2020年福建省厦门一中高三(上)期中数学试卷

厦门市第一中学2019-2020学年第一学期期中考试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B 铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第Ⅰ卷 （本卷共计60分）一、选择题：（1-11题只有一个选项，12题是多选题，每小题5分，共计60分） 1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ，则M N =I （ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}2,1,0-- C ．{}1,2 D ．{}22．已知幂函数)(x f 的图像经过(9,3)，则)1()2(f f -= （） A ． 3 B ．21-C ．12-D ．13.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ( ) A ．()2x f x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．x x x f -=)( 4．函数x xx f 2log 1)(+-=的一个零点落在下列哪个区间 （ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(5．已知1)(35++=bx ax x f 且,7)5(=f 则)5(-f 的值是 （ ）A.5-B.7-C.5D.7-6.已知 5.10.9m =，0.90.95.1,log 5.1n p ==，则这三个数的大小关系是( )A.m n p <<B.m p n <<C.p m n <<D.p n m <<7.已知函数()()()f x x a x b=--（其中a b>）的图象如下面右图所示，则函数()xg x a b=+的图象是( )A B C D8.已知函数2log,(0)()2,(0)xx xf xx->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x>的解集为（）A．(2,)+∞B．(,0)-∞C．(0,2)D．(,0)(2,)-∞+∞U9．一元二次方程2510x x m-+-=的两根均大于2,则实数m的取值范围是( ) A．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B．(),5-∞-C．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D．21,54⎛⎫--⎪⎝⎭10．已知函数3()log(1)f x ax=-，若()f x在(],2-∞上为减函数，则a的取值范围为( ) A．()0,+∞B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．()1,2D．(,0)-∞11.已知函数()f x的定义域为R，0>()f x且满足1()()()1=2f x y f x f y f+=⋅且（），如果对任意的,x y，都有()[()()]0x y f x f y--<，那么不等式2(3)()4f x f x-⋅≥的解集为（）A．(][),12,-∞+∞U B．[]1,2C．()1,2D．(,1]-∞12．（多选题）已知函数2()22f x x x=++()0x<与2()ln()g x x x a=++(),0a R a且∈>的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值可以是下列数据中的（）A．21eB．1eC．e D．3e第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．设集合{}1,2,4A=，{}240x x x mB=-+=。

福建省厦门科技中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈R|−2<x<1}，B={x∈R|x2−2x<0}，那么A∩B=()A. (−2,0)B. (−2,1)C. (0,2)D. (0,1)2.2+i1−i=()A. 1+3i2B. 3+i2C. 3−i2D. −1+3i23.在等差数列{a n}中，若S n为{a n}的前n项和，2a3+a12=15，则S11的值是()A. 55B. 11C. 50D. 604.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，若输入N=4，则输出的数等于()A. 54B. 45C. 56D. 656.函数f(x)=1−xlog2x的零点所在区间是()A. (14,12) B. (12,1) C. (1,2) D. (2,3)7.某农户计划种植葡萄和草莓，投入资金不超过54万元，种植面积不超过50亩，假设种植葡萄和草莓的产量、成本和售价如下表：则一年的种植总利润(总利润=总销售收入−总种植成本)最大值为()万元年产量/亩年种植成本/亩每吨售价葡萄4吨 1.2万元0.55万元草莓6吨0.9万元0.3万元A. 46B. 48C. 50D. 528.已知函数f(x)=2x−lnx−1，则y=f(x)的图像大致为()．A. B.C. D.9.已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若1AF +1BF=2，则实数p的值为()A. 12B. 1 C. √32D. √310.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，已知A(5π12,1)，B(11π12,−1)，则f(x)的对称中心为()A. (kπ2+5π6,0)B. (kπ+5π6,0)C. (kπ2+π6,0)D. (kπ+π6,0)11. 若双曲线x 2a 2−y 216=1(a >0)的焦点为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，则双曲线的离心率为( ) A. 43B. 53C. 2D. √212. 已知函数f (x )={x 2−1,(x <1)lnx x,(x ≥1)，关于x 的方程2[f (x )]2+(1−2m )f (x )−m =0，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是( )A. {−1,1e }B. (0,+∞)C. (0,1e )D. (0,1e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y +5≥0x −y ≤0y ≤0，则z =2x +4y −3的最大值是________． 14. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 上的靠近点C 的四等分点，点G 为边AE 上的靠近点A 的三等分点，则向量FG ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示为______．15. 已知函数f(x)={x +2x −1,x >0log 2(x 2+1),x <0若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是______．16. 设α为锐角，若，则的值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4+√32t,y =12t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√2√5−3cos2θ．(1)在曲线C 1上任取一点Q ，连接OQ ，在射线OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|=4，求P 点轨迹的极坐标方程；(2)在曲线C 1上任取一点M ，在曲线C 2上任取一点N ，求|MN|的最小值．18.设函数f(x)=sin(2x−π6)+cos2x−12(x∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，f(π4−B2)=2√35，A=π6，求a的值．19.在△ABC中，a=2，b=4，C=60°．(1)求边c及面积S．(2)求sinA+cosB的值．20.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，a1=b1=1且a3+a5+a7=9，a7是b3和b7的等比中项．(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)若c n=2a n b n2，求数列{c n}的前n项和T n．21. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的方程；(2)过点Q(−1,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x =−4于点E ，若AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值．22. 已知函数f(x)=xlnx −ax 2−x ．(1)若a =12，求函数y =f(x)在x =1处的切线方程； (2)在(1)的条件下，令g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间； (3)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由B中不等式变形得：x(x−2)<0，解得：0<x<2，即B=(0,2)，∵A=(−2,1)，∴A∩B=(0,1)，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+3i+i22=12+32i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：A解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．解：等差数列{a n}的公差为d，由题意可得2(a1+2d)+a1+11d=15，得a1+5d=5，则S11=11a1+11×102d=11(a1+5d)=11×5=55，故选A．4.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．5.答案：B解析：本题考查程序框图和循环结构，是基础题．根据题意，可知：输入N=4时，输出的数等于数列{1n(n+1)}的前4项和，即可得解．解：由题意，输入N=4时，输出的数等于数列{1n(n+1)}的前4项和，则S=11×2+12×3+13×4+14×5=1−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45．故选B．6.答案：C解析：【分析】考查零点存在性定理，找到使．解：∵函数f(x)=1−xlog2x，f(1)=1−0=1>0，f(2)=1−2=−1<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=1−xlog2x的零点所在区间是(1,2)，故选C．。

2020-2021厦门市高三数学上期中第一次模拟试卷带答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5C ．6D ．4或56)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．27．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B．10C ．D ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或79．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）10．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2111．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．512．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B．(C．()D．)二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．15．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______16．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．18．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ； （2）若3,b c 成等差数列，ABC ∆的面积为23a ． 23．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．24．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．25．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.7．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.9．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

福建省永安市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 文（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12 C.154D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个 元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记 这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例 如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所 示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个a ，则输 出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则 该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C. 348π- D.π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-， 则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A ．234 B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin)(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ； （2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分 于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分 （Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴5PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴22PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴5AD =，∴()()221225262APDS =⋅⋅-=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且3PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴11313333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅⋅=－△………………………………………………10分 设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴3226ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD 的距离为22．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g .∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即： 由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分m ．…………………………………………………………10分∴5。

福建省厦门第一中学2019—-2020学年度第一学期期中考试——学年度第一学期期中考试高三数学（理）试卷【答卷说明】 选择题的答案填到答题卡上，填空题与解答题的答案，写在答题卷上，交卷时交答题卡与答题卷．．．．．．．．. 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知R 是实数集，集合2{1,0},M xx x=<≠{13}N y y t ==≥，则R NM =ðA. (－∞,2]B. [0, 1]C. (－∞,1]D. [1, 2]2．2"4""()3"m f x mx x =++＝是函数有两个零点的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知1z 2i =+，212z i =-，则复数2121i z z i z +=--的模等于A 、B 、C 、D 4. 已知1,2,(),a b a a b a b θ==⊥-且则与的夹角等于A 、135B 、90C 、45D 、30 5. 21()(2)3,()2f x f x x f ''=-已知则＝A 、－12B 、－2C 、12D 、26．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，327.已知f (x )=a x , g (x )=log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)g (3)<0,则f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是8．已知a,b,c,d 成等差数列，函数y=ln (x +2)－x 在x ＝b 处取得极大值c ，则b+d =A. －1B. 0C. 1D. 29、曲线2xy e =与直线x ＋y ＝1、x －1＝0围成的平面图形的面积等于A 、12e 2－1B 、12e 2－32C 、12e 2－12 D 、e 2－1210、过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为A 、220x y ++=B 、330x y ++=C 、10x y ++=D 、330x y -+= 二、填空题（每题4分，共20分）11、定义在R 上的函数f (x ),当x ∈[－1,1]时，2()f x x x =+，且对任意x ，满足(3)2(),f x f x -=则f (x )在区间[5，7]上的值域是 12、函数32()23f x x x =-在区间1[,2]3-上的最小值等于13、已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα=54,且β是第三象限角，则ta n 2β= 14、已知各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果⎰+=3010)21(dx x S ，2030,S =则30S ＝15．下图中，图（1）为相互成120°的三条线段，长度均为1，图（2）在第一张图的每条线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n 张图，设第n 个图形所有线段长之和为a n ，第n 个图形，最短的线段长之和为b n ，设n n n c a b =-，则c n =三、解答题（6题，共80分）16、(13分)等差数列{}n a 满足：1311126a a a +++=，且11233,a a -=-(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足：*13,n n n b n N a a +=∈，求数列{}n b 的前100项和. [ ]17．(13分) 如图，圆O 的直径AC ＝8cm ，直线l 与圆相切于点A ，P 为圆的右半圆弧上的动点，P B ⊥直线l 于B ，求△PAB 面积的最大值. [ ]18、（13分）下图为三角函数()()sin f x A x ωϕ=+(A>0,ω>0,2πφ≤)图象的一段. (1)求函数的解析式及3()16f π的值； (2)如果函数y ＝f (x )－m 在(8π-, 316π)内有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围.[ ]19. （13分）某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为3x x +万元.设余下工程的总费用为y 万元. （1）试将y 表示成关于x 的函数；（2）需要修建多少个增压站才能使y 最小？[ ]20、（13分)已知数列{}*2log (2)()n a n N -∈为等差数列，且15a =，329a =． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）对任意*n N ∈,21321111n nm a a a a a a +++⋅⋅⋅+<---恒成立的实数m 是否存在最小值？如果存在，求出m 的最小值；如果不存在，说明理由.21、（15分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R ，e 为自然对数的底数， 2.7182e =(1)如果x ＝e 为函数()y f x =的极大值点，求a 的值；(2)如果函数f (x )在x ＝e 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于32e ，求a 的值； (3)在(2)的条件下，当2[,]x e e ∈时，求f (x )的最大值和最小值.四、实验班学生必答题22、（10分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R ，e 为自然对数的底数，2.7182e = ，如果对任意的x ∈(0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立，求a 的取值范围.期中卷答案BADCBCCDAB[ ] 11、11[,]162-12、－1 13、－2 14、5719、解：（1）设需要修建k 个增压站，则(1)120k x +=，即1201k x=-. 所以33212012051840432(1)()432(1)()120312y k k x x x x x x x x=+++=⨯-++=+-.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤60. 故y 与x 的函数关系是251840120312(060)y x x x=+-<≤ 20、(1)32nn a =+，(2)min 14m =21、解：（1）求导得f '(x )=2(x －a)lnx+2()x a x -=(x a -)(2ln x+1－ax).因为x=e 是f(x)的极值点，所以f '(e )= ()30a e a e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a e = 或3a e =，经检验， 3a e =，符合题意.(要有检验过程) (2)2a e =，(3)222max min ()()2(2),()(2)0f x f e e e f x f e ==-==22、（21题续）解：f '(x )= (x a -)(2ln x+1－ax).当01x <≤时，对于任意的实数a ,恒有2()04f x e ≤<成立；当13x e <≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤， 解得33ln(3)ln(3)e a e e e -≤≤()2ln 1ah x x x =+-，∵a≥3)e e a e -≤≤33e e e >-=> ∴(1)10ha =-<，()2ln 0h a a =>，且(3)2ln(3)12ln(3)13ah e e e e =+-≥+=2(ln 30e >。

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.已知集合{}{}31,,6,8,10,12,14,A x x n n N B ==-∈=则集合A B 中元素的个数为A.5B.4C.3D.2 2.已知复数12i,2iz +=-则z 的虚部为 A.1- B.0 C. 1 D. i 3.已知点()4,3P -是角α终边上的一点，则()sin πα-=A.35 B.35- C.45- D.45()22210234.x y a a a-=>=已知双曲线的离心率为，则A.2B.2C.2D.1 5.某数学期刊的国内统一刊号是CN42-1167/01，设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=A.180B.160C.150D.140 6.已知点()1,4P -，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为A.214x y =B.24x y =或216y x =-C.216y x =-D.214x y =或216y x =-7.若数列{}n a 中，262,0,a a ==且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则4a = A.12 B.13 C.14 D.16()()()()()8.sin cos 423f x x x R x f xg x g x πλλπ=+∈=-已知函数的图象关于直线对称，把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为A.6x π=B.4x π=C.3x π=D.116x π=2290.2:33M x O x y N OMN M ︒=+=∠=设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是A.[]1,1- B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎣D.,22⎡-⎢⎣⎦1360,3,,,310.4ABCD BAD AB DF DC AE AC BF DE ︒∠====⋅=已知菱中则形， A.89 B.218- C.34- D.43 22142x y ABCD AB AD +=11.若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率为1，则直线的斜率为A.12 B.12- C.14- D.2- 212.,,,.3430,a b e e a e b b e b a b π-⋅+=-已知是平面向量是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值是A.211D.2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

福建省厦门第一中学2020学年度第一学期期中考试高三年文科数学试卷一、选择题：（共12题，每题5分，共60分）1、已知集合2{|0}S x x x =-≤，集合{}2,0x T y y x ==≤，则S T ⋂= （ ）A ．(0,1]B ．{1}C ．{0}D ．[]0,12、在同一坐标系内，函数y x a =+与log a y x =的图象可能是 （ ）3、已知点()1,1A -、()1,2B ，O 为原点，且//AC OB u u u r u u u r ，BC AB ⊥u u u r u u u r，则点C 的坐标为 （ ）.A 17,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ .B 17,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C 17,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ .D 17,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4、已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为 （ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．235、在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，则“a b =”是“sin sin A B =”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是 （ ）A ．2B. 12+C ．22+122+7、设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是 （ ）A ． ()f x 的图象关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图象关于点(,0)4π对称C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象 D ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数8、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，,3,33A a b c π==+=，则ABC ∆的面积S = （ ）A ．1B ．32C 3D ．29、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 （ ）A.4B. 352510、已知O 是坐标原点，点A （-1,1），若点M （x,y ）为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM u u u r u u u u r g的取值范围是 （ ）A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]11、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213213(...)n n S a a a -=+++，1238a a a =，则10a 等于 A ．-512 B ．1024 C ．-1024 D ．512 （ ）12、定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f =（ ）A.1B.45C.1-D.45-二、填空题：（共4题，每题4分，共16分） 13、若复数1a iz i+=-（,a R ∈i 是虚数单位）是纯虚数，则a i += 。

2019-2020学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ＝{x|1≤x ≤4, x ∈N}，B ＝{x|6<2x <33, x ∈N}，则(∁U A)∩B ＝（ ） A.{0, 5, 6} B.{0, 5} C.{1} D.{5} 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【解答】∵ U ＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ＝{1, 2, 3, 4}，B ＝{3, 4, 5}， ∴ ∁U A ＝{0, 5, 6}，(∁U A)∩B ＝{5}．2. 下列函数中，是偶函数的是（ ）A.f(x)=1xB.f(x)＝lgxC.f(x)＝e x−e −x D.f(x)＝|x|【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】容易看出选项A ，C 的函数为奇函数，选项B 的函数为非奇非偶函数，偶函数的只能选D ． 【解答】f(x)=1x 和f(x)＝e x −e −x 都是奇函数，f(x)＝lgx 为非奇非偶函数，f(x)＝|x|为偶函数．3. 设函数f(x)={x 2+1,x ≤12x,x >1 ，则f （f(3)）＝（ ）A.139B.3C.23D.15【答案】 A【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】求出f(3)=23，从而f （f(3)）＝f(23)＝(23)2+1，由此能求出f （f(3)）． 【解答】∵ 函数f(x)={x 2+1,x ≤12x ,x >1 ，∴ f(3)=23，f （f(3)）=f(23)=(23)2+1=139．4. 函数f(x)＝x 3+lgx −18的零点所在的区间为（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4) 【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点． 【解答】∵ 函数f(x)＝x 3+lgx −18在定义域内是连续增函数；f(2)＝8−18+lg2<0，f(3)＝27−18+lg3＝9+lg3>0； ∴ f(2)f(3)<0， 根据零点存在性定理，f(x)的零点在区间(2, 3)上，5. 设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <b D.b <c <a 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】a ＝60.4>1，0<b ＝log 0.40.5<log 0.40.4＝1，c ＝log 50.4<0， 则a ，b ，c 的大小关系是c <b <a ．6. 若4m ＝3n ＝k ，且2n +1m =1，则k ＝（ ） A.18B.26C.36D.42【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求出k 的值． 【解答】∵ 4m ＝3n ＝k ，∴ m ＝log 4k ，n ＝log 3k ， ∴ 2n +1m =2log 3k+1log 4k=2log k 3+log k 4＝log k 9+log k 4＝log k 36＝1，∴ k ＝36，7. 已知幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，则函数g(x)＝(2x −1)f(x)在区间[12, 2]上的最小值是（ ） A.−1B.0C.−2D.32【答案】 B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，求出f(x)=x −1=1x ，从而函数g(x)＝2−1x ，进而g(x)在区间[12, 2]上是增函数，由此能求出函数g(x)在区间[12, 2]上的最小值． 【解答】∵ 幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)， ∴ 13=3n ，解得n ＝−1， ∴ f(x)=x −1=1x ， ∴ 函数g(x)＝(2x −1)f(x)=2x−1x=2−1x，∴ g(x)在区间[12, 2]上是增函数，∴ 函数g(x)在区间[12, 2]上的最小值是g(12)＝2−112=0．8. 若f(x)是奇函数，当x <0时，f(x)的解析式是f(x)＝x(1−x)，当x >0时，f(x)的解析式是（ ） A.−x(1−x) B.x(1−x) C.−x(1+x) D.x(1+x) 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法 【解析】当x >0时，−x <0，利用函数是奇函数，代入即可求函数的解析式． 【解答】任取x >0，−x <0，则f(−x)＝−x(1+x)，因为f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−x(1+x)＝−f(x)， 解得f(x)＝x(1+x)，即当x >0时，f(x)＝x(1+x)，9. 已知函数f(x)＝|log 2(x +1)|，若f(m)＝f(n)，m ≠n ，则1m +1n 等于（ ） A.1 B.−1 C.0D.2【答案】 B【考点】对数函数的图象与性质【解析】由已知可知，|log2(m+1)|＝|log2(n+1)|，结合m≠n，及对数的运算性质可知(m+ 1)(n+1)＝1，整理即可求解．【解答】f(x)＝|log2(x+1)|，且f(m)＝f(n)，∴|log2(m+1)|＝|log2(n+1)|，∵m≠n，∴log2(m+1＝−log2(n+1)，(m+1)(n+1)＝1即mn+m+n＝0，则1m +1n=−1．10. 函数f(x−4√x−2)的定义域为[3, 27]，则函数f(x)的定义域为（）A.[−2, 7]B.[−1, 7]C.[−2, −1]D.[3, 27]【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用换元法，结合复合函数的定义域之间的关系进行求解即可．【解答】设t＝x−4√x−2，s=√x−2，则x＝s2+2，则t＝s2+2−4s，∵x∈[3, 27]，∴s∈[1, 5]，则t＝(s−2)2−2∈[−2, 7]．即函数f(x)的定义域为[−2, 7]．二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的．多选不给分，少选给3分．已知函数f(x)＝lg(x2+ax−a−1)，给出下述论述，其中正确的是（）A.当a＝0时，f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞)B.f(x)一定有最小值C.当a＝0时，f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．【解答】对于B选项，令u(x)＝x2+ax−a−1，则复合函数y＝f(x)是由y＝lgu，u＝x2+ax−a−1复合而成的∵y＝lgu是单调递增的，而u＝x2+ax−a−1(u>0)无最小值，∴f(x)没有最小值．∴B选项错误（1）对于选项C，当a＝0时，f(x)＝lg(x2−1)中的u＝x2−1中的u能够取到所有的正数，∴f(x)的值域为R，∴C选项是正确的（2）对于选项D，∵复合函数y＝lg(x2+ax−a−1)是由y＝lgu，u＝x2+ax−a−1复合而成的，而y＝lgu在定义域内是单调递增的，又∵y＝f(x)在区间[2, +∞)上单调递增的，由复合函数的单调性可知，∴ u ＝x 2+ax −a −1在区间[2, +∞)上是单调递增的，则有−a2≤2，即a ≥−4．−−−−−(1)又∵ x 2+ax −a −1>0在区间[2, +∞)上是恒成立的，则有22+2a −a −1>0即a >−3−−−(2)∴ a >−3，所以，选项D 是错误的． 故选：AC ．已知函数f(x)={kx +1,x ≤0log 2x,x >0 ，下列是关于函数y ＝f[f(x)]+1的零点个数的4个判断，其中正确的是（ ） A.当k >0时，有3个零点 B.当k <0时，有2个零点 C.当k >0时，有4个零点 D.当k <0时，有1个零点 【答案】 C,D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由y ＝0得f[f(x)]＝−1，利用换元法将函数分解为f(x)＝t 和f(t)＝−1，作出函数f(x)的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】由y ＝f[f(x)]+1＝0，得f[f(x)]＝−1，设f(x)＝t ，则方程f[f(x)]＝−1等价为f(t)＝−1， ①若k >0，作出函数f(x)的图象如图： ∵ f(t)＝−1，∴ 此时方程f(t)＝−1有两个根其中t 2<0，0<t 1<1， 由f(x)＝t 2，<0，知此时x 有两解， 由f(x)＝t 1∈(0, 1)知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f[f(x)]+1有4个零点． ②若k <0，作出函数f(x)的图象如图： ∵ f(t)＝−1，∴ 此时方程f(t)＝−1有一个根t 1，其中0<t 1<1， 由f(x)＝t 1∈(0, 1)知此时x 只有1个解， 即函数y ＝f[f(x)]+1有1个零点．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知f(2x)＝4x 2+4x ，则f(x)＝________． 【答案】 x 2+2x ， 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】由f(2x)＝4x 2+4x ＝(2x)2+2(2x)，即可求解f(x)． 【解答】∵ f(2x)＝4x 2+4x ＝(2x)2+2(2x)， 则f(x)＝x 2+2x ，计算(49)−12+3log 314−lg5+√(lg2)2−lg4+1，其结果是________．【答案】74【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出． 【解答】原式=32+14−lg5+1−lg2=74．函数f(x)＝x|x −2|的单调减区间为________． 【答案】 [1, 2] 【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间． 【解答】当x >2时，f(x)＝x 2−2x ， 当x ≤2时，f(x)＝−x 2+2x ，这样就得到一个分段函数f(x)={x 2−2x,x >2−x 2+2x,x ≤2． f(x)＝x 2−2x 的对称轴为：x ＝1，开口向上，x >2时是增函数； f(x)＝−x 2+2x ，开口向下，对称轴为x ＝1，则x <1时函数是增函数，1<x <2时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1, 2]．已知f(x)＝9x−t ⋅3x，g(x)=2x −12x +1，若存在实数a ，b 同时满足g(a)+g(b)＝0和f(a)+f(b)＝0，则实数t 的取值范围是________． 【答案】 [1, +∞) 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】先求出g(a)+g(b)＝0满足的条件，然后利用常见函数的性质即可得到结论． 【解答】若g(a)+g(b)＝0，则 2a −12a +1+2b −12b +1=(2a −1)(2b +1)+(2a +1)(2b −1)(2a +1)(2b +1)=0，整理得2a+b+1＝2，即a +b +1＝1，则a+b＝0，即b＝−a，∴f(a)+f(b)＝0等价为f(a)+f(−a)＝0有解，即9a−t⋅3a+9−a−t⋅3−a＝0，则t=32a+3−2a3a+3−a =(3a+3−a)−23a+3−a，设m＝3a+3−a，则m≥2，则t＝m−2m，在m≥2时，单调递增，即t≥2−1＝1，∴要使t=32a+3−2a3+3有解，则t≥1，四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知y＝2x，x∈[2, 4]的值域为集合A，y＝log2[−x2+(m+3)x−2(m+1)]定义域为集合B，其中m≠1．(Ⅰ)当m＝4，求A∩B；(Ⅱ)设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【答案】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．【考点】对数函数的定义域交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）欲求A∩B，先分别求出集合A，B，再求它们的交集即可；（2）由题目中条件：“A⊆∁R B，”得集合A是∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}的子集，结合端点处的不等关系，可得m的取值范围．【解答】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．已知函数f(x)=x−1x（1）讨论并证明函数f(x)）在区间(0, +∞)的单调性；（2）若对任意的x∈[1, +∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；（2）原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，等价于2mx2−m−1m <0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，从而可得m<0，且2m−m−1m<0，进而可求实数m的取值范围．【解答】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．已知函数f(x)=log2019(3+x)−log12019(3−x)．（1）判断f(x)的奇偶性并加以证明；（2）判断f(x)的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式f(m)−f(m+1)<0．【答案】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m<−12，故不等式的解集为(−3, −12)．【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】利用对数的运算性质进行化简可得f(x)＝log2019(3+x)(3−x)，（1）求出函数的定义域为(−3, 3)，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；（2）结合二次函数及复合函数的性质即可判断；（3）结合（1）（2）的奇偶性及单调性即可求解不等式．【解答】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m <−12， 故不等式的解集为(−3, −12)．已知二次函数f(x)＝mx 2−2x −3，关于实数x 的不等式f(x)≤0的解集为[−1, n]． （1）当a ≥0时，解关于x 的不等式：ax 2+n +1>(m +1)x +2ax ；（2）是否存在实数a ∈(0, 1)，使得关于x 的函数y ＝f(a x )−3a x+1(x ∈[1, 2])的最小值为−92？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】由不等式mx 2−2x −3≤0的解集为[−1, n]知关于x 的方程mx 2−2x −3＝0的两根为−1和n ，且m >0 由根与系数关系，得{−1+n =2m−1×n =−3m ，∴ {m =1n =3 ， 所以原不等式化为(x −2)(ax −2)>0，①当a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；②当0<a <1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x −2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a >1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2； 综上所述a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；当0<a ≤1时，原不等式的解集为{x|x >2a 或x <2}； 当1<a <2时，原不等式的解集为{x|x >2或x <2a }． 假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：m ＝1， ∴ f(x)＝x 2−2x −3， ∴ y ＝f(a x )−3a x+1 ＝a 2x −2a x −3−3a x+1 ＝(a x )2−(3a +2)a x −3， 令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)， 则y ＝t 2−(3a +2)t −3 ∴ 对称轴为：t =3a+22，又0<a <1， ∴ a 2<a <1，1<3a+22<52，∴ 函数y ＝t 2−(3a +2)t −3在[a 2, a]递减， ∴ t ＝a 时，y 最小为：y ＝−2a 2−2a −3=−92， 解得：a =−32（舍）或a =12，【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】（1）根据韦达定理得方程组求出m ，n 的值，再通过讨论a 的范围，从而求出不等式的解集；（2）把m ＝1代入方程，得出y ＝(a x )2−(3a +2)a x −3，令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)，则y ＝t 2−(3a +2)t −3，得出函数的单调性，从而表示出y ＝f(t)的最小值，进而求出a 的值． 【解答】由不等式mx 2−2x −3≤0的解集为[−1, n]知关于x 的方程mx 2−2x −3＝0的两根为−1和n ，且m >0 由根与系数关系，得{−1+n =2m−1×n =−3m ，∴ {m =1n =3 ， 所以原不等式化为(x −2)(ax −2)>0，①当a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；②当0<a <1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x −2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a >1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2； 综上所述a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；当0<a ≤1时，原不等式的解集为{x|x >2a 或x <2}； 当1<a <2时，原不等式的解集为{x|x >2或x <2a }． 假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：m ＝1， ∴ f(x)＝x 2−2x −3， ∴ y ＝f(a x )−3a x+1 ＝a 2x −2a x −3−3a x+1 ＝(a x )2−(3a +2)a x −3， 令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)， 则y ＝t 2−(3a +2)t −3 ∴ 对称轴为：t =3a+22，又0<a <1， ∴ a 2<a <1，1<3a+22<52，∴ 函数y ＝t 2−(3a +2)t −3在[a 2, a]递减， ∴ t ＝a 时，y 最小为：y ＝−2a 2−2a −3=−92， 解得：a =−32（舍）或a =12，某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m 2，三月底测得覆盖面积为36m 2，凤眼莲覆盖面积y （单位：m 2）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)与y =px 12+q(p >0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份． （参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） 【答案】 本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg101g 32=1lg3−lg2，因为1lg3−lg2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】(Ⅰ)判断两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)的单调性，说明函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．然后列出方程组，求解即可． (Ⅱ)利用 x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m 2，列出不等式转化求解即可． 【解答】本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg101g 32=1lg3−lg2，因为1lg3−lg2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12，1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2，当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ r r −3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23． 【考点】指、对数不等式的解法 函数恒成立问题对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）当a =5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f(t)−f(t +1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}． (2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=r r 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0，当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ r r 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：1．集合{}{}(,),0,(,),M x y x R y N x y x R y x =∈>=∈=,则下列关系正确的是( ) A ．M NB ．N MC ．MN =D ．M 与N 之间无包含关系2．函数y =的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,1)(1,2)⋃ C ．(0,2]D ．(0,1)(1,2]⋃3．设222,2()log (1),2x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则((5))f f =( )A ．1-B ．1C ．－2D ．24．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是( )A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．(1,2)5．已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是( )A ．(,3)-∞-B ．(1,)(,3)+∞⋃-∞-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞6．33()35,()log (5)x f x g x x =+=-，则(())y f g x =是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数7．9831log ,log 24a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>8．已知函数2()log ()a f x ax x =-在区间[]2,4上是增函数，，则a 的取值范围是( )A ．1(,1)(1,)2⋃+∞ B ．(1,)+∞ C ．1(,1)4D ．1(0,)8二、填空题：9．已知集合{}{}2,,3,M x x t t R N x x t t R ==∈==-∈，则M N ⋂=__________．10．设{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若A B B ⋂=,则实数m 的取值范围是__________． 11．若方程0,(0xa x a a --=>且1)a ≠有两个实数根，则a 的取值范围是_______．12．已知函数2()21(0)f x kx kx k =++≠在[]3,2-上有最大值4，则实数k 的值是__________．13．已知函数()f x 满足：()()(),(1)2f a b f a f b f +=⋅=，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(2010)(4020)(1)(3)(5)(4019)f f f f f f f f f f f f ++++++++=__________．14．已知函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，()()g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是________________． 三、解答题：15．已知集合{}{}22120,0A x x ax B x x bx c =+-==++=，且{}{},3,3,4A B A B A B ≠⋂=-⋃=- 求实数,,a b c 的值．16．已知关于x 的方程2212940x x aa ---+=有一个根是2．(1)求实数a 的值； (2)若01a <<，求不等式2212940x x a a ---+<的解集．17．已知2()(),(01x xa f x a a a a -=->-且1)a ≠ (1)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)当[]1,1x ∈-时，()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围．18．已知()2log f x =(1)求)(x f 的解析式； (2)求()y f x =的单调区间； (3)比较(1)f x +与)(x f 的大小．19．已知函数4()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(1)求实数k 的值；(2)证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线 (3)有且只有一个解，求实数a 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

厦门市湖滨中学2019---2020学年第一学期期中考高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.复数34sin34cosππi z +=（i 为虚数单位）的虚部为 A ．i 21 B ．21C ．23D ．23- 2.设集合()(){}031<--=x x x A ，[]{}2,1,2∈==x y y B x ，则A B =∩ A ．φ B ．()3,1 C ． [)3,2 D ．(]4,13.已知双曲线)0>0,>(1:2222b a by a x C =-的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为A.2B.3 C. 5 D.254.已知向量2a =r ，1b =r ，(2)2a a b -=r r rg，则a r 与b r 的夹角为 A.o 30 B.o 60 C.o 90 D.o 150 5．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin 2α=A ．35-B ．35C ． 45D ．45-6.设曲线()ln f x a x b =+和曲线()sin 2xg x cx π=+在它们的公共点M （1，2）处有相同的切线，a b c ++的值为A ．0B ．2C ．﹣2D ．4 7．下列说法正确的是A ．向量(1,1),(,2)a b m ==-r r的夹角为钝角，则2m <．B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件．C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”．D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()0f x '=”的逆命题是真命题．8．函数12()sin(cos )12x xf x x -=⋅+的图像大致是9.某班举行主题团日活动，从含甲、乙、丙的共7名同学中选派4名同学参加主题发言，要求甲、乙、丙3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的发言次序不能相邻，那么选派的4名同学的所有不同发言顺序的种数是A. 720B. 768C. 810D. 81610.已知点P 为椭圆22143x y += 上的一点，点A ,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA 与y 交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则|AN |·|BM |的值为A 3B .4C .43D 4311．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称AB B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 C ．将函数32cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D ．若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,3]-12.已知函数),(21)(2R ∈--=b a b x ae x f x，若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且212≥x x ，则实数a 的取值范围是 A ．20,2ln ⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,ln 2C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省厦门第一中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若集合，且，则集合B可能是A. B. C. D. R2.已知，，其中i是虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.3.函数且的图象可能为A. B.C. D.4.已知为等比数列，，，则A. 7B.C.D.5.已知函数且若函数的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是A. B. C. D.6.若，，，则的最小值是A. B. 3 C. D. 47.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足则下列叙述错误的是A.B. 当时，函数单调递减C. 当时，点P到x轴的距离的最大值为6D. 当时，8.2020年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有A. 20种B. 24种C. 30种D. 36种9.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D. 210.已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最小值为A. B. C. D.11.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为，，，则的值为A. B. C. D.12.在三棱锥中，，，，点P在平面ACD内，且，设异面直线BP与CD所成角为，则的最小值为A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知关于x，y的二元一次不式组，则的最大值为______ ．14.已知，则展开式中的常数项为______．15.如图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图，该几何体的顶点都在半径为R的球面上，则该几何体的体积为______．16.的垂心H在其内部，，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数．求函数在上的单调递减区间；在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，求的两个内角B，C 及分别对应的边长b，c．18.已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中；Ⅰ证明：平面平面ABC；Ⅱ若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值．19.已知椭圆E：的左焦点为F，设M，N是椭圆E的两个短轴端点，A是椭圆E的长轴左端点．Ⅰ当时，设点，直线PN交椭圆E于Q，且直线MP、MQ的斜率分别为，，求的值；Ⅱ当时，若经过F的直线l与椭圆E交于C，D两点，O为坐标原点，求与的面积之差的最大值．20.已知数列的首项为，且满足，数列满足，数列的前n项和．求数列的通项公式；令，求证：．21.已知函数．求函数的单调区间；若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是为参数将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．23.已知函数的最大值为k．求k的值；若a，b，，，求的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，且，可能是．故选：A．根据即可得出，并且，从而可判断哪个选项的集合可以是集合B．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，，的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】由条件可得函数为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据时，，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．【解答】解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当，，故排除C，故选：D．4.【答案】C【解析】解：为等比数列，，，由等比数列的性质，，或，当时，，则，当时，，则，故选：C．由等比数列的性质，，结合已知可求，，然后结合等比数列的性质即可求解，本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题．5.【答案】D【解析】解：由题意，时，显然成立；时，关于y轴的对称函数为，则，，综上所述，a的取值范围是，故选：D．由题意，时，显然成立；时，关于y轴的对称函数为，则，即可得到结论．本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：考察基本不等式当且仅当时取等号整理得即，又，所以当且仅当时取等号，则的最小值是4，故选：D．首先分析题目由已知，，，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意得，，，解得；把点代入中，可得，，，则A正确；当时，，函数单调递减，所以B错误；由，当时，，点P到x轴的距离的最大值为6，所以C正确；当时，，P的纵坐标为6，，所以D正确．故选：B．求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，也考查了运用三角函数的最值，周期等问题，是中档题．8.【答案】B【解析】解：甲在B、C中任选一个，在这个前提下，剩下三个人可以在三个比赛中各服务一个，就是，也可以在除了甲之外的两个项目中服务，就是，不同的安排方案共有故选B．先安排甲，再安排其余3人，利用分布计算原理可得结论．本题考查分布计算原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：双曲线的右顶点为，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若，可得A到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：．故选：A．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】B【解析】解：向量，，满足，，与的夹角为，如图所示，取，设，，，，，故C在为以为圆心以2为半径的圆的上则表示C到距离，由圆心到距离为，故的最小值为，故选：B，设，则可得C在为以为圆心以2为半径的圆的上，进而得到答案．本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数的图象关于对称，直线过，则，所以函数的图象与直线恰有三个公共点如图所示，且在区间内相切，其切点为，由于，，即，．故选：C．函数的图象与直线恰有三个公共点，画出图象，且在区间内相切，其切点为，利用导数的几何意义得出，从而得到结论．本题考查导数的运用，同时也涉及了三角函数有关基础知识，考查数形结合思想及运算求解能力，属于一般题目．12.【答案】A【解析】解：取CD中点K，连接AK，BK，，，，，为正，取AK中点O，连接BO，则，且，易知平面ABK，，平面ACD，，在图中圆O上，当P与G，H重合时，最大，当P与M，N重合时，最小．故选：A．取CD中点K，易得三角形ABK为正三角形，取AK中点O，可证平面ACD，进而确定点P 的位置，求得最小值．本题考查了异面直线所成角的求法，线面垂直等知识，考查了运算求解能力，是中档题．13.【答案】5【解析】解：由二元一次不式组作可行域如图，联立，解得：．令，则，由图可知，当过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最大值为．故答案为：5．由二元一次不式组作出可行域，令，数形结合可得使取得最大值的点，联立方程组求得点的坐标，代入求得最大值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】【解析】解：，，其展开式的通项公式为；令，解得；展开式中常数项为．故答案为：．根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．15.【答案】【解析】解：正三棱柱的底面边长为，三棱柱的高为2，设正三棱柱的上下底面中心为O，，则几何体外接球的球心为的中点H，设三棱柱的底面一个顶点为A，底面边长为，，，．即外接球的半径为三棱锥的高为：．所以，几何体的体积为：．故答案为：．几何体外接球的球心在棱柱上下底面中心连线的中点，根据三棱柱的底面边长和高，利用勾股定理即可求出外接球半径．然后求解棱锥的高，求解几何体的体积即可．本题考查了棱柱与外接球的位置关系，几何体的体积的求法，是中档题．16.【答案】【解析】解：设AD，BE是高，H就是AD、BE交点，那么，，，，所以，所以∽，所以，．在中，，，设由正弦定理可得：，故答案为：设AD，BE是高，H就是AD、BE交点，得到∽，利用对应边成比例得到BC，在中，，，设由正弦定理可得：即可．本题考查了垂心、正弦定理、三角恒等变形、三角函数性质，通过三角形相似求得BC 是关键，属于难题．17.【答案】解：由已知得：，由，，可得，又，函数在的单调递减区间为和．由知由，可得．中是锐角三角形，，，，即，又，正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，可得，，由解得，为正三角形，可得．【解析】利用二倍角，诱导公式和辅助角化简，结合三角函数的单调性即可求解．由，求解角A，，，利用正余弦定理化简可得，由余弦定理可得，联立解得，可得．本题主要考查三角函数的图象和性质，正弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．18.【答案】证明：三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，，，，取AC中点O，连结PO，BO，则，，且，，，平面平面ABC．解：Ⅱ由Ⅰ知，，，，平面PAC，是直线BM与平面PAC所成角，且，当OM最短时，即M是PA中点时，最大，由平面ABC，，得，，以OC，OB，OD所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，0，，0，，，，0，，0，，设平面MBC的法向量y，，则，取，得1，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得1，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【解析】取AC中点O，连结PO，BO，则，，，由此能证明平面平面ABC．Ⅱ由，，得平面PAC，从而是直线BM与平面PAC所成角，且，进而当OM最短时，即M 是PA中点时，最大，由平面ABC，，得，，以OC，OB，OD所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ当时，椭圆E：，M，N是椭圆E的两个短轴端点分别为、，设PN直线方程为，由得，，，，，，；Ⅱ设的面积为，的面积为，设直线l的方程为，，，由，整理得：，由韦达定理可知：，，当时，，当时，，当且仅当，即时等号成立．的最大值为．【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，三角形面积公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．Ⅰ设PN直线方程为，由得，可得，，即可得；Ⅱ设的面积为，的面积为，设直线l的方程为，，，由，整理得：，，分类，当时，，时，根据基本不等式的关系，即可求得的最大值．20.【答案】解：，且满足，可得，即，当时，，又，两式相减可得，满足，则；证明：，，则，，相减可得，化为，可得，由，即有，可得，则．【解析】由，可得，再将n换为，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；运用对数的运算性质和等差数列的求和公式，求得，，再由数列的错位相减法求和，可得，再由放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的定义和通项公式，考查等差数列和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，化简变形能力和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：，，当时，，， 0'/>，递增，，，递减，当时，，若，，即时，，开口向上，所以，单调递增；若，即，，有两个根，，，当，， 0'/>，单调递增，当时，，递减；若，则，，有两个根，，，由韦达定理，所以，当， 0'/>，单调递增，当时，，递减；由得，，分离常数，，，，，y在递增，，，故存在唯一，，，所以时，，所以，，故．【解析】求导，对分子进行讨论，判断函数的单调性；用分离常数法，构造函数，求的最大值，由，，求出a即可．考查用导数判断函数的单调性，含参不等式恒成立问题，导数的综合应用，中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程是，即为，由，，，可得，即；直线l的参数方程是为参数令，可得，，即，将直线l的参数方程代入曲线C：，可得：，即为，解得，，由参数t的几何意义可得，．【解析】将曲线C变形为，由，，，代入即可得到所求曲线C的直角坐标方程；令，可得，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，求得t的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用，，，考查直线的参数方程的运用，注意运用参数的几何意义，考查联立方程解方程思想，属于基础题．23.【答案】解：由于，当时，，当时，，当时，，所以，由已知，有，因为当取等号，当取等号，所以，即，故．【解析】根据分段函数的单调性求出函数的最大值，即可求出k的值，根据基本不等式即可求出答案本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题。

2019-2020学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={x|1≤x ≤4, x ∈N }，B ={x|6<2x <33, x ∈N }，则(∁U A)∩B =( ) A.{0, 5, 6} B.{0, 5} C.{1} D.{5}2. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A.f(x)=1xB.f(x)＝lg xC.f(x)＝e x −e −xD.f(x)＝|x|3. 设函数f(x)={x 2+1,x ≤12x ,x >1 ，则f （f(3)）＝（ ）A.139 B.3C.23D.154. 函数f(x)＝x 3+lg x −18的零点所在的区间为（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4)5. 设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <b D.b <c <a6. 若4m ＝3n ＝k ，且2n +1m =1，则k ＝（ ） A.18 B.26 C.36 D.427. 已知幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，则函数g(x)＝(2x −1)f(x)在区间[12, 2]上的最小值是（ ） A.−1 B.0C.−2D.328. 若f(x)是奇函数，当x <0时，f(x)的解析式是f(x)＝x(1−x)，当x >0时，f(x)的解析式是（ ） A.−x(1−x) B.x(1−x)C.−x(1+x)D.x(1+x)9. 已知函数f(x)＝|log 2(x +1)|，若f(m)＝f(n)，m ≠n ，则1m+1n 等于（ ）A.1B.−1C.0D.210. 函数f(x −4√x −2)的定义域为[3, 27]，则函数f(x)的定义域为（ ） A.[−2, 7]B.[−1, 7]C.[−2, −1]D.[3, 27]二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的．多选不给分，少选给3分．已知函数f(x)＝lg (x 2+ax −a −1)，给出下述论述，其中正确的是（ ） A.当a ＝0时，f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞) B.f(x)一定有最小值 C.当a ＝0时，f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a|a ≥−4}已知函数f(x)={kx +1,x ≤0log 2x,x >0 ，下列是关于函数y ＝f[f(x)]+1的零点个数的4个判断，其中正确的是（ ） A.当k >0时，有3个零点 B.当k <0时，有2个零点 C.当k >0时，有4个零点 D.当k <0时，有1个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知f(2x)＝4x 2+4x ，则f(x)＝________．计算(49)−12+3log 314−lg 5+√(lg 2)2−lg 4+1，其结果是________．函数f(x)＝x|x −2|的单调减区间为________．已知f(x)＝9x −t ⋅3x ，g(x)=2x −12x +1，若存在实数a ，b 同时满足g(a)+g(b)＝0和f(a)+f(b)＝0，则实数t 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知y ＝2x ，x ∈[2, 4]的值域为集合A ，y ＝log 2[−x 2+(m +3)x −2(m +1)]定义域为集合B ，其中m ≠1． (Ⅰ)当m ＝4，求A ∩B ；(Ⅱ)设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．已知函数f(x)=x−1x（1）讨论并证明函数f(x)）在区间(0, +∞)的单调性；（2）若对任意的x∈[1, +∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．(3−x)．已知函数f(x)=log2019(3+x)−log12019（1）判断f(x)的奇偶性并加以证明；（2）判断f(x)的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式f(m)−f(m+1)<0．已知二次函数f(x)＝mx2−2x−3，关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[−1, n]．（1）当a≥0时，解关于x的不等式：ax2+n+1>(m+1)x+2ax；（2）是否存在实数a∈(0, 1)，使得关于x的函数y＝f(a x)−3a x+1(x∈[1, 2])的最小？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．值为−92某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y （单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x(k>0, a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）+a)．已知a∈R，函数f(x)=log2(1x(1)当a=5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x的方程f(x)−log[(a−4)x+2a−5]=0的解集中恰好有一个元素，求a2的取值范围；(3)设a>0，若对任意t∈[1, 1]，函数f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值的差不2超过1，求a的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】A二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的．多选不给分，少选给3分．【答案】A,C【答案】C,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 【答案】x2+2x，【答案】74【答案】[1, 2]【答案】[1, +∞)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．【答案】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．【答案】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m<−12，故不等式的解集为(−3, −12)．【答案】由不等式mx2−2x−3≤0的解集为[−1, n]知关于x的方程mx2−2x−3＝0的两根为−1和n，且m>0由根与系数关系，得{−1+n=2m−1×n=−3m ，∴{m=1n=3，所以原不等式化为(x−2)(ax−2)>0，①当a＝0时，原不等式解集为{x|x<2}；②当0<a<1时，原不等式化为(x−2)(x−2a )>0，且2<2a，解得x>2a或x<2；③当a＝1时，原不等式化为(x−2)2>0，解得x∈R且x≠2；④当a>1时，原不等式化为(x−2)(x−2a )>0，且2>2a，解得x<2a或x>2；综上所述a＝0时，原不等式解集为{x|x<2}；当0<a≤1时，原不等式的解集为{x|x>2a或x<2}；当1<a<2时，原不等式的解集为{x|x>2或x<2a}．假设存在满足条件的实数a，由（1）得：m＝1，∴f(x)＝x2−2x−3，∴y＝f(a x)−3a x+1＝a2x−2a x−3−3a x+1＝(a x)2−(3a+2)a x−3，令a x＝t，(a2≤t≤a)，则y＝t2−(3a+2)t−3∴对称轴为：t=3a+22，又0<a<1，∴a2<a<1，1<3a+22<52，∴函数y＝t2−(3a+2)t−3在[a2, a]递减，∴t＝a时，y最小为：y＝−2a2−2a−3=−92，解得：a=−32（舍）或a=12，故满足条件的a=12．【答案】本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg 101g 32=1lg 3−lg 2，因为1lg 3−lg 2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份． 【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0．即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立，当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4，若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x+a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2， 当r =0时，rr −3r+2=0， 当0<r ≤12时，rr 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r≥12+4=92，∴ r r 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．。