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最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
最优捕鱼策略原稿(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--最优捕鱼策略摘 要为了保护人类赖以生存的的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度，本文主要研究在可持续的发展前提下，并对问题进行合理的假设，建立非线性规划模型来寻求最优捕鱼策略，以达到最大总获量。
对于问题1，首先，我们根据死亡率的定义以及它的量纲，运用微积分知识推导得到各年龄组鱼的数目与时间和死亡率的关系，得到1、2年龄组鱼的数目)(t x i 与时间t （年）和死亡率a 的关系：at i i e x t x -⨯=)0()( )2,1,010(=≥≥>i t a 及3、4龄鱼的数目)(t x i 与时间t 、死亡率a 和捕捞强度系数i a 的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥⨯≥≥⨯=--+-,321 )32(,032 )0()()32()(t e x t e x t x t at i t a a i i i )4,3,0(=>i a 然后，我们假设以年作为捕鱼的单位时间，孵化时间在9月，并且在每年末进行捕鱼，以年收获总量为目标函数，以初始各年龄组鱼的数目，捕捞强度系数为决策变量，以可持续性发展为约束条件，建立非线性规划模型。
最后，用lingo 软件编程得结果如下表：对于问题2，首先假设仍然以年作为捕鱼的单位时间，孵化时间在9月，在每年末进行捕鱼，并且每年的捕捞强度系数不变。
然后结合问题1，提出各年龄鱼的数目的时间递推算法，以5年的总收获量为目标函数，捕捞系数为决策变量，并规定第6年的产卵量不少于第1年产卵量的90%作为约束条件来反映该鱼群的生产能力不受太大破坏，，建立非线性规划模型。
用lingo 软件编程得到结果：最优解为每年3，4龄鱼的捕捞系数分别为,，可获得最优值最大收获量为131********.0⨯克。
本文最后还对模型进行检验、合理的评价和推广。
数学建模论文姓名: 文勇学号：201315020220论文标题：最佳捕鱼方案1.问题的提出一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？2.问题分析通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。
条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。
在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。
由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。
模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。
而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。
模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。
模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。
3.条件假设1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。
2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。
3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。
4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。
最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文捕鱼业效益最大化的微分方程模型2012/12/18捕鱼业效益最大化常微分方程模型摘要在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。
本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。
关键字:渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益一、问题分析如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。
然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：①建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程；②由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性；③在稳定条件下求出渔场效益；④对其效益进行分析提出优化方案.二、模型假设：（1）在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）；（2）单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为E；（3）捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；（4）鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；三、模型建立与求解1.在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程) (1)ẋ(t)=f(x)=rx(1−xNr为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.2.捕捞情况下渔场鱼量满足的方程单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：h(x)=Ex (2)根据以上假设并记F(x)=f(x)-h(x)得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为：)−Ex (3)x(t)=F(x)=rx(1−xN3.捕捞强度E(t)关于时间的微分方程E(t)=k(T−S) (4)k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出.其中T=ph(x)=pEx, S=cE (5)4.求平衡点并分析其稳定性我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.{ẋ(t )=u (x,E )=rx (1−x N )−Ex E (t )=v (x,E )=k (T −S )……（6） 将（5）式带入下面的代数方程组，{u (x,E )=0v(x,E)=0, 解出平衡点为，（0,0），（N ，0），（c p ,r(1−c Np )）.稳定性分析：当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义；当x=N ，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义；当x=c p ，E=r(1−c Np )时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
精心整理西安邮电大学（理学院）数学建模报告摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
???问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；m……i龄鱼每条鱼的平均重量in……9月底该种鱼总共产卵数量*n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量k……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数i四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量⎪⎩⎪⎨≤≤-=---129,1,1,1,,j c x x i j i j i i i j i j i 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
3．在水库自然放水的21内将草鱼捕完。
4．在草鱼日供应量未达饱和的之前，市场供应量等于销售量。
5．每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。
6．随着水库水位的下降，草鱼的种群密度逐渐变大，存在着对空间、食物、氧气的竞争，种群死亡率逐渐升高。
题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高，在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念，即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。
7．草鱼损失率与水库水位成反比关系，每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量的损失率是一致的，以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。
8．捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理，不会放回水库也不会与活鱼一起出售。
9．日供应量在1000---1500公斤时，我们假定草鱼价格为20元每公斤这一常数。
总体价格随供应量变化关系，如图五所示：图一三． 问题的分析1. 在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，我们应寻求对最优解的精确求解以及依据草鱼捕捞的可行性方案来捕捞使得承包人获益(W)最大。
=p ⨯-⨯收益(W)销售额(s )成本(q m)2. 我们在追求收益最大的同时，需要求出草鱼捕捞的天数以及每天的捕鱼量，这是一个单目标线性规划问题，原题中给定的草鱼日供应量不同的情况下草鱼的单价也不一样，这样每天的草鱼出售价格均取决于当日的草鱼供应量，于是在模型求解过程中我们采用“0-1整数规划”来解决这个问题，并运用数学软件LINGO 来求解，最后对所得的解进行讨论和分析。
四． 模型的建立及求解1. 符号的说明：i l ——第i 天水库水位（米）； i s ——第i 天供应量（公斤）；i r ——第i 天草鱼的损失率； i m ——第i 天草鱼捕捞成本(元/公斤）； i w ——第i 天草鱼销售收益（元)； W ——捕捞期内草鱼销售总收益（元）； i q ——第i 天的捕捞量（公斤）； i p ——第i 天的售价(元）；2. 模型的建立根据假设5，随着水位自然地下降，草鱼的捕捞成本呈等差数列递减分布，第一天捕捞时水位仍然维持在15m ，共需21天。
故每公斤草鱼捕捞成本为:60.15(1);(121,)i m i i i N =-⨯-≤≤∈根据假设7，损失率与水位成反比：212110%50.5i i r l c c r l ⨯==⨯=⨯=第i 天草鱼的损失率为（如图三散点图所示）： []0.5/15(1)0.5i r i =--⨯图二图三第i 天的捕捞量与供应量之间的关系式是： (1)i i i s q r =⨯-收益=销售额-成本即我们的目标函数： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑又根据已知条件可得以下5个约束条件：A) 总的捕鱼量不大于总鱼量 21125000i i q =≤∑B) 由日供应量到1500公斤达到饱和则 1500i s ≤C) 再根据题意的三个在不同的供应量之间的价格的不同可得到如下关系式：50030100025150020i i i i i i s p s p s p ≤≤=≤≤=≤≤=当0时，当500时，当1000时， 3. 模型的求解根据上述解题思路，我们用数学软件LINGO 对模型进行求解，根据模型的约束条件和软件的特点，我们采用引入0－1变量的方法编写解题程序：1050025001000310001500i i i q j q q ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩——————ij y ——0,1变量引入，使得 311,01ij ij j y y ===∑或.上述式子需改动为: 2121321311111(1)ij ij i i ij ij ij ij ij ii i j i j s q r W w y p s y q m ======⨯-==⨯⨯-⨯⨯∑∑∑∑∑约束条件：21311311233112325000150005005001000100015001,0130,25,20ij ij i j ij ij j i i i ij ij j i i i q y s y s s s y y p p p ====⎧⨯≤⎪⎪⎪⨯≤⎪⎪⎪≤<⎪⎪≤≤⎨⎪<≤⎪⎪==⎪⎪⎪===⎪⎪⎩∑∑∑∑或 由程序运行结果得到，21天内草鱼捕捞总收益W =441291.4元.每天草鱼的具体捕捞策略见表一：表一五． 结果分析和检验 1. max min 1666.6671034.483632.184q q -=-=（公斤），且大部分捕捞量集中在1000－1100 之间，说明每天的捕捞量基本相对稳定。
图四 2. 由附录一得，除了23j j y y 及外，其他变量的Reduced Cost 全部为零，即变量的微小变化对结果没有影响，而23j j y y 及只能取0，1整数，本身没有微小变化，说明我们的模型稳健性比较好。
3. 根据捕捞量和损失率我们可以得到销售量在前16天为1000公斤，而后5天为1500公斤（见表二），而这两个点刚好是价格曲线中的两个间断点的右端点，也就是在同样价格下的选取最大允许销售量，从定性角度分析，这样的结果使剩余草鱼种群总量降低，相应地后续天数的草鱼损失量会减少，这样也符销售量（公斤）1s2s3s4s5s6s7s1 1 1000 8s9s10s11s12s13s14s1 1 1000 15s16s17s18s19s20s21s1 15004.在最大利润的方案下，每天的捕捞量持续缓慢上升，但第17天出现一个跳跃点。
因为前15天水位高度还能够基本满足鱼群正常生长的需求，适当控制捕捞量以获得较优的售价，而后几天水位较低，鱼群因空间、食物、生长竞争激烈，损失率会急剧升高，因此要加大捕鱼量，适当降低鱼群密度，来减少鱼群基数便于降低鱼群损失。
这也可以看出前16天我们捕鱼的决定因素是成本，而后5天的主要影响因素是损失率，且从总体来看，前16的总收益大于后5天的总收益。
因此我们认为成本较损失率对收益的影响较大。
六．优化方向1.上述模型中价格相对于供应量是分段常函数，这是一种较为简化和粗糙的假设。
商品价格应围绕价值上下波动，价格对供应量应比原假设更敏感，如设为连续函数可能更接近市场实际情况，再由于市场本身的特点控制着价格的上限我们由计算机模拟出价格的定性曲线（如图五所示）。
图五2.随着水位下降，损失率增加，模型假设中我们设它们为反比例函数，由于水位的下降，草鱼的密度增加，损失的速率不断加快，在损失率的曲线上表示为斜率的加快，但实际中可能更为复杂，每个生态系统具体情况也不同，最好根据本池塘或相似生态系统中一定的实验结果统计出池塘中草鱼损失率与水位的关系曲线并模拟成式子后计算得到。
3.有结果分析可得，前15天我们捕鱼的决定因素是成本，而后5天的主要影响因素是损失率。
因此我们考虑在钱其降低捕鱼成本，可以选择人工加快放水来代替自然放水方式以达到降低成本的途径。
例如，可以在某一天使水位急剧降低到某一个定值l,然后再让水位再自然放水状态下捕捞，抑或者在每天放水量不一的情况下捕捞，通过人工调节水位，都有可能时的最后的收益变得更大。
4.在第9条假设中，在草鱼供应量在1000～1500公斤时，我们将草鱼售价取定位20元/公斤。
现在做一下修正，由于草鱼价格不会有大幅度降低，大体应该在15～20元/公斤之间分布，于是我们另外分别在15，16，17，18，19元/公斤的售价下进行最优化求解，得到结果列成表格，如表三所示：表三由表三可以看出，除了单价在16元/公斤时，捕鱼策略稍有变动，第二天捕捞量S2=500公斤,第15天S15=1500公斤之外，其他天数的捕捞量都与单价在20元/公斤时的捕鱼量相同。
这从另一个侧面说明我们的第9条假设是合理的。
参考文献：[1]谢金星薛毅编著《优化建模与LINDO/LINGO软件》清华大学出版社2005年7月第一版第八章目标规划模型[2]卢向南，李俊杰寿涌毅编著《应用运筹学》浙江大学出版社2005年2月第一版第四章整数规划第三节整数规划的应用附录一：程序及结果源程序：model:Title最优捕捞模型;sets:Day/1..21/:r,m,l,q1,q2,q3,y1,y2,y3;Price/1,2,3/:p;endsetsdata:p=30,25,20;l=15,14.5,14,13.5,13,12.5,12,11.5,11,10.5,10,9.5,9,8.5,8,7.5,7,6.5,6, 5.5,5;m=6,5.85,5.7,5.55,5.4,5.25,5.1,4.95,4.8,4.65,4.5,4.35,4.2,4.05,3.9,3. 75,3.6 3.45,3.3,3.15,3;enddata[OBJ]max=@sum(Day(i):y1(i)*q1(i)*((1-r(i))*p(1)-m(i))+y2(i)*q2(i)*((1 -r(i))*p(2)-m(i))+y3(i)*q3(i)*((1-r(i))*p(3)-m(i)););@for(Day(i):l(i)*r(i)=0.5;);y1(1)*q1(1)+y2(1)*q2(1)+y3(1)*q3(1)+y1(2)*q1(2)+y2(2)*q2(2)+y3(2)*q3(2)+y1(3)*q1(3)+y2(3)*q2(3)+y3(3)*q3(3)+y1(4)*q1(4)+y2(4)*q2(4)+y3(4)*q3(4)+y1(5)*q1(5)+y2(5)*q2(5)+y3(5)*q3(5)+y1(6)*q1(6)+y2(6)*q2(6)+y3(6)*q3(6)+y1(7)*q1(7)+y2(7)*q2(7)+y3(7)*q3(7)+y1(8)*q1(8)+y2(8)*q2(8)+y3(8)*q3(8)+y1(9)*q1(9)+y2(9)*q2(9)+y3(9)*q3(9)+y1(10)*q1(10)+y2(10)*q2(10)+y3(10)*q3(10)+y1(11)*q1(11)+y2(11)*q2(11)+y3(11)*q3(11)+y1(12)*q1(12)+y2(12)*q2(12)+y3(12)*q3(12)+y1(13)*q1(13)+y2(13)*q2(13)+y3(13)*q3(13)+y1(14)*q1(14)+y2(14)*q2(14)+y3(14)*q3(14)+y1(15)*q1(15)+y2(15)*q2(15)+y3(15)*q3(15)+y1(16)*q1(16)+y2(16)*q2(16)+y3(16)*q3(16)+y1(17)*q1(17)+y2(17)*q2(17)+y3(17)*q3(17)+y1(18)*q1(18)+y2(18)*q2(18)+y3(18)*q3(18)+y1(19)*q1(19)+y2(19)*q2(19)+y3(19)*q3(19)+y1(20)*q1(20)+y2(20)*q2(20)+y3(20)*q3(20)+y1(21)*q1(21)+y2(21)*q2(21)+y3(21)*q3(21)<=25000;@for(Day(i):q1(i)*(1-r(i))<=501);@for(Day(i):q2(i)*(1-r(i))>=500);@for(Day(i):q2(i)*(1-r(i))<=1000);@for(Day(i):q3(i)*(1-r(i))>=1001);@for(Day(i):q3(i)*(1-r(i))<=1500);@for(Day(i):y1(i)+y2(i)+y3(i)=1;);@for(Day(i):y1(i)+y2(i)+y3(i)=1;);@for(Day(i):@bin(y1(i)););@for(Day(i):@bin(y2(i)););@for(Day(i):@bin(y3(i)););END程序运行结果：Local optimal solution found at iteration: 2746 Objective value: 441291.4Model Title: 最优捕捞模型Variable Value Reduced Cost Q1( 1) 0.000000 0.000000Q1( 2) 0.000000 0.000000Q1( 3) 0.000000 0.000000Q1( 4) 0.000000 0.000000Q1( 5) 0.000000 0.000000Q1( 6) 0.000000 0.000000Q1( 7) 0.000000 0.000000Q1( 8) 0.000000 0.000000Q1( 9) 0.000000 0.000000Q1( 10) 0.000000 0.000000Q1( 11) 0.000000 0.000000Q1( 12) 0.000000 0.000000Q1( 13) 0.000000 0.000000Q1( 14) 0.000000 0.000000Q1( 15) 0.000000 0.000000Q1( 16) 0.000000 0.000000Q1( 17) 0.000000 0.000000Q1( 18) 0.000000 0.000000Q1( 19) 0.000000 0.000000Q1( 20) 0.000000 0.000000Q1( 21) 0.000000 0.000000Q2( 1) 1034.483 0.000000Q2( 2) 1035.714 0.000000Q2( 3) 1037.037 0.000000Q2( 4) 1038.462 0.000000Q2( 5) 1040.000 0.000000Q2( 6) 1041.667 0.000000Q2( 7) 1043.478 0.000000Q2( 8) 1045.455 0.000000 Q2( 9) 1047.619 0.000000 Q2( 10) 1050.000 0.000000 Q2( 11) 1052.632 0.000000 Q2( 12) 1055.556 0.000000 Q2( 13) 1058.824 0.000000 Q2( 14) 1062.500 0.000000 Q2( 15) 1066.667 0.000000 Q2( 16) 1071.429 0.000000 Q2( 17) 538.4615 0.000000 Q2( 18) 541.6667 0.000000 Q2( 19) 545.4545 0.000000 Q2( 20) 550.0000 0.000000 Q2( 21) 555.5556 0.000000 Q3( 1) 1035.517 0.000000 Q3( 2) 1036.750 0.000000 Q3( 3) 1038.074 0.000000 Q3( 4) 1039.500 0.000000 Q3( 5) 1041.040 0.000000 Q3( 6) 1042.708 0.000000 Q3( 7) 1044.522 0.000000 Q3( 8) 1046.500 0.000000 Q3( 9) 1048.667 0.000000 Q3( 10) 1051.050 0.000000 Q3( 11) 1578.947 0.000000 Q3( 12) 1583.333 0.000000 Q3( 13) 1588.235 0.000000 Q3( 14) 1593.750 0.000000 Q3( 15) 1600.000 0.000000 Q3( 16) 1607.143 0.000000 Q3( 17) 1615.385 0.000000 Q3( 18) 1625.000 0.000000 Q3( 19) 1636.364 0.000000 Q3( 20) 1650.000 0.000000 Q3( 21) 1666.667 0.000000 Y1( 1) 0.000000 0.000000 Y1( 2) 0.000000 0.000000 Y1( 3) 0.000000 0.000000 Y1( 4) 0.000000 0.000000 Y1( 5) 0.000000 0.000000 Y1( 6) 0.000000 0.000000 Y1( 7) 0.000000 0.000000 Y1( 8) 0.000000 0.000000 Y1( 9) 0.000000 0.000000Y1( 11) 0.000000 0.000000 Y1( 12) 0.000000 0.000000 Y1( 13) 0.000000 0.000000 Y1( 14) 0.000000 0.000000 Y1( 15) 0.000000 0.000000 Y1( 16) 0.000000 0.000000 Y1( 17) 0.000000 0.000000 Y1( 18) 0.000000 0.000000 Y1( 19) 0.000000 0.000000 Y1( 20) 0.000000 0.000000 Y1( 21) 0.000000 0.000000 Y2( 1) 1.000000 -18793.10 Y2( 2) 1.000000 -18941.07 Y2( 3) 1.000000 -19088.89 Y2( 4) 1.000000 -19236.54 Y2( 5) 1.000000 -19384.00 Y2( 6) 1.000000 -19531.25 Y2( 7) 1.000000 -19678.26 Y2( 8) 1.000000 -19825.00 Y2( 9) 1.000000 -19971.43 Y2( 10) 1.000000 -20117.50 Y2( 11) 1.000000 -20263.16 Y2( 12) 1.000000 -20408.33 Y2( 13) 1.000000 -20552.94 Y2( 14) 1.000000 -20696.88 Y2( 15) 1.000000 -20840.00 Y2( 16) 1.000000 -20982.14 Y2( 17) 0.000000 -21123.08 Y2( 18) 0.000000 -21262.50 Y2( 19) 0.000000 -21400.00 Y2( 20) 0.000000 -21535.00 Y2( 21) 0.000000 -21666.67 Y3( 1) 0.000000 -20689.66 Y3( 2) 0.000000 -20911.61 Y3( 3) 0.000000 -21133.33 Y3( 4) 0.000000 -21354.81 Y3( 5) 0.000000 -21576.00 Y3( 6) 0.000000 -21796.88 Y3( 7) 0.000000 -22017.39 Y3( 8) 0.000000 -22237.50 Y3( 9) 0.000000 -22457.14 Y3( 10) 0.000000 -22676.25 Y3( 11) 0.000000 -22894.74Y3( 13) 0.000000 -23329.41 Y3( 14) 0.000000 -23545.31 Y3( 15) 0.000000 -23760.00 Y3( 16) 0.000000 -23973.22 Y3( 17) 1.000000 -24184.62 Y3( 18) 1.000000 -24393.75 Y3( 19) 1.000000 -24600.00 Y3( 20) 1.000000 -24802.50 Y3( 21) 1.000000 -25000.00 P( 1) 30.00000 0.000000 P( 2) 25.00000 0.000000 P( 3) 20.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 441291.4 1.0000002 0.000000 -424.29613 0.000000 -428.86324 0.000000 -433.75745 0.000000 -439.04156 0.000000 -444.76417 0.000000 -450.98188 0.000000 -457.76199 0.000000 -465.184010 0.000000 -473.372611 0.000000 -482.356612 0.000000 -498.612613 0.000000 -510.182614 0.000000 -523.180715 0.000000 -537.887716 0.000000 -554.663517 0.000000 -573.976218 0.000000 -882.343319 0.000000 -921.021820 0.000000 -967.272721 0.000000 -1023.45922 0.000000 -1093.37023 25.06504 0.00000024 501.0000 0.00000025 501.0000 0.00000026 501.0000 0.00000027 501.0000 0.00000028 501.0000 0.00000029 501.0000 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