壹学府公开课讲义

第一章函数、极限、连续首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大学数学教学研究十三年,从事《高数》专升本教学五年。

普通高校的专科生,最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次,弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾.由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。

河南省设置考试两门课程:一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。

《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。

但该课程抽象性强,某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。

例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等.因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。

在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。

耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80％，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员,达到140多分.耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因:（一）耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队伍。

这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆.（二）耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。

可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。

老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。

记得去年我教的一个女孩叫梅婷,架着双拐来上课,后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜.《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点,分值的分布相对固定,近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。

学生： 沈竹君 科目： 数学 第 1 阶段第 5 次课 教师： 辛颢 教研组签字： 教务处签字： 日期： 2013-11-15 下节课教学内容：一元一次不等式【知识要点】、1.不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。

2.表示不等式关系的符号及其意义．“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）” 3.不等式的性质．（重点）不等式的性质 1 ：不等式的两边 ，不等号的方向不变． 不等式的性质 2 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 ．4.一元一次不等式 （重点）：（1）只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1系数不等于0不等式，叫做 ．（2）一元一次不等式的一般形式为：b ax +＞0或b ax +＜0（0≠a ） 5．一元一次不等式的解法：例：131321≤---x x 解不等式：解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘哦！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 6.一元一次不等式组的解（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。

（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。

）课 题 一元一次不等式教学目标 1.进一步巩固求一元一次不等式的解集;2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 重点、难点用数学知识去解决简单的实际问题教学内容7.一元一次方程与一次函数、二元一次方程（组）与一次函数的联系．（难点）（1）任何一元一次方程都可以转化为)0,(0≠=+a b a b ax 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线b ax y +=，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．（2）二元一次方程与一次函数的联系．若k ，b 表示常数且k ≠0，则b kx y =-为二元一次方程，有无数个解，将其变形可得b kx y +=，将 x ，y 看作自变量、因变量，则b kx y +=是一次函数．事实上，以方程b kx y =-的解为坐标的点组成的图象与一次函数b kx y +=的图象相同． （3）二元一次方程组与一次函数的联系． 二元一次方程组解一可以看作是两个一次函数和图像的交点．8.一元一次不等式与一次函数的联系． （难点）（1）任何一个一元一次不等式都可以转化为b ax +＞0或b ax +＜0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大（小）于0时，求自变量的取值范围． （2）一次函数b kx y +=与一元一次方程0=+b kx 和一元一次不等式的关系：函数b kx y +=的图象在x 轴上方的点所对应的自变量x 的值，即为不等式b kx +＞0的解集；在x 轴上的点所对应的自变量x 的值，即为方程0=+b kx 的解；在x 轴下方的点所对应的自变量x 的值，即为不等式b kx +＜0的解集．【典型例题】【例1】已知有理数a b 、在数轴上对应的点如图1所示，则下列式子正确的是（ ）．A ．0ab >B ．a b >C ．0a b ->D ．0a b +>【例2】（2010四川乐山）下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a ＞b ，得2-a ＜2-bB ．由a ＞b ，得a 2-＜b 2-C ．由a ＞b ，得a＞bD ．由a ＞b ，得2a ＞2b· ··· · x0 1a b1-【例3】在平面直角坐标系中，若点)1,3+-m m P （在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．-1＜m ＜3B ．m ＞3C ．m ＜-1D ．m ＞-1【例4】已知关于x 的不等式2＜x a )1(-的解集为x ＜a-12，则a 的取值范围是（ ）． A ．a ＞0 B.a ＞1 C.a ＜0 D.a ＜1 【例5】如果不等式m x -3＜0的正整数解为1，2，3，则 m 的取值范围是（ ）A ．129<≤mB ．129≤<mC ．12<mD ．9≥m【例6】（2010山东泰安）若关于x 的不等式⎩⎨⎧≤-<-1270x m x 的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ）A ．76<<mB ．76<≤mC ．76≤≤mD ．76≤<m【例7】（2009年福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）.A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm【例8】关于x 的不等式组⎩⎨⎧>>mx x 2的解集是2>x ，则m 的取值范围是 ．【例9】关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 ．【例10】（2009武汉）如图，直线y kx b =+经过(21)A ，， (12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ．【例11】（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥【例12】已知关于 x ，y 的方程组的解满足x ＞y ，求p 的取值．yxO AB【例13】学校离家远的同学安排住宿，现有房问若干间，若每间住5人，则还有14人安排不下；若每间住7人，则有一间房有人住但还余床位．问学校可能有几间房间可以安排同学住宿?住宿的学生可能有多少人?【例14】 （2011四川内江）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?【课堂检测】1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．(A)1>ba(B)ba ＜1 (C)ba 11< (D)ab ＜12、a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．(A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3、｜a ｜＋a 的值一定是( )．(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零4、不等式组213351x x +>⎧⎨-⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）.5、如图，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，，直线2y x =过点A ，则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．2x <-B ．21x -<<-C ．20x -<<D ．10x -<<6、（2009年台湾）已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片。

高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用The final revision was on November 23, 2020集合的含义与表示_____________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ _____________1、通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。

2、掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“”来表示。

3、掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。

一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

集合中每一个对象称为该集合的元素。

如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。

1，2，3，4就是这个集合的元素。

类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。

一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。

2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。

3、集合通、、、……；元素通常用小写的字母表示，如常用大写的字母表示，如A B C、、、……。

a b c d二、集合中元素的特性：1、确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体的对象，则x或者是A 的元素，或者不是A的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性：对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。

集合中相同的元素只能算是一个。

如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。

学府沙盘讲解资料您好，欢迎光临！请问您是第一次来这里吗？之前你和我们联系过吗？我叫***，是这里的置业顾问，请问您怎么称呼？好的，**先生/小姐，您这边请，让我给您介绍一下吧。

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第2课时集合的表示学习目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)(重点)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．知识点一列举法表示集合(1)列举法的定义：把集合中的元素一一列举出来，并且花括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．(2)列举法三步骤：第一步：求出集合的元素；第二步：把元素一一列举出来，注意不重复；第三步：用花括号括起来．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．()(2)集合{x2＋1,1}中的x的取值为任意实数．()提示(1)不正确；集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同，故两集合不是同一集合，故此说法不正确．(2)不正确．集合中的x不能为0．★★答案★★(1)×(2)×知识点二描述法表示集合(1)描述法的定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．(2)描述法三步骤：第一步：用符号表示一般元素及取值范围；第二步：写出元素所具有的共同特征；第三步：用竖线隔开写在花括号内．(3)描述法的格式：【预习评价】1．下列集合是用描述法表示的为()A．{x＝1} B．{1}C．{x|x＝1} D．1解析 根据描述法的表示形式知选项C 正确． ★★答案★★ C2．不等式4x －5<7的解集为________．解析 由4x －5<7，得x <3，所以不等式4x －5<7的解集为{x |4x －5<7}，即{x |x <3}． ★★答案★★ {x |x <3} 知识点三 集合的分类集合⎩⎨⎧空集： 不含任何元素的集合.非空集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含 有限个元素的集合.无限集：含 无限个元素的集合.【预习评价】1．集合{x ∈R |x 2<0}中有几个元素？ 提示 0个．2．所有整数组成的集合，能否写成{整数集}?提示 不能，因为“{ }”表示“所有”“一切”“整体”的含义，所以所有整数组成的集合，不能写成{整数集}，而应写成{x |x 是整数}或Z ．3．一个集合是否既可用列举法表示也可用描述法表示？提示 可以．如小于5的自然数既可以用列举法表示为{0,1,2,3,4}，也可用描述法表示为{x ∈N |x <5}．题型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解．解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故交点组成的集合为{(0,1)}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故方程组的解集为{(－1,2)}． 规律方法 用列举法表示集合的适用条件(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；(2)集合中的元素较多或无限多，但呈现一定的规律性时，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合． (2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合． (3)单词look 中的字母组成的集合．(4)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合．解 (1)小于10的所有自然数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)方程x 2＝x 的实数根为1,0，用列举法表示为{1,0}．(3)因为集合中的元素具有互异性，所以look 中的字母组成的集合为{l ，o ，k}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5，得3<x ≤6，又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．题型二 用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．规律方法 用描述法表示集合时应注意：(1)“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ；(2)“竖线”不可省略；(3)p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一个集合，描述法表示可以不唯一．【训练2】 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.【探究1】 (1)设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－5x －a ＝0}中所有元素之和为________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，则a ＝________，b ＝________． 解析 (1)因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， 所以25＋5a －5＝0，所以a ＝－4， 代入方程x 2－5x －a ＝0得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或4，所以集合{x |x 2－5x －a ＝0}＝{1,4}． 集合{x |x 2－5x －a ＝0}中所有元素之和为5．(2) 由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6． ★★答案★★ (1)5 (2)5 6【探究2】 已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B ．解 因为f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0． 又因为A ＝{1，－3}，所以由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(－3)＝a ＋1，1×(－3)＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3．f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0．所以B ＝{x ∈R |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}．【探究3】 设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N ．(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B ． 解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B,2∉B ．(2)因为62＋x ∈N ，所以0<2＋x ≤6，且2＋x ∈N *，当x ＝0时，62＋0＝3∈N ；当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ；当x ＝3时，62＋3＝65∉N ；当x ＝4时，62＋4＝1∈N .所以集合B ＝{0,1,4}．【探究4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }． (1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若A 中最多有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即当a ＝1时，原方程的解为x 1＝x 2＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素．(2)A 中最多有一个元素，即A 中有一个元素或A 中没有元素．当Δ＝4－4a <0，即a >1时，原方程无实数解．结合(1)知当a ＝0或a ≥1时，A 中最多有一个元素．(3)A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由Δ>0，得a <1，结合(1)可知a ≤1.即a ≤1时，A 中至少有一个元素．规律方法 (1)识别集合含义的两个步骤一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集． 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)． (2)集合中元素的互异性的应用互异性是指在给定的一个集合中，任何两个元素都是不同的．在解题中经常用到集合中元素的互异性，如求集合中字母的值时，由元素对应相等列出方程求出字母的值后必须回代检验，防止集合中出现重复元素．课堂达标1．集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( ) A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{－3，－2，－1,0,1,2,3}解析 因为x ∈N ，故表示－3到3的自然数组成的集合，所以用列举法可表示为{0,1,2,3}．★★答案★★ B2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图像上的所有点组成的集合解析 集合中的元素为点，满足的条件是y ＝2x －1，故选D ． ★★答案★★ D3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．解析 方程组的解为x ＝72，y ＝－32，因此用列举法表示该集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫72，－32， 描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝72，y ＝－32．★★答案★★ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫72，－32 ⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝72，y ＝－324．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，且－3∈A ，则集合A ＝________．解析 由－3∈A 知，a －2＝－3或2a 2＋5a=－3，解得a ＝－1或a ＝－32.下面检验：当a ＝－1时，2a 2＋5a ＝a －2＝－3，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝－32时，集合中的元素互不相同，满足题意．综上，a ＝－32，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，10．★★答案★★ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，105．用适当的方法表示下列集合： (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解 (1)因为方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x ＝2n ＋1，x ∈N ，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x |x ＝2n ＋1，且n <500，n ∈N }．课堂小结1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性，当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．基础过关1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}解析集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根为1，故可表示为{1}．故选B．★★答案★★ B2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t<5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s<6}★★答案★★ D3．给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；③集合{x|x∈N*，x<5}＝{0,1,2,3,4}；④第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．其中正确说法的序号是()A．①②B．③④C．②D．①③④解析对于某些集合(如小于10的自然数组成的集合)可以用列举法表示，也可以用描述法表示，表示方法不唯一，故说法①不正确；集合P＝{x|0≤x≤1}的元素有无限个，是无限集，故说法②正确；由于{x|x∈N*，x<5}＝{1,2,3,4}，故说法③不正确；第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}，故说法④不正确．综上可知，正确的说法是②．★★答案★★ C4．集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是______________．解析集合中的元素是y，而y又是通过x来表示的，满足条件的x有－1,0,1，将所有相应的y 值一一写到大括号中，便得到用列举法表示的集合．★★答案★★ {－1,0,1}5．若集合A ＝{－1,2}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则a ＋b 的值为________． 解析 由题意知－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根．则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. 所以a ＋b ＝－3． ★★答案★★ －36．用适当的方法表示下列集合： (1)16与24的公约数；(2)不等式3x －5>0的解构成的集合．解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}． (2)不等式3x －5>0的解集为{x |3x －5>0}或{x |x >53}．7．若集合A ＝{0,1，－1,2，－2,3}，集合B ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈A }，求集合B ． 解 当x ＝0时，y ＝－1； 当x ＝±1时，y ＝0； 当x ＝±2时，y ＝3； 当x ＝3时，y ＝8． 所以集合B ＝{－1,0,3,8}．能力提升8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析 因为B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，故满足条件的元素(x ，y )有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共10个．★★答案★★ D9．定义A ⊗B ＝{z |z ＝x ·y ＋x y ，x ∈A ，y ∈B }，若A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，则A ⊗B 中所有元素和为( )A ．1B ．2C ．9D ．18解析 由A ⊗B 的定义知当x ＝0，y ＝1时，z ＝0， 当x ＝0，y ＝2时，z ＝0，当x ＝2，y ＝1时，z ＝4，当x ＝2，y ＝2时，z ＝5，所以A B 中共有3个元素，其和为9． ★★答案★★ C10．集合{(x ，y )|x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z }用列举法可表示为________． 解析 由x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝0， 故有元素(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)共4个． 则用列举法可表示为{(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}． ★★答案★★ {(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}11．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________．解析 由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． ★★答案★★ {1,3}12．用适当的方法表示下列集合：(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合； (2)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集．解 (1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12,21,13,31,23,32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}．(2)由2x ＋1＋|y －2|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝2，所以方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集用描述法可表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－12y ＝2.13．(选做题)若集合M 具有下列性质：①0∈M,1∈M ；②若x ，y ∈M ，则x －y ∈M ，且x ≠0时，1x∈M ，则称集合M 为“好集”．(1)分别判断集合P ＝{－1,0,1}，有理数集Q 是否是“好集”？并说明理由． (2)设集合A 是“好集”，求证：若x ，y 都在A 中，则x ＋y ∈A ．(1)解 集合P 不是“好集”．理由是：假设P 是“好集”，因为－1∈P ,1∈P ，所以 －1－1＝－2∈P ，这与－2∉P 矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q (所有有理数都能化为分数，分数与整数统称为有理数)，所以有理数集Q 是“好集”．(2)证明 因为集合A 是“好集”，所以0∈A ． 若x ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ． 所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A ．。