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第一节
假设检验
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念 三、假设检验的一般步骤 四、小结
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 但不知其参数的情况下 为了推断总体的某些性 提出某些关于总体的假设. 质, 提出某些关于总体的假设 例如, 提出总体服从泊松分布的假设 又如, 例如 提出总体服从泊松分布的假设;
三、假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求 , 提出原假设 H 0 及备择假
设 H1 ;
2. 给定显著性水平 α 以及样本容量 n ;
确定检验统计量以及拒绝域形式; 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式;
4. 按 P{ H 0 为真拒绝 H 0 } ≤ α 求出拒绝域 ; 5. 取样 , 根据样本观测值确定接 受还是拒绝 H 0 .
形如 H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ ≥ µ 0 的假设检验
称为右边检验 .
形如 H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ ≤ µ 0 的假设检验
称为左边检验 .
右边检验与左边检验统称为单边检验. 右边检验与左边检验统称为单边检验
9. 单边检验的拒绝域
设总体 X ~ N ( µ , σ 2 ), σ为已知 , X 1 , X 2 ,L, X n
3. 原假设与备择假设
, 下 检验假设 H 0 : µ = µ0 ,
H 1 : µ ≠ µ0 .
. “ 也常说成 在显著性水平 α下, 针对 H 1 检验 H 0 ”
H 0 称为原假设或零假设 , H 1 称为备择假设 .
4. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时 当检验统计量取某个区域 中的值时, 我们拒 中的值时 则称区域C为拒绝域 为拒绝域, 绝原假设 H 0 , 则称区域 为拒绝域 拒绝域的边界 点称为临界点. 点称为临界点 如在上例中, 如在上例中,
拒绝域为 | z |≥ zα / 2 ,
临界点为 z = zα / 2 , z = − zα / 2 .
5. 两类错误及记号
假设检验的依据是: 假设检验的依据是 小概率事件在一次试验 中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 中很难发生 但很难发生不等于不发生 因而假设 检验所作出的结论有可能是错误的. 检验所作出的结论有可能是错误的 这种错误有 两类: 两类: (1) 当原假设 0为真, 观察值却落入拒绝域 而 当原假设H 为真, 观察值却落入拒绝域, 第一类错误 作出了拒绝H 的判断, 称做第一类错误, 又叫弃 作出了拒绝 0的判断 称做第一类错误 又叫弃 犯第一类错误 真错误, 这类错误是“以真为假” 真错误 这类错误是“以真为假”. 的概率是显著性水平α .
因此拒绝域的形式为 x ≥ k , (k是某一正常数 )
由 P{ H 0 为真拒绝 H 0 } = Pµ∈H 0 {X ≥ k }
X − µ0 k − µ0 = Pµ ≤ µ0 ≥ σ / n σ / n X − µ k − µ0 ≥ ≤ Pµ ≤ µ0 σ / n σ / n
(2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域 不真, 而观察值却落入接受域, 的判断, 称做第二类错误 而作出了接受 H0 的判断 称做第二类错误 又叫 第二类错误, 取伪错误, 这类错误是“以假为真” 取伪错误 这类错误是“以假为真”. 犯第Ⅱ 犯第Ⅱ类错误的概率记为
P{当H 0不真接受 H 0 } 或 Pµ∈H1 { 接受H 0 }.
上式不等号成立的原因: 上式不等号成立的原因:
X − µ X − µ0 , 因为 µ ≤ µ 0 , 所以 ≥ σ/ n σ/ n
X − µ0 k − µ0 X − µ k − µ0 ≥ ≥ 事件 ⊂ . σ / n σ / n σ / n σ / n
要控制 P { H 0 为真拒绝 H 0 } ≤ α , 只需令 X − µ k − µ0 Pµ ≤ µ0 ≥ =α. σ / n σ / n
则称 x 与µ 0的差异是不显著的, 则我们接受H0 .
1. 显著性水平
. 数α 称为显著性水平 上述关于 x 与 µ 0 有无显著差异的判断是 在显
则我们接受 H 0 .
2. 检验统计量
X − µ0 . 称为检验统计量 统计量 Z = σ/ n
前面的检验问题通常叙述成:在显著性水平 α 前面的检验问题通常叙述成:
和
H 1 : µ ≠ µ0 .
我们给出一个合理的法则， 我们给出一个合理的法则， 然后， 根据这一法 然后，
则， 利用已知样本作出决策 是接受假设 H 0 (即拒绝
假设H 1 ) , 还是拒绝假设 H 0 (即接受假设 H 1 ) . 如果
作出的决策是接受 H 0 , 则认为 µ = µ 0， 即认为机器 工作是正常的, 否则, 认为是不正常的. 工作是正常的 否则 认为是不正常的
点温度 (0°C ). 测得生产商提交的 批牛奶的冰点 测得生产商提交的5批牛奶的冰点
温度， 温度， 其均值 x = −0.535°C , 问是否可以认为生产 商在牛奶中掺了水？ 商在牛奶中掺了水？ α = 0.05. 取
解
按题意需检验假设
H0 :
µ ≤ µ 0 = −0.545 µ > µ0
(即设牛奶未掺水 即设牛奶未掺水) 即设牛奶未掺水
分析 以 µ 和 σ 分别表示这一天袋装糖 的净 重总体X 重总体 的均值和标准差, 由长期实践表明标准差比较稳定, 由长期实践表明标准差比较稳定 我们就设
于是 X ~ N ( µ , 0.015 2 ), 这里µ 未知. σ = 0.015, 问题 问题是根据样本值判断 µ = 0.5 还是
µ ≠ 0.5 .为此， 为此， 我们提出两个相互对立的假设 H 0 : µ = µ 0 = 0.5
x − µ0 ≥ k时, 拒绝假设 H 0 , 当观测值 x满足 σ/ n x − µ0 反之， 反之， 若 < k时, 就接受假设 H 0 . σ/ n X − µ0 为真时， 由于当 H 0为真时， Z = ~ N (0,1), σ/ n
k 由标准正态分布分位点的定义得： 由标准正态分布分位点的定义得： = zα / 2 ,
是一个小概率事件 , 根据实际推断原理 , 就可以认
由一次试验得到满足不 等式 为如果 H 0为真 ,
x − µ0 ≥ zα / 2 的观察值 x , 几乎是不会发生的 . σ/ n
x − µ0 在一次观测中竟出 现了满足 ≥ zα / 2的 x , σ/ n
我们有理由怀疑原来的 假设H 0的正确性 , 因而拒
x − µ0 x − µ0 < zα / 2时, 接受H 0 . ≥ zα / 2时, 拒绝 H 0 , 当 σ/ n σ/ n
假设检验过程如下: 假设检验过程如下:
在实例中若取定 α = 0.05,
则 k = zα / 2 = z0.025 = 1.96,
又已知 n = 9, σ = 0.015, x − µ0 由样本算得 x = 0.511, 即有 = 2.2 > 1.96, σ/ n
7. 双边备择假设与双边假设检验
在 H 0 : µ = µ 0 和 H 1 : µ ≠ µ 0 中, 备择假设 H 1
表示 µ可能大于 µ 0 , 也可能小于 µ 0 , 称为双边备择
假设 , 形如 H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ ≠ µ 0 的假设检验称
为双边假设检验 .
8. 右边检验与左边检验
于是拒绝假设H 认为包装机工作不正常. 于是拒绝假设 0,认为包装机工作不正常
以上所采取的检验法是符合实际推断原理的. 以上所采取的检验法是符合实际推断原理的. 因通常 α总是取得很小, 一般取 α = 0.01,0.05.
X − µ0 因而当H 因而当 0为真, 即µ = µ 0时, ≥ zα / 2 σ / n
H1 :
(即设牛奶已掺水 即设牛奶已掺水) 即设牛奶已掺水
这是右边检验问题， 其拒绝域为 这是右边检验问题， x − µ0 z= ≥ z 0.05 =1.645. σ n 现在
某车间用一台包装机包装葡萄糖, 例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖 袋装糖的 净重是一个随机变量, 它服从正态分布. 净重是一个随机变量 它服从正态分布 当机器正 常时, 其均值为0.5kg, 标准差为 常时 其均值为 标准差为0.015kg. 某日开工 后为检验包装机是否正常, 后为检验包装机是否正常 随机地抽取它所包装 的糖9袋 称得净重为(kg): 的糖 袋, 称得净重为 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 问机器是否正常
由于 所以
X−µ ~ N (0, 1), σ/ n σ k − µ0 k = µ0 + zα , = zα , n σ/ n
故右边检验的拒绝域为
x ≥ µ0 +
即 类似证， 类似证，
σ
n
zα ,
x µ0 ≤ − zα . 左边检验的拒绝域为 z = σ/ n
对于正态总体提出数学 期望等于 µ 0 的假设等.
假设检验就是根据样本对所提出的假设作出 判断: 是接受, 还是拒绝. 判断 是接受 还是拒绝. 假设检验问题是作出这一决策的过程. 假设检验问题是作出这一决策的过程.
假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理论 分析相结合的做法, 分析相结合的做法 其基本原理就 是人们在实际问题中经常采用的 所谓实际推断原理:“一个小概率 所谓实际推断原理 一个小概率 事件在一次试验中几乎是不可 能发生的”. 能发生的” 下面结合实例来说明假设检验的基本思想. 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
