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第三讲 概率[考情分析]高考主要考查古典概型，多在解答题中与统计结合考查，几何概型考查多为选择题.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310D.25解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a >b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为1025＝25，选D.答案：D2．(2016·高考全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.56解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38D.310解析：如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B. 答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.18 C.115D.130解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115. 答案：C5．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：(1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19(x ∈N )．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7， 故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)． 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．几何概型[方法结论]几何概型的两个基本特征： (1)基本事件的无限性、等可能性． (2)其事件的概率为P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，一般要用数形结合法求解．[题组突破]1．在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( )A.12 B.34 C.38D.58解析：由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故要求的概率为π2－0π2－－π6＝34.故选B. 答案：B2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤1表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( ) A.π4 B.π－36 C.3＋3π12D.33＋2π18解析：区域D 表示矩形，面积为3，到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O 为圆心，半径为2的圆内，图中阴影部分的面积为12×1×3＋112×π×4＝32＋π3，故所求概率为33＋2π18.答案：D3．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________． 解析：设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，故所求概率P ＝4×85×8＝45.答案：45[误区警示]几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型．古典概型[方法结论]古典概型的两个基本特征： (1)基本事件的有限性、等可能性． (2)其事件的概率为P (A )＝ 事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn.[题组突破]1．(2017·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ＞90°的概率是( ) A.512 B.712C.13D.12解析：连掷两次骰子得到的点数(m ，n )的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个． ∵(m ，n )·(－1，1)＝－m ＋n ＜0，∴m ＞n .符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴P ＝1536＝512.答案：A2．(2017·哈尔滨模拟)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；(2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．解析：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 1、B 1、C 1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 2、B 2、C 2，则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 2)，(A 1，C 2)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 2)，(C 1，A 2)，(C 1，B 2)，(C 1，C 2)，共9个．其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(C 1，C 2)，共3个， 所以所求概率P 1＝39＝13.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a 1，表演笛子演奏的2人分别为b 1、b 2， 表演唱歌的3人分别为c 1、c 2、c 3，则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9个，所以所求概率P 2＝915＝35. [误区警示]对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．概率与统计的交汇综合问题概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查．交汇点一 古典概型与用样本估计总体交汇考查[典例1] (2017·成都模拟)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70,85)内，记为B 等；分数在[60,70)内，记为C 等；60分以下，记为D 等，同时认定A ，B ，C 等为合格，D 等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C ，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．图1 图2(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．解析：(1)由题意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝0.004，∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%.而乙学校的合格率为(1－250)×100%＝0.96×100%＝96%.∴甲、乙两校的合格率均为96%.(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个基本事件．其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共9个基本事件．∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为P＝915＝35.[类题通法]求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型(1)识图：即能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．(2)转化：即对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．(3)计算：即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进行运算．[演练冲关]1．(2017·湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据频率分布直方图估计利润y 不少于4 800元的概率．解析：(1)由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20＝0.3. 这个开学季内市场需求量x 的众数估计值是150. 需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1， 需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2， 需求量为[140,160)的频率为0.015×20 ＝0.3， 需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20 ＝0. 25， 需求量为[180,200]的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝ 110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153. (2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元， 所以当100≤x ≤160时，y ＝50x －30×(160－x )＝80x －4 800， 当160＜x ≤200时，y ＝160×50＝8 000，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80x －4 800，100≤x ≤1608 000，160＜x ≤200(x ∈N )．(3)因为利润不少于4 800元，所以80x －4 800≥4 800， 解得x ≥120.所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P ＝1－0.1＝0.9. 交汇点二 古典概型与独立性检验的交汇[典例2] (2017·长沙模拟)某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如下表：参考数据：参考公式：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d(1)试根据以上数据运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？(2)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A 组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B 组，计划从A 组推选的2人和B 组推选的3人中，随机挑选2人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的2人恰好分别来自A ，B 两组的概率． 解析：(1)由题易求得K 2＝10，因为7.879<K 2<10.828， 所以有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响．(2)记A 组推选的2名同学为a 1，a 2，B 组推选的3名同学为b 1，b 2，b 3， 则从中随机选出2名同学包含如下10个基本事件：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)．记挑选的2人恰好分别来自A ，B 两组为事件Z ， 则事件Z 包含如下6个基本事件：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)．故P (Z )＝610＝35，即挑选的2人恰好分别来自A ，B 两组的概率是35.[类题通法]古典概型与独立性检验的交汇问题的解题策略(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性．(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K 2，K 2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．[演练冲关]2．(2017·洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A ，B ，C 三座城市进行治霾落实情况检查．(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，求A 城市恰有两个专家组选取的概率；(2)在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d解析：(1)不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示：其中，A 故A 城市恰有两个专家组选取的概率P ＝1236＝13.(2)K 2的观测值k ＝－2100×300×100×300＝16，16＞6.635，所以有超过99%的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关．。
明、概率与统计第三讲统计与统计案例课时作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第三讲统计与统计案例课时作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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证明、概率与统计第三讲统计与统计案例课时作业理A组——高考热点基础练1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人,高三年级400人．现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．15，5,25 B．15,15，15C．10,5,30 D．15,10,20解析：先确定抽样比为错误!＝错误!，则依次抽取的人数分别为错误!×300＝15,错误!×200＝10和错误!×400＝20。
故选D。
答案：D2.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是 ( ）A．125 B．5错误!C．45 D．3错误!解析：由茎叶图知平均值为错误!＝125，∴s2＝错误!［(125－114)2＋（125－126）2＋（125－128)2＋（125－132)2］＝45.答案：C3．(2016·重庆模拟）为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3。
841)＝0.05,P(K2≥6.635)＝0。
01,则下列说法正确的是( ）A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B．有95%的把握认为“X和Y没有关系"C．有99％的把握认为“X和Y有关系”D．有99%的把握认为“X和Y没有关系"解析：依题意,K2＝5,且P（K2≥3。
2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第一讲算法、复数、推理与证明课时作业文1．(2016·高考全国Ⅱ卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( )A．－1＋2i B．1－2iC．3＋2i D．3－2i解析：先求复数z，再利用共轭复数定义求z.由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴z＝3＋2i，故选C.答案：C2．(2016·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A．8 B．9C．27 D．36解析：借助循环结构进行运算求解．k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；s＝1，k＝2，满足k≤2；s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.答案：B3．我们知道，在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值32a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任意一点到其四个面的距离之和为定值( )A.63a B.64aC.33a D.34a解析：正四面体内任意一点与其四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积．设点到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，每个面的面积为34a 2，正四面体的体积为212a 3，则有13×34a 2(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝212a 3，得h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 答案：A4．(2016·天津模拟)设复数z 满足z －i z ＋i＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( ) A ．21 008B ．21 008i C ．－21 008D ．－21 008i解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.答案：A5．(2016·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：借助循环结构进行运算，直至满足条件并输出结果．S ＝4不满足S ≥6，S ＝2S ＝2×4＝8，n ＝1＋1＝2；n ＝2不满足n >3，S ＝8满足S ≥6，则S ＝8－6＝2，n ＝2＋1＝3； n ＝3不满足n >3，S ＝2不满足S ≥6，则S ＝2S ＝2×2＝4，n ＝3＋1＝4； n ＝4满足n >3，输出S ＝4.故选B.答案：B6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝( )A.2 0162 017B.2 0172 016 C.2 0152 016D.2 0162 015解析：每个边有n 个点，把每个边的点数相加得3n ，这样端点上的点数被重复计算了一次，故第n 个图形的点数为3n －3，即a n ＝3n －3.令S n ＝9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋a a n a n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n －1n ， ∴9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝2 0152 016.故选C. 答案：A7．(2016·甘肃模拟)把数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写成如下数表： 1 13 15 17 19 111 113 115117119…129第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则A (6,10)＝________.解析：前5行共有20＋21＋22＋23＋24＝31个数，A (6,10)为数列的第41项，令a n ＝12n －1，则a 41＝181.答案：1818．有6名同学参加演讲比赛，编号分别为1,2,3,4,5,6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获特等奖进行预测： A 说：不是1号就是2号获得特等奖； B 说：3号不可能获得特等奖； C 说：4,5,6号不可能获得特等奖；D 说明：能获得特等奖的是4,5,6号中的一个．公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 四人中只有一人判断正确．根据以上信息，获得特等奖的是________号同学．解析：由已知C ，D 两人的判断一真一假，如果D 的判断正确，则B 的判断也正确，与已知矛盾，故C 的判断是正确的，那么A 的判断错误，即获奖者不是1,2号，且B 的判断错误，故获得特等奖的是3号同学． 答案：39．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又∵S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n ＋1n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提) 又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 11．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1－qn1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．。
2021年高考数学二轮复习第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计专题跟踪训练20 文一、选择题1．(xx·湖南卷)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i[解析]由题意得z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i，故选D.[答案]D2．(xx·河南郑州第一次质量预测)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i[解析]依题意得，复数z＝5i1－2i1＋2i1－2i＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i，选C.[答案]C3．(xx·大连双基测试)复数i1－i的虚部为( )A.12i B．－12iC.12D．－12[解析]i 1－i ＝i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i 2＝－12＋12i ，故虚部为12，选C.[答案] C4．(xx·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.[答案] A5．(xx·福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128[解析] 输入x ＝1，因为1≥2不成立，所以y ＝9－1＝8，输出y ＝8，故选C. [答案] C6．已知x >0，观察不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．n 2C ．3nD ．2n[解析] 根据已知，续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x 3＝4，由此可得a ＝n n .故选A.[答案] A7．(xx·重庆卷)执行如下图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.34B.56C.1112D.2524[解析] 第一次循环，得k ＝2，s ＝12；第二次循环，得k ＝4，s ＝12＋14＝34；第三次循环，得k ＝6，s ＝34＋16＝112；第四次循环，得k ＝8，s ＝1112＋18＝2524.此时退出循环，输出s ＝2524，故选D.[答案]D8．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数( )A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x－1的图象上[解析]程序的运行过程如下：x＝1，y＝1，x≤4成立；x＝2，y＝2，x≤4成立；x＝3，y＝4，x≤4成立；x＝4，y＝8，x≤4成立；x＝5时退出循环．所以输出的(x，y)依次为(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，所以可判断所有实数对(x，y)所对应的点都在函数y＝2x－1的图象上，故选D.[答案]D9．执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )A.203B.72C.165D.158[解析] 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，则输出M ＝158，选D.[答案] D10．(xx·西安模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)[解析] 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有n n＋12个整数时，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，故选B.[答案]B11．(xx·河北五校高三质检)如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )A ．11B ．8.5C ．8D ．7[解析] 由程序框图可知，若x 3＝11，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，于是p ＝11＋92＝10，所以选项A 不正确； 若x 3＝8.5，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，于是p ＝8.5＋92＝8.75，所以选项B 不正确；若x 3＝8，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，于是p ＝8＋92＝8.5，所以选项C 正确；若x 3＝7，则|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，于是p ＝6＋72＝6.5.故选C. [答案] C12．(xx·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 由程序框图可知，S ＝1－12＝12，m ＝14，n ＝1，12>0.01；S ＝12－14＝14，m ＝18，n ＝2，14>0.01；S ＝14－18＝18，m ＝116，n ＝3，18>0.01；S ＝18－116＝116，m ＝132，n ＝4，116>0.01；S ＝116－132＝132，m ＝164，n ＝5，132>0.01；S ＝132－164＝164，m ＝1128，n ＝6，164>0.01； S ＝164－1128＝1128，m ＝1256，n ＝7，1128<0.01.故选C. [答案] C 二、填空题13．(xx·江西九江一模)设复数z ＝2－i 1＋i ，则z 的共轭复数为________．[解析] z ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i 2＝12＋32i.[答案] 12＋32i14．(xx·山东卷)执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．[解析] 由程序框图，知x ＝1,1<2，x ＝2；2<2不成立，y ＝3×22＋1＝13，故输出的y 的值是13.[答案] 1315．(xx·广东七校联考)将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．[解析] 前n －1行共用了[1＋n －1]n －12个数，即nn －12个数，也就是说第n －1行的最后一个数就是n n －12.那么，第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是n n －12＋3，也就是n 2－n ＋62.[答案]n 2－n ＋6216．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.[解析] 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，而正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，所以V 1V 2＝1 27 .[答案]1 27实用文档。
