答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算考点体系考点1：与线段有关的计数问题典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：(1)试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_____________条直线；图3共有_____________条直线；(3)探索归纳：如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n 的式子表示)(4)解决问题：中职篮（CBA ）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3）(1)2n n - （4）190 【解析】（1）2；2；2；3；（2）6；10；（3）()12n n -（4）当n=20时，()12n n -=20201)1902´-=（（场）.故一共进行了190场比赛.方法或规律点拨本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．巩固练习1．（2019·河南许昌·）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（2）n 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．【答案】（1）10，16；（2）12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）56【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2＝3个交点；4条直线相交有1+2+3＝6个交点；5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+(n ﹣1)＝12n (n ﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n +1)＝1+12n (n +1)；故答案为：12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）当n ＝10时，()()11111101015622++=+´´+=n n （块），故答案为：562．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？n 条直线呢？【答案】10个交点；()12n n -个.【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；第n 条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝()12n n -个交点．3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n 条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【答案】(1)10,16;(2)()12n n -,[1＋()12n n +]【解析】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n 条直线最多有12n （n-1）个交点．一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n 条时比原来多了n 部分．因为n=1，a 1=1+1，n=2，a 2=a 1+2，n=3，a 3=a 2+3，n=4，a 4=a 3+4，…n=n ，a n =a n -1+n ，以上式子相加整理得，a n=1+1+2+3+…+n=1+()12n n+．当n=5时，1+()12n n+=16．4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价需要准备多少种车票?【答案】设定6种，准备12种车票.【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.【答案】（1）6；（2）(1)2m m-；（3）28【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；(2)()1.2m m-理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，∴2x =m +m +…+m,(m −1)个m ,(1)2m m x -\=； (3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行()881282´-=场比赛.考点2：线段作图与计算的综合题典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP 和点B ，C ，请用尺规按下列要求作图：（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，取BE 中点F ，若BD ＝6，BC ＝4，求CF 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF 的值为1【解析】解：如图所示，（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，∵BE ＝BD ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE ﹣BC ＝2∵F 是BE 的中点，∴BF ＝12BE ＝162´＝3∴CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣3＝1．答：CF 的值为1．方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段AB 的长为2.8cm ．（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点C 在线段BA 的延长线上，且CA AB =；（2）在上题中，如果在线段BC 上有一点M ，且线段AM 、BM 长度之比为1:3，求线段CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）3.5cm 或1.4xcm【解析】（1）反向延长BA ，以点A 为圆心，AB 为半径作圆交BA 的延长线于点C ，则线段AC 即为所求;（2）当M 在线段AB 上时，∵ 2.8cm AB =,:1:3AM BM =，∴0.7cm AM =.∵CA AB =，∴ 3.5cm CM CA AM =+=．当M 在线段CA 上时，∵ 2.8cm AB =，:1:3AM BM =，∴ 1.4cm AM =.∵CA AB =，∴ 1.4cm CM CA AM =-=．2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a 和线段AB ，（1）延长线段AB 到C ，使BC ＝a （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB ＝5，BC ＝3，点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．【答案】（1）见解析；（2） OB 长为1．【解析】解：（1）如图：延长线段AB ，在AB 的延长线上截取BC ＝a ．（2）∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝8，∵点O 是线段AC 的中点，∴AO ＝CO ＝4，∴BO ＝AB ﹣AO ＝5﹣4＝1，∴OB 长为1．3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB .（1）根据下列语句顺次画图.① 延长线段AB 至C ，使BC=3AB ，② 画出线段AC 的中点D .（2）请回答：① 图中有几条线段；② 写出图中所有相等的线段.【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② ,AB BD AD CD ==.【解析】解：(1)画出图形，如图所示.(2)①图中的线段有：AB 、BD 、DC 、AD 、BC 、AC ，共6条；②相等的线段有：AB=BD ，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD ，AD=CD.4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a 和射线OA ，射线OA 上有点B ．（1）用圆规和直尺在射线OA 上作线段CD ，使点B 为CD 的中点，点C 在点B 的左边，且BC =a ．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若OB =12cm ，OC =5cm ，求线段OD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）19cm【解析】解：（1）如图所示：以B 为圆心，a 的长为半径画弧，交OA 于C 、D 两点（2）∵OB =12cm ，OC = 5cm ，∴ BC = OB -OC =12-5 =7cm ，∵ B 为CD 的中点，∴ BC =BD = 7cm ，∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm ．5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A 、B 、C 、D ．（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：①画直线AB ．②画射线DC ．③延长线段DA 至点E ，使AE AB =．(保留作图痕迹)④画一点P ，使点P 既在直线AB 上，又在线段CE 上．（2）在（1）中所画图形中，若2AB =cm ，1AD =cm ，点F 为线段DE 的中点，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）0.5cm ．【解析】解：（1）如图，该图为所求，(2)∵AB=2cm ，AB=AE ，∴AE=2cm ，AD=1cm ，∵点F 为DE 的中点，∴EF=12DE=32cm ，∴AF=AE-EF=2-32=12cm ；∴AF=0.5cm.6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，其中AB BC ^，且12BC AB =．（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）①作射线CA ；②在线段AC 上截取CD CB =；③在线段AB 上截取AE AD =．恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点E 就称为线段AB 的“黄金分割点”．（2）阅读下面材料，并完成相关问题；黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，E 为线段AB 上一点，如果0.618AE AB =，那么点E 为线段AB 的黄金分割点．已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台MN 上的两个黄金分割点P 和Q 处，如图，则这两位主持人之间的距离PQ 约为_________米．【答案】（1）见解析；（2）7.08【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；（2）∵点Q是MN的黄金分割点，∴MQ≈0.618MN＝18.54，∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，∵点P是MN的黄金分割点，∴NP≈0.618MN＝18.54，∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米），故答案为：7.08．7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并填空．（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由是．【答案】（1）图见解析；（2）＞；两点之间线段最短．【解析】（1）如图所示：（2）由题意，得AC＋BC＞AB理由是两点之间线段最短.考点3：动点有关的线段问题典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）13MNAB=或1．【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB＝4，故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN ﹣AM ＝MN∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4∴13MN AB =；②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB∴MN ＝AB ＝12∴1MN AB=；综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1．方法或规律点拨本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．巩固练习1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点O 为原点，点A 对应的数为9，点B 对应的数为b ，点C 在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC 在数轴上移动．（1）当线段BC 在O 、A 两点之间移动到某一位置时恰好满足AC OB =，求此时b 的值．（2）当线段BC 在射线AO 上沿AO 方向移动到某一位置时恰好满足12AC OB AB -=，求此时b 的值．【答案】（1）b=3.5；（2）53b =或—5【解析】解：（1）线段AC 可以表示为()92b -+，根据AC=OB ，列式()92b b -+=，解得 3.5b =；（2）当B 在O 点右侧（或O 点）时，19(2)(9)2b b b -+-=-，解得53b = ，当B 在O 点左侧时，()192()(9)2b b b -+--=-，解得5b =- ，∴b 的值为53b =或5-．2．（2021·重庆开学考试）如图，P 是线段AB 上任意一点，12AB cm =，,C D 两点分别从点,P B 开始，同时向点A 运动，且点C 的运动速度为2/cm s ，点D 的运动速度为3/cm s ，运动时间为ts ．（1）若8AP cm =．①求运动1s 后，CD 的长；②当点D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =．（2）如果2,1t CD cm ==，试探索AP 的长．【答案】（1）①3cm ；②见解析；（2）9或11【解析】解：（1）①由题可知：212,313CP cm DB cm=´==´=8,12AP cm AB cm==Q 4PB AB AP cm\=-=2433CD CP PB DB cm\=+-=+-=②8,12AP AB ==Q 4,82BP AC t\==-43DP t\=-2434CD DP CP t t t\=+=+-=-2AC CD\=（2）当2t =时，224,326CP cm DB cm=´==´=当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm=7CB CD DB cm\=+=5AC AB CB cm\=-=9AP AC CP cm\=+=当点D 在C 的左边时，如图所示：6AD AB DB cm\=-=11AP AD CD CP cm\=++=综上所述，9AP =或113．（2020·全国初一课时练习）已知A ，B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M ，N 均为数轴上的点，且OA OB <．（1）若A ，B 的位置如图所示，试化简：a b a b a b -+++-∣∣；（2）如图，若8.9a b +=，3MN =，求图中以A ，N ，O ，M ，B 这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且215MN AB =-，3a =-，若点P 为数轴上一点，且23PA AB =，试求点P 所对应的数．【答案】（1）b-a ；（2）41.6；（3）9-或3．【解析】（1）由已知得0a <，0b >．∵OA OB <，∴||||a b <，∴0a b +>，0a b -<，∴a b a b a b a b a b b a b a -+++-=--+++-=-；（2）∵8.9a b +=，∴8.9AB =，又∵3MN =，∴AN AO AM AB NO NM NB OM OB MB+++++++++()()()()AN NB AO OB AM MB AB NO OM NM=+++++++++AB AB AB AB NM NM=+++++42AB NM=+48.923=´+´41.6=；（3）∵3a =-，∴3OA =．∵M 为AB 的中点，N 为OA 的中点，∴12AM AB =，12AN OA =，∴11132222MN AM AN AB OA AB =-=-=-．又∵215MN AB =-，所以1321522AB AB -=-，解得9AB =，∴263PA AB ==．当点P 在点A 的左边时，点P 在原点的左边，9OP =，故点P 所对应的数为9-；当点P 在点A 的右边时，点P 在原点的右边，3OP =，故点P 所对应的数为3．综上，点P 所对应的数为9-或3．4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C 在线段AB 上，AC ＝6 cm ，且BC ＝4 cm ，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；(2)在(1)题中，如果AC ＝a cm ，BC ＝b cm ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，点C 在直线AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．【答案】(1)5 cm;(2)MN ＝+2a b cm.MN 的长度为线段AC ，BC 长度和的二分之一．(3)有变化．当AB 在点C同侧时，MN ＝1 cm.【解析】解：(1)∵AC =6cm ，BC =4cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，11()10522MN AC CB cm \=+=´=； (2)2a b MN +=， 直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；(3)如图，有变化，会出现两种情况：①当点C 在线段AB 上时,1()52MN AC BC cm =+=； ②当点C 在AB 或BA 的延长线上时,1()1.2MN AC BC cm =-= 5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P 是线段AB 上一点，AB =12cm ，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上），运动的时间为t .（1）当t =1时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（2）当t =2时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（3）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC ，请求出AP 的长；（4）在（3）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ =PQ ，求PQ 的长.【答案】（1）4cm ；（2）4cm ；（3）4cm ；（4）4cm 或12cm【解析】解：(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以111PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以212BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以122PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以224BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以PC t =(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以2BD t =(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故13PQ AB AP BQ AB =--=.因为AB =12cm ，所以1112433PQ AB ==´=(cm).(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=.因为AB =12cm ，所以411233PQ AQ AP AB AB AB =-=-==(cm).综上所述，PQ 的长为4cm 或12cm.6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB 、a 、b ．（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①延长线段AB 到C ，使BC ＝a ；②反向延长线段AB 到D ，使AD ＝b ．（2）在（1）的条件下，如果AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，且点E 为CD 的中点，求线段AE 的长度．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE ＝2cm ．【解析】（1）①如图所示，线段BC 即为所求，②如图所示，线段AD 即为所求；（2）∵AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，∴CD ＝8+6+10＝24cm ，∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝12DC ＝12cm ，∴AE ＝DE ﹣AD ＝12﹣10＝2cm ．7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点,A B ，它们的对应数分别是,a b ，其中12a =（1）在B 左侧作线段BC AB =，在B 的右侧作线段3BD AB =（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点C 对应的数是c ，点D 对应的数是d ，且40AB =，求,c d 的值（3）在（2）的条件下，设点M 是BD 的中点，N 是数轴上一点，且4CN DN =，请直接写出MN 的长【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或3403【解析】（1）解：如图，线段,BC BD 为所求的线段（2）因为40,,3AB BC AB AD AB===80,80AC AD \==12,128068,128092a c d =\=-=-=+=Q ；（3）分情况讨论：①点N 在线段CD 上，由（2）得CD ＝92−（−68）＝160，点B 对应的数为12−40＝−28，∴BD ＝92−（−28）＝120，∵点M 是BD 的中点，∴点M 对应的数为92−60＝32，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝15CD ＝32，∴点N 对应的数为92−32=60，∴MN ＝60−32＝28；②点N 在线段CD 的延长线上，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝13CD ＝1603，∴点N 对应的数为92＋1603＝4363，∴MN ＝4363−32＝3403．故MN 的长为28或3403．8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从点P 、B 出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB 向左运动（点C 在线段AP 上，点D 在线段BP 上）．（1）若点C 、D 运动到任一时刻时，总有2PD AC =，请说明点P 在线段AB 上的位置；（2）在（1）的条件下，点Q 是直线AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求PQ AB 的值；（3）在（1）的条件下，若点C 、D 运动5秒后，恰好有12CD AB =，此时点C 停止运动，点D 继续运动（点D 在线段PB 上），点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM PN -的值不变；②MN AB 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P 在线段AB 的13处；（2）13或1；（3）结论②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.【解析】解：（1）设运动时间为t 秒，则2,PD PB t PC AP t =-=-，由2PD AC =得22()PB t AP t -=-，即2PB AP=AP PB AB +=Q ，2AP AP AB \+=，3AP AB \=，即13AP AB =所以点P 在线段AB 的13处；（2）①如图，当点Q 在线段AB 上时，由AQ BQ PQ -=可知AQ PQ BQ =+，AQ AP PQ =+Q13PQ AP AB \== 13PQ AB \=②如图，当点Q 在线段AB 的延长线上时，AQ BQ AB -=Q ，AQ BQ PQ-=AB PQ \=1PQ AB\=综合上述，PQ AB 的值为13或1；（3）②MN AB的值不变. 由点C 、D 运动5秒可得5,5210CP BD ==´=， 如图，当点M 、N 在点P 同侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \==14CM AB \= 154PM CM CP AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=-= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；如图，当点M 、N 在点P 异侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \== 14CM AB \= 154PM CP CM AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=+= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；所以②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.考点4：静态图形中的角度计算与证明典例：（2020·江西东湖·期末）若a Ð的度数是b Ð的度数的k 倍，则规定a Ð是b Ð的k 倍角.（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为；（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB 的所有3倍角；（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.【答案】（1）106°25'；（2）∠AOD，∠BOE；（3）120°.°´=°=°；【解析】解：（1）2117'510585'10625'°.故答案为：10625'（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.∴∠BOC=4x，∵∠AOC和∠BOD互为补角，∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，即5x+7x=180°，解得：x=15°.∴∠AOD=8x=120°.方法或规律点拨此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知69AOD Ð=°，OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，()32AOB x Ð=-°，求COD Ð、AOB Ð的度数．【答案】19°，31°【解析】解：由题意得：Q OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，\()=228BOD COD x ÐÐ=+°，又Q ()32AOB x Ð=-°，\()()283269x x +°+-°=°，解得11x =，∴()11819COD Ð=+°=°，()311231AOB Ð=´-°=°．2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB 的内部有一条射线OC ，OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ．（1）若∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，求∠MON 的度数．（2）若取掉（1）中的条件∠BOC ＝40°，只保留∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数．（3）若将∠AOB 内部的射线OC 旋转到∠AOB 的外部，如图2，∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON 与∠AOB 的数量关系．【答案】（1）∠MON ＝60°；（2）∠MON ＝60°；（3）12MON AOB Ð=Ð．【解析】解：（1）∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝11804022AOCÐ=´°=°，11402022NOC BOCÐ=Ð=´°=°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝12AOCÐ，12NOC BOCÐ=Ð，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝1122AOC BOCÐ+Ð＝12AOBÐ＝11202´°＝60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝12∠AOC﹣12∠BOC＝12（∠AOC﹣∠BOC）＝12AOBÐ＝12×120°＝60°，综上可知12MON AOB Ð=Ð．3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB 的度数．【答案】120°【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．（1）如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为°；②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为°；③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为；（2）如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为；②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为°；③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为．【答案】（1）①70；②35；③90°－α；（2）①118°30′；②135；③90°＋α【解析】解：（1）①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．（2）①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．②∵∠COD=90°，OB平分∠COD∴∠BOC=12∠COD=45°，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．5．（2020·全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°【解析】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；【答案】（1）射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∠AOM＝45°；【解析】解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝22.5°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】（1）45°；（2）∠MON=12α．（3）∠MON=12α【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=75°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=12α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（12α+30°）﹣30°=12α．（3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β），∠NOC=12∠BOC=12β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣12β=α+12β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）﹣12β=12α即∠MON=12α．8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当∠AOC＝a时，∠MON等于多少度？【答案】（21）45°；（2）45°【解析】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12×140°=70°，∠CON=12∠AOC=12×50°=25°，∴∠MON=∠COM-∠CON=70°－25°=45°；（2）当∠AOC=a时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+a，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12（90°+a），∠CON=12∠AOC=12a，∴∠MON=∠COM－∠CON=12（90°+a）－12a=45°.9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD ＝50°【解析】解：（1）①∵OD 平分∠AOC ，∠AOC =130°，∴∠AOD =∠DOC =12∠AOC =12×130°=65°，∴∠BOD =180°－∠AOD =180°－65°=115°；②∵∠DOE =90°，又∠DOC =65°，∴∠COE =∠DOE －∠DOC =90°－65°=25°，∵∠BOD =115°，∠DOE =90°，∴∠BOE =∠BOD －∠DOE =115°－90°=25°，∴∠COE =∠BOE ，即OE 平分∠BOC ；（2）若∠BOE ：∠AOE =2：7，设∠BOE =2x ，则∠AOE =7x ，又∠BOE ＋∠AOE =180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE =90°，∴∠AOD ＝90°－40°=50°.10．（2020·辽宁庄河·期末）如图1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点O 处，90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，OC 与OB 重合，在OD 外AOB Ð，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线（1）求MON Ð的度数；（2）如图2，若保持三角尺AOB 不动，三角尺COD 绕点逆时针旋转(060)n n <<o o 时，其他条件不变，求MON Ð的度数（提示：旋转角BOC n Ð=o ）（3）在旋转的过程中，当120AOC BOD Ð+Ð=o 时，直接写出BOC Ð的值．【答案】（1）75o ；（2）75º；（3）15°．【解析】（1）∵90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=45º，∠BON=12∠BOD=30º，∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；（2）∵90BOA Ð=°，60COD Ð=o ，BOC n Ð=o ，∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，∵射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=12(90º-nº)= 45º-12nº，∠BON=12∠BOD=12(60º-nº)=30º-12nº，∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-12nº+30º-12nº+ nº=75º；（3）由叠合可得2BOC AOC AOB COD BOD +Ð=Ð+ÐÐ+Ð=150 º，∴BOC Ð=12(150 º-120 º)=15 º.11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使110BOC Ð=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处（30OMN Ð=°），一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在BOC Ð的内部，且恰好平分BOC Ð，求BON Ð的度数；（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角AOC Ð，求t 的值；将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图3，使一边ON 在AOC Ð的内部，请探究AOM NOC Ð-Ð的值．【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．【解析】解：（1）如图2中，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠MOB ，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；（2）（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°，当当ON 的反向延长线平分∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11；②如图3，当射线ON 平分∠AOC 时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47，综上所述，t=11s 或47s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；故答案为：11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，∴∠AOM=90°-∠AON ，∠NOC=70°-∠AON ，∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON ）-（70°-∠AON ）=20°，∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：问题情境：如图，已知∠AOB ＝90°，射线OC 在∠AOB 的外部且0°＜∠BOC ＜180°．OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．特例探究：（1）如图1，①当∠BOC ＝40°时，∠MON 的度数为°；②当∠BOC ＜90°时，求∠MON 的度数；猜想拓广：（2）若∠AOB ＝α（0＜α＜90°），①当∠AOB ＋∠BOC ＜180°时，则∠MON 的度数是 °；（用含α的代数式表示）②当∠AOB ＋∠BOC ＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON 的度数．（用含α的代数式表示）【答案】（1）①45；②45°；（2）①12a ②画图见解析；11802a °-°．【解析】（1）①90,40,AOB BOC Ð=°Ð=°Q9040130,AOC \Ð=°+°=°。
