一元二次方程认识与求解含答案

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

求解一元二次方程的方法及答案
一元二次方程是一种常见的数学问题，解决它可以采用以下几种方法：
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过因式分解法求解。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 找出使方程成立的两个数m和n，使得m * n = a * c，并且m + n = b
- 将方程因式分解为(x + m)(x + n) = 0
- 解得x = -m 或 x = -n，即为方程的解
2. 完全平方公式法：
当一元二次方程可以写成某个二次项的完全平方形式时，可以通过完全平方公式法求解。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 求出平方项的一半：p = b / 2a
- 将方程重新写成完全平方形式：(x + p)^2 = p^2 - c / a
- 再求开方，得到：x + p = ±√(p^2 - c / a)
- 最后解得x = -p ±√(p^2 - c / a)
3. 公式法：
一元二次方程的解可以通过求解一元二次方程的求根公式得到。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 利用求根公式，解得x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
这些方法可以帮助我们求解一元二次方程，但需要注意的是，
方程的解可能有一组或两组，取决于方程中的系数和根的性质。

希望以上内容对您有所帮助。

一元二次方程的解法——配方法一．填空题（共4小题）1．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为．2．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则mn＝．3．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝，x2＝．4．把方程2x2﹣4x+1＝0配方后得到的新方程是：．二．解答题（共8小题）5．解方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．6．解方程：（1）（x﹣1）（x+2）＝4．（2）4x2﹣8x﹣3＝0．7．解下列方程：（1）（x+3）2＝16；（2）x2﹣4x﹣3＝0．8．解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0．（2）x2﹣2x﹣5＝0．9．解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2﹣4x﹣8＝0．10．解方程：（1）4x2＝81；（2）x2+2x﹣5＝0．11．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2．12．解一元二次方程．（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x﹣5）（x+2）＝8．参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为14．【分析】利用配方法把一元二次方程变形，进而求出m、n，计算即可．【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0，移项，得x2﹣4x＝8，配方，得x2﹣4x+4＝8+4，∴（x﹣2）2＝12，∴m＝2，n＝12，∴m+n＝2+12＝14，故答案为：14．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．2．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则mn＝6．【分析】方程移项后，两边加上一次项一半的平方，利用完全平方公式配方得到结果，求出m与n的值，即可求出mn的值．【解答】解：方程x2﹣6x+7＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣7，配方得：x2﹣6x+9＝2，即（x﹣3）2＝2，∵方程配方为（x﹣m）2＝n，∴m＝3，n＝2，则mn＝3×2＝6．故答案为：6．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【分析】先观察再确定方法解方程，此题首先要化简，然后选择配方法较简单，因为二次项的系数为1．【解答】解：化简得，x2+2x﹣16＝0∴x2+2x＝16∴（x+1）2＝17∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【点评】解此题的关键是先化简，再选择适宜的解题方法．求根公式法和配方法适用于任何一元二次方程，配方法对于二次项的系数为1方程要简单些．4．把方程2x2﹣4x+1＝0配方后得到的新方程是：（x﹣1）2＝．【分析】先移项，二次项的系数化成1，再根据完全平方公式配方，最后得出答案即可．【解答】解：2x2﹣4x+1＝0，2x2﹣4x＝﹣1，x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝﹣+1，（x﹣1）2＝，故答案为：（x﹣1）2＝．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．二．解答题（共8小题）5．解方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．【分析】（1）公式法求解可得；（2）整理成一般式后，因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴Δ＝4﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴x＝＝1±；∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）整理得：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，则x﹣1＝0或x﹣1＝0，∴x1＝x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．解方程：（1）（x﹣1）（x+2）＝4．（2）4x2﹣8x﹣3＝0．【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+2）＝4，整理得：x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2；（2）4x2﹣8x﹣3＝0，a＝4，b＝﹣8，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝64﹣4×4×（﹣3）＝112＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．解下列方程：（1）（x+3）2＝16；（2）x2﹣4x﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开方法，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用配方法，再开方求解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）（x+3）2＝16，∴x+3＝±4，∴x+3＝4或x+3＝﹣4，∴x1＝1，x2＝﹣7；（2）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝7，即（x﹣2）2＝7，∴或，∴，．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．8．解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0．（2）x2﹣2x﹣5＝0．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．9．解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2﹣4x﹣8＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，∴x2﹣4x＝8，则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，∴x﹣2＝，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．解方程：（1）4x2＝81；（2）x2+2x﹣5＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵4x2＝81，∴x2＝，∴x1＝，x2＝；（2）x2+2x﹣5＝0，x2+2x＝5，x2+2x+1＝5+1，（x+1）2＝6，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．11．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝1+4，（x+2）2＝5，开方得：x+2＝，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2，开方得：y+2＝±（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．12．解一元二次方程．（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x﹣5）（x+2）＝8．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）整理后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，移项，得x2﹣2x＝4，配方，得x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，开方，得x﹣1＝，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣5）（x+2）＝8，整理得：x2﹣3x﹣18＝0，（x﹣6）（x+3）＝0，x﹣6＝0或x+3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．。

一元二次方程的定义及一元二次方程的解一 、选择题（本大题共4小题）1.若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠2.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在3.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在4.已知关于x 的方程22(3)230m x x m m ++++-=一根为0，则m 的值为（ ）A.1B.3-C.1或3-D.以上均不对二 、填空题（本大题共7小题）5.关于x 的方程2((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程,则m 的取值范围是 .6.若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．7.若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．8.关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程，则m 的取值范围是9.已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，则a 的取值范围是 ．10.一元二次方程2()0ax b bx c +++=的二次项系数为 ,一次项系数为 ，常数项为11.关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，则______m =三 、解答题（本大题共6小题） 12.已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．13.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项 ⑴2(21)(32)2x x x -+=+⑵2)(3)x x x =+14.已知关于x 的一元二次方程22(21)330x k x k k -+-+=⑴求证：原方程总有两个实数根⑵请找出k 的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根15.已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．16.已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=．⑴若原方程有实数根，求k 的取值范围；⑵设原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，当k 取哪些整数时，1x ，2x 均为整数；17.阅读材料解答下列问题为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，设21x y -=，则222(1)x y -=，原方程化为2540y y -+=①，解得14y =，21y =当4y =时，214x -=，∴x =当1y =时，211x -=，∴x =∴原方程的解为1x =，2x =3x =，4x =解答问题：⑴填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 方法达到降次的目的，体现了 的数学思想⑵解方程：4260x x --=一元二次方程的定义答案解析一 、选择题1.B;关于一元二次方程的定义考查点有两个：①二次项系数不为0，②最高次项的次数为22.C;21a +恒大于03.C ；21a +恒大于04.A二 、填空题5.22m =，∴m =，且0m ≠，∴m = 6.2-；由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-．7.-2;由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-．8.22m =，∴m =，且0m ≠，∴m = 9.3a ≠；整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程．10.二次项系数为2a ，一次项系数为2ab b +，常数项为2b c + 11.3m =-三 、解答题12.整理得：222(1)4420a x ax a a --+-+=，当210a -≠，即1a ≠±，则原方程是一元二次方程．13.⑴化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4- ⑵化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为114.⑴2222(21)4(33)1681(41)0k k k k k k ∆=+--=-+=-≥ ∴原方程总有两个实根⑵由求根公式得x =，∴13x k =，21x k =- 不妨设1k =，此时方程的两根为13x =，20x =15.本题有3种情况：22a b a b +=⎧⎨-=⎩；21a b a b +=⎧⎨-=⎩；12a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得20a b =⎧⎨=⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 16.⑴∵原方程有实数根 ∴44(2)0k k ∆=--≥，整理得24(1)0k -≥，对任意的k 都成立但又因为0k ≠，∴k 的取值范围是0k ≠⑵由求根公式得11x =-，2221k x k k -==- ∵1x 、2x 均为整数 ∴k 的值为1±、2±17.⑴换元、转化。

一元二次方程题目和答案题目一:求解下列一元二次方程：2x2+5x−3=0解析:对于一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。

求根公式是：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$将题目中的系数代入该公式：a=2,b=5,c=−3代入求根公式：$$x = \\frac{-5 \\pm \\sqrt{5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot -3}}{2 \\cdot 2}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{-5 + \\sqrt{49}}{4}$$$$x_2 = \\frac{-5 - \\sqrt{49}}{4}$$化简得：$$x_1 = \\frac{-5 + 7}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$$$x_2 = \\frac{-5 - 7}{4} = \\frac{-12}{4} = -3$$所以，原方程的解为：$$x_1 = \\frac{1}{2}$$x2=−3题目二:解下列一元二次方程：3x2−4x+1=0解析:同样使用求根公式来求解。

将题目中的系数代入求根公式：a=3,b=−4,c=1代入求根公式：$$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1}}{2 \\cdot 3}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{16 - 12}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{16 - 12}}{6}$$化简得：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{6}$$进一步化简得：$$x_1 = \\frac{4 + 2}{6} = \\frac{6}{6} = 1$$$$x_2 = \\frac{4 - 2}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$$所以，原方程的解为：x1=1$$x_2 = \\frac{1}{3}$$题目三:解下列一元二次方程：x2+6x+9=0解析:仍然使用求根公式求解。

一元二次方程和一元二次函数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠（1） 若方程没有实根：判别式240b ac ∆=-< （2） 若方程有两个相等实根：判别式240b ac ∆=-=（3） 若方程有两个不等的实根：判别式240b ac ∆=->注：若方程有两个实根：判别式240b ac ∆=-≥ 若方程有两个实根，记为12x x 、则：12b x a -+=、22b x a--=2121222221212122212121240()22()()b ac c x x a b x x a b c x x x x x x a a x x x x x x ⎧∆=-≥⎪⎪=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-=+-⎩g g g g一元二次函数： 函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

配方写成顶点式：a b ac a b x a y 44)2(22-++=（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。

（2）当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min-=，无最大值。

函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。

2ba=-24)4ac b a-(3) 当0a <，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max-=，无最小值。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。

2ba-244ac b a-两点间距离公式：11(,)A x y 、22(,)B x yd =图像的移动：x 的系数为正先加后减 先左后右 先上后下例1：2(0)y ax a =≠怎么样变为)0(2≠++=a c bx ax y第一步：将被平移的二次函数的x 系数变为正,并化为顶点式。

2(0)0y a x =-+ 移动为： ab ac a b x a y 44)2(22-++=先左移2b a ，变为2()2b y a x a=+ 再上移244ac b a -，变为ab ac a b x a y 44)2(22-++=另：先上移244ac b a -，变为2244ac b y ax a -=+再左移2ba，变为a b ac a b x a y 44)2(22-++=例2：23y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位。

一元二次方程的认识及解法一．选择题（共26小题）1．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±12．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0 C．（x+1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=03．下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=04．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则m的值为（）A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣65．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（）A．2016 B．2018 C．2020 D．20226．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x ﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（）A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x﹣5=0 C．x2+x+1=0D．x2+x﹣1=07．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．n≠1 B．n≥0 C．n≥0且n≠1 D．n为任意实数8．关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a≠0 B．a＞0 C．a≠2 D．a＞29．下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣1）2+1=010．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，911．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=412．用配方法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2=1 B．C．D．13．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（）A．非负数B．正数C．负数D．非正数14．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根15．一元二次方程x2+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定16．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣117．若关于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≥﹣1且m≠0 C．m＞﹣1且m≠0 D．m≠018．关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．919．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥D．k＞20．方程的根的情况是（）A．有两个不等的有理数根B．有两个相等的有理数根C．有两个不等的无理数根D．有两个相等的无理数根21．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．422．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的两根相等，则△ABC 为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形23．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④24．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（）①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个25．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限26．已知一直角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二．填空题（共1小题）27．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．三．解答题（共13小题）28．解下列方程（1）（x﹣3）2﹣16=0；（2）（x+1）（x+3）=6x+4．29．解方程4（x﹣1）2=930．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．31．解方程：4（x﹣1）2﹣81=0．32．解方程：（2x﹣3）2﹣25=0．33．解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．34．用适当的方法解下面的方程：（1）（x﹣5）2﹣9=0 （2）3x2﹣1=6x．35．已知关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的实数根．（1）求a的值；（2）求方程的根．36．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．37．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．39．甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数．（1）求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．40．已知一元二次方程（m﹣3）x2+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．（1）求m的取值范围；（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．一．选择题（共26小题）1．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（C）A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±12．下列方程是关于x的一元二次方程的是（C）A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0 C．（x+1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=03．下列方程中是一元二次方程的是（C）A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=04．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则m的值为（A）A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣65．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（B）A．2016 B．2018 C．2020 D．20226．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x ﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（B）A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x﹣5=0 C．x2+x+1=0D．x2+x﹣1=07．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（C）A．n≠1 B．n≥0 C．n≥0且n≠1 D．n为任意实数8．关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（C）A．a≠0 B．a＞0 C．a≠2 D．a＞29．下列方程是一元二次方程的是（D）A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣1）2+1=010．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（C）A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，911．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（A）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=412．用配方法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（B）A．（3x+1）2=1 B．C．D．13．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（A）A．非负数B．正数C．负数D．非正数14．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（D）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根15．一元二次方程x2+4=0的根的情况是（C）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定16．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（A）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣117．若关于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根，则实数m的取值范围是（B）A．m≥﹣1 B．m≥﹣1且m≠0 C．m＞﹣1且m≠0 D．m≠018．关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（C）A．6 B．7 C．8 D．919．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（A）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥D．k＞20．方程的根的情况是（D）A．有两个不等的有理数根B．有两个相等的有理数根C．有两个不等的无理数根D．有两个相等的无理数根21．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（C）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵|x2﹣x|﹣a=0，∴|x2﹣x|=a，∴a≥0，当a=0时，x2﹣x=0，方程有两个实数根，若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此时方程有两个不相等的实数根．若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a=0，即则x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a ＜，此时方程有两个不相等的实数根，当﹣4a+1=0时，a=，此时方程有两个相等的实数根，当﹣4a+1＜0时，a＞，此时方程没有的实数根；∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；当a=0或a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．∴正确的结论是①②③．22．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的两根相等，则△ABC为（C）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形23．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（C）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0 （1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0 （2）把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a+c=0，故正确；③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则它的△=﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，∴必有两个不相等的实数根．故正确；④若b=2a+c则△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正确．②③④都正确，故选C．24．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（C）①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．A．1个B．2个C．3个D．0个解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确；②由两根关系可知，﹣1×2=，整理得：2a+c=0，正确；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确．25．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限26．已知一直角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的情况为（D）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二．填空题（共1小题）27．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=41，x1=，x2=．三．解答题（共13小题）28．解下列方程（1）（x﹣3）2﹣16=0；（2）（x+1）（x+3）=6x+4．解：（1）原方程化为（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）=0解得x1=7，x2=﹣1；（2）原方程整理，得x2﹣2x﹣1=0配方，得（x﹣1）2=2开平方，得．29．解方程4（x﹣1）2=9 解得x1=，x2=﹣．30．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；（2）由题意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，（x+2）2=25，两边直接开平方得：x+2=±5，x+2=5，x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．31．解方程：4（x﹣1）2﹣81=0．所以x1=，x2=﹣．32．解方程：（2x﹣3）2﹣25=0．解得：x1=，x2=．33．解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．解得：，．34．用适当的方法解下面的方程：（1）（x﹣5）2﹣9=0 （2）3x2﹣1=6x．解得：x=8或x=2；x==．．35．已知关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的实数根．（1）求a的值；（2）求方程的根．解：（1）∵关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的实数根．∴a+3≠0，且△=a2﹣4（a+3）=（a﹣6）（a+2）=0，∴a=6或a=﹣2，（2）由（1）知，a=6或a=﹣2，当a=6时，原方程可化为9x2﹣6x+1=0，∴（4a﹣1）2=0，∴x1=x2=，当a=﹣2时，原方程可化为x2+2x+1=0，∴（2a+1）2=0，∴x1=x2=﹣．36．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．解：（1）将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：m=2．当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x1=﹣1，x2=2，∴方程的另一个根为2．（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0有两个不同的实数根，∴，解得：m＞且m≠1，∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．37．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x=﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）=0，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，∴x1=0，x2=﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=﹣1．38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0，解得m＞﹣；（2）∵m＞﹣，∴可取m=0，此时方程为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．39．甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数．（1）求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，（1）其中使方程有实数解共有19种情况：p=6时，q=6、5、4、3、2、1；p=5时，q=6、5、4、3、2、1；p=4时，q=4、3、2、1；p=3时，q=2、1；p=2时，q=1；故其概率为．（2）使方程有相等实数解共有2种情况：p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．40．已知一元二次方程（m﹣3）x2+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．（1）求m的取值范围；（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．解：（1）方程有不相等的实数根，△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m﹣3）（m+1）＞0，解得∵两个根又不互为相反数，解得m≠0，故m且m≠0且m≠3．（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，m=2时，方程是：﹣x2+4x+3=0解得第11页（共11页）。

4.3用一元二次方程解决问题（1）目标导航：知识要点：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．学习要点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．基础巩固题1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．37B．5 C．38D．74、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm26、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？九 年级 练数 学 习同步9、如图，在ΔABC 中，∠B=90º，AB=4cm ，BC=10cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1？AB P C思维拓展题10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。

第二十二章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为________________________．2．把2x 2－1＝6x 化成一般形式为____________，二次项系数为______，一次项系数为____ ____，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)＝15化成一般形式为____________，a ＝______，b ＝______，c ＝______． 5．若(m －2)22-mx ＋x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y 2－12＝0的根是______． 二、选择题7．下列方程中一元二次方程的个数为( )．①2x 2－3＝0； ②x 2＋y 2＝5； ③542=-x ； ④.2122=+x x (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8．ax 2＋bx ＋c ＝0是关于x 的一元二次方程的条件是( )． (A)a 、b 、c 为任意实数 (B)a 、b 不同时为零 (C)a 不为零 (D)b 、c 不同时为零 9．x 2－16＝0的根是( )． (A)只有4 (B)只有－4 (C)±4 (D)±8 10．3x 2＋27＝0的根是( )．(A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x ＝3 (C)无实数根 (D)以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2＝8． 12．(x ＋3)2＝2． 13．.25)1(412=+x14．3(2x －1)2－12＝0．综合、运用、诊断一、填空题 15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是________________________，一次项系数是______． 16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1＝0化为一般形式为__________________，二次项系数为____________，一次项系数为______，常数项为______．17．关于x 的方程(m 2－9)x 2＋(m ＋3)x ＋5m －1＝0，当m ＝______时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程． 二、选择题18．若x ＝－2是方程x 2－2ax ＋8＝0的一个根．则a 的值为( )．(A)－1 (B)1 (C)－3 (D)3 19．若x ＝b 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，b ≠0，则a ＋b 的值是( )．(A)－1 (B)1 (C)－3 (D)3 20．若4)1(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )．(A)m ≠1 (B)m ＞1(C)m ≥0且m ≠1(D)任何实数三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 21．(3x －2)(3x ＋2)＝8． 22．(5－2x )2＝9(x ＋3)2．23．.063)4(22=--x24．(x －m )2＝n ．(n 为正数)拓展、探究、思考一、填空题25．如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝______，a －b ＋c ＝______． 二、选择题26．如果(m －2)x |m|＋mx －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．(A)2或－2 (B)2 (C)－2 (D)以上都不正确 三、解答题27．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1＝0有一个根是0，求m 的值．28．已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，求代数式5m 2－5m ＋2004的值．测试2 配方法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，会用配方法解一元二次方程．课堂学习检测一、填上适当的数使下面各等式成立1．x 2－8x ＋______＝(x －______)2． 2．x 2＋3x ＋______＝(x ＋______)2．3．x x 232-＋______＝(x －______)2． 4．x x 322+＋______＝(x ＋______)2． 5．x 2－px ＋______＝(x －______)2． 6．x ab x -2＋______＝(x －______)2．二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x ，应该先把方程变形为( )． (A)98)31(2=-x(B)98)31(2-=-x(C)910)31(2=-x(D)0)32(2=-x8．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( )． (A)(x ＋2)2＝1 (B)(x －2)2＝1 (C)(x ＋2)2＝9 (D)(x －2)2＝9 9．x x 212-配成完全平方式需加上( )． (A)1 (B)41(C)161 (D)81 10．若x 2＋px ＋16是一个完全平方式，则p 的值为( )．(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16 三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x 2－2x －1＝0． 12．y 2－6y ＋6＝0．综合、运用、诊断一、选择题13．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )(A)31)3(2=-x (B)31)1(32=-x (C)(3x －1)2＝1 (D)32)1(2=-x 14．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．(A)－2 (B)－4 (C)－6 (D)2或6 15．将4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．(A)14xy (B)－14xy (C)±28xy (D)0 16．用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0，其配方正确的是( )．(A).44)2(22qp p x -=+ (B).44)2(22qp p x -=- (C).44)2(22p q p x -=+ (D).44)2(22p q p x -=- 二、解答题(用配方法解一元二次方程)17．3x 2－4x ＝2．18．.231322=+x x拓展、探究、思考19．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?测试3 公式法解一元二次方程学习要求熟练掌握用公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是______．2．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －3)(2x －1)＝3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题3．方程x 2－2x －2＝0的两个根为( )． (A)x 1＝1，x 2＝－2 (B)x 1＝－1，x 2＝2 (C)31,3121-=+=x x (D)13,1321+=-=x x4．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，它的根正确的应是( )． (A)2522,1±-=x(B)2522.1±=x (C)2512,1±=x (D)2312,1+=x 5．方程mx 2－4x ＋1＝0(m ≠0)的根是( )． (A)4121==x x(B)mmx -±=422,1 (C)m m x -±=4222,1 (D)mmm x -±=422,1 6．若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，则x 的值应为( )． (A)1或5 (B)7或－1 (C)－1或－5 (D)－7或1 三、解答题(用公式法解一元二次方程) 7．x 2＋4x －3＝0． 8．3x 2－8x ＋2＝0．综合、运用、诊断一、填空题9．若关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根是2，则m ＝______，另一根是______． 二、选择题10．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两个根应为( )．(A)222,1ax ±-=(B)a x 21=，a x 222=(C)4222,1ax ±=(D)a x 22,1±=三、解答题(用公式法解下列一元二次方程)11．2x －1＝－2x 2．12．(x ＋1)(x －1)＝x 22拓展、探究、思考一、解答题(用公式法解关于x 的方程) 13．x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x (m ≠1)． 14．x 2－4ax ＋3a 2＋2a －1＝0．测试4 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，能灵活应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式为∆＝b 2－4ac ， 当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m ______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1＝0有两个实数根，则k ______．4．若方程2x 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0根的判别式的值是9，则m ＝______． 二、选择题5．方程x 2－3x ＝4根的判别式的值是( )． (A)－7 (B)25 (C)±5 (D)56．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． (A)正数 (B)负数 (C)非负数 (D)零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． (A)7x 2－x －1＝0 (B)9x 2＝4(3x －1) (C)x 2＋7x ＋15＝0(D)02322=--x x8．方程03322=++x x ( )．(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的有理根 (C)没有实数根 (D)有两个相等的无理根 三、解答题9．k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．10．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实数根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式是( )．(A)242ac b b -±-(B)ac b 42-(C)b 2－4ac (D)a 、b 、c13．若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 没有实数根，则k 的取值范围是( )．(A)k ＜1 (B)k ＜－1 (C)k ≥1 (D)k ＞114．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值为( )．(A)－4 (B)3(C)－4或3(D)21或32- 15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )．(A)23<m (B)23<m 且m ≠1 (C)23≤m 且m ≠1(D)23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx ＝c (1－x 2)有两个相等的实数根，那么以正数a 、b 、c 为边长的三角形是( )． (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)任意三角形 二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．18．求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．拓展、探究、思考19．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，其中a ＝1，c ＝4，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．20．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围：(2)0可能是方程的一个根吗?若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．测试5 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根 1．x (x －3)＝0 ______． 2．(2x －7)(x ＋2)＝0______． 3．3x 2＝2x ______． 4．x 2＋6x ＋9＝0 ______．5．03222=-x x______．6．x x )21()21(2-=+ ______．7．(x －1)2－2(x －1)＝0 ______． 8．(x －1)2－2(x －1)＝－1 ______． 二、选择题9．方程(x －a )(x －b )＝0的两个根是( )． (A)x 1＝a ，x 2＝b (B)x 1＝a ，x 2＝－b (C)x 1＝－a ，x 2＝b (D)x 1＝－a ，x 2＝－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．(A)x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1(B)x 2＋4＝0，直接开平方法可得，x ＝±2(C)(x －2)(x ＋1)＝3³2 ∵x －2＝3，x ＋1＝2， ∴x 1＝5，x 2＝1(D)(2－3x )＋(3x －2)2＝0整理得 3(3x －2)(x －1)＝0 ∴x 1＝32，x 2＝1 三、用因式分解法解下列方程(*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)＝2(x －2)． 12．x 2－4x ＋4＝(2－3x )2．*13．x 2－3x －28＝0． *14．x 2－6x ＋8＝0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)＝3． *16．x (x －3)＝3x －9．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根17．.06222=-x x ______________________________． 18．(x ＋1)(x －1)＝2．_______________________________． 19．(x －2)2＝(2x ＋5)2．______________________________． 二、选择题20．方程x (x －2)＝2(2－x )的根为( )．(A)x ＝－2 (B)x ＝2 (C)x 1＝2，x 2＝－2 (D)x 1＝x 2＝2 21．方程(x －1)2＝1－x 的根为( )．(A)0 (B)－1和0 (C)1(D)1和0 22．若实数x 、y 满足(x －y )(x －y ＋3)＝0，则x －y 的值是( )．(A)－1或－2 (B)－1或2 (C)0或3 (D)0或－3三、用因式分解法解下列关于x 的方程 23．x 2＋2mx ＋m 2－n 2＝0． 24．.04222=-+-b a ax x25．x 2－bx －2b 2＝0．拓展、探究、思考一、解答题26．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值．27．解关于x 的方程：x 2－2x ＋1－k (x 2－1)＝0．测试6 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根1．3(x －1)2－1＝0．_____________________________． 2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＝3．_______________________． 3．3x 2－5x ＋2＝0．_____________________________． 4．x 2－4x －6＝0．______________________________． 二、选择题5．方程x 2－4x ＋4＝0的根是( )． (A)x ＝2 (B)x 1＝x 2＝2 (C)x ＝4 (D)x 1＝x 2＝4 6．5.27.0512=+x 的根是( )． (A)x ＝3(B)x ＝±3(C)x ＝±9(D)3±=x7．072=-x x 的根是( )． (A)77=x(B)x 1＝0，x 2＝77(C)x 1＝0，x 2＝7(D)x ＝78．(x －1)2＝x －1的根是( )． (A)x ＝2 (B)x ＝0或x ＝1 (C)x ＝1 (D)x ＝1或x ＝2 三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2＝0． 10．(x ＋3)(x －3)＝3．四、解关于x 的方程11．x 2－2mx ＋m 2－n 2＝0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2＝0(a ≠0)．综合、运用、诊断一、填空题13．若分式1872+--x x x 的值是0，则x ＝______．14．x 2＋2ax ＋a 2－b 2＝0的根是____________． 二、选择题15．关于方程3x 2＝0和方程5x 2＝6x 的根，下列结论正确的是( )．(A)它们的根都是x ＝0 (B)它们有一个相同根x ＝0(C)它们的根都不相同 (D)以上结论都不正确 16．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab ＝0(ab ≠0)的根是( )．(A)x 1＝a b 2，x 2＝ba 2 (B)x 1＝a b ，x 2＝ba(C)x 1＝abb a 22+，x 2＝0(D)以上都不正确三、解下列方程17．.02322=+-x x 18．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．19．x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k －6． 20．.066)3322(2=++-x x四、解答题21．已知：x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，求yx yx +-的值．22．求证：关于x 的方程(a －b )x 2＋(b －c )x ＋c －a ＝0(a ≠b )有一个根为1．拓展、探究、思考一、填空题23．若方程3x 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________．24．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为__________．测试7 实际问题与一元二次方程学习要求会应用一元二次方程处理常见的各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系：(1)工作效率＝__________________；(2)距离＝__________________．2．某工厂2006年的年产量为a (a ＞0)，如果每年递增10％，那么2007年的年产量是______，2008年的年产量是______，这三年的总产量是____________．3．某商品连续两次降价10％后的价格为a 元，该商品的原价为____________．4．两个连续奇数中，设较大一个为x，那么另一个为( )．(A)x＋1 (B)x＋2 (C)2x＋1 (D)x－25．某厂一月份生产产品a件，如果二月份比一月份增加2倍，三月份的产量是二月份的2倍，那么三个月的产品总件数是( )．(A)5a(B)7a(C)9a(D)10a三、解答题6．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．2 ，斜边上的中线长为1，求这个直角三角形的三边长．7．直角三角形的周长为68．某工厂1月份产值是5万元，3月份的产值是11.25万元，求2、3月份的月平均增长率．综合、运用、诊断一、填空题9．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为______．10．一种药品经过两次降价，药价从原来的每盒60元降至现在的48.6元，则平均降价的百分率是______．11．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一圈金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为____________．二、选择题12．某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12％，由于受到国际金融危机的影响，预计2009年比2008年增长7％，则这两年GDP年平均增长率x％满足的关系是( )．A．12％＋7％＝x％B．(1＋12％)(1＋7％)＝2(1＋x％)C．12％＋7％＝2x％D．(1＋12％)(1＋7％)＝(1＋x％)213．上海市某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％．该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同．问2008年经营总收入为多少万元?14．某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用适当降价的措施．经调查发现，如果每件衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?15．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2∶1。

一元二次方程及参考答案 袁小龙一、填空题1、已知方程x mx 2230+-=的一个根是72-，则方程的另一根是______，m ＝______。

2、当m=______时，关于x 的方程24112022x m x m ++-+=()有两个相等的实数根。

3、当k 为______时，关于x 的方程kx k x k 2120--+=()有实根。

4、m 取______时，方程x m x x 22310--++=()()有两个不相等的实数根。

5、一元二次方程px qx r p 200++=≠()的两个根为0和-1，则q p＝______。

6、设x 1、x 2是方程ax bx c a 200++=≠()的两个根，则1112x x b c++＝______。

7、如果x 1、x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，那么x 12+x 22=______。

8、已知一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1、x 2，则(x 1-x 2)2=______。

9、若x 1和x 2分别是方程x 2-2mx+m 2-n 2=0的两个根，则x x 12-＝______。

10、设θ为锐角，且x 2+3x+2sin θ=0的两根之差为5，则θ＝______。

11、已知关于x 的方程2x 2-2tx+t=0的两个实数根x 1、x 2满足(x 1-1)(x 2-1)=2，则t t 211--＝______。

12、方程x x 224230-+-=的解是______。

13、二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。

14、若关于x 的方程810702x m x m --+-=()的两根互为相反数，则m ＝______。

15、某钢铁厂的钢产量，今年第一季度平均每月增长率为20%，若3月份钢产量为7200吨，则1月份的钢产量为______吨。

16、已知 x y =-=522 x y ==-62511 是方程x a r b 22221-=的两个解，则正数a 、b 的值分别为______。