名师一号北师大高中数学必修双基限时练 利用函数性质判定方程解的存在

双基限时练(二十七) 利用函数性质判定方程解的存在
基 础 强 化
1．函数y ＝x 2－4x －12的零点是( ) A. －2 B. 6 C. －2,6
D. 不存在
解析 y ＝x 2－4x －12＝(x －6)(x ＋2)． 答案 C
2．如果函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
A. 0,2
B. 0，12
C. 0，－12
D. 2，－1
2
解析 由f (x )有一个零点2，可知2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，有两个零点－1
2，0.
答案 C
3．若函数y ＝x 2＋a 存在零点，则实数a 的取值范围是( ) A. a >0 B. a <0 C. a ≥0 D. a ≤0
答案 D
4．已知函数y ＝f (x )的图像在区间[a ，b ]上是连续不断的，且满足f (a )·f (b )<0(a ，b ∈R ，a <b )，则函数f (x )在(a ，b )内( )
A. 有且只有一个零点
B. 至少有一个零点
C. 无零点
D. 无法确定有无零点
解析 函数y ＝f (x )在定义域内连续，且满足f (a )·f (b )<0，故函数f (x )在(a ，b )内至少有一个零点．
答案 B
5．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫－14，0 B.⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，14
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，34 解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)内单调递增， 又
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－14＝e － 1
4
－4<0，f (0)＝－2<0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝e 12
－1>0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<0. 答案 C
6．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析
令f (x )＝0，得⎩⎨
⎧
x ≤0，
x 2＋2x －3＝0
或⎩⎨
⎧
x >0，－2＋ln x ＝0
∴x ＝－3或x ＝e 2，即方程f (x )＝0有两个根， ∴函数f (x )有两个零点． 答案 A
7．若函数f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m 的一个零点比1大，另一个零点比1小，则m 的取值范围是_________________________________．
解析 由题意得f (1)＝1＋m －3＋m <0，得m <1. 答案 (－∞，1)
能 力 提 升
8．已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应值表：
解析 ∵f (2)·f (3)<0，∴在(2,3)上至少有1个零点；同理在(3,4)和(4,5)上各至少有1个零点，∴在[1,6]上至少有3个零点．
答案 3
9．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是________．
解析 由题意得f (－1)，f (1)必一正一负， 即f (－1)f (1)<0，得a <－1，或a >15. 答案 a <－1或a >1
5
10．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点．
解 由题意得x 2－ax －b ＝0有两根2和3，由韦达定理得
⎩⎨
⎧
a ＝2＋3，－
b ＝2×3，
得⎩⎨
⎧
a ＝5，
b ＝－6.
∴g (x )＝－6x 2－5x －1.
令g (x )＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0即
(2x ＋1)(3x ＋1)＝0，得x ＝－12，或x ＝－1
3. ∴g (x )的零点为－12，－1
3.
11．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围．
(2)若函数有不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时， y ＝－14x －5，恒有零点－514. 当m ＋6≠0，即m ≠－6时， 要使函数恒有零点，
需Δ＝[2(m －1)]2－4(m ＋6)·(m ＋1)≥0， 解得m ≤－59. 综上知m ≤－5
9.
(2)设函数的两个不同零点是x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1
m ＋6
.
由题意，得Δ＝[2(m －1)]2－4(m ＋6)(m ＋1)>0， 且m ＋6≠0， 得m <－5
9，且m ≠－6. ∵1x 1＋1
x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2
＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4, 得m ＝－3，满足m <－59.
∴m 的值为－3.
12．已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a .
(1)若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )有三个零点，求实数a 的取值范围； (4)若函数f (x )有四个零点，求实数a 的取值范围．
解 令|x 2－2x |－a ＝0，则|x 2－2x |＝a ，构造函数g (x )＝|x 2－2x |，y ＝a ，作出函数g (x )＝|x 2－2x |的图像(如图所示)，由图像可知：
(1)当a <0时，a ≠|x 2－2x |，此时函数f (x )没有零点．
(2)当a ＝0，或a >1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有两个交点，即f (x )有两个零点．
(3)当a ＝1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有三个交点，即函数f (x )有三个零点．
(4)当0<a <1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有四个交点，即函数f (x )有四个零点．
考 题 速 递
13．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图像，易知有2个交点．
答案 B。