沪科版七上数学第四章 直线与角知识归纳

沪科版七年级上册第4章《直线与角》知识清单思维导图：直线与角知识点一、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。

（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12 AM MB AB==要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有12AM AB=，则点M为线段AB的中CbbaM BA点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点.AB PB NP MN AM 41====知识点二、角的表示（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB ； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A ；（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：P N M B A要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.（4）角的分类（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.90° =90° 180° =180° =360°知识点三、余角、补角、对顶角余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．1．互余、互补是指两个角之间的一种关系．2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系．余角补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.对顶角对顶角是两个角之间的一种位置关系。

4.直线与角知识梳理线段、射线、直线1、线段的性质：两点之间，线段最短。

2、两点间的距离：连接两点之间的线段的长度。

直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。

四、线段的长短比较方法：度量法和叠合法五、画一条线段等于已知线段：1、画一条线段等于已知线段是用直尺和圆规的第一个基本作图，直尺的作用是画直线、射线或线段，圆规的作用是画弧、截取等长的线段。

2、常见的作图语言：①作射线××；②在射线××上截取××=××；③在线段××上截取××=××；则××就是所要求作的××。

说明：作图时用的直尺是没有刻度的，因此作图的痕迹要保留。

六、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

如图所示点C 是线段AB 的中点，则有①AB=2AC=2BC ，②AC=BC=2AB 。

线段的和、差、倍、分的计算：1、逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和差倍分展开。

若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解。

2、整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将所求的线段转化为两条线段的和或差，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段。

3、构造方程：利用各段线段的比值及中点关系建立起方程，求出未知数的值。

注意：有关线段长度的计算如果没有图形，题中又没有明确的点的位置，应该全面考虑，注意条件中的图形的多样性，防止漏解。

角一、角的定义：1、角是由有公共端点的两条射线组成的图形。

2、角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

1、锐角：大于0°且小于90°的角2、直角：等于90°的角。

3、钝角：大于90°且小于180°的角。

4、平角：等于180°的角。

沪科版七年级上册数学第四章图形认识初步《角》要点提示1、角的定义（1）描述性定义：有公共端点的两条射线所组成的图形（静止角度）； （2）发生式定义：由一条射线绕着它的端点旋转而成（运动角度）。

2、角的表示方法（1）用三个大写字母表示，如角可记作AOB ∠或BOA ∠，如图4-3.1，其中O 是角的顶点，A ，B 分别是角的两条边上的一点，A 与B 可交换位置，但顶点必须写在中间。

（2）用数字或希腊字母表示。

用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线注上阿拉伯数字或小写希腊字母αβγ，，等，如图4-3.2分别表示为1αβ∠∠∠，，。

（3）用一个大写字母表示，当以某一个字母为顶点的角只有一个时，也可以用这个顶点字母来表示，如图4-3.1中的AOB ∠也可记为O ∠。

3、平角与周角的概念（1）平角：一条射线OA 绕着它的端点O 旋转，当角的终边OB 与角的始边OA 成一条直线时，所成的角叫做平角。

如图4-3.3（2）周角：由平角继续旋转下去，当角的终边OB 与始边OA 重合时，所成的角叫周角。

如图4-3.4图4-3.1BAO(3)(2)(1)图4-3.24、角的度量（1）角的度量单位是度、分、秒，它们之间的换算关系是：1°=60′， 1′=60″。

（2）在进行加减运算或乘除运算时，要按级进去，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后才能进行运算。

在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位。

（3）度量角的方法：度量角的工具是量角器，使用量角器时要注意： ① 对中（顶点对中心）；② 重合（一边与刻度尺上的零度线重合）； ③ 读数（读出另一边所在直线的读数）。

5、角的大小比较方法（1）度量法：可以先用量角器分别量出每个角的读数来比较角的大小。

（2）叠合法：如图4-3.5，比较ABC DEF ∠∠和的大小，先让顶点B,E 重合，再让BA 和ED 边重合，使另一边BC 和EF 落在BA 的同旁，如果EF 和BC 重合（如(1)），那么=DEF ABC ∠∠；如果EF 落到ABC ∠的外部（如图(2)），那么 DEF ABC ∠>∠；如果EF 落到ABC ∠的内部（如图(3)），那么DEF ABC ∠<∠。

第四章：直线与角复习（1课时）教学目标【知识与技能】1、使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章知识；2、对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的进一步的认识；3、掌握本章的全部定理和公理；4、理解本章中数学中数形结合的思想方法；5、了解本章的题目类型，进行简单的知识计算；【过程与方法】回顾线和角的有关概念，采用自学与小组学习相结合的方法，培养学生主动参与、勇于探究的精神。

【情感、态度与价值观】通过让学生回顾线段、直线、射线和角的简单的图形，引导学生把数学知识与现实生活想联系。

教学重难点【重点】重点是理解本章的知识结构，掌握线段和角的有关知识计算；【难点】理解本章数学中的数形结合的思想方法．教学过程一、知识回顾知识回顾1：（1）几何图形有关概念，几何图形由、、、组成；（2）线段、射线、直线。

1、直线的性质；2、线段的性质；知识回顾2：（1）指出线段、射线、直线三者的相同点和不同点知识回顾3：（1）角的基本知识（2）余角和补角的性质二、基础知识过关1、下列图形中哪些是角?2、判断正误3、角的个数4、线段、射线、直线的个数三、共同提升练习1、如图4－2，D是AB的中点， E是BC的中点，BE＝15AC＝2 cm，求线段DE的长四、合作交流1、如图4－6，已知OE是∠BOC的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOB＝150°，则∠DOE的度数是________．2、若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数？五、总结：今天我们学习了什么知识？你有那些收获？还有什么问题吗？六、作业：1、A组复习题 2，32、B组复习题 1, 2。

第4章直线与角专题汇编知识链接举一反三考点1：几何图形【例1】下面的几何体中，属于棱柱的有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式1-1】如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A. B. C. D.【变式1-2】图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A. B. C. D.【变式1-3】下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）A. B. C. D.考点2：基本概念【例2】下列说法中正确的个数是（）线段AB和射线AB都是直线的一部分；直线AB和直线BA是同一条直线；射线AB和射线BA是同一条射线；把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．A. 1B. 2C. 3D. 4【变式2-1】下列说法正确的个数有（）①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50ˊ=40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式2-2】下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【变式2-3】如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个考点3：钟面上的角度计算【例3】上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是______度．【变式3-1】钟表上11点15分时，时针与分针的夹角为______．【变式3-2】中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是______度．【变式3-3】上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为______．考点4：尺规作图【例4】已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A=α，∠B=∠β，AB=c（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB=2b-a．【变式4-2】作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC 一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）【变式4-3】如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：①作射线AC②作直线BD，交射线AC于点O③分别连接AB，AD．（2）观察所作图形，我们能得到：AO+OC=______；DB-OB=______（空格处填写图中线段）考点5：与线段中点有关的计算【例5】已知：点C在直线AB上，，，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．【变式5-1】如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．若，，求线段MN的长；若，试用含a的式子表示线段MN的长．【变式5-2】如图，点C是线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【变式5-3】综合与探究：问题情境：已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．初步探究：（1）如图1，点C在线段AB上，且AC=9，CB=6，求线段MN的长；问题解决：（2）若点C为线段AB上任一点，且AC=a，CB=b，求出线段MN的长度．（用含有a，b 的代数式表示）类比应用：（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC=a，CB=b，请你画出图形，并直接写出线段MN的长度．(用含有a，b的代数式表示)拓展延伸：（4）已知：如图2，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点，M为线段EB的中点，DM=m，CE=n，请你直接写出线段AB的长度．（用含有m，n 的代数式表示）考点6：与角平分线有关的角度计算【例6】如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB=90°，∠BOC=30°．求：（1）∠AOC的度数；（2）∠MON的度数．【变式6-1】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求：（1）求∠BOE的度数．（2）求∠EOF的度数．【变式6-2】如图所示．（1）已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【变式6-3】已知∠AOB=α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图，若α=120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．考点7：与旋转有关的角度计算【例7】O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为____，∠COF和∠DOE的数量关系为____；（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE 之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF 和∠DOE之间的数量关系．【变式7-1】已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF=6∠COD，则n=__________．【变式7-2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为______（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM 与∠NOC的数量关系，并说明理由．【变式7-3】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD=35°，求∠AOC的度数，若∠AOC=135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC=150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．考点8：与几何有关的规律探索【例8】阅读表：解答下列问题：（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有______ 种不同的票价？②要准备______ 种车票？（直接写答案）【变式8-1】（1）试验探索：如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：第（1）组最多可以画条直线；第（2）组最多可以画条直线；第（3）组最多可以画条直线．（2）归纳结论：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握______次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需______件礼物．【变式8-2】为了探究n条直线能把平面最多分成几部分．我们从最简单的情形入手．(1)一条直线把平面分成2部分；(2)两条直线最多可把平面分成4部分；(3)三条直线最多可把平面分成7部分……把上述探究的结果进行整理，列表如下：(1)当直线条数为5时．把平面最多分成________部分，写成和的形式为________；(2)当直线条数为10时，把平面最多分成________部分；(3)当直线条数为n时．把平面最多分成几部分?【变式8-3】归纳与猜想：如图，在已知角内画射线.（1）（2）（3）（4）（1）如图（1），画1条射线，图中共有______个角；（2）如图（2），画2条射线，图中共有______个角；（3）如图（3），画3条射线，图中共有______个角，（4）若画n条射线所得的角的个数为______（用含n的式子表示）。

角的比较教课目的【知识与技术】1.会比较角的大小，能预计一个角的大小.2.理解角的和差，在操作活动中认识角的均分线.【过程与方法】经过实质察看、操作、领会角的大小，并简单说理，培育学生的察看思想能力及合情推理能力 .【感情、态度与价值观】经过角的丈量和折叠，体验数、符号和图形是描绘现实世界的重要手段.教课重难点【要点】角的大小比较方法以及角均分线的观点.【难点】从图形中察看角的数目关系.教课过程一、创建情境，引入新课师 :我们是怎样比较两条线段的长短的?生 :丈量法，分别量出两条线段的长度，而后再比较大小.生 2:叠合法，把两条线段叠合在一同比较大小.活动 (一 )角的大小比较师 :如图，怎样比较两角∠ BAC 与∠ EDF 的大小呢 ?学生回答 .师评 :角的大小比较的两种方法:1.胸怀法 :即用量角度量出角的度数，经过比较角的度数来比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小 .2.叠合法 :即把两个角叠合在一同(使两角的极点和它们的一边重合在一同)进行比较 .师 :用叠合法比较角的大小有哪几种状况呢?(1)AB 在∠ FED 的内部∠ABC<∠ FED(2)AB 在∠ FED 的外面∠ABC>∠ FED(3)AB 与 EF 重合∠ ABC=∠FED师 :按角的大小来分，还记得我们能够把角分红哪几类吗?学生回答 .师评 :锐角 :小于直角的角，如∠ 1.直角 :等于 90°的角如∠ 2.(直角能够用 Rt∠表示，绘图经常在直角的极点处加上“┐”来表示这个角是直角.)钝角 :大于直角而小于平角的角，如∠ 3.活动 (二 )角的均分线师 :你能说出图中有几个角吗?它们有什么关系呢 ?生 :∠1+∠2=∠ 3，∠ 1=∠ 3-∠2，∠ 2=∠3-∠1.师 :假如图中的∠ 1 与∠ 2 相等，它们又有什么关系?生 :∠3=2∠ 1=2∠2，∠ 1=∠2=∠ 3.师 :从一个角的极点出发，把一个角分红相等的两个角的射线叫做这个角的均分线 (也叫做角的二均分线 ).近似的，还有三均分线、四均分线等 .二、例题解说【例】如下图，求解以下问题:(1)比较∠ AOC 与∠ BOC、∠ BOD 与∠ COD 的大小；(2)将∠ AOC 写成两个角的和与两个角的差的形式.【答案】(1)由图能够看出 :∠AOC> ∠BOC，(OB 在∠ AOC 内)，∠ BOD>∠COD.(OC 在∠ BOD 内)(2)∠AOC= ∠AOB+ ∠ BOC，∠ AOC=∠ AOD- ∠DOC.三、随堂练习1.如图，填空 :(1)∠ABC= ∠ ABD+.(2)∠ADB= ∠ADC-.(3)若 BD 是∠ ABC 的均分线，那么①∠ ABD= ∠；②∠=2∠ DBC.师评 :(1)∠DBC (2)∠BDC (3)① DBC②ABC第1题图第2题图2.已知 OB 是∠ AOC 的均分线， OD 是∠ COE 的均分线 .(1)假如∠ AOB=40°，∠ DOE=30°，那么∠ BOD 是多少度 ?(2)假如∠ AOE=140°，∠ COD=30°，那么∠ AOB 是多少度 ?学生单独解答 .师评 :(1)∠BOD=70°(2)∠AOB=40 °四、讲堂小结经过这节课的学习，你有什么收获?。

沪科版数学七年级上册第4章直线与角辅导班讲义格德教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初一课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型G趣味引导T课本同步S线段、射线、直线A授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点一、几何图形1.几何体分类：平面图形、立体图形2.几何图形的基本元素：点、线、面、体。

点动成线，线动成面，面动成体。

知识点二、直线、射线、线段注：在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．知识点三、直线的基本性质（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

（两点确定一条直线）（2）两条直线相交只有一个交点知识点四、线段相关概念责任成就教师，认真成就孩子！1.两点之间的间隔：毗连两点间的线段的长度2.线段的中点：把一条线段分红两条相称线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则AC CB1AB，或AB＝2AC＝2BC．2图7要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线XXX上．3.线段的基本性质：经过两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）二、同步题型阐发题型一：立体图形的分类例1．．窥察图中所示的八个几何体．（1）依次写出这八个几何体的名称：①；②；③；④⑤；⑥；⑦；⑧．（2）若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有；含曲面的有（填序号即可）；（3）对下面的几何体进行分类题型二：直线、射线、线段相关概念例1以下说法中精确的语句共有几个（）①两点确定一条直线；②延长直线AB到C；③延长线段AB到C，使得AC=BC；④反向延长线段BC到D，使BD=BC；⑤线段AB与线段BA表示同一条线段；⑥线段AB是直线AB的一局部．A．3B．4C．5D．6例2如图，下列说法正确的是（）责任成就教师，认真成就孩子！A．图中共有5条线段B．直线AB与直线AC是指同一条直线C．射线AB与射线BA是指同一条射线D．点O在直线AC上牢固1以下说法中精确的选项是（）A．延长线段AB到C B．延长射线ABC．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C题型三：线段、射线、直线的画法例1．根据下列语句，画出图形．已知四点A、B、C、D．①画直线AB；②连接AC、BD，相交于点O；③画射线AD、BC，交于点P．牢固1已知线段AB，阅读下列语句，划分画出响应的图形．⑴延长线段AB到C，使BC=2AB；⑵在AB所在的直线外取一点D；⑶连结BD；⑷画射线DA．题型四：线段的相关概念例1.关于两点之间的间隔，下列说法不精确的选项是（）A．连接两点的线段就是两点之间的距离B．毗连两点的线段的长度，是两点之间的间隔C．如果线段AB=AC，那么点A到点B的距离等于点A 到点C的距离D．两点之间的间隔是毗连这两点的一切的线的长度中，长度最短的例2.关于线段的中点，有以下几种说法：①若AM=MB，则M是AB的中点；②若AM=MB=AB，则M是AB的中点；③若AM=AB，则M是AB的中点；④若A，M，B在一条直线上，且AM=MB，则M是AB的中点．其中精确的选项是（）A．①④B．②④C．①②④D．①②③④责任成就教师，认真成就孩子！题型五：直线、线段的基个性质的应用例1植树时，先确定出两个树坑的位置，从而确定一行树坑的位置，这是因为．例2如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?牢固1如图，设A、B、C、D为4个住民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才干使4个住民小区到购物中心的间隔之和最小？申明来由．题型六：线段中点相干的计算例1：如图，线段AB=8cm，C是AB的中点，点D在CB上，DB=1.5cm.求线段CD的长度.例2如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN 的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满意AC﹣BC=bcm，M、N划分是线段AC、BC的中点，求MN的长度．责任成就教师，认真成就孩子！例3如图，已知线段AB和CD的公共局部为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间间隔是20，求AB、CD的长．例4已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，线段BC=3cm，D、E划分是线段AB与线段CB的中点，求线段DE的长度．题型七：车票与票价例1如图，AB是一段火车行驶路线图，图中AB之间的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制几种车票？共有几种票价？（每种车票都要印上上车站与下车站）巩固1一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西4个站点（共6个站点），不同的车站往返需要不同的车票．（1）共有多少种不同的车票？（2）一列火车往返A、B两个城市，如果共有n（n≥3）个站点，则需要几何种不同的车票？一、专题精讲责任成就教师，认真成就孩子！专题一：与交点有关的探究题例1已知如图（1）如图（1），两条直线相交，最多有个交点．如图（2），三条直线订交，最多有个交点．如图（3），四条直线订交，最多有个交点．如图（4），五条直线相交，最多有个交点；（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有个交点专题二：与直线有关的探究题例2如图①，点A和点B可确定1条直线，观察图②，不在同一直线上的三点A、B、C最多能确定3条直线．（1）着手画一绘图③中颠末A、B、C、D四点中随便两点的一切直线，最多能作条直线；（2）在同一平面内的五个点，任三点不在同一直线上，过其中两点作直线，最多能作条，共n个点（n≥2）时最多能作条直线．专题三：与射线有关的探究题例3①如图1直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；②如图2直线l上有3个点，则图中有条可用图中字母表示的射线，有条线段；③如图3直线上有n个点，则图中有条可用图中字母表示的射线，有条线段；④应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需场比赛．责任成就教师，认真成就孩子！专题四：与线段有关的探讨题例4如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）（3）当n=100时，线段总数共有多少条？专题五：与面有关的探讨题例5在平面内有若干条直线，鄙人列情形下，可将平面最多分红几局部？（1）有一条直线时，最多分红局部；（2）有两条直线时，最多分成部分；（3）有三条直线时，最多分红局部；…（n）有n条直线时，最多分成部分．一、能力培养综合题1将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，获得的几何体是圆柱，现有一个长是5cm、宽是6cm的长方形，划分绕它的长、宽所在的直线旋转一周，获得不同的圆柱几何体，它们的体积划分是多大？责任成就教师，认真成就孩子！综合题2（欧拉公式）观察如图所示的几何体，回答下列问题：（1）填写下表：图形名称底面边数侧面数侧棱数顶点数图①三棱柱图②四棱柱图③六棱柱（2）按照（1）中的成效，你能得出棱柱的侧面数、侧棱数、极点数与棱柱底面边数之间各有甚么关系？（3）根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数．综合题3如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2007”在哪条射线上？综合题4将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．观察并回答下列问题：（1）其中三面涂色的小正方体有个，两面涂色的小正方体有个，各面都没有涂色的小正方体有个；（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有个，各面都没有涂色的有责任成就教师，认真成就孩子！个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体100个，那么至少应该将此正方体的棱等分．二、能力点评本模块注重学生思维能力的培养，重点考察学生对知识的灵活运用，其中不乏对小学经典问题的探究思考，激发学生的兴趣。

4.4 角的度量
1、定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角。

角的端点为顶点，两条射线为角的两边。

2、 1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度；钟表上分针每分钟走6°，时
针每分钟走0.5°
4.5 角的比较与运算
角的平分线：角平分线把一个角分成两个相等的角，角平分线是一条射线。

如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个叫互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。

等角（同角）的补角相等。

即两个相等的角的补角相等，同一个角的补角相等。

等角（同角）的余角相等。

即两个相等的角的余角相等，同一个角的余角相等。

注：互余、互补关系只强调角度的和为特定的度数，与两个角的位置无关。

4.6 作线段与角
1、尺规作图：几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图
2、作一条线段等于已知线段：（1）作一条直线L（2）在L上任取一点A，以A为圆心，以线段a的
长度为半径画弧，交直线L于点B 则线段AB为所求作的线段
3、作一个角等于已知角：
（1）在∠AOB上以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角。

《直线与角》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何图形的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②两条直线相交只有一个交点.③两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 3．线段的长短比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角 （1）定义：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.要点四、用尺规作线段与角1.尺规作图几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画圆，这种画圆的方法叫做尺规作图.2.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.要点诠释：画一条线段等于已知线段①度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.②用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.3.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、几何图形1.对于棱柱体而言，不同的棱柱体由不同的面构成：三棱柱由2个底面，3个侧面，共5个面构成；四棱柱由2个底面，4个侧面，共6个面构成；五棱柱由2个底面，5个侧面，共7个面构成；六棱柱由2个底面，6个侧面，共8个面构成；（1）根据以上规律判断，十二棱柱共有多少个面？（2）若某个棱柱由24个面构成，那么这个棱柱是什么棱柱？（3）棱柱底面多边形的边数为n，则侧面的个数为多少？棱柱共有多少个面？（4）底面多边形边数为n的棱柱，其顶点个数为多少个？有多少条棱？【答案与解析】解：(1)十二棱柱由2个底面，12个侧面，共14个面构成．(2)这个棱柱有24个面，由于底面有2个，故其侧面共有22个，从而这个棱柱是二十二棱柱．(3)棱柱底面多边形的边数与侧面的个数是相等的，即底面多边形的边数为n，则侧面的个数也为n，棱柱的面数为(n+2)．(4)底面多边形的边数为n的棱柱，其顶点个数为2n个，共有3n条棱．【总结升华】根据立体图形的特点，从特殊到一般，寻找规律．举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）A. B. C. D.【答案】B类型二、线段和角的概念或性质2.下列判断错误的有( )①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．A．0个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数有( )①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B 提示：③正确3. (安徽芜湖)如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()．A ．330°B ．315°C ．310°D ．320° 【答案】B【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l 与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°． 【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关． 举一反三：【变式】如图所示，AB 和CD 都是直线，∠AOE ＝90°，∠3＝∠FOD ，∠1＝27°20′，求∠2，∠3．【答案】解：因为∠AOE ＝90°，所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′． 又∠AOD ＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD ．所以∠3＝12∠AOD ＝76°20′． 答：∠2为62°40′，∠3为76°20′．4. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．【答案与解析】解：设时针转过的度数为x °时，与分针第一次重合，依题意有： 12x ＝90+x 解得9011x =答：时针转过9011⎛⎫⎪⎝⎭°时，与分针第一次重合．【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决． 举一反三：【变式】125°÷4＝ °＝ ° ′ 【答案】31.25°，31°15′类型三、线段或角的计算 1.方程的思想方法5. 如图所示，B 、C 是线段AD 上的两点，且32CD AB =，AC ＝35cm ，BD ＝44cm ，求线段AD 的长．【答案与解析】解：设AB ＝x cm ，则3cm 2CD x =(35)cm BC x =-或3(44)cm 2x -于是列方程，得335442x x -=-解得：x ＝18，即AB ＝18(cm ) 所以BC ＝35-x ＝35-18＝17(cm )33182722CD x ==⨯=(cm ) 所以AD ＝AB+BC+CD ＝18+17+27＝62(cm )【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解． 2.分类的思想方法6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，设DB ＝9x ，CB ＝5y ， 则AD ＝5x ，AC ＝9y ，分类讨论：（1）当点D ，C 均在线段AB 上时，如图所示：∵ AB ＝AD+DB ＝14x ，AB ＝AC+CB ＝14y ，∴ x ＝y∵ CD ＝AC －AD ＝9y －5x ＝4x ＝4，∴ x ＝1，∴ AB ＝14x ＝14(cm )． （2）当点D ，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得87AB =(cm )．（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．综上可得：AB 的长为14cm ，87cm ，11253 cm ．【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意设量法在图形中的体现，使比较复杂的问题得以顺利的解决，在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．类型四、线段或角的作图7. 阅读：在用尺规作线段AB 等于线段a 时，小明的具体作法如下： 已知：如图，线段a求作：线段AB ，使得线段AB=a ． 作法：①作射线AM ；②在射线AM 上截取AB=a ． ∴线段AB 为所求．解决下列问题：已知：如图，线段b ．（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM 上作线段BD ，使得BD=b ； （不要求写作法和结论，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，取AD 的中点E ．若AB=5，BD=3，求线段BE 的长．（要求：第（2）问重新画图解答） 【思路点拨】（1）在射线BM 上截取线段BD ，则BD′=b 或BD=b 即为所求；（2）由于点D 与线段AB 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①点D在线段AB的延长线上，则BE=AB-AE=1；②点D在线段AB的延长线上，则BE=AB-AE=4．【答案与解析】解：（1）如图，使得BD=b的点D有两个，分别为点D和点D′．（2）∵E为线段AD的中点，如图1，点D在线段AB的延长线上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB+BD=8．∴AE=4．∴BE=AB-AE=1．如图2，点D在线段AB上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB-BD=2．∴AE=1．∴BE=AB-AE=4．综上所述，BE的长为1或4．故答案为：1或4．【总结升华】本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系及分类讨论的思想．。