这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力．（第一课时）一．教学目标（1）掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；（2）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；（3）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（4）培养学生化归的数学思想．二．教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量；教学难点：对向量加法定义的理解．三．教具：多媒体、实物投影仪四．教学过程1．设置情境请同学看这样一个问题：（投影）（1）由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和时什么？（2）如图（2），飞机从到，再改变方向从到，则两次位移的和是，应该是_____________．（3）如图（3），船的速度是，水流速度是则两个速度的和是应该是___________．生：（1）这人两次的位移的和是从台北到上海；（2）飞机两次位移的和是；（3）两个速度的和是．师：很好！两人向量的和仍是一个向量．本节课就来研究两个向量的和（板书课题：向量的加法）．2．探索研究（1）向量的加法的定义：已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做向量的和。