19.百师联盟2021届高三一轮复习联考(一)理数全国卷III试题【解析版】

百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）新高考卷数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，集合B ＝{x |x 2+x -6＜0}，则A ∪B ＝A ．{x |x ＜4}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |-3＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}2．设z ＝|t |-(t 2+1)i ，其中t ∈R ，i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在A ．第一象限或x 轴B ．第二象限或y 轴C ．第三象限或x 轴D ．第四象限或y 轴3．命题p ：“∀x ∈[0，+∞)，e x ＞x 2”的否定形式¬p 为A ．∀x ∈[0，+∞)，e x ≤x 2B ．∃x 0∈(-∞，0]，020e x x >C ．∃x 0∈[0，+∞)，020e x x >D ．∃x 0∈[0，+∞)，020e x x ≤4．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A ．12πB ．32π3C ．8πD ．4π 5．将不超过实数x 的最大整数记为[x ]，设函数2log , 115, 01()x x x x x f x ≥⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦⎧⎪=⎨⎪⎩，则f (f (0.8))＝ A ．4 B ．2 C ．1 D ．06．已知向量(2,1)a =-，(5,4)b =-，(,)c x y =，若()a b c +⊥，则x ，y 可以是A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝0，y ＝1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝1，y ＝-17．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是A ．y ＝cos(2x -2-x )B ．y ＝sin(2x -2-x )C ．y ＝cos(2x +2-x )D ．y ＝sin(2x +2-x )8．若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0，π]上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为A ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1023,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9．等差数列{a n }的首项a 1＞0，设其前n 项和为{s n }，且s 6＝s 11，则A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 8＝0D ．s n 的最大值是s 8或者s 910．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，则下列结论正确的是 A ．ab ≤4 B ．111a b+≥ C ．2a +2b ≥16 D ．a 2+b 2≥8 11．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f (x )＝x x (x ＞0)，我们可以作变形：ln ln ()e e e (ln )x x x x x t f x x t x x =====，所以f (x )可看作是由函数f (t )＝e t 和g (x )＝x ln x 复合而成的，即f (x )＝x x (x ＞0)为初等函数． 根据以上材料，对于初等函数1()(0)xh x x x =>的说法正确的是A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1e e 12．已知函数f (x )＝sin|x |-|cos x |，且π2a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππe b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 A ．f (x )为偶函数 B ．f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c 三、填空题13．已知向量a ，b ，满足||2a =，且1a b ⋅=-，则()a a b ⋅-=_________．14．已知函数321()313f x x x x =---+，则在曲线y ＝f (x )的所有切线中，斜率的最大值为_________．15．函数f (x )＝sin 2ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式f (x )＝_________；将函数f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，则g (1)+g (2)+g (3)+…+g (2021)＝_________．16．设函数π2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)||x x f x x x ⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-+∞⎪⎩，若关于x 的方程[f (x )]2+af (x )+1＝0(a ∈R )有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点122A ⎛ ⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边． （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求sin βcos φ的取值范围．18．在①cos 2C -cos 2A ＝sin 2B -sin B sin C ，2sin a B =，③△ABC 的面积sin S AB AC A =⋅，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 为锐角，_____________________．（1）求角A ；（2）若a =，求b +c 的取值范围．19．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝e 2x -a 的图像关于直线y ＝x 对称，a ∈R ．（1）若函数f (x )的图形过点(0，0)，求f (x )的解析式；（2）若函数h (x )＝x -f (x )在[1，+∞)上单调递增，求a 的取值范围．20．已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为（1）求函数f (x )的解析式；（2）若将函数f (x )图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，关于x 的不等式21()22g x t t ≥+在x ∈[3，5]上有解，求实数t 的取值范围． 21．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入x (x ∈[4，8])万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到y λ=⋅20102x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭万件，λ∈[0.6，1]为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费(40+5x +30y )万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润＝赞助费+出售商品利润）（2）若对任意x ∈[4，8]万元，当λ满足什么条件时，该销售商才能不亏损？22．已知函数f (x )＝x ln x +1，g (x )＝sin x -e x ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）记h (x )＝f (x )+g (x )，求证：对任意x ∈(0，+∞)，h (x )＜0恒成立．百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）新高考卷数学参考答案1．C 解析：集合B ＝{x |-3＜x ＜2}，所以A ∪B ＝{x |-3＜x ＜3}，故选C ．2．D 解析：因为z ＝|t |-(t 2+1)i ，|t |≥0，-(t 2+1)＜0，所以z 在复平面内对应的点(|t |，-(t 2+1))在第四象限或y 轴上，故选D ．3．D 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈[0，+∞)，e x ＞x 2”的否定形式¬p 为：∃x 0∈[0，+∞)，020e x x ≤，故选D ．4．A 解析：正方体的棱长为2，其体对角线为即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A ．5．B 解析：因为0.8＜1，所以5(0.8)50.844f ⎡⎤=⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，f (4)＝log 24＝2，故选B ． 6．A 解析：因为()a b c +⊥，所以()(3,3)(,)330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x ＝y ，故选A ．7．D 解析：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项；当x ＝0时，0＜y ＜1，而cos(20-2-0)＝cos 0＝1，cos(20+2-0)＝cos 2＜0，排除A 、C 选项，故选D ．8．B 解析：如图作出简图，由题意知，π∈[x 4，x 5)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为0π6x ω=-，则400772π10π443x x T x ωω=+=+⋅=，5002π23π226x x T x ωω=+=+⋅=，结合π∈[x 4，x 5)有10π3πω≥且23ππ6ω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选B ．9．BD 解析：s 11-s 6＝a 7+a 8+a 9+a 10+a 11＝5a 9＝0，所以a 9＝0，d ＜0，s 8＝s 9最大，选BD ．10．ABD 解析：由不等式2112a b a b +≤≤+，可得ABD 正确．对于C ，22a b +≥8=．11．AD 解析：根据材料知：111ln ln ()e e x x x x x h x x ===，所以11ln ln 1()e ln e x x x x h x x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭⋅⋅ 1ln 222111ln e (1ln )x x x x xx x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，令h ′(x )＝0得x ＝e ，所以h (x )有极大值且为1e (e)e h =，无极小值故选AD ．12．ABC 解析：易知函数f (x )为偶函数，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f (x )＝sin x -cos x ，f ′(x )＝sin x +cos x ＞0，此时f (x )单调递增；令()e x x g x =，1()e xx g x -'=，则g (x )在(-∞，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，因为2＜π，所以π2π2πe e 2<<，由函数f (x )的单调性有π2π2πe e 2f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即a ＞c ＞b ，故选ABC ． 13．5 解析：原式2||5a a b =-⋅=，故答案为5．14．-2 解析：因为321()313f x x x x =---+，所以f ′(x )＝-x 2-2x -3，当x ＝-1时，f ′(x )取得最小值为f ′(-1)＝-2，即曲线y ＝f (x )的切线中斜率的最大值为-2．故答案为-2．15．π()sin 8f x x =；1 【解析】设函数f (x )的最小正周期为T ，由图知82T =，解得16T == 2ππ228ωω⇒=，所以π()sin 8f x x =，因为函数f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，则π()sin 2g x x =，因为g (1)+g (2)+g (3)+g (4)＝0，所以g (1)+g (2)+g (3)+…+g (2021)＝0+g (1)＝1．故答案为π()sin8f x x =；1． 16．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：作出函数f (x )的简图如图，令f (x )＝t ，要使关于x 的方程[f (x )]2+af (x )+1＝0(a ∈R )有且仅有12个不同的实根，则方程t 2+at +1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且由图知t 1、t 2∈(0，2)，设g (t )＝t 2+at +1， 则有(0)0(2)00022g g a >⎧⎪>⎪⎪∆>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．17．解析：（1）由题意得sin α=，1cos 2α=， 所以22sin 22sin cos 2cos sin 2cos sin ααααααα=--21222122==⨯-⎝⎭（2）π1sin cos sin cos sin cos 32βϕϕϕϕϕϕ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得sin cos βϕ=1πsin 223ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为π02ϕ<<，所以ππ4π2333ϕ<+<，πsin 213ϕ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，sin cos βϕ⎛∈ ⎝⎦． 18．解析：（1）选①由cos 2C -cos 2A ＝sin 2B -sin B sin C ，得1-sin 2C -(1-sin 2A )＝sin 2B -sin B sinC 由正弦定理，得b 2+c 2-a 2＝bc ． 所以2221cos 22b c a A bc +-== 因为π02A <<，所以π3A =．2sin a B =，则2sin sin B A B =，sin A ． π02A <<，所以π3A =． 选③sin S AB AC A =⋅，则1sin cos sin 2bc A bc A A =． sin A ≠0，所以1cos 2A =，又π02A <<，所以π3A =． （2）2sin 2sin sin sin sin sin a a b c R B R C B C B C B A A +=+=++=1)sin 2A B B B B ⎫+=+⎪⎝⎭，化简得：π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． 因为2π03B <<，所以ππ5π666B <+<，1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭b c +≤． 19．解析：（1）设点A (x ，y )在函数f (x )的图象上，则点A 关于直线y ＝x 的对称点A 1(y ，x )在函数g (x )的图象上， 即有x ＝e 2y -a ，化简得1ln()2y x a =+， 因为函数f (x )的图象过点(0，0)，代入解得a ＝1，所以1()ln(1)(1)2f x x x =+>-． （2）1()()ln()2h x x f x x x a =-=-+，(x ＞-a )，1()12()h x x a '=-+， 若函数h (x )＝x -f (x )在[1，+∞)上单调递增，则h ′(x )≥0在[1，+∞)上恒成立， 所以1()1002()h x x a '=-≥⇔<+ max 11112()22a x x a ⎛⎫≤⇔≥-=- ⎪+⎝⎭，a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 20．解析：（1）由题意得f (x )的最大值为2，最小值为-2，设函数f (x )的最小正周期为T ，= 解得T ＝12，所以2ππ6T ω==，π()2sin 6f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为f (x )的图象过点(1，2)，所以π(1)2sin 26f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=，ππ()2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为将函数f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，所以ππ()2sin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当x ∈[3，5]时，ππ4π,2π333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2sin 33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ [2,0]∈-， 因为不等式21()22g x t t ≥+在x ∈[3，5]上有解，即有21202t t +≤， 解得-4≤t ≤0，所以实数t 的取值范围为[-4，0]．21．解析：（1）由题意得202020040104053010100222p x x x x x λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅-=- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦440x λ--，x ∈[4，8]．（2）要使对任意x ∈[4，8]（万元）时，该销售商才能不亏损，即有p ≥0，变形得(10)(2)25x x xλ++≥在x ∈[4，8]上恒成立， 而2(10)(2)12202012x x x x x x x x ++++==++，由对勾函数的性质易知，函数20()12f x x x=++在单调递减，在单调递增，（注：求导确定单调性也可） f (x )max ＝max{f (4)，f (8)}，因为f (4)＝21＜f (8)＝22.5，所以有25λ≥22.5，解得λ≥0.9， 即当λ满足λ∈[0.9，1]时，该销售商才能不亏损．22．解析：（1）因为f (x )＝x ln x +1，所以f ′(x )＝ln x +1，令f ′(x )＝0得1e x =， 所以当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以函数f (x )的递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）h (x )＝x ln x -e x +sin x +1， ①当x ∈(0，1]时，x ln x ≤0，令t (x )＝e x -sin x -1，t ′(x )＝e x -cos x ，此时e x ＞1，cos x ＜1，所以t ′(x )＞0，t (x )在(0，1]单调递增，t (x )＞e 0-sin 0-1＝0，所以x ln x ＜e x -sin x -1恒成立，即h (x )＜0恒成立； ②当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )＝ln x +cos x -e x +1，令u (x )＝ln x +cos x -e x +1，所以1()sin e 1(1)e 2e 0x u x x x'=--<---=-<，故u (x )在(1，+∞)单调递减，所以u (x )＜u (1)＝cos 1+1-e ＜0，即h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，+∞)单调递减，所以h (x )＜h (1)＝1+sin 1-e ＜0． 综上：对任意x ∈(0，+∞)，h (x )＜0恒成立．。

百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷理科数学试卷考试时间为120分钟，满分150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2122z i ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，其中i 是虚数单位，则z ＝（ ）A.12B.2C.12.已知集合{}0A x x =≥∣，集合(){}2ln 2B x y x x ==+-∣，则AB =（ ）A.()1,+∞B.()2,1-C.[)0,1 D.()2,-+∞3.已知向量(,1)a x =-， (2,4)b =-若a b ⊥，c a b =+，则a 在c 上的投影为（ ）A.1B.1±D.4.方程()44224x y x y +=+所表示曲线的大致形状为（ ）A. B. C. D.5.命题:p “[0,)x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为（ ） A.[0,)x ∀∈+∞，2x e x ≤ B.0(,0]x ∃∈-∞，020x e x > C.0[0,)x ∃∈+∞，020x ex >D.0[0,)x ∃∈+∞，020x ex ≤6.已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A.cos(sin )y x =B.sin(sin )y x =C.cos(cos )y x =D.sin(cos )y x =7.设函数()axf x e =与()lng x b x =的图象关于直线0x y -=对称，其中,a b ∈R 且0a >.则a ，b 满足（）A.2a b +=B.1a b ==C.1ab =D.1b a= 8.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（ ）A.该弹簧振子的振幅为1cmB.该弹簧振子的振动周期为1.6sC.该弹簧振子在0.2s 和1.0s 时的振动速度最大D.该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移不为零9.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ）， 当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象 来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,C x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，C Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：,(,)Ca x QQ D b x x ∈⎧⎨∈=⎩（其中,a b ∈R 且a b ≠），以下对()D x 说法错误的是（ ） A.任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期 B.当a b >时，()D x 的值域为[[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a b C.()D x 为偶函数D.()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性10.设锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22()c b c b -=-，a =则b c +的取值范围为（ ）A.B.C.D.11.若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在[0,]π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为（ ） A.1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1023,36⎛⎫⎪⎝⎭ 12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，任意x ∈R 均有()()x f x f x e '-=，且()10f =，若函数()()g x f x =t -在[1,)x ∈-+∞上有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A.()1,0-B.21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭C.[)1,0- D.21,e ⎡--⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数(1)1iz a i i=+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =__________. 14.已知sin cos θθ+=，且(0,)θπ∈， 则cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 15.函数ln 2()2ln x f x x=+，(1,]x e ∈的最小值为__________. 16.设函数2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)||x x f x x x π⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-+∞⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()10f x af x ++=()a ∈R 有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17.（12分）已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点1,22A ⎛ ⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转中02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边． （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求cos cos βϕ+的取值范围． 18.（12分）已知函数2()ln (21)2f x ax a x ⎡⎤=+--⎣⎦，a ∈R .（1）若1x =是函数()f x 的零点，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性． 19.（12分）已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于x 的不等式21()22g x t t ≥+在[3,5]x ∈上有解，求实数t 的取值范围． 20.（12分）2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济” 的发展和规范管理投入()[4,8]x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元的赞助费后，商品的销售量将增加到20102y x λ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭万件，[0.6,1]λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润＝赞助费+出售商品利润）；（2）若对任意[4,8]x ∈万元，当λ满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 21.（12分）已知函数()(1)sin (1)cos f x a x x a x x =--++，[0,]x π∈，a ∈R . （1）若函数()f x 在,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为12π+，求a 的值；（2）若任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂，多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）点，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）点P 为曲线C 上一点，求点P 到直线l 距离的最小值．23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()|2 1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()2f x x ≥+的解集； （2）若1()2f x t ≥--对一切实数x 均成立，求实数t 的取值范围． 百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷理科数学参考答案及评分意见1.C解：21122z i ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，所以||1z ==，故选C. 2.A 解：集合{}{}22021B x x x x x x =+->=<->∣∣或，所以1(),AB =+∞，故选A.3.A 解：因为a b ⊥，所以()(),12,4240a b x x ⋅=--=-⋅-=，即2x =-，()2,1a =--，()4,3c a b =+=-，所以a 在c 上的投影为1||(4)a c c ⋅==-，故选A.4.A 解：令0x =，解得2y =±，令0y =，解得2x =±，故排除C 、D 选项；易知该函数图象不是圆，排除B 选项，又因为()0,0点满足条件，故选A.5.D 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p “[0,)x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为：0[0,)x ∃∈+∞，020x e x ≤，故选D.6.D 解：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项；当0x =时，01y << ，而cos(sin 0)cos01==排除A 选项；令[]cos 1,1t x =∈-，所以cos(cos )0x >，排除C 选项，故选D.7.C 解：设(),ax A x e 是函数()axf x e =图象上任意一点，则它关于直线0x y -=对称的点()1,ax A e x 在函数()ln g x b x =的图象上，所以ln ax x b e abx ==，即1ab =，故选C. 8.B 解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T ，0.60.204T=-=，解得 1.6T s =，振幅2A cm =，当0.2t s =或1.0s 时，振动速度为零；该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移为零，故选B.9.B 解：设任意1T Q ∈，2c T Q ∈，则()1,(),c a x Q D x T D x b x Q ∈⎧+==⎨∈⎩，()2(,),b x QD x T a b x QD x ∈⎧+=≠⎨∈⎩或，A 选项正确；易知()D x 的值域为{},a b ，B 选项错误；若x Q ∈，则x Q -∈，所以()()f x f x a -==，若x Q ∈，则x Q -∈，所以()()f x f x b -==，C 选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数，其函数值在a 和b 之间无间隙转换，所以()D x 无单调性；综上，故选B.10.D 解：因为22()c b c b -=-，即222a b c bc =+-，由余弦定理知1cos 2A =，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3A π=，结合正弦定理得sin sin a b B B A =⋅=，sin sin a c C C A =⋅=，则)b c B C B A B +=+=+B =+1sin 2B B ⎫+⎪⎪⎝⎭，化简得：6b c B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；因为2032B ππ<-<，02B π<<，所以2363B πππ<+<，sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭b c <+≤ D. 11.B 解：如图作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，因为06x πω=-，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅==，500223226x x T x ππωω=+=+⋅=，结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选B.12.D 解：设函数()()x f x h x e =，则()()()xf x f x h x e '-'=，因为()()xf x f x e '-=，则()1h x '=，设()h x x C =+，则(1)(1)10f h C e==+=，所以1C =-，即()1h x x =-，()(1)x f x x e =-，()x f x xe '=，则()f x 在[)1,0-单调递减，在[0,)+∞单调递增，min ()(0)1f x f ==-，要使函数()()g x f x t =-有两个零点，等价于曲线()y f x =与y t =有两个交点，所以实数t 的取值范围为21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，2(1)f e-=-，故选D. 13.12 解：11(1)122i z a i a i i ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，110,22a a -==.答案为12.14.4 解：因为23(sin cos )12sin cos 4θθθθ+=+=，所以12sin cos 04θθ=-<，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0θ>，cos 0θ<，结合22sin cos 1θθ+=，解得sin θ=，所以cos sin 2πθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭15.52解：令ln x t =，因为(]1,x e ∈，所以(0,1]t ∈，ln 22142ln 22x t t x t t ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，令142()t t t g ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由对勾函数的性质易知，()g t 在(]0,1单调递减，即min 5()(1)2g t g ==，所以函数()f x 在(]1,e 上的最小值为52.故答案为52. 16.5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭解：作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程2[()]()10f x af x ++=()a ∈R 有且仅有12个不同的实根，则方程210t at ++=有两个不同的实数根1t ，2t ，且由图知12,(0,2)t t ∈，设2()1g t t at =++，则有(0)0(2)00022g g a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故答案为5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 17.解：（1）由题意得sin α=，1cos 2α=，所以22212sin 22sin cos 222cos sin 2cos sin 1222ααααααα===--⎛⨯- ⎝⎭（2）1cos cos cos cos cos cos 322πβϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得cos cos 3πβϕϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，因为02πϕ<<，所以633πππϕ-<-<，1sin 23πϕ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，3cos cos 2βϕ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 18.解：（1）要使1x =为函数()f x 的零点，即有(1)ln(33)0f a =-=，解得43a =. （2）令2()(21)2(1)(2)g x ax a x ax x =+--=-+，①当0a =时，函数()f x 的定义域为(,2)-∞-，()ln(2)f x x =--，因为()2g x x =--在(,2)-∞-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在(,2)-∞-上单调递减； ②当0a ≠时，由()0g x =解得11x a=，22x =-， （i ）当102a -<<时，函数()f x 的定义域为1,2a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，因为()f x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递减；（ii ）当12a <-时，函数()f x 的定义域为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()g x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； （iii ）当12a =-时，()0g x ≤ ，不满足题意，()f x 无意义； （iv ）当0a >时，函数()f x 的定义域为1(,2),a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，因为()g x 在(,2)-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在(,2)-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.19.解：（1）由题意得()f x 的最大值为2，最小值为-2，设函数()f x 的最小正周期为T ，则=12T =，所以26T ππω==，()2sin 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象过点()1,2，所以(1)2sin f =26πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，因为||2πϕ<，所以3πϕ=，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x =的图象，所以()2sin 33g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当[3,5]x ∈时，4,2333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，则2sin [2,0]33x ππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 因为不等式()2122g x t t ≥+在[3,5]x ∈上有解，即有21202t t +≤，解得40t -≤≤，所以实数t 的取值范围为[]4,0-.20.解：（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2001004402x x λλ=---+，[4,8]x ∈. （2）要使对任意[]4,8x ∈万元时，该销售商才能不亏损，即有0p ≥，变形得(10)(2)25x x xλ++≥在[4,8]x ∈上恒成立，而2(10)(2)12202012x x x x x x x x++++==++， 设20()12f x x x =++，220()1f x x'=-，令()0f x '=，解得x =±，所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，{}max ()max (4),(8)f x f f =，因为(4)21(8)22.5f f =<=，所以有2522.5λ≥，解得0.9λ≥，即当λ满足[0.9,1]λ∈时，该销售商才能不亏损.21.解：（1）因为()(1)sin (1)cos f x a x x a x x =---++，所以()()(sin cos )f x x a x x '=+-， 因为函数()f x 在,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为12π+，所以1222f a πππ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，解得1a =.（2）由（1）知，()()(sin cos )f x x a x x '=+-，[0,]x π∈令()0f x '=，解得1x a =-，12,4x a x π=-=，①当0a ≥时，0x a +≥ ，在0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上，sin cos 0x x -<，所以()0f x '≤，()f x 单调递减；在,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin cos 0x x -≥，所以()0f x '≥，()f x 单调递增；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有min ()11042424f x f a a πππ⎛⎫⎫⎫==---++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得4a π≤-，不满足；②当04a π-<<时，在[0,)x a ∈-上，0x a +<，sin cos 0x x -< ，所以()0f x '>，()f x 单调递增；在,4x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦上，0x a +>，sin cos 0x x ->，所以()0f x '>，()f x 单调递增；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有(0)004f f π≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1a ≤-，不满足； ③当4a ππ-≤≤-时，结合②易知，()f x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在,4a π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；在(,]a π-单调递增；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有(0)0()0f f a ≥⎧⎨-≥⎩，解得1a π-≤≤-，所以[,1]a π∈--，满足；④当a π<-时，()f x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；要使任意[0,]x π∈，()0f x ≥恒成立，即有()0(0)0f f π≥⎧⎨≥⎩，解得11a π--≤≤-，所以[1,)a ππ∈---，满足；综上：a 的取值范围为[1,1]π---.22.解：（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()222222(2)))8sin cos 8x y αααα+=+=+=，整理得22182x y +=； 因为直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ+=sin cos 4ρθρθ+=即40x y +-=.（2）由（1）得直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，则设点)P αα，[0,2)απ∈，则点P 到直线40x y +-=的距离d ==其中tan 2ϕ=， 当sin()1αϕ+=时，min d ==23.解：（1）13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ①当12x <-时，32x x --≥+，解得52x ≤-，所以52x ≤-； ②122x -≤≤时，312x x -≥+ ，解得32x ≥，所以322x ≤≤； ③2x >时，32x x +≥+ ，解得x ∈R ，所以2x >；综上：不等式()2f x x ≥+的解集为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）由（1）知，min 15()22f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为1()2f x t ≥--对一切实数x 均成立，即有5122t -≥--，解得3t ≥或2t ≤-， 所以t 的取值范围为(][,2,)3-∞-+∞.。

百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷理科数学试卷考试时间为120分钟，满分150分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 。

2. 回答选择题时，选出每小题 答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设231(i)2z =-,其中i 是虚数单位，则|z |＝ A. 12B.2C.1D. 22. 已知集合A ={ x | x ≥0},集合B ={ x | y =l n (x 2+x -2)},则A ⋂B =A. (1,+∞)B.(-2,1)C.[0,1)D.(-2,+∞) 3. 已知向量a =(x ,-1),b =(-2,4),若a ⊥b ，c =a +b ，则a 在c 上的投影为 A.1B. ± 1C . 2D . ± 24. 方程 x 4 十 y 4=4(x 2+y 2 )所表示曲线的大致形状为5. 命题p :“2[0,),e x x x ∀∈+∞>”的否定形式⌝p 为A. 2[0,),e x x x ∀∈+∞≤B. 0200(,0],e x x x ∃∈-∞>C. 0200[0,),e x x x ∃∈+∞>D. 0200[0,),e x x x ∃∈+∞≤6. 已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是A.y =cos (s i n x )B.y =s i n (s i n x ) C .y =cos (cos x ) D.y =s i n(cos x )7.设函数f (x )= e ax与g(x )=b ln x 的图象关于直线 x -y =0对称，其中a ,b ∈R 且a >0.则a ,b 满足A.a +b =2B.a =b =1 C .ab =1 D.1b a= 8.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是 A. 该弹簧振子的振幅为1cm B. 该弹簧振子的振动周期为 1.6s C.该弹簧振子在0.2s 和1.0 s 时的振动 速度最大D. 该弹簧振子在0.6 s 和1.4 s 时的位移不为零9. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet), 当时数学家们 处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象 来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数 ：1,()0,C x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，Q C 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些 “人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： D (x )= ,,Ca x Qb x Q ∈⎧⎨∈⎩（其中a ,b ∈R 且a ≠b ,以下对 D (x )说法错误的是 A.任意非零有理数均是D (x )的周期，但任何无理数均不是D (x )的周期 B.当a >b 时，D (x )的值域为[b ,a ]; 当a <b 时，D (x )的值域为[a ,b ] C.D (x )为偶函数D.D (x )在实数集的任何区间上都不具有单调性10.设锐角三角形ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2-2=b (c -b ),a =2,则b +c 的取值范围为 A.( 2，22]B.( 2，22]C.( 6，22)D. ( 6，22］11.若函数f (x )=sin()(0)x ωϕω+>在[0，π]上有且仅有3个零点和2个极小值点 ，则ω 的取 值范围为 A. 1710[,)63B. 1023[,)36C. 1710[,]63 D. 1023(,)3612. 已知函数f (x )的导函数为f '(x ),任意x ∈R 均有 f '(x )-f (x )=e x ,且f (l )=0,若函数g (x )=f (x )-t 在x ∈ [-1,+∞)上有两个零点，则实数 t 的取值范围是 A .(-1,0)B.( 21,e --) C.[-1,0) D .( 21,]e --二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。