2018年数学最容易失分点合集

2018年中考数学容易出错的知识点总结初三同学们一轮复习已经紧张的开始了，在复习的过程中，同学们要注意知识的来源与应用，还要知道这个知识容易出错的地方，所以今天给大家汇总了考试中常常出错的八个模块的易错知识点，同学们务必记住哦！数与式易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。

以及绝对值与数的分类。

每年选择必考。

易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。

填空题必考。

易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。

易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。

当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。

填空题必考。

易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。

易错点7：计算第一题必考。

五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。

易错点8：科学记数法。

精确度，有效数字。

这个上海还没有考过，知道就好！易错点9：代入求值要使式子有意义。

各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。

方程（组）与不等式（组）易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X公因式要回头检验！易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

问题1 易丢点 无处不在的空集问题一、问题的提出在集合的学习过程中，许多同学对空集这个特殊的集合理解往往不是很深刻，尤其在一些解题过程中，由于对空集的理解不到位，经常会漏掉空集这种特殊集合，导致解题错误，为帮组学生走出误区，减少失误，特策划此专题。

二、问题的探源1.不含任何元素的集合叫做空集，用∅表示，注意{}∅是一个单元素集，不是空集。

从而{}∅∈∅，{}∅⊆∅，{}∅∅Ü都成立。

2.①若0,0a b =≠，则{}0x ax b +==∅； ②若0,0a b c ==≠，则{}20x ax bx c ++==∅； ③若20,40a b ac ≠-<，则{}20x ax bx c ++==∅； ④若0,0a b =>，则{}x ax b >=∅；⑤若0,0a b c ==≥，则{}20x ax bx c ++<=∅； ⑥若20,40,a b ac >-<，则{}20x ax bx c ++≤=∅。

3.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A ⊆B ”或“AB且B ≠∅” 或A ∩B ＝∅，时，一定要分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 三、问题的佐证一、不了解空集的定义而忽略空集的存在例1. A B =∅，M ＝{P|P 为A 的子集}，N ＝{Q|Q 为B 的子集}，那么（ ） A. M N =∅B. M N =∅{}C. M N A B =D. M N A B ⊂≠解：由于A 、B 的子集中都有∅，即∅⊆A ，∅⊆B ，而∅相对M 、N 来说是作为一个元素的身份出现，则M N =∅{}，应选B 。

二、在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在例2. 设集合A x x x =+={|}240，B x x a x a =+++-={|()}222110，若A B ⊇，求实数a 的范围。

数学中最易失分知识点总结一、整数的加减运算整数的加减运算是数学中最基础也是最容易出错的知识点之一。

在整数的加减运算中，学生经常会犯错的地方在于对正负数的理解不够深刻，容易混淆加减法规则，导致计算出错。

解决方法：对于整数的加减运算，学生可以通过多做一些练习题来加深对正负数的理解，掌握好正负数加减法的规则。

另外，学生还可以通过制定自己的规则来记忆和应用。

比如，可以将整数的加法规则记为“同号相加，异号相减，取绝对值”，将整数的减法规则记为“减法转加法，加法用绝对值，符号要看前面”。

二、乘法口诀表乘法口诀表是学生在小学阶段就需要掌握的知识，但是在高年级的考试中，学生仍然经常会出现乘法口诀表不熟练或者记错的情况。

这也是造成很多学生失分的主要原因。

解决方法：为了熟练掌握乘法口诀表，学生可以通过反复背诵和默写来巩固记忆。

同时，可以利用一些生动有趣的方法来记忆乘法口诀表，比如利用图画、故事等。

通过多做一些乘法口诀练习题，也能够帮助学生更好地掌握乘法口诀表。

三、分数的加减乘除分数的加减乘除是数学中的难点之一，学生容易因为对分数概念理解不深刻或者运算方法不熟练而出现错误。

尤其是在分数的乘除运算中，学生经常会出现对分子、分母的处理混淆，导致计算错误。

解决方法：为了熟练掌握分数的加减乘除，学生可以通过多学习分数的概念和性质，掌握分数的加减乘除运算法则。

在计算时，可以先将分数转化为相同分母的形式，再进行相应的运算。

另外，多做一些分数的混合运算练习题也可以帮助学生提高分数运算的熟练程度。

四、代数式的展开与因式分解代数式的展开与因式分解是数学中比较抽象的一部分，学生容易因为抽象概念不清晰或者步骤混淆而出现错误。

特别是在因式分解中，学生经常会出现找不到最大公因式或者分解错误的情况。

解决方法：学生可以通过多学习代数式的展开与因式分解的方法，掌握好代数式的基本性质和公式。

在进行代数式的展开与因式分解时，可以注意先找出最大公因式，再利用分解公式进行因式分解。

2018高中数学重点难点总结及压轴题考点得分归纳总结大全第一篇：2018高中数学重点难点总结及压轴题考点得分归纳总结大全2018高中数学重点难点总结及压轴题考点得分归纳总结大全众所周知，高考中造成失分的祸首总是基础知识掌握不牢，相当一部分学生数学公式记不熟，记不准，记不全，解题时选择公式不恰当。

其实最大的问题，是考生对主要知识点把握不到位！特别是压轴难点！下面是对重点难点总结了几点！同学们要注意一下，然后又特别要注意对薄弱环节的复习，知识是一环扣一环的，某一环节薄弱会影响整个知识链条，就像木桶盛水的多少取决于最短的木板，而高考失分最多的是由薄弱环节造成的。

当然，重点难点是2018年高考生现冲刺阶段所要考虑的！怎么样学好数学一直是让多人头疼的事情，学数学天赋固然非常重要，但是勤能补拙，也有些方式可以弥补这些缺憾！用图形的方式帮助记忆。

高中数学知识的思维导图。

许多晦涩难懂的知识点，比如函数的定义域，值域，单调性等等的性质，看起来都非常难以记忆。

我从来都和学生说，做这种题目就是“看图说话”。

例如基本初等函数，指数函数，对数函数，幂函数...这些函数的性质根本不需要去背诵，只要知道了图形语言，符号语言，文字语言如何进行切换，比如奇偶性，奇函数，定义f（-x）=-f（x）这就是符号语言，关于原点中心对称这就是文字语言，图形上辨析中心对称这就是图形语言。

知道了这些相互转化，这些概念和性质还不是信手拈来，例子太多了。

再比如例题几何的所有的判定定理，性质定理，12条，3个角，统统都归纳成了一张图，睡前记忆一次，这种带着知识的睡眠模式，有助于知识的记忆。

相信用了图形记忆大法，很多知识点的记忆问题，就可以迎刃而解！另外还可以利用图形帮助解决问题一些同学十分讨厌动手作图，做题的时候，也很难有直观的感觉。

下面为同学们分享高中数学知识点。

对同学们学习数学很有帮助。

希望同学们可以背诵，对于提升数学很有帮助。

第二篇：压轴题总结解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

《2018年高考数学试卷历年高考数学易错知识点总结》摘要：错因分析如原命题是“若则B”则这命题逆命题是“若B则”否命题是“若┐则┐B”逆否命题是“若┐B则┐”，错因分析对两条件B如B成立则是B充分条件B是必要条件，错因分析等差数列首项、公差则其通项公式+()前项和公式+()(+)数学是座高山哪怕是高考数学这样山丘也让无数学子望其背而心戚戚更有人混淆知识里面兜兜浪费了精力和满纸推算却只能挣得卷面分看得己也是阵心疼啊编立马搬出高考数学易错知识总结希望能让少走弯路收藏起定有用集合与简单逻辑易错遗忘空集致误错因分析由空集是任何非空集合真子集因对集合B就有Bφ≠BB≠φ三种情况题如思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况导致题结错误尤其是含有参数集合问题更要充分当参数某围取值所给集合可能是空集这种情况空集是特殊集合由思维定式原因考生往往会题遗忘了这集合导致题错误或是题不全面易错忽视集合元素三性致误错因分析集合元素具有确定性、无序性、异性集合元素三性异性对题影响特别是带有母参数集合实际上就隐含着对母参数些要题也可以先确定母参数围再具体问题3易错四种命题结构不明致误错因分析如原命题是“若则B”则这命题逆命题是“若B则”否命题是“若┐则┐B”逆否命题是“若┐B则┐”这里面有两组等价命题即“原命题和它逆否命题等价否命题与逆命题等价”答由命题写出该命题其他形式命题定要明确四种命题结构以及它们等价关系另外否定命题要全称命题否定是特称命题特称命题否定是全称命题如对“b都是偶数”否定应该是“b不都是偶数”而不应该是“b都是奇数”易错充分必要条件颠倒致误错因分析对两条件B如B成立则是B充分条件B是必要条件；如B成立则是B必要条件B是充分条件；如B则B充分必要条件题容易出错就是颠倒了充分性与必要性所以这类问题定要根据充要条件概念作出准确判断5易错逻辑结词理不准致误错因分析判断含逻辑结词命题很容易因理不准确而出现错误这里我们给出些常用判断方法希望对有所助∨q真真或q真∨q假假且q假(概括真即真)；∧q真真且q真∧q假假或q假(概括假即假)；┐真假┐假真(概括真假)函数与导数6易错函数定义域忽视细节致误错因分析函数定义域是使函数有义变量取值围因要定义域就要根据函数析式把各种情况下变量限制条件出列成不等式组不等式组集就是该函数定义域般函数定义域要下面几()分母不0；()偶次被开放式非；(3)真数0；()00次幂没有义函数定义域是非空数集函数定义域不要忘记了这对复合函数要外层函数定义域是由层函数值域定7易错带有绝对值函数单调性判断错误错因分析带有绝对值函数实质上就是分段函数对分段函数单调性有两种基判断方法是各段上根据函数析式所表示函数单调性出单调区对各段上单调区进行整合；二是画出这分段函数图象结合函数图象、性质进行直观判断研究函数问题离不开函数图象函数图象反应了函数所有性质研究函数问题要刻刻想到函数图象学会从函数图象上分析问题寻问题方案对函数几不单调递增(减)区千万记住不要使用并集只要指明这几区是该函数单调递增(减)区即可8易错函数奇偶性常见错误错因分析函数奇偶性常见错误有错函数定义域或是忽视函数定义域对函数具有奇偶性前提条件不清对分段函数奇偶性判断方法不当等判断函数奇偶性首先要考虑函数定义域函数具备奇偶性必要条件是这函数定义域区关原对称如不具备这条件函数定是非奇非偶函数定义域区关原对称前提下再根据奇偶函数定义进行判断用定义进行判断要变量定义域区任性7易错抽象函数推理不严密致误错因分析很多抽象函数问题都是以抽象出某类函数共“特征”而设计出问题可以通类比这类函数些具体函数性质抽象函数性质答抽象函数问题要特殊赋值法应用通特殊赋值可以到函数不变性质这不变性质往往是进步问题突破口抽象函数性质证明是种代数推理和几何推理证明样要推理严谨性每步推理都要有充分条件不可漏些条件更不要臆造条件推理程要层次分明写规0易错函数零定理使用不当致误错因分析如函数(x)区[b]上图象是连续不断条曲线并且有()(b)0那么函数(x)区(b)有零即存∈(b)使得()0这也是方程()0根这结论我们般称函数零定理函数零有“变零”和“不变零”对“不变零”函数零定理是“无能力”函数零要这问题易错混淆两类切线致误错因分析曲线上处切线是指以该切曲线切线这样切线只有条；曲线切线是指这曲线所有切线这如曲线上当然包括曲线该处切线曲线切线可能不止条因曲线切线问题首先要区分是什么类型切线易错混淆导数与单调性关系致误错因分析对函数某区上是增函数如认函数导函数区上恒0就会出错研究函数单调性与其导函数关系定要函数导函数某区上单调递增(减)充要条件是这函数导函数区上恒()等0且导函数区任子区上都不恒零3易错导数与极值关系不清致误错因分析使用导数函数极值很容易出现错误就是出使导函数等0而没有对这些左右两侧导函数进行判断误以使导函数等0就是函数极值出现这些错误原因是对导数与极值关系不清可导函数处导函数值零只是这函数处取到极值必要条件提醒广考生使用导数函数极值定要对极值进行检验数列易错用错基公式致误错因分析等差数列首项、公差则其通项公式+()前项和公式+()(+)；等比数列首项、公比q则其通项公式当公比q≠前项和公式()(q)(q)(q)当公比q前项和公式数列基础性试题等差数列、等比数列这几公式是题根用错了公式题就失了方向5易错关系不清致误错因分析数列问题数列通项与其前项和存关系这关系是对任数列都成立但要是这关系式是分段和≥这关系式具有完全不表现形式这也是题常出错地方使用这关系式要牢牢记住其“分段”特当题目给出了数列{}与关系这两者可以进行相换知道了具体表达式可以通数列和方法出知道了可以出题要体会这种换相性6易错对等差、等比数列性质理错误错因分析等差数列前项和公差不0是关常数项0二次函数般地有结论“若数列{}前项和+b+(b∈R)则数列{}等差数列充要条件是0”；等差数列3(∈)是等差数列这类题目基出发就是考虑问题要全面把各种可能性都考虑进认正确命题给以证明认不正确命题举出反例予以驳斥等比数列公比等是很特殊情况有关问题要这特殊情况7易错数列值错误错因分析数列通项公式、前项和公式都是关正整数函数要善从函数观认识和理数列问题但是考生很容易忽视正整数特或即使考虑了正整数但对取何值能够取到值出错关正整数二次函数其取值要根据正整数距离二次函数对称轴远近而定8易错错位相减和项数处理不当致误错因分析错位相减和法适用环境是数列是由等差数列和等比数列对应项乘积所组成其前项和基方法是设这和式这和式两端乘以等比数列公比得到另和式这两和式错位相减得到和式要分三部分()原数列项；()等比数列前()项和；(3)原数列项乘以公比作差出现用错位相减法数列和定要处理这三部分否则就会出错。

高考数学最容易丢分的知识点总结1、遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?时也满足B?A。

解含有参数的集分解绩时，要特别留意当参数在某个范围内取值时所给的集合能够是空集这种状况。

2、无视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实践上就隐含着对字母参数的一些要求。

3、混杂命题的否认与否命题命题的〝否认〞与命题的〝否命题〞是两个不同的概念，命题p的否认能否认命题所作的判别，而〝否命题〞是对〝假定p，那么q〞方式的命题而言，既要否认条件也要否认结论。

4、充沛条件、必要条件颠倒致误关于两个条件A，B，假设A?B成立，那么A是B的充沛条件，B是A的必要条件;假设B?A成立，那么A是B的必要条件，B是A的充沛条件;假设A?B，那么A，B互为充沛必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充沛性与必要性，所以在处置这类效果时一定要依据充沛条件和必要条件的概念作出准确的判别。

5、〝或〞〝且〞〝非〞了解不准致误命题p∨q真?p真或q真，命题p∨q假?p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真?p真且q真，命题p∧q假?p假或q 假(概括为一假即假);绨p真?p假，绨p假?p真(概括为一真一假)。

求参数取值范围的标题，也可以把〝或〞〝且〞〝非〞与集合的〝并〞〝交〞〝补〞对应起来停止了解，经过集合的运算求解。

6、函数的单调区间了解不准致误在研讨函数效果时要时时辰刻想到〝函数的图像〞，学会从函数图像上去剖析效果、寻觅处置效果的方法。

关于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌运用并集，只需指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

7、判别函数奇偶性疏忽定义域致误判别函数的奇偶性，首先要思索函数的定义域，一个函数具有奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，假设不具有这个条件，函数一定是非奇非偶函数。

8、函数零点定理运用不当致误假设函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条延续的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)0时，不能否认函数y=f(x)在(a，b)内有零点。

2018 年高考数学易错点汇总数学是一座顶峰，哪怕是高考数学这样的小山丘，也让无数学子望其背而心戚戚，混淆知识点，满纸计算却只好挣得卷面分，看得自己也是好一阵疼爱啊，搬出高考数学易错知识点总结，希望能让大家少走一点弯路。

会集与简单逻辑★1易错点：忘记空集致误错因分析：因为空集是任何非空会集的真子集，所以，关于会集B，就有 B=A ，φ≠ B， B≠φ，三种状况，在解题中假如思想不够周密就有可能忽视了 B≠φ这种状况，以致解题结果错误。

特别是在解含有参数的会集问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的会集可能是空集这种状况。

空集是一个特别的会集，因为思想定式的原由，考生常常会在解题中忘记了这个会集，以致解题错误或是解题不全面。

★2易错点：忽视会集元素的三性致误错因分析：会集中的元素拥有确立性、无序性、互异性，会集元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的会集，本质上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确立字母参数的范围后，再详尽解决问题。

★3易错点：四种命题的结构不明致误错因分析：假如原命题是“若 A 则 B”，则这个命题的抗命题是“若 B 则 A”，否命题是“若┐A则┐ B”，逆否命题是“若┐B则┐ A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与抗命题等价”。

在解答由一个命题写出该命题的其余形式的命题时，必定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

别的，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“ b 都是偶a，数”的否定应当是“a ，b 不都是偶数”，而不该当是“ b 都是a奇，数”。

★4易错点：充分必需条件颠倒致误错因分析：关于两个条件 A，B，假如 A=B 成立，则 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必需条件；假如 B=A 成立，则 A 是 B 的必需条件， B 是 A 的充分条件；假如 AB，则 A，B 互为充分必需条件。

专题05 小题易丢分 理1．已知集合{|{|1}A x y B x a x a ===≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B.C.D.【答案】C考点：集合间的关系.2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz的共轭复数是（ ） A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+ 【答案】B【解析】本题考查复数的概念及复数的运算。

解：由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B3．i 是虚数单位，若21ia bi i+=++（a ，R b ∈），则()2log a b -的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．12【答案】B 【解析】试题分析：因为()()()()212331111222i i i i i i i i +-+-===-++-，所以由复数相等的定义可知32a =，12b =-，所以()22log log 21a b -==．选B.考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b .-a bi4．我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； 3:P 圆()()22114x y -+-=的一个太极函数为()3233f x x x x =-+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形； 5:P 奇函数都是太极函数； 6:P 偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C故4P 错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇函数可以为太极函数，故5P 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故6P 错误；则错误的命题有3个，故选C. 5．已知函数()1x xf x e x=++，则120x x +>是()()()()1212f x f x f x f x +>-+-的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C现证充分性：∵120x x +>， 12x x >-,又()()1x xf x e x∞∞=+-++在，上为单调增函数，∴()()12f x f x >-，同理： ()()21f x f x >-，故()()()()1212f x f x f x f x +>-+-.充分性证毕.再证必要性：记()()gx ? f x f x =--，由()()1x xf x e x∞∞=+-++在，上单调递增，可知()()f x ∞∞--+在，上单调递减，∴()()gx ? f x f x =--在()∞∞-+，上单调递增。

2018年高考数学压轴题突破140深入剖析立体几何七大易错点易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错例1 有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是 .【错解】P【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案.【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.【参考答案】O易错点击1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错例2 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.【参考答案】D易错点击1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．2．三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系例3 如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为易错点击易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B项计算三角形面积时出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【参考答案】A易错点击1．柱体、锥体、台体的表面积（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.2．柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.特别提醒①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．易错点5 问题考虑不全面致错例5 已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为.【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.【参考答案】2或14易错点击1．球的有关问题（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.（2）球与几种特殊几何体的关系：①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.易错点6 应用公理或其推论时出错例6 已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E 五点一定共面.【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线.（2）若B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.易错点击1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.3．证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误1.如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，则BC与AD所成的角为.【错解】120°如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°，∴∠MEN=180°-30°-30°=120°，即BC与AD 所成的角为120°.【错因分析】在未判断出∠MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.【试题解析】以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC与AD所成的角为60°.【参考答案】60°易错点击1．求异面直线所成的角的常见策略：（1）求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．（2）求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.（3）判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．学科&网（2）求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．。

问题1 易丢点 无处不在的空集问题一、问题的提出在集合的学习过程中，许多同学对空集这个特殊的集合理解往往不是很深刻，尤其在一些解题过程中，由于对空集的理解不到位，经常会漏掉空集这种特殊集合，导致解题错误，为帮组学生走出误区，减少失误，特策划此专题。

二、问题的探源1.不含任何元素的集合叫做空集，用∅表示，注意{}∅是一个单元素集，不是空集。

从而{}∅∈∅，{}∅⊆∅，{}∅∅Ü都成立。

2.①若0,0a b =≠，则{}0x ax b +==∅； ②若0,0a b c ==≠，则{}20x ax bx c ++==∅； ③若20,40a b ac ≠-<，则{}20x ax bx c ++==∅； ④若0,0a b =>，则{}x ax b >=∅；⑤若0,0a b c ==≥，则{}20x ax bx c ++<=∅； ⑥若20,40,a b ac >-<，则{}20x ax bx c ++≤=∅。

3.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A ⊆B ”或“AB且B ≠∅” 或A ∩B ＝∅，时，一定要分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 三、问题的佐证一、不了解空集的定义而忽略空集的存在例1. A B =∅，M ＝{P|P 为A 的子集}，N ＝{Q|Q 为B 的子集}，那么（ ） A. M N =∅B. M N =∅{}C. M N A B =D. M N A B ⊂≠解：由于A 、B 的子集中都有∅，即∅⊆A ，∅⊆B ，而∅相对M 、N 来说是作为一个元素的身份出现，则M N =∅{}，应选B 。

二、在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在例2. 设集合A x x x =+={|}240，B x x a x a =+++-={|()}222110，若A B ⊇，求实数a 的范围。