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江西省2021年中考数学模拟试题（标准版）江西省2021年中考数学模拟试题（2021年标准版）一、选择题（本大题共6个小题.，每小题3分，共18分） 1．计算��-3�虻慕峁�是 ( ) A．3 B．?1313 C．-3 D．2．把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图，则这个不等式组可能是（）A． x＞4 B． x＜4 C． x＞4 D．x≤4第4题图x≤-1 x≥-1 x＞-1 x＞-13．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为（）A．2B．12 C．55D．255D C 4．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 ( )A．40° B．45° C．50° D．60° 5．已知a?b?m,ab??4，化简(a?2)(b?2)的结果是( ) A.2m?8 B.6 C.2m D.?2m 6．如图，已知双曲线y?kx(k?0)经过直角三角形A 第4题图B OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（?6，4），则△AOC的面积为( ) A．12 B．9 C．6 D．4A CByDOx二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 7．因式分解：a2b?2ab?b=_________． 8．数据-1，0，2，-1，3的众数为． 9．若m,n互为倒数，则mn10．2第6题图2?(n?1)的值为___________．x65 ?x?3??y?2??0, 则y=_____________．A （第11题）11．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．数学试卷第1页（共5页）?这样的监视器台．12．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°＜a＜180°），则∠a=______． 13．如图,矩形ABCD的边AB在y轴上，AB的中点与原点重合，AB=2,AD=1，过定点Q（2，0）和动点P（0，a）的直线与矩形ABCD的边有公共点，则a的取值范围是____________． 14．如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形,已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2。
2021年江西省中考数学模拟示范试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1．（3分）3的相反数是( ) A ．3-B ．13-C ．13D ．32．（3分）经初步核算，2020年前三季度我国国内生产总值约为722786亿元，同比增长0.7%，数据722786亿用科学记数法可表示为( ) A ．130.72278610⨯ B ．1372.278610⨯C ．127.2278610⨯D ．137.2278610⨯3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．3412a a a ⋅=B ．22(2)2a a =C ．236()a a =D ．4442a a a ÷=4．（3分）图1所示的是一个上下两个面都为正方形的长方体，现将图1的一个角切掉，得到图2所示的几何体，则图2的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图，(,)P m n 为ABC ∆内一点，ABC ∆经过平移得到△A B C '''，平移后点P 与其对应点P '关于x 轴对称，若点B 的坐标为(2,1)-，则点B 的对应点B '的坐标为( )A ．(2,12)n --B ．(2,1)n --C ．(2,1)--D ．(,1)m -6．（3分）已知抛物线22(0)y ax ax a c a =-+-≠与y 轴的正半轴相交，直线//AB x 轴，且与该抛物线相交于1(A x ，12)(y B x ，2)y 两点，当12x x x =+时，函数值为p ；当122x x x +=时，函数值为q ．则p q -的值为( ) A ．aB ．cC ．a c -+D ．a c -二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若二次根式2021x -有意义，则x 的取值范围是 ．8．（3分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 ．9．（3分）若1x ，2x 是方程2230x x --=的两个根，则12x x ⋅= ．10．（3分）如图，已知直线4y mx =+分别与y 轴，x 轴交于A ，B 两点，且ABO ∆的面积为16，反比例函数的图象恰好经过AB 的中点，则反比例函数的表达式为 ．11．（3分）如图，小明将矩形纸片ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEGH ，点E 恰好落在AC 上，EG 交AD 于点F ．若3AB =，3tan 4ACB ∠=，则FG 的长为 ．12．（3分）在平面直角坐标系中，点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，且2AO AB ==．点E 在线段OB 上运动，当AOE ∆和ABE ∆都为等腰三角形时，点E 的坐标为 ．13．（3分）计算：11|13|()2tan602--+-︒．14．（3分）如图，//AD BC ，30B ∠=︒，DB 平分ADE ∠，求ADE ∠的度数．15．（6分）先化简，再求值：22()111a a aa a a +÷---，其中21a =-． 16．（6分）若x 为整数，当不等式332x +与2(7)1x ->都成立时，求x 的值． 17．（6分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：a ．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；b ．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张； c ．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为 ．（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．18．（6分）（1）如图1，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，以AD 为直径作半圆O ，半圆O 经过点C ．若ABC ∆的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．（2）如图2，在ABC ∆中，//DE BF ，//EF AB ，若ABC ∆的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．19．（8分）为推进“不忘初心，牢记使命”的主题教育活动，某校对全校教师（全校共有300名教师）在“学习强国” APP 上的学习时间进行了抽样调查，过程如下．收集数据：从全校教师中随机抽取20名，调查平均每天在“学习强国” APP 上的学习时间（单位：)min ，数据如下．79，85，73，80，75，76，87，70，75，94， 75，79，81，71，75，80，86，69，83，77． 整理数据：按如下分段整理样本数据．DCBA1a71分析数据：得到下列表格中的统计量．应用数据：（1）填空：a = ，b = ，c = ．（2）估计该校在“学习强国” APP 上的学习时间处于B 等级及以上的教师人数． （3）假设在“学习强国” APP 上的学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇文章耗时5min ，请你选择样本中的一种合适的统计量估计该校教师每人一年（按365天计算）平均阅读文章的数量．（结果保留整数）20．（8分）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0~40cm ，图2是它的示意图．已知//EF MN ，点A ，B 在MN 上滑动，点D ，C 在EF 上滑动，AC ，BD 相交于点O ，30OA OB OC OD cm ====．（1）如图2，当30OAB ∠=︒时，求这款电脑桌当前的高度．（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3)时，求OAB ∠的大小及点A 滑动的距离． （结果精确到0.1； 1.73，sin42.10.67︒≈，cos42.10.74︒≈，sin47.90.74︒≈，cos47.90.67)︒≈21．（8分）如图，在以AG 为直径的半圆C 中，90ACB ∠=︒，且36BC AC ==，D 为半圆上的一动点．（1）当26BD =时，试判断直线BD 与半圆C 的位置关系，并说明理由． （2）当50BCD ∠=︒时，求AD 的长．（结果保留)π五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图1，D 为线段AB 的中点，点C 在以AD 为直径的圆弧上运动，若6AB cm =，设CD x =cm ，BC y =cm ．小华根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究，下面是小华的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 对应的几组值，如表所示． /x cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 /y cm3.03.14.05.36.0①y 与x 的函数关系式为 ；②补全表格．（结果y 取近似值，精确到0.1)（2）在图2中，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组值为坐标的点，画出该函数的大致图象．（3）请你结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．23．（9分）如图，已知抛物线211:21C y x x a =+++的顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C 平移后得到抛物线222:()21C y x a a =-++，抛物线2C 的顶点为D ，两抛物线交于点C ． （1）若1a =，求点C 的坐标．（2）随着a 值的变化，试判断点A ，B ，D 是否始终在同一直线上，并说明理由． （3）当2AB BD =时，试求a 的值．六、（本大题共12分）24．（12分）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是 ． （2）如图1，在“完美四边形” ABCD 中，2AB AD CD ===，52BC =，3AC =，求线段BD 的长．（3）如图2，O 内接四边形EFGH ，GE 为O 的直径． ①求证：四边形EFGH 为“完美四边形”．②若6EF =，8FG =，FH 是否存在一个值使四边形EFGH 的面积最大？若存在，求出FH 的值；若不存在，请说明理由．2021年江西省中考数学模拟示范试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1．（3分）3的相反数是( ) A ．3-B ．13-C ．13D ．3【解答】解：3的相反数是3- 故选：A ．2．（3分）经初步核算，2020年前三季度我国国内生产总值约为722786亿元，同比增长0.7%，数据722786亿用科学记数法可表示为( ) A ．130.72278610⨯ B ．1372.278610⨯C ．127.2278610⨯D ．137.2278610⨯【解答】解：722786亿13722786000000007.2278610==⨯． 故选：D ．3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．3412a a a ⋅=B ．22(2)2a a =C ．236()a a =D ．4442a a a ÷=【解答】解：A 、347a a a ⋅=，故此选项错误；B 、22(2)4a a =，故此选项错误；C 、236()a a =，故此选项正确；D 、4422a a ÷=，故此选项错误；故选：C ．4．（3分）图1所示的是一个上下两个面都为正方形的长方体，现将图1的一个角切掉，得到图2所示的几何体，则图2的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看该几何体，看到的是一个有一条对角线的正方形，选项C 中的图形比较符合题意， 故选：C ．5．（3分）如图，(,)P m n 为ABC ∆内一点，ABC ∆经过平移得到△A B C '''，平移后点P 与其对应点P '关于x 轴对称，若点B 的坐标为(2,1)-，则点B 的对应点B '的坐标为( )A ．(2,12)n --B ．(2,1)n --C ．(2,1)--D ．(,1)m -【解答】解：(,)P m n 为ABC ∆内一点，平移后点P 与其对应点P '关于x 轴对称， (,)P m n '∴-，点B 的坐标为(2,1)-，∴点B 的对应点B '的坐标为(2,12)n --．故选：A ．6．（3分）已知抛物线22(0)y ax ax a c a =-+-≠与y 轴的正半轴相交，直线//AB x 轴，且与该抛物线相交于1(A x ，12)(y B x ，2)y 两点，当12x x x =+时，函数值为p ；当122x x x +=时，函数值为q ．则p q -的值为( ) A ．a B ．cC ．a c -+D ．a c -【解答】解：222(1)y ax ax a c a x c =-+-=--，∴对称轴为直线1x =，直线//AB x 轴，且与该抛物线相交于1(A x ，12)(y B x ，2)y 两点，∴1212x x +=， 122x x ∴+=，44p a a a c a c ∴=-+-=-，2q a a a c c =-+-=-，()()p q a c c a ∴-=---=，故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若二次根式2021x -有意义，则x 的取值范围是 2021x ． 【解答】解：二次根式2021x -有意义， 则20210x -， 解得：2021x ． 故答案为：2021x ．8．（3分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 270 ．【解答】解：从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为270， 故答案为：270．9．（3分）若1x ，2x 是方程2230x x --=的两个根，则12x x ⋅= 3- ． 【解答】解：1x ，2x 是方程2230x x --=的两个根， 123x x ∴⋅=-．故答案为：3-．10．（3分）如图，已知直线4y mx =+分别与y 轴，x 轴交于A ，B 两点，且ABO ∆的面积为16，反比例函数的图象恰好经过AB 的中点，则反比例函数的表达式为 8y x=．【解答】解：在4y mx =+中，0x =时，4y =， (0,4)A ∴，4OA =，又ABO ∆的面积为16，∴14162OB ⨯⨯=， 8OB ∴=，(8,0)B ，(4,2)C ∴，设反比例函数解析式为k y x=， 代入(4,2)C 得248k =⨯=，∴反比例函数解析式为8y x=． 故答案为：8y x=． 11．（3分）如图，小明将矩形纸片ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEGH ，点E 恰好落在AC 上，EG 交AD 于点F ．若3AB =，3tan 4ACB ∠=，则FG 的长为 74．【解答】解：3AB =，3tan 4ABACB BC∠==， 4BC ∴=，将矩形纸片ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEGH ， 3AE AB ∴==，4BC EG ==， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠，3tan tan 4EFACB DAC AE∴∠=∠==， 39344EF ∴=⨯=， 97444FG EG EF ∴=-=-=， 故答案为：74． 12．（3分）在平面直角坐标系中，点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，且2AO AB ==．点E 在线段OB 上运动，当AOE ∆和ABE ∆都为等腰三角形时，点E 的坐标为 (2，0)或(2,0)或(51-，0) ． 【解答】解：如图1，2AO AB ==，AOE ∆和ABE ∆都为等腰三角形， AE OB ∴⊥，E 为OB 中点，且OE AE BE ==，222OE AE AO ∴+=，即2222OE OE +=，解得2OE =．∴点E 的坐标为(2，0)；如图2，2AO AB ==，当OE OA =，EB EA =时，AOE ∆和ABE ∆都为等腰三角形， 2OE OA ∴==．∴点E 的坐标为(2,0)；如图3，2AO AB ==，当OE AE =，EB AB =时，AOE ∆和ABE ∆都为等腰三角形， OEA OAB ∴∆∆∽，∴OE OA OA OB =，即222OE OE =+， 解得51OE =-或51OE =--（舍去）．∴点E 的坐标为(51-，0)．故答案为：(2，0)或(2,0)或(51-，0)．三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分） 13．（3分）计算：11|13|()2tan602--+-︒．【解答】解：原式31223=-+- 13=-．14．（3分）如图，//AD BC ，30B ∠=︒，DB 平分ADE ∠，求ADE ∠的度数．【解答】解：//AD BC ，ADB B ∴∠=∠， DB 平分ADE ∠， ADB BDE ∴∠=∠，30B ∠=︒，30ADB BDE ∴∠=∠=︒， 60ADE ADB BDE ∴∠=∠+∠=︒．15．（6分）先化简，再求值：22()111a a aa a a +÷---，其中21a =． 【解答】解：原式211(1)(1)a a aa a a a -=÷=----+，21a =-，12112a ∴--=--=-∴原式得值为2-16．（6分）若x 为整数，当不等式332x +与2(7)1x ->都成立时，求x 的值．【解答】解：由不等式332x+解得，3x；由2(7)1x->解得，132x<，3 6.5x∴<，x∴的整数值为3、4、5、6．17．（6分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为12．（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为21 42 =，故答案为：12；（2）把“创建”、“为民”、“惠民”分别记为A、B、C，画树状图如图：共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，∴欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率为82 123=．18．（6分）（1）如图1，在ABC∆中，D是BC边上的一点，以AD为直径作半圆O，半圆O经过点C．若ABC∆的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．（2）如图2，在ABC∆中，//DE BF，//EF AB，若ABC∆的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．【解答】解：（1）如图，BOC∆即为所求作．（2）如图，AOC∆即为所求作．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）为推进“不忘初心，牢记使命”的主题教育活动，某校对全校教师（全校共有300名教师）在“学习强国”APP上的学习时间进行了抽样调查，过程如下．收集数据：从全校教师中随机抽取20名，调查平均每天在“学习强国”APP上的学习时间（单位：)min，数据如下．79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，69，83，77．整理数据：按如下分段整理样本数据．学习时间（单位：)min 6069x7079x8089x90100x等级D C B A 人数1a71分析数据：得到下列表格中的统计量．平均数众数中位数b75c应用数据：（1）填空：a = 11 ，b = ，c = ．（2）估计该校在“学习强国” APP 上的学习时间处于B 等级及以上的教师人数． （3）假设在“学习强国” APP 上的学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇文章耗时5min ，请你选择样本中的一种合适的统计量估计该校教师每人一年（按365天计算）平均阅读文章的数量．（结果保留整数） 【解答】解：（1）11；78.5；78． 解析：2017111a =---=，(7985738075768770759475798171758086698377)2078.5b =+++++++++++++++++++÷=， 7779782c +==． 故答案为：11；78.5；78． （2）7130012020+⨯=（名)， 答：估计该校在“学习强国” APP 上的学习时间处于B 等级及以上的教师人数有120名． （3）178.5365191035⨯⨯≈（篇)．答：估计该校教师每人一年平均阅读文章的数量为1910篇．20．（8分）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0~40cm ，图2是它的示意图．已知//EF MN ，点A ，B 在MN 上滑动，点D ，C 在EF 上滑动，AC ，BD 相交于点O ，30OA OB OC OD cm ====．（1）如图2，当30OAB ∠=︒时，求这款电脑桌当前的高度．（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3)时，求OAB ∠的大小及点A 滑动的距离． （结果精确到0.1；参考数据：3 1.73≈，sin42.10.67︒≈，cos42.10.74︒≈，sin47.90.74︒≈，cos47.90.67)︒≈【解答】解：（1）如图1，过O 点作GH MN ⊥，交EF 于G ，交MN 于H ，//EF MN ， GH EF ∴⊥， 90OHA ∴∠=︒，30OAB ∠=︒，30OA cm =，1152OH AO cm ∴==， OA OC =，//EF MN ， 15OG OH cm ∴==， 30GH cm ∴=，即这款电脑桌当前的高度为30cm ， （2）如图2，过O 点作GH MN ⊥，交EF 于G ，交MN 于H ， 则GH EF ⊥，由题意知，40GH cm =， 20GO HO cm ∴==，在Rt AOH ∆中，20sin 0.6730OH OAH AO ∠==≈， 42.1OAH ∴∠=︒，即42.1OAB ∠=︒，在（1）中，22301515325.95()AH cm =-=， 在图2中，cos42.1AHAO︒=， 300.7422.2()AH cm ∴=⨯≈，A ∴点滑动距离为25.9522.2 3.75 3.8()cm -=≈．21．（8分）如图，在以AG 为直径的半圆C 中，90ACB ∠=︒，且36BC AC ==，D 为半圆上的一动点．（1）当26BD =时，试判断直线BD 与半圆C 的位置关系，并说明理由． （2）当50BCD ∠=︒时，求AD 的长．（结果保留)π【解答】解：（1）直线BD 与圆C 相切．理由如下： 36BC ==，23CD AC ==，22361224BC AC ∴-=-=， 26BD =，224BD ∴=，222BC AC BD ∴-=， 222BC CD BD ∴-=， 90BDC ∴∠=︒，∴线BD 与圆C 相切；（2）当D 在BC 上方时， 90ACB ∠=︒，50BCD ∠=︒， 40ACD ∴∠=︒，∴AD 的长为：402349ππ⋅⨯=， 当D 在BC 下方时，AD 的长为：14023143ππ⨯=．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图1，D为线段AB的中点，点C在以AD为直径的圆弧上运动，若6AB cm=，设CD x=cm，BC y=cm．小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小华的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y对应的几组值，如表所示．/x cm00.51 1.52 2.53/y cm 3.0 3.1 3.5 4.0 5.3 6.0①y与x的函数关系式为；②补全表格．（结果y取近似值，精确到0.1)（2）在图2中，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组值为坐标的点，画出该函数的大致图象．（3）请你结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．【解答】解：（1）①过点C作CE AB⊥于E，则90CED∠=︒，点C在以AD为直径的圆弧上运动，90ACD∴∠=︒，ACD CED∴∠=∠，CDA EDC∠=∠，ACD CDE∴∆∆∽，∴CD DEAD CD=，2CD AD DE∴=⋅，D 为线段AB 的中点，6AB cm =，132AD BD AB cm ∴===， CD x =cm ，213DE x ∴=，2133EB x ∴=+，在Rt CBE ∆中，2222221(3)3CE BC BE y x =-=-+，在Rt CDE ∆中，2222221()3CE DC DE x x =-=-，22222211(3)()33y x x x ∴-+=-，239y x ∴=+，故答案为：239y x =+；②当1x =时， 3.5y ≈，当x ，2时， 4.6y ≈， 故答案为：3.5，4.6； （2）函数的图象如图：（3）①y 随x 的增大而增大；②图象不过原点．23．（9分）如图，已知抛物线211:21C y x x a =+++的顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C 平移后得到抛物线222:()21C y x a a =-++，抛物线2C 的顶点为D ，两抛物线交于点C ． （1）若1a =，求点C 的坐标．（2）随着a 值的变化，试判断点A ，B ，D 是否始终在同一直线上，并说明理由．（3）当2AB BD =时，试求a 的值．【解答】解：（1）当1a =时，2122y x x =++，22(1)3y x =-+， 联立上述两个方程并解得12134x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C 的坐标为1(2，13)4；（2）点A ，B ，D 始终在同一直线上，理由：2121y x x a =+++的顶点为A ，则点A 的坐标为(1,)a -，点B 的坐标为(0,1)a +， 同理可得，点D 的坐标为(,21)a a +，由点A 、B 的坐标得，直线AB 的表达式为1y x a =++，当x a =时，121y x a a =++=+，即点D 在AB 上，故点A ，B ，D 始终在同一直线上；（3）由（2）知，点A 、B 、D 的坐标分别为(1,)a -、(0,1)a +、(,21)a a +，当点D 在点A 的下方时，2AB BD =，故点A 是BD 的中点，11(0)2a ∴-=+，解得2a =-； 当点D 在点A 的上方时，2AB BD =，则2()B A D B x x x x -=-，即32B D A x x x =+，0(2)a ∴=+-，解得2a =，综上，32a =-或2．六、（本大题共12分）24．（12分）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是 正方形、矩形 ．（2）如图1，在“完美四边形” ABCD 中，2AB AD CD ===，52BC =，3AC =，求线段BD 的长．（3）如图2，O 内接四边形EFGH ，GE 为O 的直径．①求证：四边形EFGH 为“完美四边形”．②若6EF =，8FG =，FH 是否存在一个值使四边形EFGH 的面积最大？若存在，求出FH 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据完美四边形的定义，可知“正方形”、“矩形”是完美四边形； 故答案为：正方形、矩形；（2）如图1中，四边形ABCD 是完美四边形，BD AC CD AB BC AD ∴⋅=⋅+⋅，2AB AD CD ===，52BC =，3AC =， 532222BD ∴=⨯+⨯， 345BD ∴=+，3BD ∴=；（3）①如图2，在EG 上取一点M ，使GFM EFH ∠=∠，FGM FHE ∠=∠，GFM HFE ∴∆∆∽，∴FG GM HF HE=， FG HE HF GM ∴⋅=⋅，GFH MFE ∠=∠，GHF MEF ∠=∠，GHF MEF ∴∆∆∽，∴GH HF ME FE=， GH FE HF ME ∴⋅=⋅，()GH EF GF HE FH ME FH GM FH ME GM FH GE ∴⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅， ∴四边形EFGH 为“完美四边形”；②存在，EG 是O 的直径，90EFG ∴∠=︒，6EF =，8FG =，226810EG ∴=+=，168242EFG S ∆∴=⨯⨯=， 要使四边形EFGH 的面积最大，则只需GHE ∆的面积最大， 如图3，过点H 作HN EG ⊥于N ， 当HN 最大时，GHE ∆的面积最大，即N 与O 重合时，HN 最大，此时H 是EG 的中点， 52HG HE ∴==∴四边形EFGH 的面积的最大值1245252492=+⨯=， 四边形EFGH 为“完美四边形”， EG FH FG EH GH EF ∴⋅=⋅=⋅， 10852652FH ∴=⨯⨯ 72FH ∴=。
江西省2021年中等学校招生考试考前验收 数学试题（二）(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．3的相反数是( ) A ．3B ．－3C ．－13D.132．为防控新型冠状病毒肺炎疫情，江西已有18家口罩生产企业开工，日产量达到93.86万只，用科学记数法表示93.86万正确的是( ) A ．938 600B ．0.9368×106C ．9.386×105D ．93.86×1043．计算(a 2－b 2)÷(a ＋b )的结果为( ) A ．a ＋bB ．－a ＋bC ．a －bD ．－a －b4．将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示)，它的主视图是( )5．如图所示的是从我市有关部门了解到的某条道路测速点所记录地在某个时段来往车辆的车速情况，下列说法中正确的是( )A ．平均数是52B ．众数是8C ．中位数是52.5D ．中位数是526．如图，在平面直角坐标系中，M ，N ，C 三点的坐标分别为(12，1)，(3，1)，(3，0)，点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为(0，b )，则b 的取值范围是( )A ．－14≤b≤1B ．－54≤b≤1C ．－94≤b≤12D ．－94≤b≤1二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．已知x ＝－1，则|x －5|＝________． 8．在函数y ＝x ＋1x －2中，自变量x 的取值范围是________． 9．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可由图中获得，则井深为________尺．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，将△ABC 折叠，使得点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的度数为________．11．某8种食品所含的热量值分别为120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为________． 12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，sin B ＝35，P 是平行四边形ABCD 边上一动点，连接PC ，若△PBC 是直角三角形，则CP 的长为_________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．(本题共2小题，每小题3分) (1)解方程：x －32－2x ＋13＝1.(2)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>x －3，x －2≤0， 并将解集表示在数轴上．14．先化简，再求值：(a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4)÷a －4a ＋2，其中a ＝2－1.15．已知BC 是⊙O 的直径，△ABC 为等腰三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中画出菱形ABDC ； (2)在图2中画出菱形ABDC .图1 图216．小明学习电学知识后，用四个开关按键(每个开关按键闭合的可 能性相等)、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图．(1)若小明设计的电路图，如图1所示(四个开关按键都处于断开状态), 求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；(2)若小明设计的电路图，如图2所示(四个开关按键都处于断开状态)，求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．(用列表法或画树状图法)17．本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2 000元．票价信息如下：(1)请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？ (2)若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，已知A (0，6)，B (3，0)，点C 在线段AB 上，且AC ＝13AB .(1)求直线AB 的解析式及点C 的坐标．(2)若反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，且与AB 交于另一点D .①求点D 的坐标； ②求S △COD 的大小．19．某校计划组织学生参加“书法”“摄影”“航模”“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个参加．为了了解学生对这四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)．请你根据给出的信息解答下列问题：(1)求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图(两图后请标注相应的数据)；(2)填空：m＝________，n＝________；(3)若该校共有1 200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．20．如图1是一扇门打开后的情景示意图，图2为底面BEB ′的平面示意图，其中门的宽度AB ＝1 m ，EA ⊥EB ′，A 到墙角E 的距离AE ＝0.5 m ，设点E ，A ，B 在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边BC 靠在墙B ′C ′的位置. (1)求∠EAB ′的度数；(2)打开门后，门边上的点B 在地面扫过的痕迹为BB ︵′，求BB ︵′与墙角EB ，EB ′围成区域的面积. (结果精确到0.1 m 2，参考数据：π≈3.14，3≈1.73)五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8 cm.动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1 cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B.经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC.设运动时间为t(s)，其中0<t<8.(1)求OP＋OQ的值；(2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)求四边形OPCQ的面积．22．已知函数y ＝a (x －1)2＋bx＋1(a ≠0)，某兴趣小组对其图象与性质进行了探究，请补充完整探究过程．(1)请根据给定条件直接写出a ，b ，m 的值；(2)如图已经画出了该函数的部分图象，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线、补全该函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)若a (x －1)2＋bx≥x －3，结合图象，直接写出x 的取值范围．六、(本大题共12分)23.定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻对角四边形”．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，AB>CD，四边形ABCD即为“等邻对角四边形”．概念理解(1)①如图2，在等边△ABC中，BC＝6，点D，E分别在AC，AB上，CD＝2，当BE的长为________时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”．②如图3，在△ABC中，点E，D在AC上，点F在AB上，BF＝CE，四边形FBCD为“等邻对角四边形”．若∠BDC＝110°，则∠BFC的度数为________．性质探究(2)根据图1及其条件，探究∠BAC与∠CDB的数量关系．问题解决(3)如图4，在“等邻对角四边形”ABCD中，AB>CD，∠ABC＝∠DCB，AB＝3，AD＝1，AD与BC的延长线相交于点E.若DE＝8，求CD的长，并指出∠BDC的度数是否可以等于90°，不必说明理由．参考答案1.B2.C3.C4.A5.D6.B 7．6 8.x ≥－1且x ≠2 9.57.5 10.45° 11．120 12.185或3或3 213．解：(1)方程两边同乘6得 3(x －3)－2(2x ＋1)＝6， 去括号，得3x －9－4x －2＝6，解得x ＝－17.…………………………………………3分(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞x －3，①x －2≤0，②解不等式①得x ＞－2，解不等式②得x ≤2， ∴不等式的解集为－2＜x ≤2， 解集在数轴上表示如图．…………………………………………………………6分 14．解：原式＝[a －2a （a ＋2）－a －1（a ＋2）2]·a ＋2a －4＝a 2－4－a 2＋a a （a ＋2）2·a ＋2a －4 ＝a －4a （a ＋2）2·a ＋2a －4＝1a （a ＋2）.…………………………………………3分当a ＝2－1时， 原式＝1（2－1）（2－1＋2）＝1.………………6分15．解：(1)如图1，四边形ABDC 即为所求.…………………3分(2)如图2，四边形ABDC 即为所求.…………………………6分16．解：(1)一共有四个开关按键，只有闭合开关按键K 2，灯泡才会发光，所以P (灯泡发光)＝14.………………………………………3分 (2)画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中有6种结果灯泡能发光，所以P (灯泡发光)＝612＝12.………………………………6分 17．解：(1)设参观历史博物馆的有x 人，参观民俗展览馆的有y 人．根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝150，10x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝50. 答：参观历史博物馆的有100人，参观民俗展览馆的有50人.……………3分(2)根据题意，得2 000－10×150＝500(元)．答：能节省票款500元.………………………………………………6分18．解：(1)设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝6. ∴y ＝－2x ＋6.如图，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则CE ∥x 轴．∵AC ＝13AB ， ∴CE ＝13OB ＝1，AE ＝13OA ＝2. ∴OE ＝4，∴C (1，4).………………………………………………3分(2)①由k ＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋6，y ＝4x， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4(舍去) 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴D (2，2).…………………………………………………………5分 ②由①可知点D 为BC 的中点．∴AC ＝CD ＝DB .∴S △COD ＝13S △AOB ＝13×12×3×6＝3.…………………………………8分 19．解：(1)参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150， 航模的人数为150－(30＋54＋24)＝42.补全的条形统计图如图：……………………………………………………………………3分(2)m %＝54150×100%＝36%， n %＝24150×100%＝16%，故答案为36，16. ……………………6分 (3)估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1 200×16%＝192(人). ……………………………………………………………………8分20．解：(1)∵EA ⊥EB ′，∴∠AEB ′＝90°.∵AB ′＝AB ＝1 m ，AE ＝0.5 m ，∴cos ∠EAB ′＝AE AB′＝12， ∴∠EAB ′＝60°.………………………………………………3分(2)在Rt △AEB ′中，B ′E ＝AB ′·sin 60°＝32， ∵∠EAB ′＝60°，∴∠BAB ′＝180°－60°＝120°，∴S ＝S △EAB ′＋S 扇形BAB ′＝12×12×32＋120×π×12360＝38＋π3≈0.22＋1.05＝1.27 m 2.答：BB ︵′与墙角EB ，EB ′围成区域的面积约为1.27 m 2.…………………………………………………………………8分21．解：(1)由题可得OP ＝8－t ，OQ ＝t .∴OP ＋OQ ＝8－t ＋t ＝8(cm ).…………………………………3分(2)当t ＝4时，线段OB 的长度最大．证明如下：如图1，过B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ .∵OT 平分∠MON ，∴∠BOD ＝∠OBD ＝45°，∴BD ＝OD ，OB ＝2BD .设线段BD 的长为x ，则BD ＝OD ＝x ，OB ＝2BD ＝2x ，PD ＝8－t －x .∵BD ∥OQ ，∴PD OP ＝BD OQ， ∴8－t －x 8－t＝x t ， ∴x ＝8t －t 28， ∴OB ＝2·8t －t 28＝－28(t －4)2＋22， ∴当t ＝4时，线段OB 的长度最大，最大为2 2 cm .…………6分(3)∵∠POQ ＝90°，∴PQ 是圆的直径，∴∠PCQ ＝90°.∵∠PQC ＝∠POC ＝45°，∴△PCQ 是等腰直角三角形，∴S △PCQ ＝12PC ·QC ＝12×22PQ ·22PQ ＝14PQ 2， 在Rt △POQ 中，PQ 2＝OP 2＋OQ 2＝(8－t )2＋t 2，∴S 四边形OPCQ ＝S △POQ ＋S △PCQ ＝12OP ·OQ ＋14PQ 2 ＝12t (8－t )＋14[(8－t )2＋t 2]＝4t －12t 2＋12t 2＋16－4t ＝16.∴四边形OPCQ 的面积为16 cm 2.………………………………9分22．解：(1)将x ＝－1，y ＝2和x ＝1，y ＝－2代入y ＝a (x －1)2＋b x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＋1＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－3，………………………………………………2分 则y ＝－12(x －1)2－3x ＋1.将x ＝4代入，得y ＝－12(4－1)2－34＋1＝－174，则m ＝－174.……………………………………………………3分(2)画出图象如下：…………………………………………………………………5分 观察发现，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大.…………………6分(3)a (x －1)2＋b x ≥x －3，则a (x －1)2＋b x ＋1≥x －3，观察图象得－3≤x ＜0或1≤x ≤2.………………………………………………………9分23．解：(1)①4 ②70°……………………………………4分(2)∠BAC 与∠CDB 互补.………………………………………6分 理由如下：∵AB >CD ，如图，可延长CD 至点E ，使CE ＝BA .在△ABC 与△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝EC ，∠ABC ＝∠ECB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△ECB ，∴BE ＝CA ，∠BAC ＝∠E .∵AC ＝DB ，∴BD ＝BE ，∴∠BDE ＝∠E ，∴∠CDB ＋∠BDE ＝∠CDB ＋∠E ＝∠CDB ＋∠BAC ＝180°，即∠BAC 与∠CDB 互补.…………………………………………8分(3)如图，连接AC ，∵AB ＝3，AD ＝1，DE ＝8，∴AD AB ＝13，AB AE ＝3AD ＋DE ＝39＝13， ∴AD AB ＝AB AE. 又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB ，∴∠ABD ＝∠E .∵∠ABC ＝∠DCB ，∴∠ABD ＋∠DBE ＝∠E ＋∠CDE ，∴∠DBE ＝∠CDE ，∴△BDE ∽△DCE ，∴BD BE ＝DC DE. ∵△ABD ∽△AEB ，∴BD BE ＝AB AE ＝13＝CD DE ＝CD 8，∴CD＝.………………………………………………10分∠BDC的度数不可能等于90°.…………………………12分。
江西省2021年中等学校招生考试考前验收数学试题（一）(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．下列各数中，分数是() A ．0.1B ．－5C ．tan 45°D .232．如图所示的几何体的俯视图是()3．下列计算中正确的是() A ．a ＋3a ＝4a 2B ．a 4·a 4＝2a 4 C ．(a 2)3＝a 5D ．(－a )3÷(－a )＝a 2 4．在函数y ＝x －1x中，自变量x 的取值范围是() A ．x ≤1且x ≠0 B ．x ≥－1且x ≠0 C ．x ≤－1D ．x ≥15.如图，等腰直角△ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为()A .24πB .22πC ．1D ．26．已知直线l ：y ＝x ＋c 与抛物线C ：y ＝－x 2＋3x (0≤x ≤3)，则下列判断错误的是() A ．当c ＞1时，l 与C 无公共点B ．当0≤c ＜1时，l 与C 有两个不同的公共点C ．当l 与C 有且只有一个公共点时，整数c 有3个不同的值D ．当c ＝0时，C 上点到直线l 的距离的最大值为322二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．分解因式：a2b＋4ab＋4b＝________．8．我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪(通‘斜’)七，见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为2，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是________．9．已知x1，x2是一元二次方程x(x－2)＝3的两个根，则x1＋x2＋x1x2＝________．10．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD 于点H，若BC＝23，则HC的长为________．11．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是________．12．如图，在平面直角坐标系中，A(－2，0)，BA＝BO＝4，现有动点P在△ABO边上运动，当点P与△ABO 的两个顶点构成直角三角形时，则P点的坐标为________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(本题共2小题，每小题3分)(1)计算：(－2 020)0－8＋2sin 45°；(2)如图，已知E是矩形ABCD的CD边上一点，BF⊥AE于F，求证：△ABF∽△EAD.14．化简：a2－4a2－4a ＋4÷a ＋2a －1.15．如图，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图：(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是边AB ，AC 上的两点，且BM ＝CN ，请画出线段BC 的垂直平分线；(2)如图2，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，E 是AB 边的中点，请画出线段BC 的垂直平分线．16．小亮同学要在下列四首歌曲中选择两首进行音乐测试：《我和我的祖国》《小苹果》《下山》和《渔光曲》，其中小亮最擅长唱《我和我的祖国》．如果将这四首歌名分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，将卡片洗匀后正面向下放在桌面上，先抽一次，不放回，接着再抽一次，两次抽完后再进行测试．(1)求小亮第一次抽到《我和我的祖国》的概率；(2)求小亮抽到《我和我的祖国》和《渔光曲》的概率．17．如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝kx(k为常数且k≠0)的图象交于A(－1，a)，B两点，与x轴交于点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)若点P在x轴上，且S△ACP＝32S△BOC，求点P的坐标．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．今年是某市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A(优秀)，B(良好)，C(合格)，D(不合格)四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．等级频数频率A a0.3B35 0.35C31 bD 4 0.04请根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次随机抽取的样本容量为________；(2)a＝________，b＝________；(3)请补全条形统计图；(4)若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A(优秀)”等级的学生人数为________人．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 为边AC 上一点(不与点A ，C 重合)，以OC 为半径的圆分别交边BC ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F . (1)求证：直线DF 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝45°，OC ＝2，求DE ︵的长．(结果保留π)20．寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，此时感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图2.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO′后，使电脑变化至AO′B位置(如图3)，侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥AO于点C，O′C＝12 cm.(1)求∠CAO′的度数；(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(结果保留到0.1 cm，参考数据：3取1.73)五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．有这样一个问题：探究函数y＝2x2＋1的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝2x2＋1的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝2x2＋1的自变量x的取值范围是________；(2)如表是y与x的几组对应值，则表格中的m＝________；x…－3 －2 －1 121 2 3 4 5 …y (11)9323 9 33211998m…(3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________________________________________________________________________________________.22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3, AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点(点M不与A，B 重合)，且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；(2)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．六、(本大题共12分)23．如图，抛物线y1＝(x－a)(x－a－4)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线l过点Q(－2，0)，与抛物线y1交于点P.(1)直接写出AB的长，并求当a＝1时抛物线y1的对称轴．(2)将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，…，向右平移n－1(n 为正整数)个单位得到抛物线y n，抛物线y2与直线l交于点Q.①直线l与所有抛物线的交点个数为________，所有抛物线的顶点所在直线是________；②抛物线y n与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．参考答案1.A2.D3.D4.D5.C6.C7．b (a ＋2)28.1.49.－110.411.45°12．(－1，0)或(－158，158)或(－18，158)13．(1)解：原式＝1－22＋2×22＝1－2.……………………3分(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝∠D ＝90°， ∴∠DAE ＋∠BAF ＝90°. ∵BF ⊥AE ，∴∠BFA ＝∠D ＝90°，∠ABF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△ABF ∽△EAD .…………………………………………………6分 14．解：原式＝（a ＋2）（a －2）（a －2）2·a －1a ＋2＝a －1a －2.………………6分15．解：(1)如图1所示.……………………………………………3分(2)如图2所示.……………………………………………………6分16．解：(1)第一次抽到四首歌曲的可能性都相等，所以小亮第一次就抽到《我和我的祖国》的概率为14.…………………………………3分 (2)分别用字母A ，B ，C ，D 代表《我和我的祖国》《小苹果》《下山》和《渔光曲》，则小亮两次抽到歌曲的结果如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中小亮抽到《我和我的祖国》和《渔光曲》的情况共有2种，所以其概率为212＝16.……………………6分17．解：(1)把点A (－1，a )代入y ＝x ＋4，得a ＝3，∴A (－1，3)． 把A (－1，3)代入反比例函数y ＝kx ，∴k ＝－3，∴反比例函数的解析式为y ＝－3x .………………………………3分(2)当y ＝x ＋4＝0时，得x ＝－4， ∴点C (－4，0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，y ＝－3x 得B 的坐标为(－3，1)．设点P 的坐标为(x ，0)， ∵S △ACP ＝32S △BOC ，∴12×3×|x ＋4|＝32×12×4×1， 解得x 1＝－6，x 2＝－2，∴点P (－6，0)或(－2，0).………………………………6分 18．解：(1)100……………………………………………2分 (2)300.31 ………………………………………………4分 (3)由(2)知a ＝30，补全的条形统计图如图所示：……………………………………………………………6分(4)240 ……………………………………………………8分19．(1)证明：如图，连接OD ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠ODC ，∴OD ∥AB .∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DF 是⊙O 的切线.……………………………………4分(2)解：∵∠A ＝45°，OD ∥AB ，∴∠AOD ＝180°－45°＝135°，∴DE ︵的长为135×2π180＝3π2.………………………………8分 20．解：(1)∵O ′C ⊥OA 于C ，OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ＝12 cm ， ∴sin ∠CAO ′＝O′C O′A ＝O′C OA ＝12， ∴∠CAO ′＝30°.…………………………………………3分(2)如图，过点B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于D .∵sin ∠BOD ＝BD OB ， ∴BD ＝OB ·sin ∠BOD .∵∠AOB ＝120°，∴∠BOD ＝60°，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD ＝24×32＝12 3. ∵O ′C ⊥OA ，∠CAO ′＝30°，∴∠AO ′C ＝60°.∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠AO ′B ′＋∠AO ′C ＝180°，∴O ′B ′＋O ′C －BD ＝24＋12－123≈15.2(cm )．∴显示屏的顶部B ′比原来升高了约15.2 cm .………………8分21．解：(1)x ≠0………………………………………………2分 (2)2725……………………………………………………………4分 (3)如图，…………………………………………………………………7分(4)当x >0时，y 随x 的增大而减小．(答案不唯一) ………9分22．解：(1)∵MQ ⊥BC ，∴∠MQB ＝90°，∴∠MQB ＝∠CAB .又∵∠QBM ＝∠ABC ，∴△QBM ∽△ABC .…………………………………………3分(2)存在点Q 使得四边形BMNQ 为平行四边形．证明如下：设AM ＝3a ，则MN ＝5a ，∴BQ ＝MN ＝5a .∵MN ∥BQ ，∴∠NMQ ＝∠MQB ＝90°，∠B ＝∠AMN .又∵∠MQB ＝∠A ＝90°，∴△MBQ ∽△NMA ，∴AM BQ ＝MN BM ，即3a 5a ＝5a 3－3a， 解得a ＝934，BQ ＝4534. ∵MN ∥BQ ，BQ ＝MN ＝4534， ∴四边形BMNQ 为平行四边形.………………………………6分(3)∵∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC ＝AB2＋AC2＝5.∵△QBM ∽△ABC ，∴QB AB ＝QM AC ＝BM BC ，即x 3＝QM 4＝BM 5， 解得QM ＝43x ，BM ＝53x . ∵MN ∥BC ，∴MN BC ＝AM AB ，即MN 5＝3－53x 3， 解得MN ＝5－259x ， 则四边形BMNQ 的面积＝12×(5－259x ＋x )×43x ＝ －3227(x －4532)2＋7532， ∴当x ＝4532时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为7532.……………9分 23．解：(1)AB ＝4.当a ＝1时，y 1＝(x －1)(x －5)＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，∴抛物线y 1的对称轴为x ＝3. ………………………………………3分(2)①ny ＝－4………………………………………………………6分②由抛物线y 2与l 交于点Q (－2，0)，得a ＋1＝－2， ∴a ＝－3，∴y 1＝(x ＋1)2－4，y n ＝(x ＋2－n )2－4，∴点P (－2，－3)，点R (－2，n 2－4)，∴PR ＝n 2－4＋3＝n 2－1，∴四边形PARB 的面积＝12AB ·PR ＝70， 即12×4×(n 2－1)＝70， 解得n 1＝6，n 2＝－6(不合题意，舍去)，∴n 的值为6.……………………………………………………12分。
2021年江西省中等学校中考数学模拟试卷（三）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列四个实数中，最小的是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．02．下列运算结果正确的是（）A．3x+2x＝5x B．x5÷x＝2x5C．X3•x2＝x6D．（﹣2x3）2＝﹣8x63．如图，明明同学将一个三棱柱和一个圆锥组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是（）A．B．C．D．4．欢欢的妈妈在网上销售手机最近一周，每天销售某品牌手机的个数为：1，1，1，13.1，1，15．关于这组数据，欢欢得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是1B．平均数是12C．方差是D．中位数是13 5．夹在两条平行线间的正方形ABCD等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（）A．∠1+∠2＝60°B．2∠1+∠2＝90°C．∠2＝2∠1D．∠2﹣∠1＝30°6．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．＞1B．0＜＜1C．0＜＜1D．＞1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．分解因式：2x2﹣8＝．8．嫦娥五号探月成功，标志着国家航天事业又迈出了一大步．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000）科学记数法表示应为．9．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为．10．为了帮助本市一名患病的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表：捐款的数额（单位：元）5102050100人数（单位：个）24531则这组数据的众数是．11．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由可知，孩子自出生后的天数是天．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．三、解答题（本大题共11小题，共84分13．（1）计算：（﹣1）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+（2）求不等式组的解集14．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G．（1）求证：CE＝CF；（2）若等边△AEF边长为2，求AC的长．15．一个不透明的纸箱里有分别标有汉字“热”“爱”“祖“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球．（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“爱”字的概率；（2）小明从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小明取出的两个球的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的概率．16．如图，AB是〇O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．（1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB 于P；（2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB 于Q．17．已知：用3辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题．（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？（2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用A型车6辆，B型车8辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输？18．如图，直线y＝﹣+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点B、C（AB＜AC），BC ＝5．经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝（x＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．（1）求反比例函数的解析式．（2）若BE＝3CE，求点F的坐标．19．某市为了提升城市品位，创建环境优美精神文明的城市，相继召开创建“双城”同创推进大会．某校为了将“双城”工作做到更好，教务处、团委和体育组联合组织成立三个新社团，分别是篮球社团、排球社团、足球社团，经统计，将七、八年级同学报名情况绘制了下面不完整的统计图．请解答下列问题．（1）七、八年级新社团的报名总人数是；（2）请你把条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，表示“排球”的扇形圆心角度数为；（4）从报名八年级足球社团的学生“张明”“李力”“王华”3人中选取其中两人去参加学校的社团年度表彰会，请用树状图或列表法求出“张明”和“王华”一起被选中的概率是多少？20．如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA＝44cm，OD＝120cm，BD＝40cm，∠ABC＝75°．（结果精确到lcm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，V2≈1.41，3≈1.73）（1）求支架顶点A到地面BC的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．21．如图所示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点E．（1）求证：DE与⊙O相切．（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．22．如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE 称为旋转相似三角形．理解应用（1）如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE求证：△ABD 与△ACE是旋转相似三角形．（2）如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE求证：AC＝DE．拓展应用（3）如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC ＝20，AD＝16．试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．23．我们把抛物线：y n＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究它的性质，某同学经历如下过程．特例求解（1）当n＝1时，抛物线y1的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；（2）当n＝2时，抛物线y2的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；（3）当n＝3时，抛物线y3的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；（性质探究）（4）那么抛物线：y n＝﹣x2+2n2x﹣n4+n3（n为正整数）的下列结论正确的是（请填入正确的序号）①抛物线与x轴有两个交点；②抛物线都经过同一个定点；③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点④所有抛物线y n的顶点都在抛物线y＝x2上（知识应用）若“拉手系列抛物线”：y n＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数），y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，…，y n与x轴交于点A n﹣1，A n，顶点为D n（5）求线段A n﹣1A n的长（用含n的式子表示）（6）若△D1OA1的面积与△D k A k﹣1A k的面积比为1：125，求y k的解析式．。
江西省中考数学精选真题预测（含答案）考生须知：1.全卷共六大题，23小题.满分为120分.考试时间120分钟.2.本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效. 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！一、选择题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分) 1、在0 ，-2，1，5这四个数中，最小的数是() A ．0 B ．-2 C ．1 D ．5 2、下列三条线段不能构成三角形的三边的是（） A ．3cm ，4cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，11cm C ．5cm ，6cm ，10cm D ．2cm ，3cm ，4cm 3、已知sin α=23,且α是锐角，则α等于( ) A.750B.600C.450D.3004、为了调查瑞州市2016年初三年级学生的身高，从中抽取出200名学生进行调查，这个问题中样本容量为（ ）A ．被抽取的200名学生的身高B ．200C ．200名D ．初三年级学生的身高5、平行四边形、矩形、正方形之间的关系是（ ）6、下面几何体的主视图是（）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）7、2016年我市经济依然保持了平稳增长。
据统计，截止到今年4月底，我市金融机构存款余额约为1193亿元，用科学计数法应记为元8、分解因式：a3-16a=____________。
9、有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是。
10、定义新运算“※”，规则：a※b=ab-a-b，如1※2=1×2-1-2=-1。
若x2+x-1=0的两根为x1,x2,则x1※x2＝。
11、如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是。
2021年江西省中考数学精准模拟卷 (三)(时间：120分钟 总分：120分)班级：________ 姓名：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．2021的倒数是(D )A ．－2021B ．－12021C ．2021D ．120212．计算(a 3)2÷a 2的结果是(B ) A ．a 3 B ．a 4 C ．a 7 D ．a 83．如图所示的几何体的俯视图是(C )4．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法错误的是(D )A ．这栋居民楼共有居民125人B ．每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多C ．有的人每周使用手机支付的次数在35～42次D ．每周使用手机支付不超过21次的有15人（第4题图） （第5题图）5．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为(B )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．已知二次函数y ＝2m x 2＋(1－m)x －1－m ，下面说法错误的是(D )A ．当m ＝1时，函数图象的顶点坐标是(0，－2)B ．当m ＝－1时，函数图象与x 轴有两个交点C ．函数图象经过定点(1，0)，(－12 ，－32) D ．当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度小于32二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．分解因式：9x 2－1＝__(3x ＋1)(3x －1)__．8．伴随“互联网＋”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为__4.5×108__．9．已知a ，b 是一元二次方程x 2＋x －4＝0的两个不相等的实数根，则a 2－b ＝__5__．10．《孙子算经》有这样一道题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长__6.5__尺． 11．各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋12b －1(a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克(Pic k)定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝__6__．（第11题图） （第12题图）12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点M ，N 分别从A ，C 同时向B ，D 匀速移动，且两点的运动速度相同，当动点M 到达B 点时，M ，N 同时停止运动，过点N作NP ⊥CD ，交BD 于P 点，当△BMP 为等腰三角形时，AM ＝__1或98 或5443 __． 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(1)化简：2x x 2－9 ＋13－x；(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝5，cos D ＝35.过点A 作AE ⊥CD 于E ，连接BE ，在BE 上取点F ，使得∠AFE ＝∠D.求AF 的长．(1)解：原式＝2x （x ＋3）（x －3） －1x －3 ＝2x （x ＋3）（x －3） －x ＋3（x －3）（x ＋3） ＝2x －x －3（x －3）（x ＋3） ＝1x ＋3； (2)解：∵AE ⊥CD ，∴∠AED ＝90°，在Rt △ADE 中，∵cos D ＝DE AD ＝35 ，∴DE ＝35×5＝3，∴AE ＝52－32 ＝4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8，AB ∥CD ，∴CE ＝5＝BC ，∠BAE ＝90°，在Rt △AEB 中，BE ＝42＋82 ＝4 5 ，∵AB ∥CE ，∴∠ABF ＝∠BEC ，∠ABC ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＝∠D ＝∠ABC ，而∠AFB ＋∠AFE ＝180°，∴∠AFB ＝∠C ，∴△ABF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AB BE ，即AF 5 ＝845，解得AF ＝2 5 . 14．先化简，再求值：(4x －1 －2x －2x 2－2x ＋1 )÷x 2－1x －1，其中x ＝ 3 . 解：原式＝[4x －1 －2（x －1）（x －1）2 ]÷（x ＋1）（x －1）x －1 ＝(4x －1－2x －1 )·x －1（x ＋1）（x －1） ＝2x －1 ·1x ＋1 ＝2x 2－1 ，当x ＝ 3 时，原式＝2（3）2－1＝1.15．为弘扬中国传统文化，某校举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A .唐诗，B .宋词，C .论语，D .三字经．比赛形式为“单人组”和“双人组”．(1)小颖参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率为________；(2)若“双人组”比赛规则是：同一小组的两名成员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．解：(1)14； (2)画树状图为：共有12种等可能的结果数；其中恰好小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的结果数为2；所以恰好小明和小峰组成的“双人组”恰好有一人是唐诗，另一人是宋词的概率＝212 ＝16.16．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、点B 、点C 均落在格点上．(1)计算AC 2＋BC 2的值等于________；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个平行四边形ABEF ，使得该平行四边形的面积等于16；(3)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个矩形ABMN ，使得该矩形的面积等于AC 2＋BC 2.解：(1)∵AC 2＝22＋22＝8，BC 2＝12＋22＝5，∴AC 2＋BC 2＝13；(2)四边形ABEF 如图所示．(3)矩形ABMN 如图所示．17．小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的．经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．(1)试问：把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，请完成填空(余料作废). 方法①：只裁成为0.8米的用料时，最多可裁7根；方法②：先裁下1根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料________根；方法③：先裁下2根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料1根．(2)分别用(1)中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？解：(1)(6－2.5)÷0.8＝4…0.3，因此当先剪下1根2.5 m 的用料时，余下部分最多能剪0.8 m 长的用料4根；(2)设用方法②裁剪x 根，方法③裁剪 y 根6 m 长的钢管，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝32，4x ＋y ＝100， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝4. 答：用方法②裁剪24根，方法③裁剪4 根6 m 长的钢管．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝ax －3a (a ≠0)与x 轴、y 轴分别相交于A ，B两点，与双曲线y ＝k x (x ＞0)的一个交点为C ，且BC ＝12AC. (1)求点A 的坐标；(2)当S △AOC ＝3时，求a 和k 的值．解：(1)由题意得：令y ＝ax －3a (a ≠0)中y ＝0，即ax －3a ＝0，解得x ＝3，∴点A 的坐标为(3，0).(2)过C 点作y 轴的垂线交y 轴于M 点，作x 轴的垂线交x 轴于N 点，如图所示：显然，CM ∥OA ，∴∠BCM ＝∠BAO ，且∠ABO ＝∠CBO ，∴△BCM ∽△BAO ，∴BC BA ＝CM AO，即：13 ＝CM 3 ，∴CM ＝1，又S △AOC ＝12 OA ·CN ＝3，即：12×3×CN ＝3，∴CN ＝2，∴C 点的坐标为(1，2)，故反比例函数的k ＝1×2＝2，再将点C(1，2)代入一次函数y ＝ax －3a (a ≠0)中，即2＝a －3a ，解得a ＝－1.19．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A .5G 通讯；B .民法典；C .北斗导航；D .数字经济；E .小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：(1)数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有________人；(2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整；(3)最关注话题扇形统计图中的a ＝________，话题D 所在扇形的圆心角是________度；(4)假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？解：(1)调查的居民共有：60÷30%＝200(人)；(2)选择C 的居民有：200×15%＝30(人)，选择A 的有：200－60－30－20－40＝50(人)，补全条形统计图略；(3)a %＝50÷200×100%＝25%，话题D 所在扇形的圆心角是：360°×20200＝36°； (4)10000×30%＝3000(人)，答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．20．如图(1)是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点P 在滑槽MN 上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图(2)所示，已知每个菱形的边长均为20 cm ，且AB ＝CD ＝CP ＝DM ＝20 cm .。
2021届中考数学模拟试卷【满分：120分】一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1.实数3的相反数是( ) A.3B.-3C.3±D.132.2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录.将数据10900用科学记数法表示为( ) A.31.0910⨯B.41.0910⨯C.310.910⨯D.50.10910⨯3.下列计算正确的是( ) A.532ab a b -= B.()224236a b a b -=C.22(1)1a a -=-D.2222a b b a ÷=4.如图，夜晚，小亮从点A 处经过路灯C 的正下方沿直线走到点B 处，他的影长y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间的函数关系的图象大致为( )A. B.C. D.5.如图，在△ABC 和△''A B C 中，ABC A B C ''≅, 'AA BC ，ACB α∠=，'BCB β∠=，则,αβ满足关系( )A.90αβ+=°B.2180αβ+=°C.2180αβ+=°D.180αβ+=°6.如图，平面直角坐标系上有一顶点为A 的抛物线，此抛物线与直线2y =交于B ,C 两点，ABC 为正三角形.若点A 的坐标为(3,0)-，则此抛物线与y 轴的交点坐标是( )A.9(0,)2B.27(0,)2C.(0,9)D.(0,19)二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.分解因式：(1)(-4)3p p p ++=_______________.8.某市市场监管局在预防新型冠状病毒期间，加强了对市场的监管力度.在对某药店检查中，抽检了6包口罩（每包10只），得到合格的口罩只数分别是7，10，9，10，7，8，则该组数据7，10，9，10，7，8的中位数是____________. 9.若关于x 的方程22(2)0xk x k +-+=的两根互为倒数，则k =______.10.如图，四边形ABCD 是正方形，曲线11112DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的.其中：1DA 的圆心为点A ，半径为AD ；11AB 的圆心为点B ，半径为1BA ；11BC 的圆心为点C ，半径为1CB ；11C D 的圆心为点D ，半径为1DC ；1111111,,,,DA A B B C C D 的圆心依次按点,,,A B C D循环.若正方形ABCD 的边长为1，则20202020A B 的长是__________.11.已知AOB ∠与BOC ∠互为邻补角，且, BOC AOB OD ∠>∠平分,AOB OE ∠在BOC ∠内，12BOE EOC ∠=∠，当72DOE ∠=︒时，EOC ∠的度数为_______.12.如图，已知矩形OABC 中，4tan 3AOB ∠=，10OB =，将矩形OABC 沿对角线OB 翻折，点A 落在点A '处，则tan A OC '∠=______________.三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （本题共2小题，每小题3分） 解答：（1）解方程：210x x +-=；（2）解不等式组：20415x x -⎧⎨+<⎩.14.先化简，再求值：35(2)22x x x x +÷+---，其中33x =+. 15.如图所示，有4张除了正面图案不同，其余都相同的卡片.（1）在四张卡片正面所示的立体图形中，主视图是矩形的有_____________；（填字母序号） （2）将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，洗匀后再随机抽出一张.求两次抽出的卡片正面所示的立体图形中，主视图都是矩形的概率；（3）按照图中卡片正面图案的样子任选两个制作成模型，并把这两个模型上下放置，请画出组合后所得种几何体的三视图. 16.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点为(1,1),(4, 4) ,(5,1)A B C .（1）若ABC 和111A B C 关于原点O 成中心对称，画出111A B C ；（2）在x 轴上存在一点P ，满足点P 到点1B 与点1C 距离之和最小，则11PB PC +的最小值为__________.17.“保护好环境，拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆.若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元. （1）求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元；（2）预计在该线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图1，P 是平面直角坐标系中第一象限内一点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，以AP 为边在右侧作等边△APQ ，已知点Q 的纵坐标为2，连结OQ 交AP 于B ，3BQ OB =.(1)求点P 的坐标；(2)如图2，若过点P 的双曲线ky x=(0)k ＞与过点Q 垂直于x 轴的直线交于D ，连接PD .求tan PDQ∠.19.2020年是脱贫攻坚.年为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场.经过段时间的精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售.现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：质量（kg）组中值频数（只）≤< 1.0 6x0.9 1.1x≤< 1.2 91.1 1.3≤< 1.4 ax1.3 1.5≤< 1.6 15x1.5 1.7x≤< 1.8 81.7 1.9根据以上信息，解答下列问题：（1）表中a=_________，补全频数分布直方图；（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的大约有多少只？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标.按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？20.为降低空气污染，城市道路上的洒水车在定时作业.图（1）是一款路上常见的小型洒水车，图（2）是其背面示意图.已知其左边喷水口的最外喷水轨迹EG与水平线的夹角α为37°，右边喷水口的最外喷水轨迹FH与水平线的夹角β为60°，两边喷水口离地面的高度均为AB=m，忽略空气阻力和水的重力，试通过计算估计此洒水车作业时覆盖的1.4m，车宽 2.5路面宽度为多少.（结果精确到0.1m.参考数据：≈≈≈≈≈）sin370.60,cos370.80,tan370.75,2 1.413 1.73五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.有这样一个问题：探究函数6|2|y x =-的图象与性质并解决问题. 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数6|2|y x =-的自变量x 的取值范围是2x ≠； （2）取几组y 与x 的对应值，填写在下表中， x … -4 -2 -1 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 568 …y …11.52367.5887.563m 1.5 1 …m 的值为________；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数6|2|y x =-的图象是轴对称图形，它的对称轴是____________;②过点(-1, )(02)P n n<<作直线l x轴,与函数6|2|yx=-的图象交于点,M N（点M在点N的左侧），则PN PM-的值为__________.22.如图，点C是以AB为直径的半圆O上的动点，连接BC, AC.点E是OC的中点，BE的延长线交半圆O于点F，连接CF,OF.点D在AB的延长线上，且CD与半圆O相切.（1）求证：BCD CFB∠=∠.（2）填空：①当CAB∠=____________时，四边形OBCF是菱形；②已知45AB=，当BC=__________时，COF是等腰直角三角形.六、（本大题共12分）23.如图（1），ABC是等边三角形，BM AC⊥于点M，点N在线段BC的延长线上，且CN CM=，连接AN，点P为AN的中点，连接PM,PC,MN.（1）【观察猜想】图（1）中，线段PM与PC的数量关系是__________，位置关系是______________.（2）【探究证明】将图（1）中的BMN绕点B逆时针旋转到如图（2）所示的位置，连接MC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由.（3）【拓展延伸】将图（1）中的BMN绕点B在平面内自由旋转，若4AB=，请直接写出PM的最大值和最小值.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查相反数的概念.实数3的相反数是-3，故选B. 2.答案：B解析：本题考查用科学记数法表示较大的数.410900 1.0910=⨯，故选B. 3.答案：D解析：5ab 与3a 不是同类项，不能合并，故A 错误；()224239a b a b -=，故B 错误；22(1)21a a a -=-+，故C 错误；2222a b b a ÷=，故D 正确.故选D.4.答案：A解析：夜晚，小亮从点A 处经过路灯的正下方沿直线走到点B 处，其与灯杆的距离先变近后变远，则路灯下的影子先变短，后变长，当小亮走到路灯的正下方时，影长为0，故选项A 中的图象符合题意. 5.答案：C解析：因为''ABC A B C ≌，所以'AC A C =，易得'AA C A AC ∠=∠'.因为'AA BC ，所以'A AC ACB α∠=∠=，所以''AA C AA C α∠=∠=，所以'1801802ACA A AC AA C αβ︒=︒-∠'-∠'=-=，所以2180αβ+=°.故选C.6.答案：B解析：设点(3,2),(3,2)(0).B m C m m ---+>点A 的坐标为(3,0),2.BC m ABC -∴=为正三角形，2,60AC BC m CAO ∴==∠=，(3m C ∴=∴-+.设抛物线对应的函数表达式为2(3)y a x =+，将点C 的坐标代入，得2(33)2a -+=，233,(3)22a y x ∴=∴=+.当0x =时，272y =，此抛物线与y 轴的交点坐标为27(0,)2.故选B. 7.答案：(2)(-2)p p +解析：22(1)(4)33434(2)(2)p p p p p p p p p +-+=--+=-=+-. 8.答案：8.5解析：把数据按照从小到大的顺序排列为7，7，8，9，10，10，第3个数和第4个数分别是8，9，故中位数是(89)28.5+÷=. 9.答案：1-解析：因为原方程的两根互为倒数，所以该方程的两根之积为1，所以21k =，解得1k =或1k =-，但当1k =时，方程为210x x -+=，此时30∆=-<，所以原方程无实数根，所以1k =-.10.答案：4039π解析：本题考查规律探究、弧长公式.由图可知，曲线11112DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧的半径多1，1AD AA ==1111,112,,4(1)n n BA BB AD AA n -==+===-+1,4(1)2n n BA BB n ==-+，故20202020A B 的半径为20202020202020204(20201)28078,BA BB A B ==⨯-+=的长为908078π4039π180⨯=. 11.答案：72°解析：如图，设AOD DOB x ∠=∠=︒，则(72),2(72)BOE x EOC x ∠=-︒∠=-︒.根据题意得23(72)180x x +-=，解得36x =，()7236272EOC ∴∠=-⨯=︒︒︒. 12.答案：724解析：4tan 3AB AOB OA ∠==，设4AB x =，3(0)OA x x =>.222OA AB OB +=，222(3)(4)10x x ∴+=，解得2x =（舍负），6OA ∴=，8AB =.由翻折的性质，得6OA OA '==，8A B AB '==.设A B '与OC 的交点为D ，易得A OD CBD ≅'，OD BD ∴=，A D CD '=.设(0)A D a a '=>，则8OD a =-，在Rt A OD '中，由勾股定理，得2226(8)a a +=-，解得74a =，774tan 624A D A OC OA ∴∠='==''.13.答案：（1）111a b ===-，，c ， 14(1)5∴∆=-⨯-=，15x -±∴=，即121515x x -+--=.（2）由20x -≤得，0x ≥， 由415x +<得，44x <，即1x <，01x ∴≤<.14.答案：解：原式2345222x x x x x ⎛⎫+-=÷- ⎪---⎝⎭23932222(3)(3)x x x x x x x x x +-+-=÷=⋅---+- 13x =-. 当33x =+时，原式11333333===+-. 15.答案：（1）B ，D.球的主视图为圆，长方体的主视图是矩形，圆锥的主视图为等腰三角形，圆柱的主视图为矩形，故填B ，D. （2）列表如下：AB C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)由上表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽出的卡片正面所示立体图形的主视图都是矩形的有4种，分别是(B,B)，(B,D)，(D,B)，(D,D)，所以两次抽出的卡片正面所示立体图形的主视图都是矩形的概率为416，即14. （3）答案不唯一，如选圆柱和圆锥组合，画三视图如下.16.答案：（1）如图所示，111A B C 即所求.（226如图所示，点P 即所求，11PB PC +221526+=17.答案：解：（1）设购买每辆A 型公交车需x 万元，购买每辆B 型公交车需y 万元. 依题意得24002350x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100150x y =⎧⎨=⎩. 答：购买A 型和B 型公交车每辆各需100万元、150万元.（2）设购买m 辆A 型公交车，则购买(10)m -辆B 型公交车.依题意得100150(10)120060100(10)680m m m m +-⎧⎨+-⎩，解得68m ≤≤. m 是整数，6m ∴=，7，8.有三种购车方案：①购买A 型公交车6辆，B 型公交车4辆；②购买A 型公交车7辆，B 型公交车3辆；③购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆，A 型公交车较便宜，购买A 型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案总费用最少，费用为810015021100⨯+⨯=（万元）.18.答案：（1）234⎫⎪⎪⎝⎭；（223解析：（1）过点Q 作x 轴的垂线NAPQ 是等边三角形60PAQ ∴∠=︒PA x ⊥轴906030QAN ∴∠=︒-︒=︒∵点Q 的纵坐标是22QN ∴=2241sin sin 302QN AQ QAN ===︒∴=∠ AN =22AQ QN -2242-23∴点P 纵坐标为4 ∵PA x ⊥轴，QN x ⊥轴∴AOB ONQ ∽ ∴BQ AN OB OA= ∵3BQ OB = ∴AN OA 23∴OA =23∴P 点坐标为234⎫⎪⎪⎝⎭. 故答案为234⎫⎪⎪⎝⎭. （2）设DQ 的延长线与过点P 平行于x 轴的直线交于点E将代入k y x=，得 423=解得k =83 ∴双曲线解析式为83y 由（1）知N 点横坐标为232383 即D 83 ∴D 点纵坐标为83833y ⨯1211413DN DQ QN DN DE ∴=∴=-=-=∴=-=在Rt PED 中，PE AN ==3∴tan PDQ ∠=PE DE 232319.答案：（1）12.补全频数分布直方图如图：（2）8300048050⨯=（只）. （3）利用各小组的组中值，得1.06 1.29 1.412 1.615 1.8850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 1.44=， 1.4415300064800⨯⨯=（元）.6480054000>，按15元/千克的价格售出这批鸡后，该村贫困户能够脱贫.20.答案：如图，延长EG 交BA 的延长线于点M ，延长FH 交AB 的延长线于点N ，则此洒水车作业时覆盖的路面宽度为MN 的长.由题意，得90EAM FBN ∠=∠=︒.,37,.60EF AB EMA FNB ∠α∠β∴==== 在Rt EMA 中， 1.4m,37,tan AE AE EMA EMA AM∠∠===， 1.4 1.87(m)tan tan37AE AM EMA ∠∴==≈. 在Rt FBN 中， 1.4m,60,tan FB BF FNB FNB BN ∠∠===，1.40.81(m),tan tan 601.872.50.81 5.18 5.2(m).FB BN FNB MN AM AB BN ∠∴==≈∴=++=++=≈ 答：估计此洒水车作业时覆盖的路面宽度为5.2m.21.答案：解:(2) 2m =.（3）（4）①直线2x =.②6.22.答案：（1）证明：CD 与半圆O 相切，90.OC CD DCB OCB ∴⊥∴∠+∠=， AB 是半圆O 的直径，90,90,..ACB ACO OCB DCB ACO OA OC CAB ACO CAB BCD ∴∠=∴∠+∠=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠，，又CFB CAB ∠=∠，BCD CFB ∴∠=∠.（2）①30°解法提示：如图（1），四边形OBCF 是菱形，OB BC ∴=.又OB OC =，OBC ∴是等边三角形，60.30COB CAB ∴∠=∴∠=， ②22解法提示：如图（2），当COF 是等腰直角三角形时，90FOC ∠=︒， 45,45CFO FCO CBF ∠=∠=∠=.过点C 作CG BF ⊥于点G ，则CG GB =.点E 是OC 的中点，2222222,5,tan 2,tan 2,2.,(2)(5),OF OE EC FEO CEG CG EG EG GC EC EG EG ∴==∴∠=∴∠=∴=+=∴+=1EG ∴=，则2CG =，22BC ∴=.23.答案：（1）3PC PM ；PM PC ⊥解法提示：ABC 是等边三角形，BM AC ⊥，1130,60,22ABM MBC ACB CM AM AC BC ∴∠=∠=∠====. 又点P 为AN 的中点，1,,260.PM CN PM CN PMC BCM ∴=∴∠=∠= 又CM CN =，,1,21cos603,,290.PM CM PM CM MPC PC PM PM PC ∴=∴==∴∠=∴=⊥（2）成立.证明：在题图（1）中，易知30CMN CWM ∠=∠=︒，30MBN ∠=︒， 120,BMN BM MN ∴∠==.如图（1），延长MP 到点Q ，使得PQ PM =，连接AQ ,CQ .又,NP PA NPM APQ =∠=∠，,,,.NPM APQ MN AQ MNP PAQ MB AQ ∴≅∴=∠=∠∴=360360CAQ QAP NAB BAC MNP NAB ∠=-∠-∠-∠=-∠-∠-1206060BAC NMB MBA BAC MBA MBA ∠=∠+∠-∠=+∠-=∠+， 60MBC MBA ABC MBA ∠=∠+∠=∠+，CBM CAQ ∴∠=∠.又,CB CA MB AQ ==，,,,60,MBC QAC CM CQ BCM ACQ MCQ MCA ACQ MCA MCB ACB ∴≅∴=∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠= MCQ ∴是等边三角形.又点P 是线段MQ 的中点，3,PC PM PC PM ∴=⊥.（3）PM 的最大值是2323解法提示：易知323BM =在BMN 绕点B 旋转的过程中，3,PC PM PC PM =⊥恒成立,90,30,1.2CPM PCM PM CM ∴∠=∠=∴= ①如图（2），当点M 落在线段CB 的延长线上时，CM 取最大值，为423+，可得此时PM 有最大值，为23+.②如图（3），当点M 落在线段BC 上时，CM 取最小值，为423-可得此时PM 有最小值，为23。
