海伦公式与四边形面积公式

海伦公式我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据M orris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

1．圆内接四边形面积公式我们知道，已知三角形的三条边长为a 、b 、c （2p ＝a ＋b ＋c ），就可以由海伦公式得到三角形的面积：))()((c p b p a p p S ---=△因为任何一个三角形都有其外接圆，所以我们也可以说：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。

事实上，对于圆内接四边形，已知其四边的长（不妨设其为a 、b 、c 、d ，2p ＝a ＋b ＋c ＋d ），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：))()()((d p c p b p a p S ----=圆内接四边形证明：设圆内接四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°－θ，设其对角线BD ＝x ，由余弦定理有：abx b a 2cos 222-+=θ cdx d c BCD 2cos cos 222-+=-=∠θ 联立两式解得：cdab bc ad bd ac x +++=))((2 ∴)(22))((cos cos 222222cd ab d c b a ab cd ab bc ad bd ac b a BAD +--+=+++-+==∠θ ))()()(()2)(2)(2)(2())()()((41)(28222222)(21)(4)(1)(21cos 1)(21sin )(21)180sin(21sin 2122222222222244442222222d p c p b p a p d d c b a c d c b a b d c b a a d c b a d c b a c d b a b d c a a d c b cd ab abcd c b d a d b c a d c b a d c b a cd ab cd ab d c b a cd ab cd ab cd ab cd ab S ABCD ----=-+++-+++-+++-+++=-++-++-++-++=++++++++----⋅+=+--+-+=-+=+=-+=θθθθ 证毕．数学中的形式统一就在于此！2.关于圆内接四边形一类问题已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，设AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，若2222c b d a +=+， 求证：∠A ＝∠C ＝90°．证法1（反证法）假设∠A≠90°，因为∠A ＋∠C ＝180°，所以∠A 、∠C 其中一个为锐角，另一个为钝角，不妨设∠A 为锐角，连接BD ，如图2．在△ABD 中，∵∠A ＜90°，∴AB 2＋AD 2＞BD 2；在△BCD 中，∵∠C ＞90°，∴BC 2＋CD 2＜BD 2．∴AB 2＋AD 2＞BC 2＋CD 2，即2222c b d a ++＞．这与已知矛盾，∠A≠90°不成立， 因此，∠A ＝90°．证法2（利用相似三角形性质及勾股定理逆定理）①若b ＝d ，则a ＝c ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝∠C ，又∠A ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝90°．②若b≠d ，则a≠c ，不妨设a ＞c ．延长AD 、BC 交于点E （如图1），设DE ＝x ，CE ＝y ．E图1 图2∵△ABE ∽△CDE ，∴CD AB CE AE DE BE ==，即c a y x d x y b =+=+，解得c cy ax b -=，ccx ay d -=， ∴c y x c a d b ))((+-=+，c y x c a d b ))((-+=-，∴2222222))((cy x c a d b --=-； 又02222≠-=-c a d b ，∴222c y x =-，即222y c x +=，∴△CDE 是直角三角形，且∠DCE ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ＝90°．证法3（利用余弦定理）连接BD ，如图2，设∠BAD ＝θ，则∠BCD ＝180°－θ．在△ABD 中，θcos 2cos 222222ad d a BAD AD AB AD AB BD -+=∠⋅⋅⋅-+=，在△BCD 中，θθcos 2)180cos(2cos 22222222bc c b bc c b BCD CD BC CD BC BD ++=-︒-+=∠⋅⋅⋅-+=， ∴θθcos 2cos 22222bc c b ad d a ++=-+，即0cos )(=+θad bc ，∴︒==900cos θθ，． 因此∠BAD=90°．练习：1.圆内接四边形的四边长依次为25、39、52、60，求这个圆的直径．2.圆内接四边形的四边长依次为2、7、6、9，求这个四边形的面积．。

海伦公式，又称为海伦-秦九韶公式，是用来计算任意四边形面积的公式。

通过该公式，我们可以不受限制地计算不规则四边形的面积，而不仅仅局限于矩形或者平行四边形。

下面，我们将介绍海伦公式的推导方法以及具体的计算步骤。

一、海伦公式的推导1.1 海伦公式的由来海伦公式得名于古希腊数学家海伦（约公元前300年）。

海伦在《几何原本》一书中首次提出了该公式。

而后，我国唐代数学家秦九韶也独立地发现了这一公式，因此有时也称为海伦-秦九韶公式。

1.2 海伦公式的原理海伦公式是基于海伦公式面积公式，即√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。

其中，a、b、c为四边形的三条边长，s为四边形半周长。

1.3 海伦公式推导步骤（1）根据四边形的坐标计算出四条边的长度。

（2）根据四边形的边长计算出四边形的半周长s。

（3）代入海伦公式面积公式，即可计算出四边形的面积。

二、海伦公式的具体计算步骤2.1 计算四边形边长我们需要根据四边形的坐标计算出四条边的长度。

假设四边形的顶点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），则四条边的长度分别为AB、BC、CD、DA。

根据两点间距离公式可得：AB = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]BC = √[(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2]CD = √[(x4-x3)^2 + (y4-y3)^2]DA = √[(x1-x4)^2 + (y1-y4)^2]2.2 计算四边形半周长四边形的半周长s可以通过四条边的长度计算得出：s = (AB + BC + CD + DA) / 22.3 代入海伦公式将四边形的半周长s代入海伦公式面积公式，即可得出四边形的面积：S = √[s(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)]海伦公式是一种用来计算任意四边形面积的公式。

通过计算四边形的边长、半周长，再代入海伦公式，我们可以轻松地得出四边形的面积。

这种方法在数学和实际问题中有着广泛的应用，能够解决各种不规则四边形面积的计算问题。

计算平行四边形的面积公式
几何学是数学的一个重要的分支，主要研究关于几何图形的性质、大小和位置的知识。

在几何学中，我们学习了很多不同类型的图形，其中一种是平行四边形。

平行四边形的特点是它的四个边都是平行的，比如矩形、正方形、菱形、平行四边形等等。

那么，我们如何计算一个平行四边形的面积呢？
平行四边形的面积计算公式是：S = (a + b)h/2。

其中，S表示平行四边形的面积，a和b分别表示平行四边形的两个相等的边，h
表示它们之间的斜边。

以计算正方形为例，它有四条相等的边，假设长度为c，则面积可以通过下面的计算式计算出来：S= c/2。

另外，如果平行四边形的边都不相等，我们还可以使用另一个面积计算公式：S= (a+b+c+d)s/2。

中，a、b、c、d分别代表平行四边形的四条边的长度，s表示它们的面积。

此外，我们还可以使用另一种更加精确的方法来计算平行四边形的面积，那就是海伦公式。

海伦公式是由古希腊数学家海伦伯格拉斯提出的一种公式，用于计算多边形的面积。

它可以用来计算平行四边形的面积，只要我们按照海伦公式的规定，把多边形的两个角的度数等分，计算出四个边的长度，然后计算出多边形的面积。

总之，要想计算平行四边形的面积，可以使用以上三种公式，根据实际情况选择最合适的方法即可。

以上就是关于计算平行四边形面积的公式，希望能对大家有所帮助。

高中数学会考必备的39个公式1、勾股定理：三条直线上两个点之间的距离关系，即a2 + b2 = c2。

2、余弦定理：两条相交直线所成的两个直角三角形，c2=a2+b2-2ab×cosC 。

3、正弦定理：两条相交的直线所组成的两个直角三角形， sinA / a = sinB / b = sinC / c 。

4、梯形公式：面积之和，即(a+b)h / 2。

5、圆面积公式：πr2 。

6、三角形面积公式：S=1/2×a×b×sinC 。

7、抛物线面积公式：S=1/3×a×h2 。

8、割线法则：1/y=1/a+1/b 。

9、勾股变形定理：ac=a2+b2−2ab cosC 。

10、余切定理：tanA/a=tanB/b=tanC/c 。

11、海伦公式：三角形内角a+b+c=180°，a2=b2+c2−2bc cosA。

12、同余三角形定理：三角形内角A/a=B/b=C/c 。

13、梯形公式：周长之和，即a+b+(c+d) 。

14、圆周长公式：2πr15、平行线定理：平行线成立的条件为同时垂直于两个垂线。

16、外接圆定理：四边形的外接圆的半径等于对角的中点的距离的一半。

17、锐角定理：三角形内角a+b>c18、直角定理：三角形内角a+b=c19、正方形面积公式：a220、平行四边形面积公式：ab21、直角三角形面积公式：1/2ah22、圆心角公式：mθ=2πr23、梯形周长公式：a+b+c+d24、圆周弧长公式：λ=θr25、余子式：对于系数矩阵A=[aij]n×n，各阶行列式的余子式定义为Ai，…，Ak 。

26、拉格朗日和弦定理：如果一个四边形的角都是锐角，那么它的两个对角线的乘积等于它的四条边的乘积。

27、反余弦定理：ac=a2+b2−2ab×cosC 。

28、反正弦定理： sinA / a = sinB / b = sinC / c 。

海伦公式的推导和应用 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p 作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

四边形的海伦公式适用情况在几何学中，海伦公式是计算三角形面积的一种方法。

然而，很少有人知道，海伦公式也可以应用于四边形的面积计算中。

本文将探讨四边形的海伦公式适用情况以及如何使用它来计算四边形的面积。

我们需要明确四边形的定义。

四边形是一个有四条边的多边形，它的四个顶点可以是任意位置。

根据四边形的性质，我们可以将其分为不同的类型，如矩形、正方形、菱形等。

在这些特殊情况下，我们可以使用更简单的方法来计算面积。

但是当四边形不属于上述特殊情况时，我们就可以考虑使用海伦公式。

海伦公式适用于任意形状的三角形，它可以通过三边的长度来计算三角形的面积。

公式如下：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s是三角形的半周长，a、b、c是三角形的三条边长。

海伦公式的推导过程较为复杂，这里就不详细阐述了。

但是我们可以利用这个公式的思想来推导四边形的海伦公式。

假设我们有一个四边形ABCD，其中AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，它的半周长可以表示为：s = (a+b+c+d)/2现在，我们可以利用这个半周长，将四边形ABCD分割成两个三角形，如图所示。

假设我们将四边形ABCD分割成三角形ABC和三角形ACD。

[图1]根据海伦公式，我们可以计算出三角形ABC和三角形ACD的面积，分别为S1和S2。

而四边形ABCD的面积可以表示为S=S1+S2。

因此，我们可以将四边形的海伦公式表示为：面积 = S = S1 + S2现在，我们已经推导出了四边形的海伦公式。

然而，这个公式并不是很常用，因为计算四边形的面积通常有更简单的方法。

但是当我们遇到无法使用其他方法计算的四边形时，海伦公式可以提供一个可行的解决方案。

接下来，让我们通过一个例子来说明四边形的海伦公式的应用。

假设我们有一个四边形ABCD，其中AB=5，BC=6，CD=8，DA=7。

我们可以计算出半周长s=(5+6+8+7)/2=13。

然后，我们可以计算出三角形ABC和三角形ACD的面积。

海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。