编号55山西大学附中高三年级数列递推公式

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号100课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识梳理1、分类计数原理：2、分步计数原理：巩固练习1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65 C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2 2．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有( )A ．34种B ．43种C ．18种D ．36种3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．104．有4名学生，分别插入A 、B 两班学习，若每班最多只能接收3名学生，且甲不去A 班，则不同的分配方法种数为( )A ．7B ．9C ．11D ．125．如图所示，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种6．设集合I ＝{1,2,3,4,5}，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种7．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)8．一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有__________种(用数字作答)．9．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________．(用数字作答)10．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有多少种？11．用n 种不同颜色为广告牌着色(如图1)，要求在①、②、③、④4个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)当n＝6时，为图1着色共有多少种不同的着色方法？(2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法，求n.12．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？。

概率与统计（一）答案1．解:(Ⅰ)的分布列为:ξ0 1 2 3 4P12120 110 320 15∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=D 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= (Ⅱ)由D a D η=ξ2,得a 2×2.75=11,即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4. ∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.2．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C对相交棱。

∴232128834(0)=6611C P C ξ⨯===。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴212661(2)=6611P C ξ===，416(1)=1(0)(2)=1=111111P P P ξξξ=-=-=--。

∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 12 ()P ξ411 611111∴其数学期望6162()=12=111111E ξ+⨯+⨯。

3．4．解：(Ⅰ)因为小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项分布,第1层 第2层 第3层 第4层入口第4题图则:001111(2,1)()()22P C =, 111211(3,2)()()22P C = 123113(4,2)()228P C == 111(,)2m n n C P n m ---=(Ⅱ)依题:1,2,3ξ=.由(Ⅰ)知,223511205(1)(6,3)(6,4)2()()22328p p p C ξ==+===14511105(2)(6,2)(6,5)2()()223216p p p C ξ==+===00551121(3)(6,1)(6,6)2()()223216p p p C ξ==+===所以ξ的分布列如下表:ξ1 23P2032 1032 232故201022312332323216E ξ=⋅+⋅+⋅= 5．解： (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P 1＝P (AA A )＋P (A AA )＋P (AAA )＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125.(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P 2＝C 23×()352×25×35＝162625. (3)由题设，“ξ＝k ”的概率为P (ξ＝k )＝C 2k －1×()352×()25k －3×35＝C 2k －1×()25k －3×()353(k ∈N *且k ≥3)． 所以，ξ的分布列为：ξ 3 4 … k …P 27125 162625 … C 2k －1()25k －3()353… 6．解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为3,小红中奖的概率为5,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯=P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115.(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B 124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E X E X 12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.。

山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号52等差数列（二）1.在等差数列{}n a 中，已知前20项之和17020=S ，则691215a a a a +++=（ ）A.34B.51C.68D.702.在等差数列{}n a 中，48741=++a a a ，40852=++a a a ，则=++963a a a （ ）A.30B.32C.34D.363.已知数列{}n a 满足12,011++==+n n n a a a a ，则=13a （ ）A.121B.136C.144D.1694.在等差数列{}n a 中，4,1201-==d a ，若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为（ ）A.60B.62C.70D.725.等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ ）A.130B.170C.210D.2606.一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为（ ）A.18B.12C.10D.87.等差数列{}n a 中，01≠a ，5104S S = ，若有19a a k =，则k =（ ）A.2B.3C.4D.58.在数列{}n a 中，n a n 563-=，n S 取最大值时，=n9.在数列{}n a 中，已知221+=+n n n a a a 且11=a ，则=n a ． 10.已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，那么156a a ⋅的最大值为 11.等差数列{}n a 满足)1(,0),1(321-==+=x f a a x f a ，若24)(2+-=x x x f ，数列通项公式是12.在数列{}n a 中，)(442*1N n n a a n n ∈-=++，231-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列的前n 项和，求n S 得最小值13.已知等差数列{}n a 中，n n a a >+1，37,16083101=+=a a a a(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项 ,,第n 2项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求.21n n b b b S +++=14.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n ≥+对任意的等差数列及任意的正整数n 都成立，求实数m 的最大值.15.已知正项等差数列{}n a 的各项均为正数，n S 为数列的前n 项和，满足()12222+=a a S ，且11=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nS b n n 212+=，求数列{}n b 的最小项.。

山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号57数列综合1.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->2.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）843.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.84.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．5.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .6.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n a 的前10项和为 7.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于____．8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． ()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．10.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．。

山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号56数列求和【学习目标】会通过通项公式分析确定求数列和的方法【学习重、难点】错位相加法求和【学习过程】（一）基础梳理：数列求和的方法如下：1.公式法（利用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法）（1） 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2） 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 正整数乘方和公式： （1）)1(211+==∑=n n k S n k n （2）)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n （3）213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 2. 裂项求和法（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n （4=-3．错位相减法 4.分组求和法 5.倒序相加法（二）巩固提高：1． 求和：nx x x x ++++ 32 2. 已知3log 1log 23-=x ，求∑=n k k x 13.已知等差数列{}n a 中，29,239263-=+-=+a a a a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .4.}{491,12n n S a n S a ==-表示等差数列的前项的和，且S（1）求数列的通项n a 及n S（2）求和12n n T a a a =++5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 (1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.6.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为7314,,,14a a a S =成等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前n 项和，若1+≤n n a T λ对一切*N n ∈恒成立，求实数λ的最小值7.正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令22)2(1n n a n n b ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <8.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且S n =22n n +，数列{}n b 满足*2,3log 4N n b a n n ∈+= （1）求两数列的通项公式；（2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n n a T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .10.在直角坐标平面上有点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 在函数4133+=x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，-1为公差的等差数列 （1）求点n P 的坐标； （2）对于二次函数列,,,,,,321 n C C C C 其中二次函数n C 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与二次函数n C 图像相切于点n D 的直线斜率为n k ，令4-=n n k a ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项n T .。

一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 满足()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101,7⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．37323．在数列{}n a 中，11a =，11n na a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞4．在数列{}n a 中，10a =，1n a +，则2020a =（ ） A ．0B ．1C．D5．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．506．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+D ．3n a n =8．的一个通项公式是（ ）A．n a =B．n a =C．n a =D．n a =9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3-10．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．6411．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156013．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504B ．294C ．294-D ．504-14．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．12020B ．12019C ．11010D ．1100915．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．017．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．018．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．319．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．数列{}n a 满足 112a =，111n na a +=-，则2018a 等于( )A ．12B ．－1C ．2D ．3二、多选题21．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝022．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．223．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 24．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >25．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值28．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 29．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．830．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =31．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥32．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项33．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-35．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果.因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；又()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ， 所以只需67201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p<⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=， ()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A【分析】写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解.【详解】10a =，1n a +1n =时，2a 2n =时，3a 3n =时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是320206733110a a a ⨯+∴===故选：A. 【点睛】本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.5．A解析：A利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．6．C解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.7．B【分析】 根据11,1,2n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a =当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B 【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.8．C解析：C 【分析】根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=-当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．D解析：D 【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，求得22a =，推出112n n a a +-=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，又11a =，所以22a =； 当2n ≥时，112n n n a a --=，所以11112n n n n n na a a a a a ++--==， 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅=所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.11．B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，①得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.12．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.13．C解析：C 【分析】根据递推公式，算出数列前4项，确定数列周期，即可求出结果．【详解】∵12a =，111n n n a a a +-=+，∴213a =，311131213a -==-+，41123112a --==--+， 又121111111111n n n n nn n n a a a a a a a a +++---+===--+++，所以421n n n a a a ++=-=， ∴数列{}n a 的周期为4，且123476a a a a +++=-， ∵10084252÷=，∴100872522946S ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查数列周期性的应用，属于常考题型.14．C解析：C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n na n a n +=+， 12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.15．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-，21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.16．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=， 所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .17．A解析：A 【分析】根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A18．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．B解析：B 【分析】先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】n=1时，234511121,1(1)2,1,121,22a a a a =-=-=--==-==-=-所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ⨯+===-. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、多选题 21．ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题22．AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.23．ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.24．ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.25．ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC26．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC27．AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；28．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.29．BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.30．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.31．AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】 因为等差数列中， 所以， 又， 所以，所以，，故AB 正确，C 错误； 因为，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.32．ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.33．ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，， 所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD 【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212nn n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.34．AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．35．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a dd n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.。

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号101课题：排列与组合知识梳理排列数公式：m n A =_________________ 组合数公式：mn C =_________________组合数的两个性质：（1）_______________________;（2）___________________ 巩固练习1.（1）若272=A m n，且136=C m n ，则=m __________,=n __________； （2）若C C C n n n 8771=-+，则=n _________；（3）若C C k k 321616-=，则=k _________； （4）不等式C C x x 2212212-<的解集为___________________。

2.若*N n ∈，则)69)(68()57)(56)(55(n n n n n ----- 等于 （ ）A. A n 1569-B. A n n --1569C.A n 1555-D.A n1469- 3.若从9,3,2,1 这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同取法有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )． A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．30种5.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．243B ．252C ．261D ．2796.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 67.方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条8.满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．109.某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（ ）A ．15种 B ．12种 C ．9种 D ．6种10.某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．45种B ．56种C ．90种D ．120种11.某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A ．120种 B ．48种 C ．36种 D ．18种12.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）A.1或3B. 1或4C.2或3D. 2或413.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A .10种B .20种 C. 30种 D. 60种14．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有( ) A ．210种 B ．126种 C ．70种 D ．35种15.从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种A ．8B ．12C ．16D ．2016.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.17. 3封信投入4个不同的信箱，共有________种不同的投法；4封信投入3个不同的信箱，共有__________种不同的投法。

山西省山西大学附属中学2021年高考数学的数列多选题附答案一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确； 由B 项分析可知()()331333122n nna -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.3．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.4．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2【答案】AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】BC 【分析】对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得112n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22pa =，则2112a a =，当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即112n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；当1p =时，441111521812S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故B 正确； 当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12m nm n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，而56451112+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误； 故选：BC.6．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】 对于A，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++，化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.7．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a =又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．8．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0cD ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =-又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.10．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2n a 的前n 项和为21223n +- D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <【答案】BD【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证.【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-，两式相减得：12n n a a -=，又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2n n a =，24n n a =，数列{}2n a的前n 项和为()141444143n n n S +--'==-， 则22log log 2n n n b a n ===， 所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++， 所以 1111111...11123411n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载数列递推公式的九种方法地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o例1 在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2 设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：=0 ∵ ＞0，则……，逐项相乘得：，即=.三、换元法例3 已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。

解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。

由于又所以，即四、积差相消法例5设正数列，，…，，…满足= 且，求的通项公式.解将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，，故有⑴ ⑵… … … …()由⑴+ ⑵ +…+()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故 .五、取倒数法例6 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。

解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.七、平方（开方）法例8 若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。

数列的几种递推公式一、 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

二、 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。

变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，n a a a aa a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1， 将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）四、类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号50数列的概念【学习目标】正确理解数列、通项公式、递推公式的概念【学习重、难点】掌握已知前n 项和n S 求数列通项公式n a【学习过程】(一)基础梳理：1．数列概念： .数列是定义域为 的函数，当自变量 依次取 时对应的 .2.数列表示方法：3.通项公式： )(n f a n =*,N n ∈4.递推公式：5.前n 项和：12n n S a a a =++⋯*,N n ∈通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n ，要特别注意1=n 的情况 (二)巩固提高： 1.已知n S 是数列{}n a 前n 项和，11++=+n n n a S S ，此数列是（ ）A.常数列B.递增数列C.递减数列D.摆动数列2.已知函数()⎩⎨⎧>≤--=-7,7,33)(6x a x x a x f x ，若数列满足))((*N n n f a n ∈=，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围（ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,49 B.⎪⎭⎫⎝⎛349，C.()3,2D.()3,1 3.已知数列{}n a 中，1a ＝2，1+n a ＝+2(n N )n a n *∈，则100a 的值是（ ） A ．9900 B ．9902 C ．9904 D ．110004.已知数列{}n a 满足0=1a ，)1(110≥+++=-n a a a a n n ，则当1n ≥时，n a ＝（ ） A ．n 2 B.1(n+1)2n C ．12-n D ．12-n 5.已知)(x f 为偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当-20x ≤≤时，x x f 2)(=，若)(*n f a N n n =∈，，则2010a ＝ （ ）A ．2010B ．4 C.14 D ．-4 6.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）A.12+-=n n a nB.2)1(-=n n a nC.2)1(+=n n a nD.2)2(+=n n a n7.已知数列的前n 项和为n S 满足()*,N n m S S S m n m n ∈=++，且61=a ，那么10a =（ ） A.10 B.60 C.6 D.548.已知数列{}n a ，)(*2N n kn n a n ∈-=，数列为递增数列，则k 的取值范围是_____9.已知：23)(2++=x x x f ，数列{n a }满足1=a a ，且))((*1N n a f a n n ∈'=+，则该数列的通项公式n a =________．10.已知{}n a 的前n 项和为n S ，满足2log (+1)=n+1n S ，则n a ＝________.11.数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，135a =，则数列的第2011项为______． 12.已知数列{}n a 满足1=33a ，1+n a －=2n a n ，则n a n的最小值为________． 13.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝2，且对于任意大于1的整数n，点在直线-x y 上，则数列{}n a 的通项公式n a =__________．14.已知数列{}n a 的通项公式为2=-5+4n a n n .(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．15.已知数列{}n a 满足)1(113121,113211>-+++==-n a n a a a a a n n （1）求数列的通项公式.（2）若2014=n a ，求n 的值.。

一、等比数列选择题1．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．112．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1 B1 C．3- D．3+3．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）A ．2±B ．2C ．3±D ．34．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．85．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220206．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．78．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A．n -B．n -C． D． 9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ）A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3711．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．412．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202014．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9815．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6416．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或217．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1118．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．619．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏20．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12二、多选题21．题目文件丢失！22．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为123．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1425．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2828．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8329．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ）A ．()21121n n S n a -=-⋅B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+30．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---32．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<33．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+，当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 2．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 3．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 4．A【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 5．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.6．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 7．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 8．C【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.11．A 【分析】利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】已知{}n a 为等比数列，1322a a a ∴=，且22a =，满足13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=，（2）通分化简312311124S a a a ++==. 12．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 13．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.14．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 15．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S .【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 16．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 17．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 18．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 19．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 20．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C二、多选题 21．无22．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 23．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案． 【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 24．BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ， 所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 25．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 27．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．ABD【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 29．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确；D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 30．BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，当n N >时，11110n n rx x qx r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合；对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N >=时，110n nr S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 31．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n nn n n q q q S q q q q n qn q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误； B. ()()244441++n k n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110k k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k k +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立 即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥解得45t ≤<，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.33．ABD【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可. 【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q （负值舍去），选项A 正确； 1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 34．AD【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．AB【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451n i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.。

山西大学附中高中数学（必修5）导学设计 编号13数列通项公式的求法【学习目标】会用观察法、公式法、迭加法、迭乘法、构造新数列法求数列的通项公式.【学习重点】由递推公式求通项公式的方法【学习难点】根据递推关系式的特征，选择恰当的方法，求出数列的通项公式.【学习过程】一. 导学：1. 观察法：2. 公式法：n s 法3. 迭加法：形如1()n n a a f n +=+4. 迭乘法：形如)(1n f a a n n ⋅=+5. 构造新数列法：（1）形如q pa a n n +=+1（其中q p ,为常数且0p ≠ ，1p ≠，0q ≠）（2）形如()n f pa a n n +=+1（其中p 为常数且0p ≠，()f n 不是常值函数）二.导练:1.根据数列前几项写出下列一个数列的通项公式：（1） ,515,414,313,2122222---- （2） ,31,17,7,5,12.（1）已知数列{}n a 满足15n na a +=（2n ≥），122,3a a ==，则n a = . （2）已知数列{}n a 满足1113,211n n n n a a a ---==--，则n a = . （3）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2log (S 1)n 1n +=+，求n a .3.已知数列{}n a 满足12,211-+==+n a a a n n ，求n a .4.已知数列{}n a 满足11123,(2)321n n n a a a n n --==⋅≥+，求n a .5.已知数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求n a .6.已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .三．目标检测：1.（1）已知数列{}n a 满足2,1),2(3211==≥+=+a a n a a n n ，则n a = .（2）已知数列{}n a 满足2,31111==--a a a n n ，则n a = . 2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+，求n a .3.已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a .4.已知数列{}n a 满足0>n a ,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .5.已知数列{}满足n a 411-=a ，31321--=-n n a a ，求n a .6.已知数列{}n a 满足,11=a 当2≥n 时，12211-+=-n a a n n ，求n a .。