郑州市第一中学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，2,30,105AC ABC BAC =∠=︒∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，15ACD =︒∠，把ACD △沿直线AC 翻折，得到ACD '△，CD '与BA 延长线交于点E ，则D E '的长为（ ）A ．333+ B ．333- C ．336+ D ．336- 2．下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．6，8，10B ．1，2，3C ．43，1，53D ．2，4，63．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC 中AB 边上的高长为（ ）A ．355B ．25C ．3510D ．3224．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（ ）A ．-3.5B ．-3.6C ．-3.7D ．-3.85．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（ ）A ．222(6)10x x ++=B ．222(6)10x x -+=C ．222(6)10x x +-=D ．222610x +=6．如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．22，20202D ．2，201927．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+4n -＝0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）A ．5B ．5或7C ．12D ．12或7+78．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm9．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．16910．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④11．在△ABC 中，BC=a ，AB=c ，AC=b ，则不能作为判定△ABC 是直角三角形的条件是（ ）． A ．∠A=∠B-∠C B ．∠A ：∠B ：∠C=2：5：3 C ．a ：b ：c =7：24：25D ．a ：b ：c =4：5：612．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）A ．144B ．22C ．16D ．13二、填空题13．如图，90MON ∠=︒，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，点C 是线段AB 的一点，且2BC AC OC ===，A OC '与AOC 关于直线OC 对称，A O '与AB 相交于点D ，当A DC ∆'是直角三角时2OB 等于__________．14．在ABC ∆中，AC ＝8，45C ∠=︒，AB ＝6，则BC ＝___________．15．如图，已知ABC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，AC 的垂直平分线交AC 于F ，交BC 于G ，若3BE =，4EG =，12BC =，则ABC 的面积为______．16．如图，在52⨯的正方形网格中，点A ，P ，B 为格点，则APB ∠=________．17．已知O 为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形AOB 中，A(2，4)，点B 是x 轴上的点，则AOB 的面积为_____．18．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD 中6AB =，15CD =，那么BC =_____，AD =_______才能实现上述的折叠变化．19．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．20．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．三、解答题21．在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 为AB 边上的点．（1）连接CE ，DE ，CE DE ⊥； ①如图1，若AE BC =，求证：AD BE =； ②如图2，若AE BE =，求证：CE 平分BCD ∠；（2）如图3，F 是BCD ∠的平分线CE 上的点，连接BF ，DF ，若4BC =，6CD =，362BF DF ==，求CF 的长． 22．已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．（1）依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；（2）当且时，求的度数；（3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．23．如图，在等边ABC 中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE △，连接BE ．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ 使5CP CQ ==，若8BC =时，求PQ 的长．24．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在格点上．（1）在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的111A B C △；（2）在直线l 上找出一点P ，使得1PA PC +的值最小，该最小值为________（保留两图痕迹并标上字母P ）25．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是线段BC 上的动点（BD ＞CD ），作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，作直线CE ，交射线AD 于点F ．连接AE ，BF ． （1）依题意补全图形，直接写出∠AFE 的度数；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．26．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别用a 、b 、c 来表示，且a 、b 、c 满足关系+|a ﹣b +1|+（c ﹣9）2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据三角形的内角和定理60CDE ∠=︒，再根据翻折的性质可得,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得90,30CED D AE '∠=︒∠=︒，设D E x '=，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得(,3AE CE x ==+，最后在Rt ACE △中，利用勾股定理即可得．【详解】3150,105,ABC B D A AC C ∠=︒∠=∠=︒︒，30018BCD ABC BAC ACD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒， 60ABC BC CDE D ∴∠=∠+∠=︒，由翻折的性质得：,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，30DCE ACD ACD '∴∠=∠+∠=︒，90,9030CED D AE D ''∴∠=︒∠=︒-∠=︒，设D E x '=，则2,AD AD x AE '===，(2DE AD AE x ∴=+=，在Rt CDE △中，((222,3CD DE x CE x ==+==+，在Rt ACE △中，222AE CE AC +=，即)(2223x ⎡⎤++=⎣⎦，解得x =或0x =<（不符题意，舍去），即36D E '=故选：D ． 【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．D解析：D直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可； 【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B 、()()222123+= 能组成直角三角形；C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形； D 、()222264+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键；3．A解析：A 【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出△ABC 的面积和AB 的长，利用三角形面积公式可得答案． 【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图：∵2111321*********ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， 且12ABC S AB CD =⋅△， ∵22125AB =+= ∴1322AB CD ⋅=， 则3555CD ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．4．B【分析】先根据勾股定理求得A 点坐标，再利用二分法估算即可得出比较接近-3.6． 【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2，∴OA OB == ∴A 所表示的数为∵23.612.9613=<，23.713.6913=>， ∴-3.6和-3.7之间， ∵23.6513.322513=>， ∴-3.6， 故选：B ． 【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．5．A解析：A 【分析】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答． 【详解】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺， 根据题意可列方程222(6)10x x ++=， 故选：A ． 【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键．6．A解析：A 【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可． 【详解】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =， ∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系”，∴根据题意可得：111OA A B ==∴212OB OA ==∴22222OA A B ===，，∴总结出nn OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，11112△OA B S ==，2212222△OA B S =⨯⨯=，∴归纳得出一般规律：1122n nnnn OA B S -=⨯⨯=，∴2021202120202OA B S=，故选：A ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．7．D解析：D 【分析】根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】∵|m﹣0， ∴|m﹣3|＝00， ∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0， 解得，m ＝3，n ＝4，当45， 则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，当4，则△ABC 的周长＝＝， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．8．C解析：C 【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，即可得到小正方形的边长及其面积． 【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=222=4cm ⨯故选：C ．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．9．A解析：A【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】 解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力． 10．D解析：D【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．【详解】①∵ABC 为直角三角形，∴22225x y AB +==，故①正确；②由图可知：1x y CE -===，故②正确；③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，由此可得：141252xy ⨯+=，即：2125xy +=， 故③正确； ④由①③相加可得：222150xy x y +++=，即()249x y +=，故7x y +=，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．11．D解析：D【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理依次判断．【详解】A 、∵∠A=∠B-∠C ，∴∠A+∠C =∠B ，得到∠B=90︒，即△ABC 是直角三角形； B 、设∠A=2x ，∠B=5x ，∠C=3x ，故235180x x x ++=︒，解得x=18︒，∴∠B=5x=90︒，即△ABC 是直角三角形；C 、设a=7x ，则b=24x ，c=25x ，∵222(7)(24)(25)x x x +=，∴222+=a b c ，∴△ABC 是直角三角形；D 、设a=4x ，b=5x ，c=6x ，∵222(4)(5)(6)x x x +≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形；故选：D ．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形根据边或角判定的方法是解题的关键．12．B解析：B【分析】先求出四个直角三角形的面积，再求出直角三角形的斜边的长即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积12，小正方形的面积是2，∴四个直角三角形的面积和是12-2=10，即4×12ab =10 ∴2ab=10，∵直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b∴a 2+b 2=12∴(a+b)2= a 2+b 2+2ab=22．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、完全平方公式等知识点，完全平方公式和勾股定理的灵活变形是解答本题的关键． 二、填空题13．4或【分析】分两种情况讨论：①当时和②当时分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可【详解】解：分两种情况讨论：①当时如图1此时由折叠可知；②当时如图2过点作于点由折叠可知在中在中在中；综上或故答案为：4解析：4或8-【分析】分两种情况讨论：①当90A DC '∠=︒时和②当90A CD '∠=︒时，分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可．【详解】解：2BC AC OC ===，4AB BC AC ∴=+=．分两种情况讨论：①当90A DC '∠=︒时，如图1，此时90ADO ∠=︒，由折叠可知，CA CA '=，OC CA =，OC CA '∴=，COA CA O ''∴∠=∠，COA CAO ∠=∠，COA COA CAO '∴∠=∠=∠，90COA COA CAO '∠+∠+∠=︒，30COA COA CAO '∴∠=∠=∠=︒， ∴114222OB AB ==⨯=， 24OB ∴=；②当90A CD '∠=︒时，如图2，过点O 作OH AB ⊥于点H ．90A CA ∴='∠︒，由折叠可知，11(360)(36090)13522A CO ACO A CA ''∠=∠=︒-=︒-︒=︒， 1359045HCO A CO A CD ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，45HOC ∴∠=︒，在Rt OHC ∆中，2OC =，22OH CH OC ∴===， 22AH CH CA ∴=+=+，在Rt OHA ∆中，22222(2)(22)842OA OH AH =+=++=+，在Rt AOB ∆中，22224(842)842OB AB OA -==-+=-；综上，24OB =或842-．故答案为：4或842-．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正确利用勾股定理，能分类讨论是解题的关键．14．【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为 解析：422±【分析】ABC ∆有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A 点作AD 垂直于BC ，当为ABC ∆锐角三角时，BC=CD+BD ，当ABC ∆为钝角三角形时，BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案．【详解】 如图，过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时，AC ＝8，45C ∠=︒，90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42在Rt ABD ∆中 22226(42)3632AB AD -=-=-∴ BC=CD+BD=422当为ABC ∆钝角三角时，同理可得 CD=2 ,BD=2∴ BC=CD-BD=422故答案为：422【点睛】本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键． 15．18【分析】连接AEAG 根据中垂线的性质求出AEAG 的长结合勾股定理的逆定理推出进而即可求解【详解】连接AEAG ∵DE 垂直平分AB ∴∵FG 垂直平分AC ∴∵∴在中∴为直角三角形∴∴故答案是：18【点睛解析：18【分析】连接AE 、AG ，根据中垂线的性质，求出AE ，AG 的长，结合勾股定理的逆定理，推出AE BC ⊥，进而即可求解．【详解】连接AE 、AG∵DE 垂直平分AB ，∴3AE BE ==，∵FG 垂直平分AC ，∴AG CG =，∵3BE =，4EG =，12BC =，∴5CG AG ==，在AEG ∠中，29AE =，216EG =，225AG =，∴AEG △为直角三角形，∴AE BC ⊥， ∴111231822ABC S BC AE =⋅=⨯⨯=△． 故答案是：18【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质定理以及勾股定理的逆定理，掌握中垂线的性质定理，添加合适的辅助线，是解题的关键．16．【分析】延长AP 交网格于点C 连接BC 利用勾股定理求出可得：即可判定△PBC 是等腰直角三角形那么∠BPC=45°再根据邻补角定义求出∠APB 【详解】解：如图延长AP 交网格于点C 连接BC ∵∴∴△PBC 是解析：135︒【分析】延长AP 交网格于点C ，连接BC ．利用勾股定理求出2222125,125,PC BC =+==+=221310PB =+=，可得：222,,PC BC PC BC PB =+=即可判定△PBC 是等腰直角三角形，那么∠BPC=45°，再根据邻补角定义求出∠APB ．【详解】解：如图，延长AP 交网格于点C ，连接BC ．∵2222125,125,PC BC =+==+=221310PB +=，∴222,,PC BC PC BC PB =+=∴△PBC 是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°-∠BPC=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，作出辅助线，利用平方根的含义解方程，利用勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定得出△PBC 是等腰直角三角形是解题的关键．17．8或4或10【分析】根据已知画出坐标系进而得出AE 的长以及BO 的长即可得出△AOB 的面积【详解】解：如图所示：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ∵点O （00）A （24）∴AE ＝4OE ＝2OA ＝当OA ＝AB 时∴解析：8或45或10【分析】根据已知画出坐标系，进而得出AE 的长以及BO 的长，即可得出△AOB 的面积．【详解】解：如图所示：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵点O （0，0），A （2，4），∴AE ＝4，OE ＝2，OA 222425+=当OA ＝AB 时，∴AE 是△AOB 边OB 的垂直平分线， ∴BE=OE=2，∴OB=4，∴B 的坐标为（4，0），此时S △AOB ＝12OB AE •＝1442⨯⨯＝8；当OA ＝OB 时，∴25OB OA ==，∴B 的坐标为（5±0），此时S △AOB ＝12OB AE •＝12542⨯＝45当OB ＝AB 时，设AB OB x ==，则2BE x =-，∴2224(2)x x =+-，解得：5x =，∴5OB =，∴B 的坐标为（5，0），此时S △AOB ＝12OB AE •＝1542⨯⨯＝10； ∴△AOB 的面积为：8或10．故答案为：8或10．【点睛】此题主要考查了三角形面积以及坐标与图形的性质，利用等腰三角形的性质求得OB 的长是解题关键．18．39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC 进而组成方程组求出即可【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2即（6+BC ）2+152=AD2①又由图解析：39【分析】根据已知得出图形得出AC 2+CD 2=AD 2，以及AB+AD=CD+BC ，进而组成方程组求出即可．【详解】解：由图2的第一个图形得：AC 2+CD 2=AD 2，即（6+BC ）2+152=AD 2①，又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC ，即6+AD=15+BC②，联立①②组成方程组得：()222615615BC AD AD BC ⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得：3039BC AD =⎧⎨=⎩， 故BC ，AD 分别取30和39时，才能实现上述变化，故答案为：30，39．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．19．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x 尺则水深AC=（x ﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x 的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x 尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．20．11cm12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大h最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度22512=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．三、解答题21．（1）①见解析；②见解析；（2）562FC =． 【分析】（1）①根据条件得出EDA CEB △≌△，即可求证；②延长DE 交CB 的延长线于点G ，得出EDA EGB △≌△再证明GCE DCE △≌△即可；（2）解法1：过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，得到FCM FCN △≌△，由222BN BF FN =-，222DM DF FM =-，得到DM BN =，设DM BN x ==，求得5CN =，在Rt FBN △和Rt FCN △中，由勾股定理即可求得CF 的长．解法2：在CD 上截取CF BC '=，得出36FF FD '==，过F 作FG CD ⊥，根据22222FC CG FG F F F G ''-==-，即可求得CF 的长．【详解】（1）①证明：90A B DEC ∠=∠=∠=︒，90ADE AED ∴∠+∠=︒，1809090DEA BEC ∠+∠=︒-︒=︒，ADE BEC ∴∠=∠，在DEA △和ECB 中ADE BEC ∠=∠，A B ∠=∠，AE BC =，EDA CEB ∴△≌△，AD BE ∴=．②证明：延长DE 交CB 的延长线于点G ，AED BEG ∴∠=∠，E 90A BG ∠=∠=︒，AE BE =，EDA EGB ∴△≌△，EG ED ∴=，90DEC =︒∠，18090GEC DEC ∴∠=︒-∠=︒，GEC DEC ∴∠=∠，CE CE =，GCE DCE ∴△≌△，GCE DCE ∴∠=∠，CE ∴平分BCD ∠．（2）解法1：如图，过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，分别交CD 及CB 的延长线于点M ，N ．CE 平分BCD ∠，BCF FCD ∴∠=∠，又FM CD ⊥，FN CB ⊥，90CNF FMC ∴∠=∠=︒，在FCM △和FCN △中BCF FCD ∠=∠，CNF FMC ∠=∠，CF CF =，FCM FCN ∴△≌△，FM FN ∴=，CM CN =，在Rt FDM △和Rt FBN △中MF FN =，FB DF =，222BN BF FN =-，222DM DF FM =-DM BN ∴=，设DM BN x ==，6CD =，4CB =，4CN x ∴=+，6CM x =-，CN CM =，46x x ∴+=-，1x ∴=，415CN CB BN ∴=+=+=，在Rt FBN △和Rt FCN △中222FN FB BN =-，222FC FN CN =+，36BF =， 222223625122FN FB BN ⎫⎛∴=-=-=⎪ ⎪⎝⎭ 222255(41)622FC FN CN =+=++=． 解法2：如图，在CD 上截取CF BC '=，4BC =，6CD =，642DF CD CF ''∴=-=-=，在FCB 和FCF '△中BCF FCD ∠=∠，CF CF =，CB CF '=，FCB FCF '∴△≌△，FF FB '∴=，FB FD =，362FF FD '∴==， 过F 作FG CD ⊥，垂足为G ，112GF GD DF ''∴===， 145CG GF CF ''∴=+=+=， 在Rt FCG △和Rt FF G '△中22222FC CG FG F F F G ''-==-222236512FC ⎛∴-=- ⎝⎭ 62FC ∴=． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题．22．（1）；（2）或；（3），证明见解析【分析】（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出，得出，证出AE=AC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果（2）分两种情况：当时，当时分别求解即可（3）作CG⊥AP于G，由AAS证明，得出CG=AM，证出点A是的外接圆的圆心，，得出和是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论【详解】解：（1）补全示意图如图所示连接AE，设AP与BE交于点M，如图：由轴对称的性质得AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∵是等腰直角三角形∴AB=AC∴AE=AC∴（2）当时，如图：由（1）得，，在中∴∴∴∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴∴当时，如图：∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴∴∵AE=AB=AC∴∴即在与中，∴∴由上可知，的度数为或（3），理由如下：由（2）得：FE=FB，∴∴∵在中 ∴【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键23．（1）见详解；（2）6【分析】（1）由△ABC 与△DCE 是等边三角形，可得AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，又由∠ACD ＋∠DCB ＝∠ECB ＋∠DCB ＝60°，即可证得∠ACD ＝∠BCE ，所以根据SAS 即可证得△ACD ≌△BCE ；（2）首先过点C 作CH ⊥BQ 于H ，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC ＝30°，则根据等腰三角形“三线合一”与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．【详解】（1）证明：ABC 和CDE △均为等边三角形，∴AC BC =，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，∵60ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD BCE ∠=∠，∴≌ACD BCE ；（2）过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等边三角形，AO 是角平分线，∴∠DAC ＝30°，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠PBC ＝∠DAC ＝30°，∴在Rt △BHC 中，CH ＝12BC ＝12×8＝4， ∵PC ＝CQ ＝5，CH ＝4，∴PH ＝QH ＝225-43=，∴PQ ＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．24．（1）见解析；（2）点P 见解析，最小值为41【分析】 （1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）点P 为A 1C 1与直线l 的交点，再利用勾股定理求出最小值即可．【详解】解：（1）如图，111A B C △即为所作；（2）如图，点P 为A 1C 1与直线l 的交点，此时1PA PC +最小，2254+41．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（1）作图见解析；45°；（2）2AF ，证明见解析【分析】（1）根据轴对称即可补全图形，延长FB 至点M 使MB=CF ，通过ABM ACF △≌△，进而证得△MAF 是等腰直角三角形，问题即可解决；（2）由（1）知△MAF 是等腰直角三角形及CF=BF ，再根据勾股定理问题即可解决；【详解】（1）补全图形，如图所示：∠AFE=45°理由如下：延长FB 至点M 使MB=CF ，∵点B 、E 关于AF 对称，∴AB=AE ，∠ABF=∠AEC ，∠AFB=∠AFE∵AB=AC ，∴AC=AE ，∴∠ACE=∠AEC‘∴180180ACE ABF ︒-∠=︒-∠ ∠ACE=∠ABF ，即：ABM ACF ∠=∠，()ABM ACF SAS ∴△≌△，,CAF AM AF MAB ∴=∠=∠，AMF=AFM MAF=BAC=90∴∠∠∠∠︒，，AFM=45∴∠︒，AFE=45∴∠︒（2）2AF理由如下：由（1）知AM=AF ，CF=MB ，MAF=90∠︒2222AF +AM =MF =2AF ∴∴2AFMF=MB BF +即AF∴，【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，构造全等三角形是解决本题的关键．26．△ABC是直角三角形；理由见解析．【分析】先求出a、b、c的值，再通过计算得到a2+c2＝b2，根据勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形．【详解】解：△ABC是直角三角形．理由是：据题意得：a﹣40＝0，a﹣b +1＝0，c﹣9＝0，解得：a＝40，c＝9，b＝41，∵a2+c2＝402+92＝1681， b2＝412＝1681，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，根据题意求出a、b、c的值是解题关键．。

勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） A 、2k B 、k+1 C 、k 2－1 D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A2d （Bd （C）2d （D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿ 16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．A CB二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观测点AECDB答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3． 9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。

一、选择题1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )A ．1，2，5B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 2．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）．A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3B ．ABC 中，222AB BC AC +=C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC === 3．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ） A ．三个内角之比为1︰2︰3B ．一边上的中线等于该边的一半C ．三边为111,,12135D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、4．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．1，2，3C ．43，1，53D ．2，4，6 5．如图，一圆柱高8cm ，底面周长为12cm ，一只蚂蚁从A 点爬到点B ，要爬行的最短路程是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 6．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A 73B ．10厘米C ．82D ．8厘米 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（ ）A ．222(6)10x x ++=B ．222(6)10x x -+=C ．222(6)10x x +-=D ．222610x +=8．如图所示，在Rt ABC 中，90,3,5C AC BC ∠=︒==，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则线段CD 的长是（ ）A ．85B ．165C ．175D ．2459．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论： ①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4=⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③ 10．如图，设每个小方格的边长都为113有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．3 12．等腰三角形腰长10cm ，底边长16cm ，则等腰三角形面积是（ ）A ．296cmB ．248cmC ．224cmD ．232cm 二、填空题13．如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm ，底面圆的周长为10cm ，在杯内离底4cm 的点N 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上2cm 与蜂蜜相对的点M 处，则蚂蚁到达蜂蜜所爬行的最短路程为________cm ．14．如图，数轴上点C 表示的数的平方为______．15．在ABC ∆中，AC ＝8，45C ∠=︒，AB ＝6，则BC ＝___________．16．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．17．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图” ．如图，设49a =，小正方形ABCD 的面积是9，则弦c 长为_______．18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝10，AD ＝5，AC ＝4，则△ABD 的面积为 ____________．19．已知一个三角形工件尺寸（单位dm ）如图所示，则高h =__dm ．20．如图，在ABC 中，45ABC ︒∠=，3AB =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点F ．1AE =，连接DE ，将AED 沿直线AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF ，连接DF ．过点D 作DG DE ⊥交BE 于点G ，则四边形DFEG 的周长为________．三、解答题21．如图，小区有一块三角形空地ABC ，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D 作垂直于AB 的小路DE ．经测量，15AB =米，13AC =米，12AD =米，5DC =米．（1）求BD的长；（2）求小路DE的长．22．如图，在中，，是上的中线，的垂直平分线交于点O，连接并延长交于点E，，垂足为H．（1）求证：．（2）若，，求的长；（3）如图，在中，，，D是上的一点，且，若，请你直接写出的长．23．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？24．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的和最小，并算出这个最小值．25．如图，长方体的长AB=5cm，宽BC=4cm，高AE=6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）．（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？26．如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AE=DE．求证：（1）DE∥AB；（2）若∠B=60°，DE=2，求AD的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A 、∵222125+==， ∴以1、2为三边的三角形是直角三角形，A 不符合题意；B 、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B 不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；D 、∵2221310+=≠，∴以1、3为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可．【详解】解：A 选项：ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，ABC ∴是直角三角形． B 选项：∵在ABC 中，222AB BC AC +=，ABC ∴是直角三角形．C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，又180A B C ︒∠+∠+∠=，12180x ︒∴=,345x ︒=，460x ︒=，575x ︒=，ABC ∴不是直角三角形．D 选项：在ABC 中，1,AB BC AC ===222AB BC AC ∴+=，ABC ∴是直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．3．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定条件分别判断即可；【详解】三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 符合题意；三边长的关系为()()()()222222220mn m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 4．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B 、2221+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 5．C解析：C【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】沿着过点A的高将圆柱侧面展开，再过点B作高线BC，如图：则，∠ACB=90°，AC=12⨯12=6（cm），BC=8cm，由“两点之间，线段最短”可知：线段AB的长为蚂蚁爬行的最短路程，在Rt ABC∆中，()22226810AB AC BC cm=+=+=，故选C．【点睛】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示各线段的长度．6．B解析：B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.7．A解析：A【分析】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答．【详解】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据题意可列方程222(6)10x x ++=，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键． 8．A解析：A【分析】连接AD ，由三角形全等以及三线合一可知PQ 垂直平分线段AB ，推出AD DB =，设AD DB x ==，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，根据222AD AC CD =+构建方程即可解决问题．【详解】如图，连接AD ，由已知条件可知PQ 垂直平分线段AB ，∴AD DB =，设AD DB x ==，5CD x =-，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，∴222AD AC CD =+，∴2223(5)x x =+-， 解得：751x =， ∴178555CD BC DB =-=-=， 故选：A ．【点睛】本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．A解析：A【分析】①利用全等三角形的判定得AFB ≌AEC ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得FD DE =，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得AD EF EF 2EG ⊥=，，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为BAC 90FA AE DAE 45∠∠=︒⊥=︒，，，所以CAE 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，FAB 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，因此CAE FAB ∠∠=．又因为BAC 90AB AC ∠=︒=，，所以ABC ACB 45∠∠==︒．又因为FB BC ⊥，所以FBA ACB 45∠∠==︒．因此AFB ≌()AEC ASA △，所以CE BF =．故①正确．对于②，由①知AFB ≌AEC ，所以AF AE =．又因为DAE 45FA AE ∠=︒⊥，，所以FAD DAE 45∠∠==︒，连接FD ，因此AFD ≌()AED SAS △．所以FD DE =．在Rt FBD △中，因为CE BF =，所以222222BD CE BD BF FD DE +=+==．故②正确．对于③，设EF 与AD 交于G ．因为FAD DAE 45AF AE ∠∠==︒=，，所以AD EF EF 2EG ⊥=，． 因此ΔADE 11S AD EG AD EF 24=⨯⨯=⨯⨯． 故③正确．对于④，因为CE BF =，又在Rt FBE △中，22222CE BE BF BE FE +=+= 又AEF △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，所以22EF 2AE =因此，222CE BE 2AE +=．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积． 10．D解析：D【分析】13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．【详解】解：∵2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．11．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，再用勾股定理即可求出AC．【详解】解：∵点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，BD=4，∴AD=BD=4，∴22224223AC AD CD；故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．12．B解析：B【分析】如图：作AD⊥BC于D，先根据等腰三角形的性质求得BD，然后运用勾股定理求得AD，最后运用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：如图：作AD⊥BC于D，∵AB=AC=10，∴BD=DC=1BC=8cm，2∴AD=2222-=-=AC CD1086∴S△ABC=1BC·AD=48cm2．2故答案为B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．二、填空题13．【分析】过N作NQ⊥EF于Q作M关于EH的对称点M′连接M′N交EH于P连接MP则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出M′QNQ根据勾股定理求出M′N即可【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开得解析：55．【分析】过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出M′Q，NQ，根据勾股定理求出M′N即可．【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH 的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵ME=M′E，M′P=MP，∴MP+PN=M′P+PN=M′N，∵NQ=1×10cm=5cm，M′Q=12cm-4cm+2cm=10cm，2在Rt△M′QN中，由勾股定理得：22+=．51055故答案为：55【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．14．5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2AB=1AB⊥OBOC=OA∴由勾股定理可知：故答案为5【点睛】本题考查尺规作图与勾股定理解析：5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答．【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2，AB=1，AB⊥OB，OC=OA，∴由勾股定理可知：222222==+=+=，OC OA OB AB215故答案为5．本题考查尺规作图与勾股定理的综合运用，熟练掌握常见图形的作图方法及勾股定理的应用是解题关键．15．【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为 解析：422±【分析】ABC ∆有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A 点作AD 垂直于BC ，当为ABC ∆锐角三角时，BC=CD+BD ，当ABC ∆为钝角三角形时，BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案．【详解】 如图，过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时，AC ＝8，45C ∠=︒，90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42在Rt ABD ∆中 22226(42)3632AB AD -=-=-∴ BC=CD+BD=422当为ABC ∆钝角三角时，同理可得 CD=2 ,BD=2∴ BC=CD-BD=422故答案为：422【点睛】本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键． 16．【分析】由图可知AC 的长根据勾股定理可以求得PAPC 的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状从而可以得到∠CPA 的度数然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数【详解】设网格的长度为1则解析：90-α︒由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数．【详解】设网格的长度为1，则==，AC=6222AP PC AC+=∴△PAC为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒故答案为：90-α︒【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】解：∵小正方形的面积是9∴AD=CD=3∴a=b-3∵4∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】解：∵小正方形ABCD的面积是9，∴AD=CD=3，∴a=b-3，∵49a=，∴94a=，∴214b=，∵222+=a b c，∴222 921+=44c⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4c=，．本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 18．15【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=3然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵∠C=90°∴在Rt △ACD 中∵∠C=90°DE ⊥A解析：15【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，∵∠C=90°，∴在Rt △ACD 中，2222543CD AD AC =-=-=, ∵∠C=90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ， ∴DE=CD=3，∴△ABD 的面积为111031522AB DE ⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 19．4【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D 则AD=h 根据等腰三角形的性质求出BD=BC=3dm 利用勾股定理求出h 【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D 则AD=h ∵AB=AC=5dmBC=6dm ∴AD 是BC 的垂解析：4【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD =h ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC =3dm ，利用勾股定理求出h ．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD =h ．∵AB =AC =5dm ，BC =6dm ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴BD =12BC =3dm ． 在Rt △ABD 中，AD =2222534AB BD -=-=dm ，即h =4（dm ）．答：h 的长为4dm ．故答案为：4．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，等腰三角形三线合一的性质，正确理解题意构建直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．20．【分析】先证得出再证与是等腰直角三角形在直角中利用勾股定理求出BE 的长进一步求出GE 的长可通过解直角三角形分别求出GDDEEFDF 的长即可求出四边形DFEG 的周长【详解】∵于点D ∴∴是等腰直角三角形解析：322【分析】先证BDG DE ∆≅∆，得出1AE BG ==，再证DGE ∆与EDF ∆是等腰直角三角形，在直角AEB ∆中利用勾股定理求出BE 的长，进一步求出GE 的长，可通过解直角三角形分别求出GD ，DE ，EF ，DF 的长，即可求出四边形DFEG 的周长．【详解】∵45ABC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，∴9045BAD ABC ︒︒∠=-∠=，∴ABD ∆是等腰直角三角形，∴AD BD =，∵BE AC ⊥，∴90GBD C ︒∠+∠=，∵90EAD C ︒∠+∠=，∴GBD EAD ∠=∠，∵90ADB EDG ︒∠=∠=，∴ADB ADG EDG ADG ∠-∠=∠-∠，即BDG ADE ∠=∠，∴()BDG ADE ASA ∆≅∆，∴1BG AE ==，DG DE =，∵90EDG ︒∠=，∴EDG ∆为等腰直角三角形，∴9045135AED AEB DEG ︒︒︒∠=∠+∠=+=，∵AED ∆沿直线AE 翻折得AEF ∆，∴AED AEF ∆≅∆，∴135AED AEF ︒∠=∠=，ED EF =，∴36090DEF AED AEF ︒︒∠=-∠-∠=，∴DEF ∆为等腰直角三角形，∴EF DE DG ==，在Rt AEB ∆中，BE === ∴1GE BE BG =-=，在Rt DGE ∆中，222DG ==-，∴22EF DE ==-， 在Rt DEF ∆中，1DF ==，∴四边形DFEG 的周长为：GD EF GE DF +++221)2⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭2=+，故答案为：2+．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．三、解答题21．（1）9米；（2）365米． 【分析】（1）先由13125AC AD CD ===，，，证明90,ADC ∠=︒ 可得90,ADB ∠=︒ 再由勾股定理可求BD 的长；（2）由,,DE AB AD BC ⊥⊥ 可得,AB DE AD BD =代入数据从而可得答案．【详解】解：（1）13125AC AD CD ===，，，22222212516913,AD CD AC ∴+=+===90ADC ∴∠=︒，90ADB ∴∠=︒，15AB =，22221512273819.BD AB AD ∴=-=-=⨯==BD ∴为9米．（2）,,DE AB AD BC ⊥⊥11,22ABD S AB DE AD BD ∴== ,AB DE AD BD ∴= 15129DE ∴=⨯，36.5DE ∴=DE ∴为365米． 【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键． 22．（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用中线的性质和垂直平分线的性质，即可解答（2）根据题意和由（1）得到AH=EH ，再利用勾股定理得到AH=，最后利用全等三角形的性质，即可解答（3）作AE ⊥BC 于E ，AH ⊥BD 于H ，可得，设DH=x ，则AD=2x ，利用勾股定理即可解答【详解】（1）证明：∵AB=AC ，AD 是BC 上的中线∴AD ⊥BC又∵AH ⊥BE∴∠ADB=∠H=90°∵MN 是AB 的垂直平分线∴AO=BO∴∠OAB=∠ABO又∵AB=BA∴在与中∴（2）解:∵AB=AC， AD是BC上的中线，∠BAC=30°∴∠BAD=15°由（1）知，∠ABO=15°∴∠AEH=∠ABO+∠BAC=45°∵AH⊥BE∴∠EAH=45°∴AH=EH由AE=4可得AH=∵∴BD=AH∴BC=2BD=2AH=（3）如图，作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H仿（1）可得且∠ADH=60°∴AH=BE=设DH=x，则AD=2x在RtΔAHD中得（负值舍去）∴AD=【点睛】此题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线23．25cm【分析】根据题意易知可分三种情况进行展开，如图所示，然后根据勾股定理求出最短路程，最后比较即可．【详解】解：由题意分三种情况：①如图展开，连接DC，则DC的长就是从点D爬到C处的最短路程，在Rt△ADC中，AD=12+8=20cm，130152AC=⨯=cm，∴由勾股定理得：2225DC AD AC=+=cm，②如图所示：在Rt△DFC中，DF=12cm，FC=8+15=23cm，∴根据勾股定理得：2267325DC DF FC cm cm=+=>，因为长方体盒子是无盖的，所以这种情况不符合题意；③把长方体盒子按照正面、底面、背面进行展开，如图所示：∴DF=12cm ，FC=30+8+15=53cm ，∴在Rt △DFC 中，22295325DC DF FC cm cm =+=>， 综上所述：从点D 爬到C 处的最段路程是25cm ．【点睛】本题主要考查几何图形的展开图及勾股定理，熟练掌握几何图形的展开图及勾股定理是解题的关键．24．（1）图见解析；（2）图见解析，25【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P 点位置，然后根据勾股定理求解．【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P 即为所求．PB+PC=''B P PC B C +==222425+=．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，最短路径求法，以及勾股定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键．25．（1）三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙137cm ，5，117cm ；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达【分析】（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S 甲，S 乙，S 丙的值即可；（2）比较S 甲，S 乙，S 丙的值即可得到答案．【详解】解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，∵长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，∴EF =AB =5cm ，GF =BC =EH =4cm ，AE =BF =CG =6cm ，∴图1：S 甲2222()114137AE EF G F '''++=+=（cm ）图2：S 乙2222()10555AE EH G H '''++=+=（cm ），图3：S 丙=2222()96117AB BC C G '''++=+=（cm ），答：三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；（2）由（1）知，S 甲137cm ），S 乙5125cm ），S 丙117cm ）． ∵137125117∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）根据三线合一得BAD =∠CAD ，由AE =DE ，得∠CAD =∠EDA ，从而∠BAD =∠EDA ，所以DE ∥AB ；（2）由AB =AC ，∠B =60°，DE ∥AB ，得∠C =60°，∠EDC =∠B =60°，从而△DEC 为等边三角形， DE =DC =EC =AE =2，最后在Rt △ADC 中，由勾股定理求AD ．【详解】解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AE =DE ，∴∠CAD =∠EDA ，∴∠BAD =∠EDA ，∴DE ∥AB（2）∵AB =AC ，∠B =60°，∴∠C =60°∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B =60°，∴△DEC 为等边三角形，∴DE=DC=EC=AE=2在Rt△ADC中，AD【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、等边对等角、平行线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，灵活运用是解题的关键．。

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)一、单选题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()A. 3√3B. √5+1C. √10−1D. √10+12.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()A. 1，√3，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，6，73.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<a<c4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()A. 3，5，7B. 5，7，8C. 4，6，7D. 1，√3，2，则AC的长为()5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√133A. √13B. 4√13C. 2√13D. 3√1336.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()B. √2C. 1D. 2−√2A. √227.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()A. 3√7B. 8√2C. 6√7D. 3√7或8√29.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A. √61B. 11C. 7D. 810.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_______________.12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．三 、解答题19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.−12，0，√3，√−83，(−1)2.20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．(1)线段AB的长是______；(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．25.请阅读下列材料：已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．参考答案与解析1.【答案】D;【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√10−9=1，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=√10，∴BC=√10+1.故选：D.由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．2.【答案】A;【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．3.【答案】D;【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.∵5<10<13，∴b<a<c.故选：D.先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．4.【答案】D;【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．故选D.分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．5.【答案】B;【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，∴AB=√62+42=2√13，∵BC=2√133，∴AC=AB−BC=2√13−2√133=4√133，即AC的长为4√133，故选：B.由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM=45°．∴ΔHAM是等腰直角三角形，∴HM=√22AM=1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，∴∠BMN=∠BNM．∴BN=BM=1．故选：C．过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√22AM=1，根据角平分线的性质可得BM=MH=1，再证明BN=BM即可．这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．7.【答案】B;【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，ΔAOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；8.【答案】D;【解析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为√62−22=4√2，∴等腰三角形的面积=12×4×4√2=8√2；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4>6，∴4、4、6能构成三角形．∴底边上的高为=√42−32=√7，∴等腰三角形的面积=1×√7×6=3√7．2故选D．9.【答案】A;【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.所以最短路径的长为AB=√61(cm).故选：A.把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．10.【答案】B;【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，则a2+b2=c2，故这个三角形的形状是直角三角形；故选：B.利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．11.【答案】24cm2;【解析】略12.【答案】85或13;【解析】略13.【答案】2√7;【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，故答案为：2√7.根据勾股定理计算即可．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.14.【答案】14;【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，即AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵AB=15，AD=12，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∴BC=BD+CD=9+5=14.故答案为：14.在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．15.【答案】4;【解析】解：由勾股定理，得路长=√32+42=5(m)，少走(3+4−5)×2=4步，故答案为：4.根据勾股定理，可得答案．此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．16.【答案】3或3√7;【解析】该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．解：分两种情况：①如图所示：D在AB边上，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AD=CD=BC=3；②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，∴ΔBCE≌ΔDCA，∴BE=AD，∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，∵ΔACE为等边三角形，∴∠CAE=60°，AE=3√3，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，∴AD=BE=3√7，综上所述，AD=3或3√7．故答案为3或3√7．17.【答案】3;【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD，∵PD=3，∴PE=3.故答案为：3.根据角平分线的性质定理可得答案．此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18.【答案】18;【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1⋅BC⋅AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2=1，在数轴上表示如下：∴√−83＜-12＜0＜（-1）2＜√3．; 【解析】根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=12BC=2，由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，∴AD=BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2， 解得BC=4．综上所述，BC 的长是3或4．;【解析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.21.【答案】null;【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；故答案为：√5；(2)如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，∴AB2+DC2=EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．(1)直接利用勾股定理得出AB的长；(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;【解析】由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴CE=DE，在Rt△BDE和Rt△BCE中，{DE=CEBE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=10-6=4，设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE的长为3．;【解析】过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴DF=6cm，在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，解得x=8，∴筷子EG=8+2=10cm．;【解析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT=DE，∵DT2=DB2+EC2，∴DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。

初二勾股定理测试题及答案一、选择题1. 在直角三角形中，如果直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个三角形的两边长分别为5和12，且这两边构成直角，那么第三边的长度是多少？A. 10B. 13C. 15D. 17二、填空题3. 如果一个直角三角形的直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。

4. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边的长度是_________。

三、计算题5. 在一个直角三角形中，如果已知斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。

6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为x和y，斜边长为z。

已知x=9，y=12，求z的值。

四、解答题7. 一个梯形的两底边长分别为3和5，高为4，求梯形的对角线长度。

8. 一个长方体的长、宽、高分别为3米、4米和5米，求这个长方体的对角线长度。

答案：一、选择题1. A（根据勾股定理：3² + 4² = 5²）2. B（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）二、填空题3. 10（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）4. 12（根据勾股定理：5² + 12² = 13²）三、计算题5. 另一条直角边的长度为8（根据勾股定理：6² + 8² = 10²）6. z的值为15（根据勾股定理：9² + 12² = 15²）四、解答题7. 梯形的对角线长度为5（根据勾股定理：(3+5)² + 4² = 5²）8. 长方体的对角线长度为5（根据勾股定理：3² + 4² + 5² = 50，再开方得5）结束语：通过本次测试，我们复习了勾股定理的应用，希望同学们能够熟练掌握并灵活运用勾股定理解决实际问题。

C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.EABCDBDE ABCD第18题图7cm三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

一、选择题1．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）．A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3B ．ABC 中，222AB BC AC +=C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC === 2．下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．6，8，10 B ．1，2，3 C ．43，1，53 D ．2，4，6 3．如图，在数轴上，点A ，B 对应的实数分别为1，3，BC AB ⊥，1BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴正半轴于点P ，则P 点对应的实数为（ ）A ．51+B ．5C ．53+D ．45- 4．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5D ．a ＝8，b ＝17，c ＝155．如图所示，在Rt ABC 中，90,3,5C AC BC ∠=︒==，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则线段CD 的长是（ ）A ．85B ．165C ．175D ．2456．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺 7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 8．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在等腰Rt △ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，42OB =，6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）A ．10B ．16C ．40D ．80 10．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（ ） A ．1,2,3 B ．3,4,6 C ．2,3D ．7,15,17 11．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．EDA CEB S S =△△B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△D ．AECD DEBC S S =四边形四边形12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=4，D 、E 分别为边AC 、BC 上的两点，且AD=CE ， 当线段DE 取得最小值时，试在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．6B ．7个C ．8个D ．以上都不对二、填空题13．在平面直角坐标系中，点A(0，－3)，B(4a ＋4，－3a)，则线段AB 的最小值为 ___________．14．如图，在53⨯的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，则ABC ACB ∠+∠=_________．15．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．16．如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3．以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴负半轴于点B 1，则点B 1所表示的数是_____．17．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．18．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于,D E 两点，若4AB =，3BC =，则CD 的长为______________．19．已知：直角三角形两直角边a ，b 满足a+b=17，ab=60，则此直角三角形斜边上的高为__________；20．如图，正方形OABC 的边OC 落在数轴上，点C 表示的数为1，点P 表示的数为﹣1，以P 点为圆心，PB 长为半径作圆弧与数轴交于点D ，则点D 表示的数为___________．三、解答题21．如图，在ABC 中，2,1,20AB AC BAC AD BC ︒==∠=⊥于点D ，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE 和CE ．（1）补全图形；+的值最小，并求出最小值．（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP FP22．在△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的高，点E在边BC上，连接AE．(1)当AD=6时，①求△ABC的面积．②若AE平分∠BAD，求CE的长．(2)探求三条线段AE，BE，CE之间的等量关系．23．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材111页的部分内容．()1请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．()2拓展：如图②，在图①的ABC的边AB上取一点D，连接CD，将ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①求AE的长．②DE的长．24．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高．若5BD =，1AD =，试求线段CD 的长度．（2）深入探究如图2，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点且CA CB >，CD 是AB 边上试探究线段AD 与CB 的数量关系，并给予证明；25．利用所学的知识计算：（1）已知a b >，且2213a b +=，6ab =，求-a b 的值；（2）已知a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边长，若222568a b a b ++=+，求Rt △ABC 的周长．26．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度CD ，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45︒，再沿AC 方向前进60m 到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60︒，求CD 的高度（结果保留根号）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可．【详解】解：A 选项：ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，ABC ∴是直角三角形． B 选项：∵在ABC 中，222AB BC AC +=，ABC ∴是直角三角形．C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，又180A B C ︒∠+∠+∠=，12180x ︒∴=,345x ︒=，460x ︒=，575x ︒=，ABC ∴不是直角三角形．D 选项：在ABC 中，1,AB BC AC ===222AB BC AC ∴+=，ABC ∴是直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．2．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B 、2221+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 3．A解析：A【分析】根据题意求出AB ，根据勾股定理求出AC ，根据实数与数轴的关系解答即可．【详解】∵点A ，B 对应的实数分别为1，3，∴AB ＝2，∵BC ⊥AB ，∴∠ABC ＝90°，∴AC=则AP∴P 1，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．4．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【详解】解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．5．A解析：A【分析】连接AD ，由三角形全等以及三线合一可知PQ 垂直平分线段AB ，推出AD DB =，设AD DB x ==，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，根据222AD AC CD =+构建方程即可解决问题．【详解】如图，连接AD ，由已知条件可知PQ 垂直平分线段AB ，∴AD DB =，设AD DB x ==，5CD x =-，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，∴222AD AC CD =+，∴2223(5)x x =+-， 解得：751x =， ∴178555CD BC DB =-=-=， 故选：A ．【点睛】本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．C解析：C【分析】设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x 尺长，则102+（x+1-5）2=x 2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．7．C解析：C【分析】分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=， ∴BQ=CQ-BC=31-；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 3131．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．8．B解析：B【分析】根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB≅是解答本题的关键．9．C解析：C【分析】连结OO′．先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=42，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，则O′O=8．再利用勾股定理的逆定理证明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那么根据S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解．【详解】解：如图，连结OO′．∵△CBO≌△ABO′，∴2OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，∴∠O′BO=90°，∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，∴O′O=8．在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，∴OA2+O′O2=O′A2，∴∠AOO′=90°，∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=12×6×8+1222=24+16=40．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A错误；B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确； D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．11．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．12．B解析：B【分析】先找出DE 最短时的位置，然后根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点P 的个数．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，设AD=CE=x ，则4CD x =-，由勾股定理，得：2222222(4)28162(2)8DE CD CE x x x x x =+=-+=-+=-+， ∴当2x =时，2DE 最小，即DE 最小，∴此时2AD CD CE BE ====，DE ==∵在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则可分为三种情况进行分析：PD=PE ；PD=DE ，PE=DE ；如下图所示：点P 共有7个点；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，完全平方公式的应用，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的确定点P 的位置，注意运用数形结合的思想进行解题．二、填空题13．【分析】根据勾股定理可得整理配方即可求解【详解】解：根据勾股定理可得：∵∴线段AB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用根据勾股定理表示出是解题的关键 解析：245【分析】 根据勾股定理可得()()2224433AB a a =++-，整理配方即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：()()22222757644332514255525AB a a a a a ⎛⎫=++-=++=++ ⎪⎝⎭， ∵27576576552525a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭， ∴线段AB 的最小值为245， 故答案为：245． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用、完全平方公式的应用，根据勾股定理表示出2AB 是解题的关键．14．45°【分析】延长BA 到格点D 得到根据勾股定理求出ADCDAC 长度再进一步证明△ADC 为等腰直角三角形问题得解【详解】解：如图延长BA 到格点D则根据勾股定理得∴AD=CD ∴∠ADC=90°∴∠DAC解析：45°【分析】延长BA 到格点D ，得到ABC ACB DAC ∠+∠=∠，根据勾股定理求出AD 、CD 、AC 长度，再进一步证明△ADC 为等腰直角三角形，问题得解．【详解】解：如图，延长BA 到格点D ，则ABC ACB DAC ∠+∠=∠，根据勾股定理得， 22=12=5AD +，22=12=5CD +22=13=10AC +，∴AD=CD ，222=AD CD AC +，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴45ABC ACB ∠+∠=︒．故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理，理解两个定理是解题关键．15．【分析】过点A 作AD ⊥l3于D 过点B 作BE ⊥l3于E 易证明∠BCE ＝∠CAD 再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD17【分析】过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=，∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB 2=AC 234=⨯=217．故答案为：17【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE ＝CD 是解答本题的关键．16．1﹣2【分析】先求出AC 的长度再根据勾股定理求出AB 的长度然后根据数轴的特点从点A 向左AB 个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC ＝3﹣1＝2∵∠ACB ＝90°AC ＝BC ∴AB ＝∴点B1表示的数解析：1﹣2【分析】先求出AC 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长度，然后根据数轴的特点，从点A 向左AB 个单位即可得到点B 1．【详解】 解：根据题意，AC ＝3﹣1＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AB 22222222AC BC +=+=∴点B 1表示的数是1﹣22故答案为：1﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB．17．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC=（x﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．18．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD故AB=BD+AD=BD+CD设CD=x则BD=4-x在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可【详解】∵是的垂直平分线∴∴设则在中即解得∴故答案为:解析：25 8【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴CD AD=，∴AB BD AD BD CD=+=+，设CD x =，则4BD x =-，在Rt BCD 中，222CD BC BD =+，即()22234x x =+-， 解得258x =， ∴258CD =． 故答案为: 258． 【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质．由勾股定理得出方程是解决问题的关键．19．【分析】设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c 再利用三角形的面积求解即可【详解】解：设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 则因为此直角三角形的面积=所以故答案 解析：6013【分析】设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c ，再利用三角形的面积求解即可．【详解】解：设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，则13c =====，因为此直角三角形的面积=1122ab ch =， 所以6013ab h c ==． 故答案为：6013． 【点睛】 本题考查了勾股定理和完全平方公式等知识，正确变形、掌握解答的方法是关键． 20．【分析】根据勾股定理求出PB 的长即PD 的长再根据两点间的距离公式求出点D 对应的数【详解】由勾股定理知：PB ＝＝＝∴PD ＝∴点D 表示的数为﹣1故答案是：﹣1【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径数轴等知识1【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．【详解】由勾股定理知：PB＝22+＝22PC BC+＝5，21∴PD＝5,∴点D表示的数为5﹣1.故答案是：5﹣1.【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF交BC于点P，根据两点之间线段最短结合等边三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）补全图形如下：+的值最小．（2）连接EF交BC于点P，此时AP FP，，=⊥DE AD AD BC∴为AE的垂直平分线．BC∴===．CA CE AP EP2,∴+=+．AP FP EP PF，，=⊥∠=AB AC AD BC BAC︒,120∴∠=∠=︒．60BAD CADACE ∴为等边三角形．∵点F 是AC 的中点，1EF AC AF CF ∴⊥==，．在Rt CEF △中，90,1,2CFE CF EC ∠=︒==， 3EF ∴=． AP FP ∴+的最小值为3．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和定理是解答此题的关键．22．（1）①△ABC 的面积=48；②CE=11；（2）2100AE BE CE =-⋅．【分析】（1）①利用等腰三角形三线合一和勾股定理可求得BC=16，再计算面积即可；②作EF ⊥AB ，与AB 相交于F ，根据角平分线的性质可得EF=ED ，利用等面积法即可求得ED ，从而求得EC ；（2）在Rt △AED 和Rt △ADC 利用勾股定理可得等量关系式，再借助线段的和差和等量代换即可得出AE ， BE ，CE 之间的等量关系．【详解】解：（1）①∵AB =AC =10， AD 是BC 边上的高，∴DC=BC=2BD,AD ⊥BC ，∵AD =6，在Rt △ABD 中，根据勾股定理22221068BD AB AD =-=-=，∴BC=16，△ABC 的面积=111664822BC AD ⋅=⨯⨯=； ②作EF ⊥AB ，与AB 相交于F ，∵AD ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，∴EF=ED ，∵AD =6，AB=10，∴111()8222ABD S AB FE AD ED ED AB AD ED =⋅+⋅=⋅+=， 11862422ABD S BD AD =⋅=⨯⨯=， ∴3ED =， ∴CE=DC+ED=8+3=11；（2）在Rt △AED 中222AE AD ED =+，在Rt △ADC 中，222221()2AD AC DC AC BC =-=-， 12DE BD BE BC BE =-=-， ∴222211()()22AE AC BC BC BE =-+- =22221144AC BC BC BC BE BE -+-⋅+ =22AC BC BE BE -⋅+=2()AC BE BC BE --=2AC BE CE -⋅=100BE CE -⋅,故2100AE BE CE =-⋅．【点睛】 本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质．（1）中掌握等面积法是解题关键；（2）中能借助勾股定理列出等量关系式建立线段之间的联系是解题关键． 23．（1）10cm ；（2）①4cm ；②3cm【分析】（1）设AB=xcm ，AC=(x+2)cm ，运用勾股定理可列出方程，求出方程的解可得AB 的值，从而可得结论；（2）①由折叠的性质可得EC=BC=6cm ，根据AE=AC-EC 可得结论；②设DE=xcm ，在Rt △ADE 中运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：（1）设AB=xcm ，则AC=(x+2)cm ，根据勾股定理得，222AC AB BC =+∴222(+2)6x x =+解得，x=8∴AB=8cm ，∴AC=8+2=10cm;（2）①由翻折的性质得：EC=BC=6cm∴AE=AC-EC=10-6=4cm②由翻折的性质得：∠DEC=∠DBC=90°，DE=DB ，∴∠AED=90°设DE=DB=x ，则AD=AB-BD=8-x在Rt △ADE 中，222AD AE DE =+∴222(8)4x x -=+解得，x=3∴DE=3cm ．故答案为：3cm ．【点睛】此题主要考查了勾股定理与折叠问题，运用勾股定理解直角三角形，熟练掌握运用勾股定理是解答此题的关键．24．（1）①是；②2CD =；（2）证明见解析．【分析】（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，由)222,a a -=结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到22225,1,CB CD CA CD =+=+根据勾股高三角形的定义得到222CD BC AC =-，再列方程，解方程可得答案；（2）由△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高，可得：222,CA CD CB -= 再由勾股定理可得：222CA CD AD -=，从而可得结论．【详解】解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长==，∵)222,a a -=等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；②,CD AB ⊥ BD =，1AD =，由勾股定理可得：222222225,1,CB CD BD CD CA CD AD CD =+=+=+=+∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高，∴222CD BC AC =-，∴()()22251CD CD CD =+-+，24CD ∴=，解得，2CD =（负根舍去）；（2）AD=CB ，证明如下：∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高， ∴222CD CA CB =-，222,CA CD CB ∴-=,CD AB ⊥∴222CA CD AD -=∴22CB AD =，,CB AD 都为线段，∴AD CB =．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．25．（1）1；（2）12或7+【分析】(1)根据完全平方公式变形解答；(2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为22(3)(4)0a b -+-=，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c ，即可得到周长．【详解】（1）∵2213a b +=，6ab =，∴222()213261a b a b ab =+-=-⨯=-，∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；（2）222568a b a b ++=+2225680a b a b ++--=22698160a a b b -++-+=22(3)(4)0a b -+-=∴a-3=0，b-4=0，∴a=3，b=4，当a 与b 都是直角边时，5=，∴Rt △ABC 的周长=3+4+5=12；当a 为直角边，b 为斜边时，=，∴Rt △ABC 的周长=7【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．26．(90m +【分析】由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x ，表示出BD ，CD 和AC 的长，利用AB=60得到方程，求出x ，最后根据得到结果．【详解】解：由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，∴∠BDC=30°，△ACD是等腰直角三角形，设BC=x，∴BD=2x，∴CD=22BD BC-=3x=AC，∴AB=AC-BC=3x-x=（3-1）x=60，解得：x=31-=() 3031+，∴DC=3x=90303+，答：塔高约为(90303)m+．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．。

初二勾股定理试题及答案一、选择题1. 下列选项中，哪一项是勾股定理的表达式？A. a + b = cB. a² + b² = c²C. a × b = cD. a ÷ b = c答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 7C. 8D. 9答案：A3. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，那么另一条直角边的长度是多少？A. 8B. 4C. 6D. 10答案：A二、填空题1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，根据勾股定理，斜边的长度为______。

答案：102. 如果一个直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为5，那么另一条直角边的长度是______。

答案：12三、解答题1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15。

2. 一个直角三角形的斜边长为17，其中一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。

答案：设另一条直角边的长度为x，根据勾股定理，有x² + 8² =17²，即x² + 64 = 289，解得x² = 225，所以x = √225 = 15。

四、证明题1. 证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a² + b² = c²。

答案：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

在三角形中，我们可以构造一个边长为a和b的正方形，以及一个边长为c的正方形。

在这两个正方形中，我们可以画出四个相同的直角三角形，每个三角形的直角边长分别为a和b，斜边长为c。

这样，我们可以将这四个三角形拼成一个边长为a+b的正方形，其面积为(a+b)²。

一、选择题1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )A ．1，2，5B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 2．如图，在ABC ∆中，5,60AC C =∠=︒，点DE 、分别在BC AC 、上，且2,CD CE ==将CDE ∆沿DE 所在的直线折叠得到FDE ∆(点F 在四边形ABDE 内)，连接,AF 则2AF =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）A ．三个内角之比为1︰2︰3B ．一边上的中线等于该边的一半C ．三边为111,,12135D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．455．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．1 6．在ABC 中，10AB =，40AC =，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ）A ．10B ．8C ．6或10D ．8或10 7．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．1 8．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．514B ．8C ．16D ．649．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 11．已知ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边，下列条件中不能判断ABC 是直角三角形的是（ ）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．C A B ∠=∠-∠ C ．222+=a b cD ．::6:8:10a b c =12．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足：23|4|10250a b c c -+-+-+=，则c 边上的高为（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．4.8二、填空题13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则12S S +的值等于________．14．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．15．在ABC ∆中，AC ＝8，45C ∠=︒，AB ＝6，则BC ＝___________．16．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图” ．如图，设49a =，小正方形ABCD 的面积是9，则弦c 长为_______．17．如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3．以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴负半轴于点B 1，则点B 1所表示的数是_____．18．如图，以Rt ABC △的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为1S 、2S ， Rt ABC △的面积3S ．若14S =， 28S =，则 3S 的值为 ________ ．19．如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ），若线段AD 的长是正整数，则点D 的个数共有______个．20．在直角三角形中，其中两边分别为3，4，则第三边是______．三、解答题21．如图，平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如：点A 、点B ．请利用图中．．的“格点”完成下列作图或解答． （1）点A 的坐标为 ；（2）在第三象限内标出“格点”C ，使得CA =CB ；（3）在（2）的基础上，标出“格点”D ，使得△DCB ≌△ABC ；（4）点E 是y 轴上一点，连接AE 、BE ，当AE +BE 取最小值时，点E 的坐标为 ．22．如图，△ABC 中，AC ＝15，AB ＝25，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝12．（1）求线段AD 的长度；（2）判断△ABC 的形状并说明理由．23．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”（1）判断下列两个命题是真命题还是假命器（填“真”或“假”）①等边三角形必存在“和谐分割线”②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”． 命题①是_______命题，命题②是______命题；（2）如图2， Rt ABC ．90︒∠=C ，30B ，3AC =Rt ABC 是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度：若不存在，请说明理由． 24．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度CD ，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45︒，再沿AC 方向前进60m 到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60︒，求CD 的高度（结果保留根号）25．如图，已知等腰△ABC 的腰AB =13cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =12cm ，AD =5cm ． （1）求证：△BDC 是直角三角形；（2）求△BDC 的面积．26．如图，已知ABC 中，90ACB ︒∠=，过点B 作//BD AC ，交ACB ∠的平分线CD 于点D CD ，交BC 于点E ．（1）求证：BC BD =；（2）若36AC AB ==，，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A 、∵()2221255+==， ∴以1、2、5为三边的三角形是直角三角形，A 不符合题意；B 、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B 不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；D 、∵()22213107+=≠，∴以1、3、7为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．A解析：A【分析】根据折叠的性质和勾股定理可以得到解答．【详解】解：如图，过F 作FG ⊥AC 于G ，则在RT △EGF 中，∠GEF=180°-2∠CED=60°，∴∠GFE=90°-∠GEF=30°，∴GE=112EF =，33GE = ∴AG=AC-CE-GE=5-2-1=2， ∴在RT △AGF 中，22222237AF AG FG =+=+=，故选A ．【点睛】本题考查三角形的折叠，熟练掌握折叠和直角三角形的性质及勾股定理的应用是解题关键． 3．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定条件分别判断即可；【详解】三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 符合题意；三边长的关系为()()()()222222220m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 4．D解析：D【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．5．B解析：B【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，1，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．【详解】连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ， ∴2222(2)2AB AC ===，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，∴CE=21-，在△BDP 和△EDP 中，BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDP ≌△EDP ，∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，故选：B ．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．6．C解析：C【分析】分两种情况分类讨论，如图所示，分别在Rt ABD △与Rt ACD △中，利用勾股定理求出BD 与CD 的长，即可求出BC 的长．【详解】根据题意画出图形，如图所示，AD 是ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，如图1，10AB =，40AC ，6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=， ∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴10BC BD CD =+=；如图2，10AB =，40AC 6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=， ∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴6BC BD CD =-=，∴BC 的长度为：6或10．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到5【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴BF=AC=5，在Rt △BDF 中，DF=()2222521BF BD -=-=．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 8．D解析：D【分析】设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，代入得到2225289a +=，计算求出答案即可．【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，∴2225289a +=，∴字母A 所代表的正方形的面积264a =，故选：D ．．【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．9．B解析：B【分析】由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．【详解】∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，∴22226810AB BC +=＋，∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，∵BD 2＋BE 2＝DE 2，∴（8−x ）2＋42＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5．故选B ．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．11．A解析：A【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC 不是直角三角形；B 、因为∠C=∠A-∠B ，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC 是直角三角形； C 、因为a 2+b 2=c 2，故△ABC 是直角三角形；D 、因为a ：b ：c=6：8：10，设a=6x ，b=8x ，c=10x ，（6x ）2+（8x ）2=（10x ）2，故△ABC 是直角三角形．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．12．C解析：C【分析】先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出a 、b 、c 的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c 边上的高，利用面积求解即可．【详解】2|4|10250b c c -+-+=()2|4|50b c -+-=，()2|4|50b c -+-=， 30a ∴-=，40b -=，50c -=，解得：3a =，4b =，5c =，22222291653452a b c =+=+=+==，ABC ∆∴是直角三角形，设C 边上的高为h ，由直角三角形ABC 的面积为：1122c h a b =， 整理得3412===2.455a b h c ⨯=， c ∴边上的高为：2.4，故选择：C ．【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求a 、b 、c 的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据图形得到根据勾股定理推出【详解】解：由题意得所以故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用观察图形理解各部分图形的面积的关系利用勾股定理解决问题是解题的关键解析：98π．【分析】 根据图形得到22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据勾股定理推出()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=.【详解】 解：由题意，得22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=， 故答案为：98π.【点睛】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 14．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG ≌△GJF 从而得到正方形BEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90解析：7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG ≌△GJF ，从而得到正方形BEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积．【详解】解：∵∠BGC +∠FGJ =90°，∠GFJ +∠FGJ =90°∴∠BGC =∠GFJ∵∠BCG =∠GJF ，BG =GF∴△BCG ≌△GJF∴CG =FJ ，BC =GJ ，∴BG 2=BC 2+CG 2=BC 2+FJ 2∴正方形DEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积=4+3=7．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．15．【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为解析：2【分析】ABC ∆有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A 点作AD 垂直于BC ，当为ABC ∆锐角三角时，BC=CD+BD ，当ABC ∆为钝角三角形时，BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案．【详解】如图，过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时，AC ＝8，45C ∠=︒，90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42在Rt ABD ∆中 22226(42)3632AB AD -=-=-∴ BC=CD+BD=422当为ABC ∆钝角三角时，同理可得 CD=2 ,BD=2∴ BC=CD-BD=422 故答案为：422【点睛】本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键． 16．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】解：∵小正方形的面积是9∴AD=CD=3∴a=b-3∵4∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学 358 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】解：∵小正方形ABCD 的面积是9，∴AD=CD=3，∴a=b-3，∵49a =， ∴94a =， ∴214b =， ∵222+=a bc ，∴222921+=44c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4c =，故答案为：4． 【点睛】 本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 17．1﹣2【分析】先求出AC 的长度再根据勾股定理求出AB 的长度然后根据数轴的特点从点A 向左AB 个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC ＝3﹣1＝2∵∠ACB ＝90°AC ＝BC ∴AB ＝∴点B1表示的数解析：1﹣【分析】先求出AC 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长度，然后根据数轴的特点，从点A 向左AB 个单位即可得到点B 1．【详解】解：根据题意，AC ＝3﹣1＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AB==∴点B1表示的数是1﹣故答案为：1﹣．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB ．18．12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为abc 则观察图形可得：即∵∴=∴=4+8=12故答案为：12【点睛】本题考查了勾股定理圆的面积熟记圆的面积公式解析：12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得3S 的值．【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，则222+=a b c ，观察图形可得：222312111111()()()222222a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅， 即222312111888a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅，∵222+=a b c ， ∴221188a b ππ⋅+⋅=218c π⋅， ∴312S S S =+=4+8=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．19．3【分析】首先过A 作AE ⊥BC 当D 与E 重合时AD 最短首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC 进而可得BE 的长利用勾股定理计算出AE 长然后可得AD 的取值范围进而可得答案【详解】解：过A 作AE ⊥BC ∵AB解析：3【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 与E 重合时，AD 最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC ，进而可得BE 的长，利用勾股定理计算出AE 长，然后可得AD 的取值范围，进而可得答案．【详解】解：过A 作AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴EC=BE=12BC=4， ∴2254-，∵D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．∴3≤AD ＜5，∴AD=3或4，∵线段AD 长为正整数，∴AD 的可以有三条，长为4，3，4，∴点D 的个数共有3个，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD 的最小值，然后求出AD 的取值范围．20．5或【分析】从当此直角三角形的两直角边分别是3和4时当此直角三角形的一个直角边为3斜边为4时这两种情况分析再利用勾股定理即可求出第三边【详解】解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时则第三边为=5 解析：5或7 【分析】 从当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时这两种情况分析，再利用勾股定理即可求出第三边．【详解】解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，则第三边为2234+=5，当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时，则第三边为2243=7-．故答案为：5或7．【点睛】此题考查了勾股定理的知识，注意掌握勾股定理的表达式，分类讨论是关键，难点在于容易漏解．三、解答题21．（1）（1,3）；（2）图见解析；（3）图见解析；（4）（0,2）【分析】（1）通过点A 的位置，直接写出坐标，即可；（2）利用勾股定理和“格点”的定义，直接画出图形即可；（3）根据全等三角形的判定定理，直接作图，即可；（4）作点A 关于y 轴的对称点A′，连接BA′，交y 轴于点E ，即可求解．【详解】（1）由点A 在平面直角坐标系中的位置，可知：点A 的坐标为（1,3） ，故答案是：（1,3）；（2）如图所示：CB=5，CA=22345+=，故点C 即为所求点；（3）如图所示：点D 即为所求点；（4）作点A 关于y 轴的对称点A′，连接BA′，交y 轴于点E ，此时AE +BE 取最小值，点E 的坐标为（0,2）．故答案是：（0,2）．【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定定理，是解题的关键．22．（1）9；（2）△ABC是直角三角形，理由见详解．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AC＝15，CD＝12，∴AD2＝AC2−CD2＝152−122＝81，∵AD＞0，∴AD＝9；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB＝25，AD＝9，∴BD＝AB−AD＝25−9＝16，在Rt△CDB中，∵∠BDC＝90°，∴BC2＝CD2＋BD2＝122＋162＝400，∵BC＞0，∴BC＝20，∵AC2＋BC2＝152＋202＝252＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．23．（1）假，真；（2）2【分析】（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可，并求AD的长；【详解】解：（1）①从等边三角形一个顶点出发，所分成的两个三角形必定不是等边三角形，不与原三角形的三个内角分别相等，故等边三角形不存在“和谐分割线”，是假命题；②如图，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，CD平分∠ACB，则∠B=∠BCD=∠ACD，即△BCD是等腰三角形，在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∠ADC=∠ACB=2∠B，故△ABC必存在“和谐分割线”，正确，是真命题，故答案为：假，真；（2）Rt△ABC存在“和谐分割线”，理由是：如图作∠CAB的平分线，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠DAB=∠B=30°，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=∠CAD=30°，又∠C=∠C，∠ADC=∠CAB=60°，∴△ADB是等腰三角形，且△ACD和△ABC三个内角相等，∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，∴3=2．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和、“和谐分割线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．24．(90303)m+【分析】由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x，表示出BD，CD和AC的长，利用AB=60得到方程，求出x，最后根据DC=3x得到结果．【详解】解：由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，∴∠BDC=30°，△ACD是等腰直角三角形，设BC=x，∴BD=2x，∴CD=22BD BC-=3x=AC，∴AB=AC-BC=3x-x=（3-1）x=60，解得：x=31-=() 3031+，∴DC=3x=90303+，答：塔高约为(90303)m+．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．25．（1）证明见解析；（2）48cm2．【分析】（1）由AB=AC=13cm，CD=12cm，AD=5cm，知道AC2=AD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，（2）根据三角形面积公式解答．【详解】证明：（1）∵AB=AC=13cm，CD=12cm，AD=5cm，∴AC2=AD2+CD2，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°，∴△BDC为直角三角形；（2）∵AB=13cm，AD=5cm，∴BD=13﹣5=8cm．∵CD =12cm ， ∴281248()2BDC S cm ∆⨯==． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．理解如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．26．（1）见详解；（2）【分析】（1）由平行线的性质得∠ACD=∠BDC ，根据平分线的性质得∠ACD=∠BCD ，进而即可得到结论；（2）先证明∠CBD=90°，结合勾股定理，即可求解．【详解】（1）∵// BD AC ，∴∠ACD=∠BDC ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD ，∴∠BDC=∠BCD ，∴BC BD =；（2）∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠BDC+∠BCD=90°，∴∠CBD=180°-90°=90°，∵在Rt ABC 中，BC ===， ∴BC BD ==∴在Rt BCD △中，CD ==． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．。

八年级初二数学勾股定理单元测试含答案一、选择题1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．121B ．110C ．100D ．902．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cm +B ．513cmC ．277cmD ．(2583)cm +3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm ，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )A ．13 cmB ．4cmC ．4cm D ．52 cm 4．已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足222()()0a b a b c ---=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．5.3尺B ．6.8尺C ．4.7尺D ．3.2尺6．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A ．236、、B ．3、4、5C ．3、4、7D ．2、3、47．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ）A ．12cmB ．14cmC ．20cmD ．24cm 8．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5D ．5或7 9．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽10．如图， 在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．13．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．14．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________15．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．16．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．17．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．18．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．19．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．20．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA 的取值范围是______________；②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．三、解答题21．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．22．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．23．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .24．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.25．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).26．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.27．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形． 90CBF ∠=︒，90ABC OBF ∴∠+∠=︒， 又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，OBF ACB ∴∠=∠，在OBF ∆和ACB ∆中，BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，AC OB =∴，同理：ACB PGC ∆≅∆，PC AB ∴=，OA AP ∴=，所以，矩形AOLP 是正方形，边长347AO AB AC =+=+=，所以，3710KL =+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．2．C解析：C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= ∵277<325∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的3．D解析：D【解析】【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】如图，由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，所以彩带最短是52cm．故选D．【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，4．D解析：D【分析】由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【详解】解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，即a=b或a2=b2+c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．5．D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x 2+62=（10-x ）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA 是3.2尺．故选D ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．6．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项A ，2222)3)6)+≠，不能构成直角三角形；选项B ，2223)4)5)+≠，不能构成直角三角形；选项C ，2223)4)7)+=，能构成直角三角形；选项D ，2222)(3)(4)+≠，不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．7．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求．【详解】解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作A 关于E 的对称点A'，连接A'B 交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm ，延长BG ，过A'作A'D ⊥BG 于D ，∵AE=A'E=DG=4cm ，∴BD=16cm ，Rt △A'DB 中，由勾股定理得：22201612-=cm∴则该圆柱底面周长为24cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．8．D解析：D【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【详解】当4是直角边时，斜边2234+，当4是斜边时，另一条直角边22473-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．9．D解析：D【分析】3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．故选D ．【点睛】考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．10．D解析：D【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．故选：D．【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M 点与N 点的位置是解题的关键． 12． 【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴ ∠90°.根据勾股定理可得．13．3【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=32∴226AD CD +=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=3 故答案为：3【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.14．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴BC=310；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴10；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．15．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，π=厘米，矩形的宽BC=12厘米．∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=39∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB=+=+=厘米．故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．16．36或84【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵BC边上的高为8cm，∴AD=8cm，∵AC=17cm，由勾股定理得：22221086BD AB AD=-=-=cm，222217815CD AC AD=-=-=cm，如图1，点D在边BC上时，BC=BD+CD=6+15=21cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×21×8=84cm2，如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD−BD=15−6=9cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×9×8=36 cm2，综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，故答案为：36或84．【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．17．65【分析】由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．【详解】解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，AE AD ⊥，DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，又BAC DAC 190∠∠∠=+=，12∠∠∴=，在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴≌()ACE SAS ．BD CE ∴=，4B ∠∠=BAC 90∠=，AB AC =，∴B 345∠∠==4B 45∠∠∴==，ECF 3490∠∠∠∴=+=，222CE CF EF ∴+=，222BD FC EF ∴+=，AF 平分DAE ∠，DAF EAF ∠∠∴=，在DAF 和EAF 中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAF ∴≌()EAF SAS ．DF EF ∴=．222BD FC DF ∴+=．22222DF BD FC 68100∴=+=+=，∴DF 10=BC BD DF FC 610824∴=++=++=，AB AC =，AG BC ⊥， 1BG AG BC 122∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=， ∴22AD AG DG 65=+=故答案为65【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．19．222【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴2，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵2，∴2即2，∴△PEB的周长的最小值是222．故答案为2【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．20．①1＜OA＜4．②672．【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68， BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.三、解答题21．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=， 90B ∠=︒，222246213()PQ BQ BP cm +=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ，则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．22．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c |c ﹣17|+b 2﹣30b +225，21||7(15)c b +-﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝12×8×15＝60． 【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.23．作图见解析，325 【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭x ∴()2221654=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．24．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n =【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．25．（1）见解析；（2）26；（3）3a+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE ，BC 交于点H ，在△ACH 和△BEH 中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE 为直角三角形 由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ，∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM ⊥DE ，∴∠CMD=90°，DM=EM ，∴CD=CE=2CM ，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，∴BE=2EN ，3EN∵BN=a∴BE=2EN=33a =AD ∴2323+b 【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.26．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用28．（1）△AEF 是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F 到BC 的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ABC 是等边三角形，得出AC ＝AB ，再证明△BAE ≌△DAF ，得出AE ＝AF ，即可得出结论；（2）连接AC ，同（1）得：△ABC 是等边三角形，得出∠BAC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，再证明△BAE ≌△CAF ，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC 和△ACD 是等边三角形，得出AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．【详解】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∵点E是线段CB的中点，∴AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）证明：连接AC，如图2所示：同（1）得：△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACF＝60°＝∠B，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF；（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝120°＝∠ACF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠AEB＝45°，∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：则GE＝GF，∠FGH＝30°，∴FG ＝2FH，GH＝FH，∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，∴∠CFH＝30°，∴CF ＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，∵BC＝AB＝4，∴CE＝BC+BE＝4+2x，∴EH ＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，∴FH＝x＝3﹣，即点F到BC的距离为3﹣．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．，理由见解析.29．(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①6；②s ab【解析】【分析】（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，连接BE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，∵∠DEF=∠DCF=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°，∵∠EFB+∠EFC=180°，∴∠EFB=∠EDC，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴DE=EF，∵∠DEF=90°，∴∠EDF=45°故答案为45°．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，。