八年级数学上册第1章三角形的初步知识11认识三角形二练习新版浙教版

浙教版初中数学八年级上册第一章基础练习一、单选题1．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD2．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是（ ）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE3．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）A．14B．10C．3D．24．一把含45°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．40°5．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF6．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于1DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；2③作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线．以上用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS7．如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中，正确的是（ ）A．B．C．D．8．下列命题中，是假命题的是（ ）A．相等的角是对顶角B．垂线段最短C．两直线平行，同旁内角互补D．两点确定一条直线9．如图，已知△ABC(AB＜BC＜AC)，用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是( )A．B．C．D．10．如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定11．下列命题错误的是（ ）A．经过三个点一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等二、填空题12．如图：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则∠1+∠2= .13．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= ．14．如图，AB=CD，AD与BC交于点O，在不添加任何辅助线的前提下要使△AOB≌△COD，则需添加条件 .15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．16．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．17．如图，△ABC中，AC=8，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BCD的周长是 18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 cm．19．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠B= ．20．已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是 cm．21．在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）三、解答题22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB=80°，∠B=24°，求∠P的度数．23．如图，AC=AB，AE=AD，B、E、D共线，∠1=∠2，求证：AE平分∠CED．24．已知：如图，AB=DC，AB∥DC，求证：AD=BC.25．如图，A,B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC，连接BC并延长到点E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度. DE=8m，求AB的长度.26．如图，在△ABC中，D是BC上一点，F是BA延长线上一点，连接DF交AC于点E，且∠B=42°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F度数．27．已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠EDC=900，证明：BD=AB+ED.28．如图，在ΔABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是ΔABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数。

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.1认识三角形（二）-每日好题挑选【例1】已知P是△ABC内任意一点。

（1）如图1，求证：AB+AC>PB+PC；（2）如图2，连接PA，比较12（AB+AC+BC）与PA+PB+PC的大小关系。

【例2】利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【例3】如图，A,B是边长为1的小正方形组成的网格中的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的ΔABC的面积为的2点的个数为。

【例4】如图,在△ABC中（AB>BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长。

【例5】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数；（2）△ABC是什么三角形。

【例6】（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数；（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由。

【例7】在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:（1）△ABC的面积；（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。

【例8】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足为E，F，CG是AB边上的高线。

（1）试猜想线段DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系，并说明理由；（2）若点D在底边的延长线上，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。

浙教版八年级上册数学第1章三角形的初步知识含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( )A.6<L<15B.6<L<16C.11<L<13D.10<L<162、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为（）A.l.5B.C.2D.3、如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（）A.30°B.40°C.50°D.60°4、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C 是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB5、如图，AB∥CD，AC∥BD，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）A.5对B.6对C.7对D.8对6、如图，矩形ABCD，沿对角线BD翻折△BCD，点E是点C的落点，BE交AD于点F，若CD＝4，EF＝3，则BD的长为（）A.5B.5C.4D.107、如图，在中，点在边上，垂直平分边，垂足为点，若，且，则的度数是（）A.40°B.35°C.30°D.45°8、如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为（）A.62 °B.68 °C.78 °D.90 °9、在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=（）A.30°B.45°C.60°D.90°10、下列命题是真命题的是（）A.内错角相等B.如果a 2＝b 2，那么a＝bC.三角形的一个外角大于任何一个内角D.平行于同一直线的两条直线平行11、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形12、如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，AB=8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，△BEC的周长为13，则BC=（）A.5B.6C.7D.813、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论中正确结论的个数是（）=3．①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGCA.1个B.2个C.3个D.4个14、已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则△ABC 的周长等于（）A.12B.14C.12或14D.以上都不是15、如图所示，的三条边长分别是a，b，c，则下列选项中的三角形与不一定全等的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是________cm．17、如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：① ；② ；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论是________．(填序号)18、如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为________cm．19、如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，，若，则的周长为________ .20、如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD 和BE交于点P，若∠A=40º，则∠BPC的度数是________.21、把“有限小数一定是有理数”改为“如果……那么……”的形式________22、在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，则∠DBC的度数是________.23、若等腰三角形的一个内角比另一个内角大，则等腰三角形的顶角的度数为________.24、一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为________cm.25、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，若∠B=28°，∠C=22°，∠A=60°，求∠BDC．27、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，求AE的值．28、如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．29、已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是；（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH30、如图，EF∥BC，∠B=∠1，∠BAD+∠2=180°．说明：∠3=∠G．请完成如下解答：解：因为EF∥BC（已知）所以∠1=∠2________．因为∠B=∠1（已知）所以∠B=∠2________．所以AB∥________．所以∠BAD+∠D=________°．因为∠BAD+∠2=180°（已知）所以∠D=∠2________．所以AD∥________．所以∠3=∠G________．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C4、A5、C6、C7、B8、A9、D10、D11、C12、A13、C14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、30、。

第1章三角形的初步知识1．1认识三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系01基础题知识点1三角形及相关概念1．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD，△ACD，△BCD；(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是AD；在△ABD中，边AD所对的角是∠ABD．知识点2三角形内角和定理2．(温州校级期中)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是( B )A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )A．30°B．60°C．90°D．120°第3题图第4题图4．(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为( A )A．75°B．60°C．65°D．55°知识点3三角形按角的大小分类5．(诸暨期末)在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝55°，则△ABC为( C )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形6．如图，图中有6个三角形，其中，△ABC，△ACD是锐角三角形，△ACE，△ABE，△ADE是直角三角形，△ABD是钝角三角形．知识点4三角形的三边关系7．(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中，能与4 cm、9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( C ) A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm8．(盐城中考)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为( A )A．5 B．6C．7 D．89．如图，从点A 到点D 有三条路线：A —B —D ，A —C —D ，A —D ，其中最短的路线是A －D ． 10．(1)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，那么BC 边的长度应满足什么条件？(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm ，7 cm ，第三边的长为x cm ，且x 是一个奇数，求三角形的周长； (3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm ，求它的最短边长．解：(1)1<BC<7.(2)三角形的周长为15 cm 或17 cm 或19 cm 或21 cm 或23 cm . (3)它的最短边长为7 cm .02 中档题11．若a ，b ，c 是三角形的三边长，则化简：|a －b －c|＋|a ＋c －b|－|c －a －b|＝( B )A ．3a －b －cB ．－a －b ＋3cC ．a ＋b ＋cD ．a －3b ＋c12．(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为( B )A ．85°B ．75°C ．60°D ．45°13．(义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9第13题图 第14题图14．(温州八中期中)如图，△ABC 中，∠DBC ＝13∠ABC ，∠DCB ＝13∠ACB ，∠A ＝45°，则∠BDC ＝135°．15．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A ，B ，C ，D 处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器安装在AC ，BD 的交点E 处，你知道为什么吗？解：另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE ′，CE ′，DE ′，在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．16．(杭州期中改编)若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8，8，2；8，7，3；8，6，4；8，5，5；7，7，4；7，6，5；6，6，6.03综合题17．观察并探求下列各问题：(1)如图1，在△ABC中，点P为边BC上一点，则BP＋PC<AB＋AC(填“>”“<”或“＝”)；(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图3，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．理由如下：延长BP交AC于点M.在△ABM中，BP＋PM<AB＋AM，在△PMC中，PC<PM＋MC，两式相加，得BP＋PC<AB＋AC，∴BP＋PC＋BC<AB＋AC＋BC，即△BPC的周长<△ABC的周长．(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长，理由如下：分别延长BP1，CP2交于点M.由(2)知，BM＋CM<AB＋AC.又∵P1P2<P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C<BM＋CM<AB＋AC.∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．第2课时三角形的重要线段01基础题知识点1三角形的角平分线1．在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝31°，则∠C的度数为( D ) A．62°B．60°C．92°D．58°2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为( B )①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( C )A．45°B．54°C．40°D．50°知识点2三角形的中线4．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( C )A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BD＝ECD．在△CDE中，∠C的对边是DE5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)若BC＝6 cm，则CD＝3cm；(2)若CD＝a cm，则BC＝2a cm；(3)若S△ABD＝8 cm2，则S△ACD＝8cm2.第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm.知识点3三角形的高线7．(杭州上城区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( D )8．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，图中线段可以作为△ABC的高的有( B )A．2条B．3条C．4条D．5条第8题图第9题图9．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为40°．10．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于70°．02中档题11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( D )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合第11题图第12题图12．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB的度数为( D ) A．40°B．60°C．80°D．100°13．(绵阳中考)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC ＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°第13题图第14题图14．(温州永嘉县岩头中学期中)如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则阴影部分△AEF的面积为1cm2.15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边BC的长．解：①当AB ＋AD ＝15 cm 时， ∵D 是AC 的中点， ∴AD ＝12AC ＝12AB .∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10 cm.∴AC ＝10 cm.∴BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)．此时能构成三角形，且底边长为7 cm ； ②当AB ＋AD ＝12 cm 时，∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8 cm.∴AC ＝8 cm.∴BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．此时能构成三角形，且底边长为11 cm. 综上，底边BC 的长为7 cm 或11 cm.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 边上任意一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，BD 为△ABC 的高线，BD ＝8，求PF ＋PE 的值．解：连结PA.∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ， ∴12AC·BD ＝12AB·PF ＋12AC·PE. ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝PF ＋PE. ∴PF ＋PE ＝8.03 综合题17．(嵊州校级期中)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC. (1)若∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，求∠DAE 的度数； (2)若∠B ＝80°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．解：(1)∵∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，∴∠B ＝70°. ∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝20°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝12∠BAC ＝40°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°. (2)∵∠B ＝80°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝10°. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)＝12×60°＝30°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－10°＝20°. (3)能求得∠DAE ＝12(∠B －∠C)＝20°.理由：∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝90°－∠B. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)．∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B －∠C)＝20°.1.2定义与命题第1课时定义与命题01基础题知识点1定义1．下列语句中，属于定义的是( C )A．两点之间线段最短B．三人行，必有我师焉C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．两条直线相交，只有一个交点2．下列语句中，属于定义的是( D )A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3．下列语句中，属于定义的有( B )①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等于180°；③等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方公式；④如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2.A．1个B．2个C．3个D．4个知识点2命题4．(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是( C )A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补D．垂线段最短吗？5．下列语句中，不是命题的是( A )A．延长线段ABB．自然数也是整数C．两个锐角的和一定是直角D．同角的余角相等6．下列语句中，是命题的是( C )①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能要下雪；④同旁内角不互补，两直线不平行；⑤作∠ACB 的角平分线．A．①②③B．①②⑤C．①②③④D．①②④7．下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1)若a<b，则－b<－a；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗？(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2－2x－3＝0；(6)1＋2≠3.解：(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题．知识点3命题的条件和结论8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D )A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线9．写出下列命题的条件和结论．(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)同角或等角的补角相等；(3)同旁内角互补，两直线平行．解：(1)条件：a2＝b2；结论：a＝b.(2)条件：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等．(3)条件：同旁内角互补；结论：两直线平行．10．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．解：(1)在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定也相等．(3)如果一个数是有理数，那么这个数一定对应着数轴上的一个点．02中档题11．下列语句中，是命题的是( A )①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②对顶角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行．”这段话是对名称按行排列进行定义．13．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)对顶角相等；(2)同角的余角相等；(3)三角形的内角和等于180°；(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．解：(1)条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．(2)条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”．(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”，结论是“这个点到这个角的两边距离相等”．可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．14．用语言叙述这个命题：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM.15．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．x3＋x2－3x＋4＝0；x3＋x－1＝0；x3－2x2＋3＝x；y3＋2y2－5y－1＝0.解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，未知数的最高次数均为3；名称：一元三次方程；定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程．第2课时真假命题及定理01基础题知识点1真命题和假命题1．下列命题中的真命题是( C )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角C．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角2．在同一平面内，下列命题中，属于假命题的是( A )A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a⊥c，b∥a，则b⊥c3．下面给出的四个命题中，假命题是( D )A．如果a＝3，那么|a|＝3B．如果x2＝4，那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－24．已知四个命题：①若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；④若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个5．请在横线上填上适当的词，使所得到的命题是假命题：相等的角是答案不唯一，如：对顶角(或直角或平角等)．知识点2举反例6．(嵊州期末)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( C ) A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°7．(杭州萧山区戴村期中)已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( D )A．2k B．15C．24 D．428．(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a，b是有理数，那么|a＋b|＝|a|＋|b|”是假命题的反例可以是a＝－1，b＝3(答案不唯一)．知识点3基本事实和定理9．下列不是基本事实的是( C )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行10．下列说法中，正确的是( B )A．定理是假命题B．基本事实不需要证明C．定理不一定都要证明D．所有的命题都是定理11．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．解：A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．02中档题12．下列命题中，是假命题的是( C )A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．对顶角相等C．互补的角是邻补角D．邻补角是互补的角13．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c，以其中的两个论断为条件，一个论断为结论，写出一个真命题．解：答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.14．(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．(1)若a＞b，则a2＞b2；(2)两个无理数的和仍是无理数；(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．解：(1)是假命题，例如：0＞－1，但02＜(－1)2.(2)是假命题，例如：－2和2是无理数，但－2＋2＝0，和是有理数．(3)是假命题，例如：三条线段a＝3，b＝2，c＝1满足a＋b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．15．如图，已知∠ACE＝∠AEC，CE平分∠ACD，则AB∥CD，用推理的方法说明它是一个真命题．解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD.∵∠ACE＝∠AEC，∴∠ECD＝∠AEC.∴AB∥CD.∴它是一个真命题．16．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°.图1图2(1)图1中∠DEF＝45°，图2中∠DEF＝135°；(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：图1中∠DEF＝∠ABC，图2中∠DEF＋∠ABC＝180°.命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．1.3证明第1课时证明的含义及表述格式01基础题知识点1证明的定义1．下列能作为证明依据的是( D )A．已知条件B．定义和基本事实C．定理和推论D．以上三项都可以2．通过观察你能肯定的是( C )A．图形中线段是否相等B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交D．图形中线段是否垂直知识点2证明过程的书写3．如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝( A )A．55°B．35°C．125°D．65°第3题图第4题图4．如图，下面推理正确的是( B )A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CDC．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDD．∵∠1＋∠4＝180°，∴AB∥CD5．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是( C ) A．80°B．70°C．60°D．50°第5题图第6题图6．(海宁新仓中学期中)如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MFE＝56度．7．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝120°．第7题图第8题图8．如图所示，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝54°．9．已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD＝∠CAD，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠BAD＝∠1(两直线平行，内错角相等)，∠CAD＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．10．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°，求证：BC∥DE.证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝40°.∵∠D＝40°，∴∠C＝∠D.∴BC∥DE.02中档题11．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( A )A．100°B．60°C．40°D．20°第11题图第12题图12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，那么AC∥DE；③如果∠2＝30°，那么BC∥AD；④如果∠2＝30°，那么∠4＝∠C.其中正确的有( B )A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④13．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°.证明：∵∠1＝∠ACB(已知)，∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．∴∠2＝∠DCF(两直线平行，内错角相等)．∵∠2＝∠3(已知)，∴∠3＝∠DCF(等量代换)．∴CD ∥FG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BDC ＋∠DGF ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．14．如图，已知BE ∥CF ，BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD.求证：AB ∥CD.证明：∵BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD(已知)， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BCD(角平分线的定义)．∵BE ∥CF(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)． ∴12∠ABC ＝12∠BCD ， 即∠ABC ＝∠BCD.∴AB ∥CD(内错角相等，两直线平行)．03 综合题15．阅读：如图1，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A ，∠2＝∠B.∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D 的度数．解：过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E. 则∠DEB ＝∠C ＋∠EDC. ∵DE ∥AB ，∴∠A ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠DEB ＝180°.∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠EDC ＋∠ADE ＝∠A ＋∠ADE ＋∠B ＋∠DEB ＝360°.第2课时 三角形内角和定理的推论01 基础题知识点1 几何命题的证明1．证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题．解：已知：如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于M ，交CD 于点N. 求证：EF ⊥CD. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠AMN ＋∠CNM ＝180°. ∵EF ⊥AB ，∴∠AMN ＝90°. ∴∠CNM ＝90°. ∴EF ⊥CD.2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题 .解：已知：如图，AB ∥CD ，EF 交AB 于点G ，交CD 于点H ，GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG . 求证：GM ⊥HM. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BGH ＋∠DHG ＝180°.∵GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG ， ∴∠MGH ＝12∠BGH ，∠GHM ＝12∠DHG .∴∠MGH ＋∠GHM ＝12(∠BGH ＋∠DHG)＝12×180°＝90°.∴∠M ＝180°－∠MGH －∠GHM ＝180°－90°＝90°.∴GM ⊥HM.知识点2 三角形内角和定理的推论3．(甘孜中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝30°，延长BA 至点D ，则∠CAD 的大小为( C )A ．110°B ．80°C ．70°D ．60°第3题图 第4题图4．(金华六校联考)如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B ＝30°，∠DAE ＝65°，那么∠ACD 等于( B )A ．60°B ．80°C ．65°或80°D ．100°5．(嵊州校级期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD 的度数是( A )A ．15°B ．25°C．30°D．10°第5题图第6题图6．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠17．(丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．8．(嵊州期末)如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D ＝46°，求∠BCD的度数．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∵∠D＝46°，∴∠A＝44°.∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，∴3∠ABD＋87°＝180°.∴∠ABD＝31°.∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝87°－31°＝56°.02中档题10．(恩施中考)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为( B ) A．20°B．30°C．40°D．70°第10题图 第11题图11．如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC 的3个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝360°．12．如图所示，△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，BD 上的点，且∠A ＝65°，∠ABD ＝∠DCE ＝30°，则∠BEC 的度数是125°．第12题图 第13题图13．如图所示，已知∠BDC ＝142°，∠B ＝34°，∠C ＝28°，则∠A ＝80°．14．(温州校级期中)如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是2∠A ＝∠1＋∠2．15．如图，在△ABC 中，∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∠BAD ＝12∠DAC ，BE 平分∠ABC ，求∠BED 的度数．解：∵∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∴∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝100°－80°＝20°. ∵∠BAD ＝12∠DAC ，∴∠BAD ＝12×20°＝10°.在△ABD 中，∠ABC ＝180°－∠ADB －∠BAD ＝180°－100°－10°＝70°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12×70°＝35°.∴∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ＝10°＋35°＝45°.16．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC ，AF 平分外角∠BAD ，BE 与FA 交于点E ，求∠E 的度数．解：设∠ABC ＝x °，∵∠BAD 是△ABC 的外角，∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠ABC ＋∠C ＝90°＋x °. ∵AF 平分外角∠BAD ，∴∠BAF ＝12∠BAD ＝12(90°＋x °)．∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12x °.∴∠E ＝∠BAF －∠ABE ＝12(90°＋x °)－12x°＝45°.03 综合题17．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°；(2)图1中的点A 向下移到BE 上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E)有无变化？证明你的结论．解：(1)证明：∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ， ∠1＋∠2＋∠A ＝180°，∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠A ＝180°.(2)无变化．∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ，∠1＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠CAD ＝180°.1.4全等三角形01基础题知识点1全等图形及全等三角形1．在下列各组图形中，是全等的图形是( C )2．如图，把△ACB沿着AB翻转，点C与点D重合，请用符号表示图中所有的全等三角形．解：△ACE≌△ADE；△BCE≌△BDE；△ABC≌△ABD.知识点2全等三角形的对应元素3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( B )A．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△ABFC．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB4．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．解：∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．知识点3全等三角形的性质5．如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( D )A．∠1＝∠2B．CA＝ACC．∠D＝∠BD．AB＝BC6．已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A＝50°，∠B′＝80°，则∠C的度数是( C ) A．30°B．40°C．50°D．607．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．8．如图，已知△AOC≌△BOD.求证：AC∥BD.证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，BC＝4.5 cm，点A，B，C在一条直线上．(1)求DE的长；(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由．解：(1)∵△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，BD＝BC.∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5(cm)．(2)AC⊥BD.理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC.又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝90°.∴AC⊥BD.02中档题10．如图，△ABC≌△AED，那么图中相等的角有( C )A．3对B．4对C．5对D．6对第10题图第11题图11．如图，已知△ABC≌△DEF，DF∥BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在DE上，则∠BAD的度数为( B ) A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠A＝∠D，∠E＝∠F，AD＝11 cm，BC＝7 cm，则AB的长为2cm.第12题图第13题图13．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．14．如图，将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠，使点D落在BC上(与点N重合)，如果AD＝18.4 cm，∠DAM ＝40°，求AN的长和∠NAB的度数．解：∵沿AM折叠后，点D与点N重合，∴△ADM≌△ANM.∴AN＝AD＝18.4 cm，∠MAN＝∠MAD＝40°.∵四边形ABCD是长方形，∴∠DAB＝90°.∴∠NAB＝∠BAD－∠MAN－∠MAD＝10°.15．(温州新城学校初中部月考)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠CAD＝35°，∠EAB＝105°，∠EAD＋∠DAC＋∠CAB＝∠EAB＝105°，∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°.∴∠DFB＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°，∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.03综合题16．已知，如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.(1)试说明BD＝DE＋CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE?解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE.∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE.∴BD＝CE＋DE.(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下：∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°－90°＝90°.又∵△BAD≌△ACE，∴∠CEA＝∠ADB＝90°.∴∠CEA＝∠BDE.∴BD∥CE.微课堂1．5 三角形全等的判定第1课时 三角形全等的判定(SSS )01 基础题 知识点1 利用“SSS ”证明三角形全等1．如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是 ( C )A ．①B ．②C ．③D ．④2．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CE ，则由“SSS ”可以判定 ( C )A ．△ABD ≌△ACDB ．△BDE ≌△CDEC ．△ABE ≌△ACED ．以上都不对第2题图 第3题图3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC.将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，则说明这两个三角形全等的依据是SSS ． 4．如图，点C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE.求证：△ACD ≌△CBE.证明：∵点C 是AB 的中点， ∴AC ＝CB.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，CD ＝BE ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(SSS )．知识点2 “SSS ”与全等三角形性质的综合运用5．如图所示，在△ABC 中，AD ＝ED ，AB ＝EB ，∠A ＝80°，则∠BED ＝80°． 6．(海宁新仓中学期中)如图，AF ＝DB ，BC ＝EF ，AC ＝ED ，求证：CB ∥EF.证明：∵AF ＝DB ， ∴AF ＋FB ＝DB ＋FB ， 即AB ＝DF.在△ACB 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，AC ＝DE ，BC ＝FE ，∴△ACB ≌△DEF(SSS )． ∴∠ABC ＝∠DFE. ∴CB ∥EF.知识点3 三角形的稳定性7．如图所示，不具有稳定性的是( B )8．下列生产和生活：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有( C )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种知识点4 用尺规作已知角的平分线9．已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠α的平分线．解：如图所示．02 中档题10．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ，∠2＝110°，∠BAE ＝60°，下列结论错误的是( C )A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠ACE ＝30°D ．∠1＝70°第10题图 第11题图11．(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？( B )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根 12．如图所示，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出( B )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 13．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)：(1)分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上各取一点C ，D ，使得OC ＝OD ；(2)连结CD ，并量出CD 的长度，取CD 的中点E ；(3)过O ，E 两点作射线．则OE 就是∠AOB 的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．解：在△OCE 和△ODE 中，∵OC ＝OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE(SSS )．∴∠COE ＝∠DOE(全等三角形的对应角相等)． ∴OE 就是∠AOB 的平分线． 故小燕子这样作是正确的．14．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠3＝∠1＋∠2.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS )．∴∠BAD ＝∠1，∠ABD ＝∠2. ∵∠3＝∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3＝∠1＋∠2.15．如图，C ，F 是线段BE 上的两点，△ABF ≌△DEC ，且AC ＝DF.(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由； (2)∠ACE ＝∠BFD 吗？试说明你的理由．解：(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下：∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)．∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ACF和△DFC中，∵AC＝DF，AF＝DC，FC＝CF(公共边)，∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．03综合题16．如图，已知AD＝BC，AC＝BD.求证：∠DAO＝∠CBO.证明：连结AB，在△ABD和△BAC中，∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)．∴∠ABD＝∠BAC，∠BAD＝∠ABC.∴∠BAD－∠BAC＝∠ABC－∠ABD，即∠DAO＝∠CBO.微课堂第2课时三角形全等的判定(SAS)01基础题知识点1利用“SAS”证明三角形全等1．下图中的两个三角形全等的是( C )A．③④B．②③C．①②D．①④2．(温州八中期中)如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是( D )A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠2知识点2“SAS”与全等三角形性质的综合运用3．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是( A )A．50°B．80°C．40°D．30°4．(嵊州期末)如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.证明：(1)∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在△ABC和△DEF中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS )． (2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B ＝∠DEF. ∴AB ∥DE.知识点3 线段垂直平分线的性质定理5．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为 ( B )A ．6B ．5C ．4D ．3第5题图 第6题图6．如图，在△ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线相交于点P ，则PB 与PC 的关系是( B )A ．PB>PCB ．PB ＝PC C ．PB<PCD ．PB ≠PC知识点4 利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题7．(金华四中期末)如图，为了测量一池塘的宽AB ，在岸边找到一点C ，连结AC ，在AC 的延长线上找一点D ，使得DC ＝AC ，连结BC ，在BC 的延长线上找一点E ，使得EC ＝BC ，测出DE ＝60米，试问池塘的宽AB 为多少？请说明理由．解：AB ＝60米．理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE ＝60米．则池塘的宽AB 为60米．02 中档题8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，连结AC ，BD 交于点O ，则图中的全等三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯第一章 三角形初步[定义与命题]定义：规定某一名称或术语的意义的句子。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意：基本事实和定理一定是真命题。

[证明]在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。

[三角形]由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类]三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形[三角形按内角分类]三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角直角三角形：有一个内角是直角钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质]三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

[三角形的三种线]顶角的角平分线：三条，交于一点 三角形的中线：三条，交于一点 三角形的高线：三条，交于一点。

思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置[全等形]能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质]全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

[三角形全等的证明]边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

一、认识三角形三角形：由不在同一条直线上的三点依次连结形成的图形叫做三角形表示：例△ABC 读作“三角形ABC”三角形的内角：由相邻两边的组成的夹角称为三角形的内角内角和180°三角形的基本性质两边之和大于第三边两边之差小于第三边三角形的外角等于不相邻两内角之和锐角三角形：三内角均为锐角三角形的分类直角三角形：有一内角为直角，即两锐角和为90°钝角三角形：有一内角为钝角三线角平分线中线高线性质：∠BAD=∠CAD BD=DC AD⊥BC 角平分线上的点到角两边的距离相等二、接触证明题知识讲解三角形的初步认识定义：一般的，能清楚规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或者术语的定义命题：判断某一件事情的句子叫命题条件：在“如果——那么——”中，“如果”开始的部分叫做条件结论：在“如果——那么——”中，“那么”后面的部分叫做结论真命题：正确的命题假命题：错误的命题定理：用推论的方法的判断为正确的命题叫定理证明：判断一个命题是真命题的推理过程叫证明三、全等三角形全等图形：能够重合的两个图形对于一对全等三角形，互相重合的角叫对应角；互相重合的边角对应边全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等边边边三角形全等的判断边角边角边角角角边垂直平分线，简称中垂线：过已知线段中点作垂线，该垂线叫做已知线段的中垂线性质：线段中垂线上的点到线段两端的距离相等四、尺规作图尺规作图：在几何作图中，外面把没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图%%角、角平分线、中垂线%%例1在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?例2已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为偶数，则x的值有( D )．A．6个B．5个C．4个D．3个例3△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD 的度数.例4如图：已知AC是线段BD的垂直平分线. 求证：△ABC≌△ADC典型例题例5已知：线段a和∠α，∠β. 求作：△ABC，使∠A=∠α,∠B=∠β,BC=a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）一、选择题1、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2、下面不是平行线的判定定理的是( )A．在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行3、如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )A．20°B．30°C．35°D．40°4.、如图，图中锐角三角形的个数是( )同步练习A．2个B．3个C．4个D．5个5、如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数是( )A．30°B．40°C．60°D．70°6、如图，△ABC的平分线AD与中线BE交于点O，有下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线，下列说法正确的是( )A．①②都正确B．①不正确，②正确C．①②都不正确D．①正确，②不正确7、下列说法正确的是( )A．三个角对应相等的两个三角形全等B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两个角与一边对应相等的两个三角形不一定全等8、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )A ．8B ．9C ．10D ．119、如图，给出下列四组条件：①AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；②AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ；③∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ；④AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E.其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10、如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2， AB ＝4，则AC 的长是( )A ．3B ．4C ．6D ．511、如图，在锐角三角形ABC 中，直线l 为BC 的中垂线，射线m 为∠ABC 的角平分线，直线l 与m 相交于点P.若∠BAC ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP 的度数是( )A ．24°B ．30°C ．32°D ．36°12、两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD＝CD ，AB ＝CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO ＝CO ＝12AC ；③△ABD ≌△CBD.其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13、如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS二、填空题14、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，若∠1＝50°，∠2＝110°，则∠A＝____．15、如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____．16、有下列语句：①画线段AB＝CD；②互补的两个角是邻补角；③延长MN到点Q；④三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角吗？其中为命题的是_____．(填序号)17、如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD，若∠B＝65°，则∠ADC的度数为______．18、要说明命题“若a·b＝0，则a＋b＝0”是假命题，可举反例．19、如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，请你补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是．20、如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出___个正确的命题．21、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；（2）三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．22、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.23、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，请化简代数式|a－b－c|＋|a＋b－c|.24、如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为____；（2）若∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．25、如图，∠AOD＝∠BOC，∠A＝∠C，O是AC的中点．求证：△AOB≌△COD.26、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.。

第1章三角形的初步知识1．1认识三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系01基础题知识点1三角形及相关概念1．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD，△ACD，△BCD；(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是AD；在△ABD中，边AD所对的角是∠ABD．知识点2三角形内角和定理2．(温州校级期中)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是( B )A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )A．30°B．60°C．90°D．120°第3题图第4题图4．(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为( A )A．75°B．60°C．65°D．55°知识点3三角形按角的大小分类5．(诸暨期末)在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝55°，则△ABC为( C )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形6．如图，图中有6个三角形，其中，△ABC，△ACD是锐角三角形，△ACE，△ABE，△ADE是直角三角形，△ABD是钝角三角形．知识点4三角形的三边关系7．(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中，能与4 cm、9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( C ) A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm8．(盐城中考)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为( A )A．5 B．6C．7 D．89．如图，从点A 到点D 有三条路线：A —B —D ，A —C —D ，A —D ，其中最短的路线是A －D ． 10．(1)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，那么BC 边的长度应满足什么条件？(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm ，7 cm ，第三边的长为x cm ，且x 是一个奇数，求三角形的周长； (3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm ，求它的最短边长．解：(1)1<BC<7.(2)三角形的周长为15 cm 或17 cm 或19 cm 或21 cm 或23 cm . (3)它的最短边长为7 cm .02 中档题11．若a ，b ，c 是三角形的三边长，则化简：|a －b －c|＋|a ＋c －b|－|c －a －b|＝( B )A ．3a －b －cB ．－a －b ＋3cC ．a ＋b ＋cD ．a －3b ＋c12．(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为( B )A ．85°B ．75°C ．60°D ．45°13．(义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9第13题图 第14题图14．(温州八中期中)如图，△ABC 中，∠DBC ＝13∠ABC ，∠DCB ＝13∠ACB ，∠A ＝45°，则∠BDC ＝135°．15．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A ，B ，C ，D 处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器安装在AC ，BD 的交点E 处，你知道为什么吗？解：另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE ′，CE ′，DE ′，在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．16．(杭州期中改编)若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8，8，2；8，7，3；8，6，4；8，5，5；7，7，4；7，6，5；6，6，6.03综合题17．观察并探求下列各问题：(1)如图1，在△ABC中，点P为边BC上一点，则BP＋PC<AB＋AC(填“>”“<”或“＝”)；(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图3，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．理由如下：延长BP交AC于点M.在△ABM中，BP＋PM<AB＋AM，在△PMC中，PC<PM＋MC，两式相加，得BP＋PC<AB＋AC，∴BP＋PC＋BC<AB＋AC＋BC，即△BPC的周长<△ABC的周长．(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长，理由如下：分别延长BP1，CP2交于点M.由(2)知，BM＋CM<AB＋AC.又∵P1P2<P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C<BM＋CM<AB＋AC.∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．第2课时三角形的重要线段01基础题知识点1三角形的角平分线1．在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝31°，则∠C的度数为( D ) A．62°B．60°C．92°D．58°2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为( B )①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( C )A．45°B．54°C．40°D．50°知识点2三角形的中线4．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( C )A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BD＝ECD．在△CDE中，∠C的对边是DE5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)若BC＝6 cm，则CD＝3cm；(2)若CD＝a cm，则BC＝2a cm；(3)若S△ABD＝8 cm2，则S△ACD＝8cm2.第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm.知识点3三角形的高线7．(杭州上城区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( D )8．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，图中线段可以作为△ABC的高的有( B )A．2条B．3条C．4条D．5条第8题图第9题图9．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为40°．10．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于70°．02中档题11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( D )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合第11题图第12题图12．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB的度数为( D ) A．40°B．60°C．80°D．100°13．(绵阳中考)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC ＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°第13题图第14题图14．(温州永嘉县岩头中学期中)如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则阴影部分△AEF 的面积为1cm 2.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 将△ABC 的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边BC 的长．解：①当AB ＋AD ＝15 cm 时， ∵D 是AC 的中点， ∴AD ＝12AC ＝12AB .∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10 cm.∴AC ＝10 cm.∴BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)．此时能构成三角形，且底边长为7 cm ； ②当AB ＋AD ＝12 cm 时，∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8 cm.∴AC ＝8 cm.∴BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．此时能构成三角形，且底边长为11 cm. 综上，底边BC 的长为7 cm 或11 cm.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 边上任意一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，BD 为△ABC 的高线，BD ＝8，求PF ＋PE 的值．解：连结PA.∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ， ∴12AC·BD ＝12AB·PF ＋12AC·PE. ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝PF ＋PE. ∴PF ＋PE ＝8.03 综合题17．(嵊州校级期中)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC. (1)若∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，求∠DAE 的度数； (2)若∠B ＝80°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．解：(1)∵∠BAC ＝80°，∠C ＝30°， ∴∠B ＝70°. ∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝20°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝12∠BAC ＝40°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°. (2)∵∠B ＝80°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝10°. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)＝12×60°＝30°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－10°＝20°. (3)能求得∠DAE ＝12(∠B －∠C)＝20°.理由：∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝90°－∠B. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)．∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B －∠C)＝20°.1.2定义与命题第1课时定义与命题01基础题知识点1定义1．下列语句中，属于定义的是( C )A．两点之间线段最短B．三人行，必有我师焉C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．两条直线相交，只有一个交点2．下列语句中，属于定义的是( D )A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3．下列语句中，属于定义的有( B )①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等于180°；③等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方公式；④如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2.A．1个B．2个C．3个D．4个知识点2命题4．(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是( C )A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补D．垂线段最短吗？5．下列语句中，不是命题的是( A )A．延长线段ABB．自然数也是整数C．两个锐角的和一定是直角D．同角的余角相等6．下列语句中，是命题的是( C )①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能要下雪；④同旁内角不互补，两直线不平行；⑤作∠ACB 的角平分线．A．①②③B．①②⑤C．①②③④D．①②④7．下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1)若a<b，则－b<－a；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗？(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2－2x－3＝0；(6)1＋2≠3.解：(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题．知识点3命题的条件和结论8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D )A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线9．写出下列命题的条件和结论．(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)同角或等角的补角相等；(3)同旁内角互补，两直线平行．解：(1)条件：a2＝b2；结论：a＝b.(2)条件：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等．(3)条件：同旁内角互补；结论：两直线平行．10．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．解：(1)在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定也相等．(3)如果一个数是有理数，那么这个数一定对应着数轴上的一个点．02中档题11．下列语句中，是命题的是( A )①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②对顶角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行．”这段话是对名称按行排列进行定义．13．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)对顶角相等；(2)同角的余角相等；(3)三角形的内角和等于180°；(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．解：(1)条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．(2)条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”．(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”，结论是“这个点到这个角的两边距离相等”．可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．14．用语言叙述这个命题：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM.解：两条平行线间的同旁内角的角平分线互相垂直．15．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．x3＋x2－3x＋4＝0；x3＋x－1＝0；x3－2x2＋3＝x；y3＋2y2－5y－1＝0.解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，未知数的最高次数均为3；名称：一元三次方程；定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程．第2课时真假命题及定理01基础题知识点1真命题和假命题1．下列命题中的真命题是( C )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角C．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角2．在同一平面内，下列命题中，属于假命题的是( A )A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a⊥c，b∥a，则b⊥c3．下面给出的四个命题中，假命题是( D )A．如果a＝3，那么|a|＝3B．如果x2＝4，那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－24．已知四个命题：①若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；④若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个5．请在横线上填上适当的词，使所得到的命题是假命题：相等的角是答案不唯一，如：对顶角(或直角或平角等)．知识点2举反例6．(嵊州期末)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( C ) A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°7．(杭州萧山区戴村期中)已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( D )A．2k B．15C．24 D．428．(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a，b是有理数，那么|a＋b|＝|a|＋|b|”是假命题的反例可以是a＝－1，b＝3(答案不唯一)．知识点3基本事实和定理9．下列不是基本事实的是( C )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行10．下列说法中，正确的是( B )A．定理是假命题B．基本事实不需要证明C．定理不一定都要证明D．所有的命题都是定理11．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．解：A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．02中档题12．下列命题中，是假命题的是( C )A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．对顶角相等C．互补的角是邻补角D．邻补角是互补的角13．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c，以其中的两个论断为条件，一个论断为结论，写出一个真命题．解：答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.14．(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．(1)若a＞b，则a2＞b2；(2)两个无理数的和仍是无理数；(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．解：(1)是假命题，例如：0＞－1，但02＜(－1)2.(2)是假命题，例如：－2和2是无理数，但－2＋2＝0，和是有理数．(3)是假命题，例如：三条线段a＝3，b＝2，c＝1满足a＋b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．15．如图，已知∠ACE＝∠AEC，CE平分∠ACD，则AB∥CD，用推理的方法说明它是一个真命题．解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD.∵∠ACE＝∠AEC，∴∠ECD＝∠AEC.∴AB∥CD.∴它是一个真命题．16．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°.图1图2(1)图1中∠DEF＝45°，图2中∠DEF＝135°；(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：图1中∠DEF＝∠ABC，图2中∠DEF＋∠ABC＝180°.命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．1.3证明第1课时证明的含义及表述格式01基础题知识点1证明的定义1．下列能作为证明依据的是( D )A．已知条件B．定义和基本事实C．定理和推论D．以上三项都可以2．通过观察你能肯定的是( C )A．图形中线段是否相等B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交D．图形中线段是否垂直知识点2证明过程的书写3．如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝( A )A．55°B．35°C．125°D．65°第3题图第4题图4．如图，下面推理正确的是( B )A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CDC．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDD．∵∠1＋∠4＝180°，∴AB∥CD5．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是( C ) A．80°B．70°C．60°D．50°第5题图第6题图6．(海宁新仓中学期中)如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MFE＝56度．7．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝120°．第7题图第8题图8．如图所示，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝54°．9．已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD＝∠CAD，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠BAD＝∠1(两直线平行，内错角相等)，∠CAD＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．10．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°，求证：BC∥DE.证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝40°.∵∠D＝40°，∴∠C＝∠D.∴BC∥DE.02中档题11．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( A )A．100°B．60°C．40°D．20°第11题图第12题图12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，那么AC∥DE；③如果∠2＝30°，那么BC∥AD；④如果∠2＝30°，那么∠4＝∠C.其中正确的有( B )A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④13．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°.证明：∵∠1＝∠ACB(已知)，∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．∴∠2＝∠DCF(两直线平行，内错角相等)．∵∠2＝∠3(已知)，∴∠3＝∠DCF(等量代换)．∴CD ∥FG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BDC ＋∠DGF ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．14．如图，已知BE ∥CF ，BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD.求证：AB ∥CD.证明：∵BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD(已知)， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BCD(角平分线的定义)．∵BE ∥CF(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)． ∴12∠ABC ＝12∠BCD ， 即∠ABC ＝∠BCD.∴AB ∥CD(内错角相等，两直线平行)．03 综合题15．阅读：如图1，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A ，∠2＝∠B.∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D 的度数．解：过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E. 则∠DEB ＝∠C ＋∠EDC. ∵DE ∥AB ，∴∠A ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠DEB ＝180°.∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠EDC ＋∠ADE ＝∠A ＋∠ADE ＋∠B ＋∠DEB ＝360°.第2课时 三角形内角和定理的推论01 基础题知识点1 几何命题的证明1．证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题．解：已知：如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于M ，交CD 于点N. 求证：EF ⊥CD. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠AMN ＋∠CNM ＝180°. ∵EF ⊥AB ，∴∠AMN ＝90°. ∴∠CNM ＝90°. ∴EF ⊥CD.2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题 .解：已知：如图，AB ∥CD ，EF 交AB 于点G ，交CD 于点H ，GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG . 求证：GM ⊥HM. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BGH ＋∠DHG ＝180°.∵GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG ， ∴∠MGH ＝12∠BGH ，∠GHM ＝12∠DHG .∴∠MGH ＋∠GHM ＝12(∠BGH ＋∠DHG)＝12×180°＝90°.∴∠M ＝180°－∠MGH －∠GHM ＝180°－90°＝90°.∴GM ⊥HM.知识点2 三角形内角和定理的推论3．(甘孜中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝30°，延长BA 至点D ，则∠CAD 的大小为( C )A ．110°B ．80°C ．70°D ．60°第3题图 第4题图4．(金华六校联考)如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B ＝30°，∠DAE ＝65°，那么∠ACD 等于( B )A ．60°B ．80°C ．65°或80°D ．100°5．(嵊州校级期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD 的度数是( A )A．15°B．25°C．30°D．10°第5题图第6题图6．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠17．(丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．8．(嵊州期末)如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D ＝46°，求∠BCD的度数．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∵∠D＝46°，∴∠A＝44°.∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，∴3∠ABD＋87°＝180°.∴∠ABD＝31°.∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝87°－31°＝56°.02中档题10．(恩施中考)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为( B ) A．20°B．30°C．40°D．70°第10题图 第11题图11．如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC 的3个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝360°．12．如图所示，△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，BD 上的点，且∠A ＝65°，∠ABD ＝∠DCE ＝30°，则∠BEC 的度数是125°．第12题图 第13题图13．如图所示，已知∠BDC ＝142°，∠B ＝34°，∠C ＝28°，则∠A ＝80°．14．(温州校级期中)如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是2∠A ＝∠1＋∠2．15．如图，在△ABC 中，∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∠BAD ＝12∠DAC ，BE 平分∠ABC ，求∠BED 的度数．解：∵∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∴∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝100°－80°＝20°. ∵∠BAD ＝12∠DAC ，∴∠BAD ＝12×20°＝10°.在△ABD 中，∠ABC ＝180°－∠ADB －∠BAD ＝180°－100°－10°＝70°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12×70°＝35°.∴∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ＝10°＋35°＝45°.16．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC ，AF 平分外角∠BAD ，BE 与FA 交于点E ，求∠E 的度数．解：设∠ABC ＝x °，∵∠BAD 是△ABC 的外角，∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠ABC ＋∠C ＝90°＋x °. ∵AF 平分外角∠BAD ，∴∠BAF ＝12∠BAD ＝12(90°＋x °)．∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12x °.∴∠E ＝∠BAF －∠ABE ＝12(90°＋x °)－12x°＝45°.03 综合题17．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°；(2)图1中的点A 向下移到BE 上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E)有无变化？证明你的结论．解：(1)证明：∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ， ∠1＋∠2＋∠A ＝180°，∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠A ＝180°.(2)无变化．∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ，∠1＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠CAD ＝180°.1.4全等三角形01基础题知识点1全等图形及全等三角形1．在下列各组图形中，是全等的图形是( C )2．如图，把△ACB沿着AB翻转，点C与点D重合，请用符号表示图中所有的全等三角形．解：△ACE≌△ADE；△BCE≌△BDE；△ABC≌△ABD.知识点2全等三角形的对应元素3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( B )A．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△ABFC．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB4．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．解：∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．知识点3全等三角形的性质5．如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( D )A．∠1＝∠2B．CA＝ACC．∠D＝∠BD．AB＝BC6．已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A＝50°，∠B′＝80°，则∠C的度数是( C ) A．30°B．40°C．50°D．607．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．8．如图，已知△AOC≌△BOD.求证：AC∥BD.证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，BC＝4.5 cm，点A，B，C在一条直线上．(1)求DE的长；(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由．解：(1)∵△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，BD＝BC.∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5(cm)．(2)AC⊥BD.理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC.又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝90°.∴AC⊥BD.02中档题10．如图，△ABC≌△AED，那么图中相等的角有( C )A．3对B．4对C．5对D．6对第10题图第11题图11．如图，已知△ABC≌△DEF，DF∥BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在DE上，则∠BAD的度数为( B ) A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠A＝∠D，∠E＝∠F，AD＝11 cm，BC＝7 cm，则AB的长为2cm.第12题图第13题图13．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．14．如图，将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠，使点D落在BC上(与点N重合)，如果AD＝18.4 cm，∠DAM ＝40°，求AN的长和∠NAB的度数．解：∵沿AM折叠后，点D与点N重合，∴△ADM≌△ANM.∴AN＝AD＝18.4 cm，∠MAN＝∠MAD＝40°.∵四边形ABCD是长方形，∴∠DAB＝90°.∴∠NAB＝∠BAD－∠MAN－∠MAD＝10°.15．(温州新城学校初中部月考)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠CAD＝35°，∠EAB＝105°，∠EAD＋∠DAC＋∠CAB＝∠EAB＝105°，∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°.∴∠DFB＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°，∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.03综合题16．已知，如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.(1)试说明BD＝DE＋CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE?解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE.∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE.∴BD＝CE＋DE.(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下：∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°－90°＝90°.又∵△BAD≌△ACE，∴∠CEA＝∠ADB＝90°.∴∠CEA＝∠BDE.∴BD∥CE.微课堂1．5 三角形全等的判定 第1课时 三角形全等的判定(SSS )01 基础题 知识点1 利用“SSS ”证明三角形全等1．如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是 ( C )A ．①B ．②C ．③D ．④2．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CE ，则由“SSS ”可以判定 ( C )A ．△ABD ≌△ACDB ．△BDE ≌△CDEC ．△ABE ≌△ACED ．以上都不对第2题图 第3题图3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC.将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，则说明这两个三角形全等的依据是SSS ． 4．如图，点C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE.求证：△ACD ≌△CBE.证明：∵点C 是AB 的中点， ∴AC ＝CB.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，CD ＝BE ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(SSS )．知识点2 “SSS ”与全等三角形性质的综合运用5．如图所示，在△ABC 中，AD ＝ED ，AB ＝EB ，∠A ＝80°，则∠BED ＝80°．6．(海宁新仓中学期中)如图，AF ＝DB ，BC ＝EF ，AC ＝ED ，求证：CB ∥EF.证明：∵AF ＝DB ， ∴AF ＋FB ＝DB ＋FB ， 即AB ＝DF.在△ACB 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，AC ＝DE ，BC ＝FE ，∴△ACB ≌△DEF(SSS )． ∴∠ABC ＝∠DFE. ∴CB ∥EF.知识点3 三角形的稳定性7．如图所示，不具有稳定性的是( B )8．下列生产和生活：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有( C )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种知识点4 用尺规作已知角的平分线9．已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠α的平分线．解：如图所示．02 中档题10．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ，∠2＝110°，∠BAE ＝60°，下列结论错误的是( C )A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠ACE ＝30°D ．∠1＝70°第10题图 第11题图11．(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？( B )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根 12．如图所示，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出( B )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 13．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)：(1)分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上各取一点C ，D ，使得OC ＝OD ；(2)连结CD ，并量出CD 的长度，取CD 的中点E ；(3)过O ，E 两点作射线．则OE 就是∠AOB 的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．解：在△OCE 和△ODE 中，∵OC ＝OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE(SSS )．∴∠COE ＝∠DOE(全等三角形的对应角相等)． ∴OE 就是∠AOB 的平分线． 故小燕子这样作是正确的．14．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠3＝∠1＋∠2.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS )．∴∠BAD ＝∠1，∠ABD ＝∠2. ∵∠3＝∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3＝∠1＋∠2.15．如图，C ，F 是线段BE 上的两点，△ABF ≌△DEC ，且AC ＝DF.(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由； (2)∠ACE ＝∠BFD 吗？试说明你的理由．解：(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下：∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)．∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ACF和△DFC中，∵AC＝DF，AF＝DC，FC＝CF(公共边)，∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．03综合题16．如图，已知AD＝BC，AC＝BD.求证：∠DAO＝∠CBO.证明：连结AB，在△ABD和△BAC中，∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)．∴∠ABD＝∠BAC，∠BAD＝∠ABC.∴∠BAD－∠BAC＝∠ABC－∠ABD，即∠DAO＝∠CBO.微课堂第2课时三角形全等的判定(SAS)01基础题知识点1利用“SAS”证明三角形全等1．下图中的两个三角形全等的是( C )A．③④B．②③C．①②D．①④2．(温州八中期中)如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是( D )A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠2知识点2“SAS”与全等三角形性质的综合运用3．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是( A )A．50°B．80°C．40°D．30°4．(嵊州期末)如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.证明：(1)∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在△ABC和△DEF中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS )． (2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B ＝∠DEF. ∴AB ∥DE.知识点3 线段垂直平分线的性质定理5．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为 ( B )A ．6B ．5C ．4D ．3第5题图 第6题图6．如图，在△ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线相交于点P ，则PB 与PC 的关系是( B )A ．PB>PCB ．PB ＝PC C ．PB<PCD ．PB ≠PC知识点4 利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题7．(金华四中期末)如图，为了测量一池塘的宽AB ，在岸边找到一点C ，连结AC ，在AC 的延长线上找一点D ，使得DC ＝AC ，连结BC ，在BC 的延长线上找一点E ，使得EC ＝BC ，测出DE ＝60米，试问池塘的宽AB 为多少？请说明理由．解：AB ＝60米．理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE ＝60米．则池塘的宽AB 为60米．02 中档题8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，连结AC ，BD 交于点O ，则图中的全等三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对。

1.1 认识三角形（一）A组1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E 为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．(第1题)(第2题)2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__．3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．4．(1)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(B)A． 14 B． 10 C． 3 D． 2(2)若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是(C)A． 4 B． 5 C． 6 D． 9(第5题)5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的度数为(C)A．54° B．62°C．64° D． 74°6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(C)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不能确定(第7题)7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．(1)求CD的取值范围．(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【解】(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1<CD<9．(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°．B组8．现有3 cm，4 cm，7 cm, 9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(B)A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【解】四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；3，4，9；3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(D)A． 2a＋2b－2c B． 2a＋2bC． 2c D． 0【解】∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，c－a－b<0，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋(c－a－b)＝a＋b－c＋c－a－b＝0．10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？【解】∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．(第11题)11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？【解】如图，另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．在△BDE′中，DE′＋BE′>DB．在△ACE′中，AE′＋CE′>AC．∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．数学乐园12．观察并探求下列各问题：(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．(第12题)【解】(1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图①，延长BP交AC于点M．∵PC<PM＋MC，∴BP＋PC<BM＋MC．∵BM<AB＋AM，∴BM＋MC<AB＋BC，∴BP＋PC＜AB＋AC，∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长．（第12题解）(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．又∵P1P2＜P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．。