高考数学一轮复习 02 命题及其关系学案 理

2019-2020学年高考数学一轮复习 命题及其关系充要条件教案教学内容学习指导 即使感悟 【学习目标】1.理解命题的概念．2.了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【学习重点】命题及充分条件、必要条件的应用 【学习难点】命题及充分条件、必要条件的应用【回顾预习】 1．下列语句：①2＋2是有理数；②求方程2x ＋2x －3＝0的解；③2100是个大数；④肺炎是怎样传播的？⑤并非所有的人都喜欢苹果．其中是命题的是( D ) A ．①②③ B ．①③④C ．②⑤D ．①⑤ 2．(2009年厦门模拟)“x ＞3”是“2x ＞4”的( B )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.命题“若a b >，则22ac bc >”（a b c 、、 ∈R ）与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( B )A.3B.2C.1D.0 4.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的 （ A ） A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题 情境导入 本部分内容在高考试题中多以选择题、填空题的形式出现，大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性，属于中档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大.回顾知识【自主合作探究】自主学习：1．命题用________________表达的，可以判断真假的__语句____叫做命题，其中_判断为真_的语句叫做真命题，判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题_若q则p_______否命题若⌝p则⌝q逆否命题若⌝q则⌝p(2)四种命题间的相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_相同___的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性___一致_____．3．充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则_p是q_的充分条件，q是P 的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则_p是q的充要条件，q 也是p的充要条件．合作探究：例1、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形是全等三角形．(2)若q＜1，则方程2x＋2x＋q＝0有实根．(3)若2x＋2y＝0，则实数x、y全为零（1）面积相等的两个三角行是全等三角行。

高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p．四种命题间的关系四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．自我检测．下列命题中的假命题是A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1c．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0答案 c解析对于c选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x ∈R，x3>0是假命题．2．“a>0”是“|a|>0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．“x>0”是“x≠0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s 是p的逆命题t的A．逆否命题B．逆命题c．否命题D．原命题答案 c解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．与命题“若a∈m，则bm”等价的命题是A．若am，则bmB．若bm，则a∈mc．若am，则b∈mD．若b∈m，则am答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形；弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．p：x－2＝0；q：＝0.p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解∵x－2＝0⇒＝0；而＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件．∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.∴p是q的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p是q的充要条件的是①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1；q：y＝f是偶函数；③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③c．③④D．①④答案 D解析①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②当f＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋π2，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠tanβ；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a，b，c为△ABc的三边，求证：方程x2＋2ax ＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即＝0.故两方程有公共根x＝－．所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.变式迁移3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝－＝＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即＝0.又ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a2－ab＋b2＝2＋34b2>0.∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.转化与化归思想的应用例已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.[2分]另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，∴Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈[－54，1]．[6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2－4m－5∈Z，∴m为4的约数，[8分]∴m＝－1或1，当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，而当m＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.[12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．一、选择题．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABc中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是A．①B．②c．③D．④答案 c解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．设0<x<π2，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵0<x<π2，∴0<sinx<1.∴xsinx<1⇒xsin2x<1，而xsin2x<1xsinx<1.故选B.3．“α＝π6＋2kπ”是“cos2α＝12”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ可得到cos2α＝12.由cos2α＝12得2α＝2kπ±π3．∴α＝kπ±π6．所以cos2α＝12不一定得到α＝π6＋2kπ．4．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是A．都真B．都假c．否命题真D．逆否命题真答案 D解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.二、填空题6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．已知p：＝0，q：2＋2＝0，则p是q的____________条件．答案必要不充分解析由＝0得x＝1或y＝2，由2＋2＝0得x＝1且y ＝2，所以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件．8．已知p：x2＋2x－m>0，如果p是假命题，p是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；若ab＝0，则a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，则x、y全为零．解逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．0．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p 是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.则{x|綈q}{x|綈p}，而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，则3a≥－2，a<0或a≤－4，a<0.综上，可得－23≤a<0或x≤－4.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．当n＝1时也成立．于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．∵p≠0，p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p －1＝p.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q ＝p，即p－1＝p＋q.∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．。

p q 命题及其关系,充分条件,必要条件 一、 知识梳理：（阅读教材选修2-1第2页—第13页）1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式； （2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用 或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。

2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

3、 判断充分性与必要性的方法：（一）、定义法（1）、且q ，则p是q的充分不必要条件；（2）、，则p是q的必要不充分条件；（3）、，则p是q的既不充分也不必要条件；（4）、且，则p是q的充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B；（1）、若A，则p是q的充分条件若，则p是q的必要条件;（2）、若A，则p是q的充要条件；（3）、若A，且A，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；（4）、若A，且，则p是q的既不充分也不必要条件；二、题型探究探究一：四种命题的关系与命题真假的判断例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B )A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若ab=0，则a=0或b=0。

解析：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华 判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________． 答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9， 故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2， 依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133， 因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】 一、考纲点击 1、理解命题的概念；2、了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】 1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系 （1）四种命题命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题若q ⌝，则p ⌝（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，其真命题的个数能否为1或3?提示：由于原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4，不可能为1或3.2．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是q ”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是q 的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B (2x －1)x ＝0⇒x ＝12或x ＝0；x ＝0⇒(2x －1)·x ＝0.2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(教材习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac ＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是 ( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析：选A 由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sinx <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sin x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “非q 的一个充分不必要条件是非p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1. 由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0， 当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.。

其次节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( )A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假答案 D q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p假,当x<1时,x2<1不肯定成立,∴q假.故选D.2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0.故选B.3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B 直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直,所以a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或a=-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.4.(2024辽宁沈阳质检)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2+3x-4=0”,真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”,假命题答案 C 依据逆否命题的定义可以解除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.5.(2024江西南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π答案 B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.6.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x ≠0”B.命题“若cosx=cosy,则x=y ”的逆否命题为真命题C.命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 都不是有理数”D.“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题为真命题答案 D A 中,命题的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0”,选项A 不正确;B 中,命题“若cosx=cosy,则x=y ”为假命题,因此其逆否命题为假命题;对于C,命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 不都是有理数”,所以C 错误;D 中命题为真命题.故选D.7.已知命题α:假如x<3,那么x<5;命题β:假如x ≥3,那么x ≥5;命题γ:假如x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③答案 A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换,故①正确,②错误,③正确.8.已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 解法一:S 4+S 6>2S 5等价于(S 6-S 5)+(S 4-S 5)>0,等价于a 6-a 5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵S n =na 1+12n(n-1)d,∴S 4+S 6-2S 5=4a 1+6d+6a 1+15d-2(5a 1+10d)=d,则S 4+S 6>2S 5等价于d>0.故选C. 9.设a,b ∈R,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的 条件.答案 充要解析 设f(x)=x|x|,则f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以f(x)是R 上的增函数,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.10.原命题“设a 、b 、c ∈R,若a>b,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .答案 2解析 由题意可知原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题;逆命题为“设a 、b 、c ∈R,若ac 2>bc 2,则a>b ”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题.故真命题有2个11.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是.答案[3,8)解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m 的取值范围是[3,8).12.(2024安徽合肥模拟)已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=√x2-3x+2}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.答案{a|a≤0或a≥3}解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以a+1≤1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并推断它们的真假.解析(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,为真命题.。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．突破点一命题及其关系[基本知识]1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．命题“若x2<4，则－2<x<2”的否命题为________________，为________(填“真”或“假”)命题．答案：若x 2≥4，则x ≥2或x ≤－2 真2．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是____________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 3．有下列几个命题：(1)“若a >b ，则1a >1b”的否命题；(2)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (3)“若|x |<4，则－4<x <4”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：(1)原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；(2)原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：(2)(3)[全析考法]考法一 命题真假的判断[例1] 下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题，故选B.[答案] B [方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．考法二四种命题的关系[例2] (1)(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1(2)(2019·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.(2)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误．选A.[答案] (1)D (2)A[方法技巧]四种命题的关系及真假判断(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．(2)命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．②间接判断法：转化成等价命题，再判断．[集训冲关]1.[考法二]命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．2.[考法一、二]原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝ －1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.3.[考法一]定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a >0，b >0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)． 解析：对于①，当a ≥1时，a b≥1， 则ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；当0<a <1时，0<a b <1，则ln ＋(a b )＝0，b ln ＋a ＝0， 即ln ＋(ab )＝b ln ＋a ，故①为真命题．同理讨论a ，b 在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．对于②，可取特殊值a ＝e ，b ＝1e，则ln ＋(ab )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝1＋0＝1，故②为假命题． 综上可知，真命题有①③④. 答案：①③④突破点二 充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q pp 是q 的必要不充分条件 pq 且q ⇒p p 是q 的充要条件 p ⇔qp 是q 的既不充分也不必要条件p q 且q p2.p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为Bp 是q 的充分条件 A ⊆B p 是q 的必要条件 B ⊆A p 是q 的充分不必要条件 A B p 是q 的必要不充分条件 B A p 是q 的充要条件A ＝B一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( ) (3)“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的必要不充分条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、填空题1．“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)． 答案：充分不必要2．“ab >0”是“a >0，b >0”的________条件． 答案：必要不充分3．xy ＝1是lg x ＋lg y ＝0的________条件． 解析：lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0， ∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立， 反之无法得到x >0，y >0.因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．解析：由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，故p 是t 的充分不必要条件，r 是t 的充要条件．答案：充分不必要 充要[全析考法]考法一 充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2018·北京高考)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．[答案] (1)B (2)A[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考法二 根据充分、必要条件求参数范围[例2] (2019·大庆质检)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)[解析] 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q 的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故选D.[答案] D [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[集训冲关]1.[考法一]已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若π2<θ<π，则cos θ<0，所以m ·n <0；若θ＝π，则m ·n ＝－|m |·|n |<0.故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.2.[考法一]已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＝7π3，β＝π3均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－5π3，β＝π6均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.3.[考法二]设M 为实数区间，a >0且a ≠1，若“a ∈M ”是“函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选D 由函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增可知0<a <1，由题意及选项知区间M 可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选D.4.[考法二]已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}． 由p 是q 的必要不充分条件可知B A ， ∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)[课时跟踪检测] 1．(2019·合肥模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0或b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．故选A. 2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立， 故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件． 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点 C ．互相包含的两个集合相等 D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．4．(2019·合肥调研)“a >1”是“3a>2a”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 是增函数，又a >1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a >1，所以3a >2a ；若3a >2a，则⎝ ⎛⎭⎪⎫32a >1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫320，所以a >0，所以“a >1”是“3a >2a”的充分不必要条件，故选A. 5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确； 对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．6．(2019·咸阳模拟)已知p ∶m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2019·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )， ∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是( )A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题C．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D 原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析：选B 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.11．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”；否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”；逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”．全为真命题．答案：412．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]13．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析：p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a <1.答案：(－∞，1)14．(2019·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的____________条件．解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列．如果{a n }是等比数列，由a 1＝S 1＝Aq ＋B ，得a 2＝S 2－a 1＝Aq 2－Aq ，a 3＝S 3－S 2＝Aq 3－Aq 2， ∴a 1a 3＝a 22，从而可得A ＝－B ，故“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1，p ：π4≤x ≤π2，q ：|f (x )－m |<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：化简解析式，得f (x )＝4·1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2－23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos2x ＋1＝4sin ( 2x －π3)＋1. 当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3， 则12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以f (x )∈[3,5]． 当|f (x )－m |<2时，f (x )∈(m －2，m ＋2)． 又p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2<3，m ＋2>5，所以3<m <5.即实数m 的取值范围为(3,5).。