第二章正投影的基本原理

第2章正投影基础本章提要本章主要介绍投影法的基本概念和构成物体的基本几何元素点、线、面的投影特性、作图原理和方法；直线与直线、直线与平面的相对位置关系。

为解决求直线的实长和平面的实形的问题，还介绍了点、线、面的变换投影面的方法。

2.1投影法及三视图的形成2.1.1投影法在日常生活中人们注意到，当太阳光或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。

投影法就源自这种自然现象。

如图2-1所示，平面P为投影面，不属于投影面的定点S为投影中心。

过空间点A由投影中心可引直线SA，SA为投射线。

投射线SA与投影面P的交点a，称作空间点A在投影面P上的投影。

同理，点b是空间点B在投影面P上的投影（注：空间点以大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示）。

由此可知，投影法是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。

图2-1投影法图图2-2中心投影法2.1.2投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。

1、中心投影法投射线从投影中心出发的投影法，称为中心投影法，所得到的投影称为中心投影，如图2-2所示，通过投影中心S作出△ABC在投影面P上的投影：投射线SA、SB、SC分别与投影面P交于点a、b、c，而△abc就是△ABC在投影面P上的投影。

在中心投影法中，△ABC的投影△abc的大小随投影中心S距离△ABC的远近或者△ABC 距离投影面P的远近而变化。

因此它不适合绘制机械图样。

但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的外观图。

2、平行投影法投射线相互平行的投影法，称为平行投影法，所得到的投影称为平行投影。

根据投射线与投影面的相对位置，平行投影法又分为：斜投影法和正投影法。

（1）斜投影法投射线倾斜于投影面时称为斜投影法，所得到的投影称为斜投影，如图2-3所示。

（2）正投影法投射线垂直于投影面时称为正投影法，所得到的投影称为正投影，如图2-4所示。

绘制工程图样主要用正投影，今后如不作特别说明，“投影”即指“正投影”。

第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。

【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。

第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。

投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。

图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。

需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。

(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。

（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。

图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。

优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。

（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。

平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。

（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。

(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。

正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。

三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。

正投影法的基本规律
正投影法是一种常用的测量和绘图方法，基于几何原理和数学知识，用于将三
维物体的形状投影到二维平面上。

通过正投影法，我们可以获得物体在平面上的轮廓和尺寸，从而进行精确的测量和绘图。

正投影法的基本规律包括以下几点：
1. 投影线平行性规律：在正投影法中，物体的轮廓线和尺寸是通过将物体上的
各个点沿着垂直于投影平面的直线投影到平面上得到的。

在投影过程中，从物体上的不同点出发的投影线都是平行的。

这个规律保证了投影的准确性和一致性。

2. 投影长度比例规律：根据物体与投影平面之间的相对位置，投影长度比例规
律可以帮助我们确定在投影平面上得到的投影长度与物体实际长度之间的比例关系。

当物体与投影平面平行时，投影长度与物体实际长度相等；当物体与投影平面垂直时，投影长度为0；当物体与投影平面倾斜时，投影长度与物体实际长度之间存在
一定的比例。

3. 投影形状保持规律：在正投影法中，物体在投影过程中的形状和比例关系是
保持不变的。

即使投影之后，物体的形状仍然能够准确地表达。

这个规律使得我们可以在二维平面上绘制出精确的物体轮廓，并进行准确的测量。

总而言之，正投影法的基本规律包括投影线平行性规律、投影长度比例规律和
投影形状保持规律。

这些规律为我们提供了准确测量和绘图的基础，使得正投影法成为工程、建筑、制图等领域中不可或缺的重要方法。

正投影法的基本规律正投影法（Orthographic Projection）是一种用于表示三维物体的二维图形方法，它具有广泛的应用领域，从建筑设计到工程制图都可见其身影。

正投影法将三维物体通过垂直于投影面的平行投影线投影到一个平面上，以便我们能够更方便地理解和分析物体的各个部分。

在本文中，我将探讨正投影法的基本规律，并分享我对这个概念的个人理解。

让我们来了解一下正投影法的基本原理。

正投影法的过程可以概括为以下几个步骤：确定主视图、确定辅助视图、绘制主视图和辅助视图。

主视图是指物体通过正投影法在投影平面上形成的图形，它通常是物体的最常见的视图。

辅助视图是为了更好地理解物体的形状和细节而绘制的额外视图，可以从不同的方向观察物体。

在进行正投影法绘图时，有几个基本规律需要注意。

首先是直线在投影面上的投影仍为直线。

无论一条直线在三维空间中的方向如何，它在投影面上的投影仍然是一条直线，这是正投影法最基本的规律之一。

其次是平面在投影面上的投影是一条直线。

如果一个平面与投影面平行，那么它在投影面上的投影将是一条直线。

除了这两个基本规律外，还有一些其他的规律需要我们了解。

正投影法在绘制物体的平行投影时，物体的各个部分之间的相对位置关系将得到保持。

这意味着，无论物体的形状如何复杂，正投影法能够准确地表示物体的形状和大小。

另外，在绘制正投影图时，我们还可以根据需要选择不同的视角和放大倍率，以便更好地展示物体的细节和特点。

对于我个人而言，正投影法是一种非常有用的工具，可以帮助我更好地理解和分析物体。

通过使用正投影法，我可以从不同的角度观察物体，并全面地了解它的形状、大小和细节。

这对于设计和工程领域的专业人士来说尤其重要，他们需要将物体的三维形状表达为二维图形，以便能够更好地进行设计和计划。

总结起来，正投影法是一种用于表示三维物体的二维图形方法，它通过垂直于投影面的平行投影线将物体投影到一个平面上。

正投影法具有一些基本规律，例如直线在投影面上的投影仍为直线，平面在投影面上的投影是一条直线等。

一、投影的基本知识（了解）二、工程上常用的图示法（了解）三、平行投影法的基本性质（熟悉）四、三视图的形成及其投影规律（掌握）2-1 投影的基本知识投影：用光线（灯光或阳光）照射物体时，在地面上或墙面上便产生了影子，这种现象就称为投影。

象，即把光线抽象为投射线，把物体抽象为几何形体，把地面抽象为投影面，逐步形成了投影方法。

右图中，S为投影中心，A为空间点，平面P为投影面，S与A点的连线为投射线，SA的延长线与平面P的交点a，称为A点在平面P 上的投影。

这种产生图像的方法就叫做投影法。

由空间的三维形体转变为平面二维图形就是通过投影法来实现的。

因此，投影法是整个工程图学的基础。

S 投影中心a 投影A 空间点投影面P投射线投影法投影法投影法的分类中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图在有限距离内，由投射中心S 发射出投射线，在投影面P 上得到物体形状的投影方法称为中心投影法。

光源SCB bcP投影特性：具有较强的直观性、较好的立体感。

中心投影法投射线aA中心投影法无法反映物体表面的真实形状和大小，投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。

度量性较差。

光源SA CBabc光源S A C Ba bc P物体位置改变，投影大小也改变P当投影中心S移至无限远处时，投影线都相互平行，用这种投影法得到的图形称为平行投影法。

根据投射线于投影面所成角度的不同，平行投影法又分为正投影法和斜投影法。

正投影法斜投影法正投影法：投射线与投射面垂直，故又成为直角投影法。

斜投影法：投射线与投射面倾斜。

ABC ABC abcabcPP投射线投射线投影特性正投影法：得到的投影能够完整、真实地表达物体的形状和大小，度量方便，作图简便。

因此，在工程中得到广泛应用。

斜投影法：物体与投影面距离的远近不会影响其投影的大小，但当投影线与投影面夹角变化时，其投影大小也将发生变化。

2-2 工程上常用的图示法为满足工程设计对图样的各种不同要求，需要采用不同的图示法。

§2－1 正投影法的基本原理本小节是学习《机械制图》课程的理论基础部分，是教学的重点和难点之一，学生的学习效果直接影响后续内容的学习。

因此，必须在清晰地了解三视图形成过程的前提下，才能理解并初步能应用三视图的投影规律看、画简单的三视图。

否则这部分内容讲不清、吃不透，学生会对三视图的三等关系和方位关系含混不清，造成画图与读图出现困难和错误。

一、视图〘教学目的〙什么叫视图、为什么要用视图和怎样形成视图。

〘教学重点〙“视图”的概念和怎样形成视图。

〘关键词〙形体（可变的积木模型）、投影面、正投影、视图〘教法设计〙从已学过“正投影”概念导入“视图”概念，解释视图的定义或含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。

徒手画图和积木模型相结合采用三视图的原因：采用尺寸相同的正方形积木组合堆砌成两个物体（三个或四个更佳）图1，有意图地引导学生从同一方向投影，得出形状相同的视图，再启发点明改变投射的方向其视图就会得到不同形状的图形（视图），从而说明为何要采用三视图，为下一个内容做铺垫。

〘时间分配〙约10分钟〘教具〙可变的积木教学模型和课本。

【说明1】本课程教学采用了自创的、突破性的机械制图教学法—“积木教学法”。

就是利用可变的积木模型和在正方形网格上画视图相配合的机械制图教学法（如下图所示，后面的视图类似，恕不再说明）。

此法的特点：①适应性和可操作性强，容易上手；②直观而形象；③三视图的投影规律一目了然。

【说 明 2】 本教案中的黑体字和图形为板书板图用，斜体字为讲课提示用。

〖承上启下〗正投影法：投射线与投影面垂直的平行投影法。

突出一个“正”字：①物体“正放”（要求围成物体的大多数平面要与投影面垂直或是平行）；②投射线与投影面正交（正看）。

简言之正投影法也就是正看正放物体的投影法。

视图：用正投影法绘制出的物体的图形。

视图——视，就是看的意思。

将人的视线人为规定投射线，且是平行投影线，然后正（投射线要做到与投影面垂直）对着物体看过去，将所见物体的轮廓画出来的图形。

第二章 投影作图的基本定理与方法知识点：四个定理和面上取点取线、线面平行、面面平行、线面相交求交点、面面相交求交线、线面垂直、面面垂直、直角三角形求直线实长等作图方法。

点线面综合问题解题方法。

难点：线面相交求交点、面面相交求交线、线面垂直、面面垂直作图方法。

点线面综合问题解题方法。

时间：8学时讲课内容：§2-1导言在第一章中，我们仅仅解决了点、直线、平面这些几何元素的投影表达问题。

或者说仅解决了图示问题。

而对它们之间的几何关系及其定位和度量，例如从属问题、平行问题、相交问题、垂直问题以及长短、大小、角度、距离等的度量等等，尚需进一步研究。

此外，为区分投影重合时所产生的遮挡现象（如居前的将挡住在后的，居左的将挡住在右的，居上的将挡住在下的），也有必要对投影图进行可见性判定，分清可见的与不可见的。

如直线的可见的投影部分以粗实线画出，而不可见的投影部分则以虚线表达。

凡此，可称为重影问题。

以上这些问题，无疑是进行投影作图——图解的主要问题。

本章所要讨论的，正是投影作图的几个基本投影定理以及几个主要的投影作图方法。

应用初等几何的知识，配合这些投影作图的定理和方法，也就在纸平面上取得了自由权，可以准确无误地解决一些定位严谨逻辑的空间逻辑思维方法。

§2-2从属问题一．属于直线的点设体系空间有一线段AB 。

若K 点属于AB直线，那么由图2-1可以容易看到：1．K 点的投影（k ，k ′，k ″）也必定属于AB 的投影（ab ，a ′b ′，a ″b ″）； 图2-1 直线上的点2．同时，由于平行投影法的各投射线互相平行的结果，根据初等几何学的“平行线之间所截得的各对应线段成比例”的 定理（平行截切定理），有：AK ∶KB=ak ∶kb=a ′k ′∶k ′b ′=a ″k ″∶k ″b ″若K 点不属于直线AB ，我们由图2-1可以得到如下结论，即理：（见图2-2）[定理1]——若点在(属于) 若 K ∈AB ，则 k ∈ab ，k ′∈a ′b ′，k ″∈a ″b ″ 且 KB AK =kb ak =''''b k k a =""""b k k a这一定理，是一切从属问题乃至相交问题的基础。