2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案 北师大版必修1

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案北师大版必修1一、教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.让学生了解函数的零点与方程根的联系；3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用；4。

培养学生动手操作的能力。

二、教学重点、难点重点：零点的概念及存在性的判定；难点：零点的确定。

三、复习引入分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0,f(4)>0,f(-4)>0由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x抽象概括●y=f(x)的图像与x●若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。

f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内有唯一实数解；3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0；5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有零点。

四、知识应用例2:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么?解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0,所以f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解练习：求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点？例3 判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。

解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（ -∞,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于５，一个小于２。

练习：关于x 的方程2x 2-3x+2m=0有两个实根均在[-1，1]内，求m 的取值范围。

五、课后作业p133 第2,3题2019-2020年高中数学 4.1.1 导数与函数的单调性教案 北师大选修1-1 教学过程：【引 例】1、 确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：2243(2)1y x x x =-+=--，在上是减函数，在上是增函数。

问：1、为什么在上是减函数，在上是增函数？2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2） 利用函数单调性的定义。

（复习一下函数单调性的定义） 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。

提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）（2） （多媒体放映）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。

尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。

【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？1、研究二次函数的图象；（1） 学生自己画图研究探索。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5） 学生继续探索，得出初步规律。

几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。

（学生总结）：①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？ 都是反映函数随自变量的变化情况。

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。

（验证）（1）观察三次函数的图象；（几何画板演示）（2）观察某个函数的图象。

（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。

这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。

【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。

（幻灯放映）一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。

若在某个区间内恒有，则为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。

严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。

这儿我们可以直接用这个结论。

小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。

结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。

下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：在上是增函数。

由学生叙述过程老师板书：，，，即，函数在上是增函数。

注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。

学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。

例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的导数f′(x).（3）令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】对于函数f(x)=2x3－6x2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、在区间（0，2）内有几个解？【课后作业】课本p42习题2.4 1,2【课后记】本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。

为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；2、从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；3、从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。

另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

4、应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。

在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。

加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。

节奏要把握好。