高思导引--四年级第三讲-还原问题与年龄问题教师版

知识点回顾还原问题：1，在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原.2，当题目中有两个或两个以上的量在变化时，可以采用列表格的方法依次记录每一个变化过程.知识点回顾年龄问题：1，“两人年龄差不变”是年龄问题中最重要的性质，但年龄差不变不一定适用于多人的年龄差.2，年龄问题可以转化为其他类型的和差倍问题，可以画出线段图辅助思考.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11.这个数原来是多少？果园里有一棵桃树. 有一天，3只猴子来摘桃吃，第一只猴子吃了1个桃子并摘下了剩下桃子的一半，然后第二只猴子吃了2个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了3个桃子并摘下了剩下桃子的一半，这时树上刚好还有4个桃子.原来树上一共有几个桃子？【3】（高思学校竞赛数学导引P55）地上有26块砖，兄弟二人争着去挑. 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖. 哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半. 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半. 哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？【4】（高思学校竞赛数学导引P55）某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？【5】（高思学校竞赛数学导引P55）甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？【6】（高思学校竞赛数学导引P55）甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？【7】（高思学校竞赛数学导引P55）今年张明15岁，他父亲45岁，请问：（1）多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？（2）多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？【8】（高思学校竞赛数学导引P55）12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍. 请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍. 求哥哥和弟弟现在的年龄。

第三讲多人多次相遇与追及在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇追及问题．本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题．本讲中画线段图非常重要，你还记得画行程图要注意什么吗？例题1有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米．A 、B 两地相距2700米．甲从A 地，乙、丙从B 地同时出发相向而行．请问，甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？「分析」全程已知，三个人的速度也都已知，那么甲乙的相遇时间、甲丙的相遇时间都是可以计算出来的． 练习1有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每秒钟走4米，雪雪每秒钟走5米，霜霜每秒钟走6米．A 、B 两地相距990米．雪雪从A 地，霜霜、冰冰从B 地同时出发相向而行．请问，雪雪与霜霜相遇之后多少秒又与冰冰相遇？例题2叮叮、咚咚两人开车从A 地，铛铛则从B 地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时70千米，铛铛的速度为每小时50千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的车速是多少？「分析」请在图中把过程补全，并标出相应的数据，例如速度、时间、路程等．然后注意分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习2小春、小秋两人从A 地，小夏则从B 地同时出发，相向而行．小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米．出发3小时后，小春与小夏相遇．又过了1小时，小秋也与小夏相遇．请问：小秋的速度是多少？A 地B 地叮叮咚咚铛铛例题3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？「分析」本题的运动过程和上题类似吗？请先把图补充完整，仍然是标出数据进行分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时60千米和每小时45千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发7小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？通过前面几道例题，同学们会发现解决多人多次的相遇与追及等更为复杂的行程问题，画线段图是相当重要的．然而我们不但要学会画图，还要学会看图．“横看成岭侧成峰”，同一个对象从不同的角度去观察往往会有不同的认识．就像例题4中红色的那条线段，既可以看成甲、乙两车的路程差，也可以看成乙车与卡车的路程和．当运动过程趋于复杂时，尤其需要这种从不同角度看待问题的思维习惯，这样才能充分利用好题目中的条件．A 地B 地甲车卡车乙车例题4甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米．如果甲从A 地，乙和丙从B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？「分析」请自己画出详细的线段图，好好分析一下，还能像前面两个例题那样一段一段计算吗？如果不能，该怎么办呢？ 练习4刘备、关羽、张飞三人，刘备每分钟走40米，关羽每分钟走60米，张飞每分钟走50米．如果刘备从A 地，关羽和张飞从B 地同时出发相向而行，刘备和关羽相遇后，过了10分钟又与张飞相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？上面几道例题的运动过程是一样的，在这样的运动过程里面，会有两次相遇运动和一次追及运动．在这个运动过程中有一段路程既是路程和又是路程差，需要同学们格外注意．接下来我们来看一下和速度倍数相关的行程问题．大家想象一下，如果甲、乙两人同时出发同向前进，甲的速度是乙的3倍，那么5分钟后，甲的路程是乙的几倍？30分钟后，甲的路程又是乙的几倍？2个小时后，甲的路程又是乙的几倍？其实上述问题的答案都是3倍．不管时间过了多久，只要甲、乙两人的时间相同，他们路程的倍数关系就等于速度的倍数关系． 例题5A 、B 两城相距48千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度行走．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？「分析」速度分别是4、2、2，那么我们可以把三人的路程分别设为几份呢？请试着画出线段图，标份数进行分析．A B甲乙 丙例题6A 、B 两城相距50千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度前进．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？「分析」同上题，还是需要把路程设份数，画出线段图进行分析．但要注意，丙在甲、乙的中点，应该是在甲、丙相遇错开后发生的．形象的来说，本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想． 其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致的分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．或许有人会说，这根本不是什么解题技巧，画线段图、分析倍数关系才是解题．其实，这些只是技巧中的皮毛，真正的技巧是一种智慧，而勇气和耐心就是这种智慧的内涵． 课堂内外换个角度看问题有这样一个故事：有个年轻人为贫所困，便向一位老者请教．老者问：“你为什么失意呢？”年轻人说：“我总是这样穷．”“你怎么能说自己穷呢？你还这么年轻．”“年轻又不能当饭吃．”年轻人说．老者一笑：“那么，给你一万元，让你瘫痪在床，你干吗？”“不干．”“把全世界的财富都给你，但你必须现在死去，你愿意吗？”“我都死了，要全世界的财富干什么？”老者说：“这就对了，你现在这么年轻，生命力旺盛，就等于拥有全世界最宝贵的财富，又怎能说自己穷呢？”年轻人一听，又找回了对生活的信心．美国心理学家艾里斯曾提出一个叫“情绪困扰”的理论．他认为，引起人们情绪结果的因素不是事件本身，而是个人的信念．所以，许多在现实中遭遇挫折的人，往往认为“自己倒霉”，“想不通”，这些其实都是本人的片面认识和解释，正是这种认识才产生了情绪的困扰．实际情况是，人们的烦恼和不快，常常与自己的情绪有关，同自己看问题的角度有关．能否战胜挫折，关键在于自己要有主心骨，任何情况下都不被一时的失意和不快左右，永远怀AB甲乙丙着希望和信心，就能从逆境和灾难中解脱出来．再拿前面提到的那个自认为很穷的年轻人来说吧，其实，穷与富只是相对而言，并没有一个客观标准．一个人即使没有多少物质财富，但他有青春和生命，有奋发进取的精神状态，就不能说他穷．如果一个人热爱生命，就会感到充实和富有．概而言之，任何事情都不是绝对的，就看你怎么去对待它．作业1.小竹、小松两人从A地，小梅则从B地同时出发，相向而行．小竹的速度为每小时55千米，小梅的速度为每小时45千米．出发4小时后，小竹与小梅相遇．又过了1小时，小松也与小梅相遇．A、B两地相距多少千米？小松每小时走多少千米？2.甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时80千米和每小时65千米，两车同时从A地出发到B地去，出发8小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，这时乙车与卡车相距多少千米？又过了1小时，乙车也遇到这辆卡车．这辆卡车每小时行多少千米？3.哈利、罗恩、赫敏三人，哈利每分钟走60米，罗恩每分钟走50米，赫敏每分钟走45米．如果哈利从A地，罗恩和赫敏从B地同时出发，相向而行．哈利和罗恩相遇2分钟后，又与赫敏相遇．当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距多少米？A、B两地间的距离为多少米？4.东、西两城相距60千米．小明从东向西跑，每小时跑8千米；小光从西向东走，每小时走4千米；小亮骑自行车从东向西，每小时骑行11千米．3人同时动身，途中小亮遇见小光即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小光又折回向东骑，如此不断往返，直到三人在途中相遇为止．则小亮共行了多少千米？5.老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时1千米、3千米、1千米的速度前进．其中老贺从A出发往B走，另外两人则从B出发往A走．已知A、B两地相距36千米，在出发后多少小时，老郭正好在老贺与老刘的中点？第三讲 多人多次相遇与追及1. 例题1答案：3分钟详解：甲和乙相遇时的路程和是2700千米，速度和是100米/分，所以相遇时间是270010027÷=分钟．甲和丙相遇时的路程和也是2700千米，速度和是90千米/时，所以相遇时间是27009030÷=分钟，又过了3分钟甲和丙才相遇．2. 例题2答案：40千米/时详解：首先画出线段图（如下图），有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()70503360+⨯=千米咚咚和铛铛相遇时间是4小时，他们速度和是：360490÷=千米/时， 那么咚咚的速度是905040-=千米/时．3. 例题3答案：32千米/时详解：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车6个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是12千米/时，6个小时行驶的路程差是72千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是72千米．乙车和卡车的速度和是72172÷=千米/时．所以卡车的速度是724032-=千米/时．4. 例题4答案：16500米详解：画出线段图如下，从出发到①时刻，有甲和乙的相遇、乙和丙的同向行驶，由甲、乙相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．乙、丙同向行驶，A 地B 地咚 铛50km/h70km /h 叮A 地 B 地甲车乙车52千米40千米速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是甲、丙的相遇过程，时间为15分钟，知道速度和，可得①→②甲、丙路程和为()4060151500+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即乙、丙路程差为1500米，追及时间为()150********÷-=分钟，即从出发到①时刻共150分钟，全程为()506015016500+⨯=米．5. 例题5答案：6小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时甲在乙、丙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“2”．所以全程是“8”，即48千米，所以“1”是6千米，甲走了“4”是24千米，速度是4千米/时，所以行走时间是6小时．另外一个方法是，乙、丙的速度是一样的，其实，乙、丙中点始终就是全程的中点．所以甲行驶到乙、丙中点时，甲一定也在全程的中点，所以甲走了24千米，速度是4千米/时，行走时间仍然是6小时．6. 例题6答案：10小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时丙在甲、乙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“1”．所以全程是“5”，即50千米，所以“1”是10千米．甲走了“4”是40千米，速度是4千米/时，所以行走时间是10小时．B乙 丙 50米/40米/60米/分千米/时 A B 甲乙 4千米/2千米/A B2千米/4千米/7. 练习1答案：20分钟详解：雪雪和霜霜相遇时的路程和是990千米，速度和是11米/分，所以相遇时间是9901190÷=分钟．雪雪和冰冰相遇时的路程和也是990千米，速度和是9千米/时，所以相遇时间是9909110÷=分钟，又过了20分钟雪雪和冰冰才相遇．8. 练习2答案：35千米/时详解：有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()60403300+⨯=千米小秋和小夏相遇时间是4小时，他们速度和是：300475÷=千米/时， 那么小秋的速度是754035-=千米/时．9. 练习3答案：60千米/时简答：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车7个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是15千米/时，7个小时行驶的路程差是105千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是105千米．乙车和卡车的速度和是1051105÷=千米/时．所以卡车的速度是1054560-=千米/时．10. 练习4答案：9000米简答：画出线段图如下，从出发到①时刻，有刘和关的相遇、关和张的同向行驶，由刘、关相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．关、张同向行驶，速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是刘、关的相遇过程，时间为10分钟，知道速度和，可得①→②；刘、张路程和为()405010900+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即关、张路程差为900米，追及时间为()900605090÷-=分钟，即从出发到①时刻共90分钟，全程为A 地B 地 甲车乙车 60千米45千米()4060909000+⨯=米．11. 作业1答案：400；35简答：全程长：()55454400+⨯=千米，小松与小梅用了5小时相遇，所以小松的速度为：40054535÷-=千米∕时．12. 作业2答案：120；55简答：8小时内甲、乙两车的路程差为()80658120-⨯=千米．甲、乙两辆车的路程差就是后面1小时内乙车与卡车的路程和，所以卡车的速度为：12016555÷-=千米∕时．13. 作业3答案：210；4620简答：哈利和赫敏2分钟内的路程和也是罗恩和赫敏的路程差，根据这个关系可知当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距()26045210⨯+=米．可求出哈利与罗恩相遇所用的时间是()210504542÷-=分，全程为()4260504620⨯+=米．14. 作业4答案：55简答：小亮行驶的总时间就是小明、小光的相遇时间：()60845÷+=小时，所以路程为55千米．15. 作业5答案：6简答：当老郭在老贺与老刘的中点时，老郭的路程是“3”份，老贺和老刘的路程都是“1”份．这时老郭和老刘相距“2”份，老郭和老贺也相距“2”份，全程36千米相当于是“6”份，“1”份是6米，也即老贺走了616÷=小时，老郭正好在老贺与老刘的中点．B关 张 60米/50米/40米/分。

三年级上（二升三暑假&三年级秋季）第1讲乘除法巧算三年级导引第1讲第2讲枚举法中的字典排列三年级导引第3讲第3讲移多补少与等量代换三年级导引第8讲第4讲寻找隐藏周期三年级导引第7讲第5讲植树问题三年级导引第19讲第6讲复杂间隔问题三年级导引第19讲第7讲和倍与和差三年级导引第5讲第8讲归一问题三年级导引第2讲第9讲假设法解鸡兔同笼三年级导引第8讲第10讲分组法解鸡兔同笼三年级导引第8讲第11讲乘法分配律三年级导引第13讲第12讲差倍三年级导引第5讲第13讲多个对象和差倍三年级导引第5讲第14讲树形图三年级导引第14讲第15讲多重周期问题三年级导引第7讲第16讲复杂周期问题三年级导引第7讲第17讲数字趣题三年级导引第23讲第18讲假设法进阶三年级导引第17讲第19讲分组法进阶三年级导引第17讲第20讲等差数列初步三年级导引第9讲第21讲等差数列求和三年级导引第9讲第22讲等差数列应用三年级导引第9讲第23讲基本盈亏问题三年级导引第11讲三年级下（三年级寒假&三年级春季）第1讲和差倍中的隐藏条件三年级导引第15讲第2讲复杂和差倍三年级导引第15讲第3讲假设分组综合提高三年级导引第17讲第4讲数字计数三年级导引第14讲第5讲巧填算符进阶三年级导引第20讲第6讲算符与数字三年级导引第20讲第7讲数阵图初步四年级导引第2讲第8讲盈亏条件的转化三年级导引第21讲第9讲复杂盈亏问题三年级导引第21讲第10讲四则混合运算三年级导引第13讲第11讲简单乘法竖式三年级导引第16讲第12讲简单除法竖式三年级导引第16讲第13讲简单抽屉原理四年级导引第6讲第14讲还原问题四年级导引第9讲第15讲长度计算三年级导引第22讲第16讲角度计算三年级导引第22讲第17讲找位置四年级导引第10讲第18讲阵列问题三年级导引第19讲第19讲几何图形剪拼四年级导引第4讲第20讲思维游戏四年级导引第23讲第1讲整数计算综合四年级导引第01讲第2讲和差倍中的分组比较四年级导引第08讲第3讲基本直线形面积公式四年级导引第07讲第4讲字母竖式四年级导引第03讲第5讲加法原理与乘法原理四年级导引第11讲第6讲相遇问题四年级导引第05讲第7讲追及问题四年级导引第05讲第8讲数列规律计算四年级导引第10讲第9讲统筹规划四年级导引第12讲第10讲游戏策略四年级导引第12讲第11讲整数数列计算四年级导引第01讲第12讲乘法原理进阶四年级导引第11讲第13讲变倍问题四年级导引第08讲第14讲年龄问题四年级导引第09讲第15讲逻辑推理一四年级导引第24讲第16讲多位数巧算四年级导引第13讲第17讲复杂竖式四年级导引第15讲第18讲火车行程初步四年级导引第18讲第19讲火车行程进阶四年级导引第18讲第20讲底高的选取与组合四年级导引第07讲第21讲等积变形四年级导引第07讲第22讲数表规律计算四年级导引第10讲第23讲最值问题一四年级导引第23讲第1讲从洛书到幻方四年级导引第20讲第2讲小数巧算四年级导引第13讲第3讲多人多次相遇与追及四年级导引第18讲第4讲格点图形面积计算四年级导引第17讲第5讲割补法巧算面积四年级导引第17讲第6讲横式问题四年级导引第16讲第7讲平均数问题四年级导引第14讲第8讲复杂数阵图四年级导引第20讲第9讲排列组合公式四年级导引第21讲第10讲排列组合应用四年级导引第21讲第11讲分段计算的行程问题四年级导引第19讲第12讲直线形面积计算综合提高五年级导引第14讲第13讲多次往返相遇与追及四年级导引第19讲第14讲有特殊要求的挑选四年级导引第22讲第15讲捆绑法与插空法四年级导引第22讲第16讲奇偶性分析五年级导引第23讲第17讲牛吃草问题五年级导引第18讲第18讲整数裂项五年级导引第13讲第19讲容斥原理五年级导引第04讲第20讲复杂抽屉原理五年级导引第24讲第1讲整除问题初步五年级导引第2讲第2讲整除问题进阶五年级导引第2讲第3讲质数与合数五年级导引第3讲第4讲环形路线五年级导引第5讲第5讲分数基本计算五年级导引第1讲第6讲直线形计算中的倍数关系五年级导引第14讲第7讲解方程与方程组六年级导引第4讲第8讲分数计算与比较大小五年级导引第1讲第9讲流水行船问题五年级导引第5讲第10讲约数与倍数五年级导引第7讲第11讲分数与循环小数五年级导引第8讲第12讲几何计数五年级导引第6讲第13讲逻辑推理二无对应讲次第14讲公约数与公倍数初步五年级导引第7讲第15讲公约数与公倍数进阶五年级导引第7讲第16讲分数应用题五年级导引第11讲第17讲比例应用题五年级导引第12讲第18讲直线形计算中的比例关系五年级导引第19讲第19讲分数裂项六年级导引第1讲第20讲数字谜综合一五年级导引第10讲第21讲余数的性质与计算五年级导引第16讲第22讲物不知数与同余五年级导引第16讲第23讲工程问题五年级导引第17讲第24讲列方程解应用题六年级导引第4讲第25讲燕尾模型六年级导引第10讲第26讲比较与估算五年级导引第9讲第1讲圆与扇形初步五年级导引第15讲第2讲圆与扇形进阶五年级导引第15讲第3讲行程问题综合一无对应讲次第4讲计算综合一五年级导引第13讲第5讲计数综合一无对应讲次第6讲钟表问题五年级导引第18讲第7讲位值原理五年级导引第21讲第8讲水管问题五年级导引第17讲第9讲立体几何六年级导引第9讲第10讲比例计算与列表分析六年级导引第3讲第11讲正反比例的概念与应用六年级导引第3讲第12讲行程问题中的比例关系六年级导引第14讲第13讲沙漏与金字塔五年级导引第19讲六年级导引第10讲第14讲数论相关的计数五年级导引第22讲第15讲数字谜中的计数五年级导引第22讲第16讲不确定性问题五年级导引第12讲第17讲浓度问题六年级导引第5讲第18讲经济问题六年级导引第5讲第19讲变速行程问题一五年级导引第20讲第20讲行程问题中的分段与比较五年级导引第20讲第1讲比赛中的推理六年级导引第6讲第2讲计算综合二六年级导引第2讲第3讲递推计数六年级导引第12讲第4讲对应计数六年级导引第13讲第5讲进位制六年级导引第19讲第6讲取整问题六年级导引第19讲第7讲不定方程六年级导引第8讲第8讲复杂直线形计算六年级导引第10讲第9讲几何综合六年级导引第11讲第10讲复杂应用题串讲六年级导引第17讲第11讲间隔发车问题六年级导引第14讲第12讲复杂行程问题六年级导引第14讲第13讲概率初步六年级导引第23讲第14讲工程问题综合无对应讲次第15讲整除问题综合无对应讲次第16讲约数与倍数综合无对应讲次第17讲整数型计算综合无对应讲次第18讲最值问题二六年级导引第7讲第19讲计数综合二无对应讲次第20讲计数综合三无对应讲次第21讲数字谜综合二六年级导引第16讲第22讲分数、百分数应用题综合无对应讲次第23讲行程问题综合二无对应讲次第24讲构造论证二六年级导引第22讲第25讲直线形计算综合无对应讲次第26讲应用题综合六年级导引第18讲第1讲浓度与经济问题综合无对应讲次第2讲余数问题综合无对应讲次第3讲分数计算综合无对应讲次第4讲曲线形计算综合无对应讲次第5讲抽屉原理综合六年级导引第24讲第6讲变速行程问题二无对应讲次第7讲计算综合练习第8讲几何综合练习第9讲应用题综合练习第10讲数字谜综合练习第11讲数论综合练习第12讲计数综合练习第13讲组合综合练习第14讲小升初综合模拟测试一第15讲小升初综合模拟测试二第16讲小升初综合模拟测试三第17讲小升初综合模拟测试四第18讲小升初综合模拟测试五第19讲小升初综合模拟测试六第20讲小升初综合模拟测试七第21讲小升初综合模拟测试八第22讲小升初综合模拟测试九。

四年级数学思维训练：还原问题与年龄问题（四年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】（2005•华亭县模拟）某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是．【答案】1.【解析】试题分析：从最后的结果往前逆推，结果是6，是一个数除以6得到的，不除以6，这个数应该是6×6=36；36是一个数减6得来的，那么这个数应该是36+6=42；42是一个数乘以6得来的，那么这个数应该是42÷6=7；7是由某数加上6得来的，因此，某数是7﹣6=1，列式解答即可得到答案．解：（6×6+6）÷6﹣6=（36+6）÷6﹣6，=42÷6﹣6，=7﹣6，=1．故答案为：1．点评：解答此题的关键是根据题干确定算式的运算顺序．【题文】有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完．问：原来酒葫芦里有多少两酒？【答案】7两酒．【解析】试题分析：由题意，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，遇到3家酒店，最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒；则遇到第三家酒店时是8÷2=4两酒，遇到第二家酒店时是（4+8）÷2=6两酒，遇到第一家酒店时，原来酒葫芦里有酒（6+8）÷2=7两；据此解答．解：最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒，8÷2=4（两），（4+8）÷2=6（两），（6+8）÷2=7（两），答：原来酒葫芦里有7两酒．点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．【题文】某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？【答案】原来这人身上有44元，箱子里有84元．【解析】试题分析：由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64+32=96元，箱子里有64÷2=32元；第二次过去前，他身上有96÷2=48元，箱子里有32+48=80元；第一次回来前，他身上有48+40=88元，箱子里有80÷2=40元；第一次过去前，他身上有88÷2=44元，箱子里有40+44=84元；据此解答．解：第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元；第二次回来前，他身上有64+32=96（元），箱子里有64÷2=32（元）；第二次过去前，他身上有96÷2=48（元），箱子里有32+48=80（元）；第一次回来前，他身上有48+40=88（元），箱子里有80÷2=40（元）；第一次过去前，他身上有88÷2=44（元），箱子里有40+44=84（元）；答：原来这人身上有44元，箱子里有84元．点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．【题文】三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？【答案】一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．【解析】试题分析：应先从最后结果出发，最后三棵树上鸟的只数都是48÷3=16（只）；则第三棵树上没有飞走10只鸟时是16+10=26只，根据“第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上”可知第三棵树上原来有26÷2=13只，从第二棵树上飞到第三棵树上的有13只，根据“第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上”，这时是16只，可知这10只鸟没有飞到第一棵树之前第一颗树上是16﹣10=6只，因为“第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上”，所以第一棵树上原来有6×2=12只，由此用总只数分别减去第一、二棵树上原有的只数就是第二棵树上原有鸟的只数；据此解答．解：最后三棵树上各有鸟：48÷3=16（只）；第三棵树上原有：（16+10）÷2=13（只）；第一棵树上原有：（16﹣10）×2=12（只）；第二棵树上原有：48﹣12﹣13=23（只）；答：一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．【题文】今年张伯伯45岁，小方9岁．再过几年，张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？【答案】再过三年【解析】试题分析：根据题干可得，张伯伯与小方的年龄差是45﹣9=36岁，当张伯伯的年龄是小方年龄的4倍，张伯伯与小方的年龄差是小方年龄的4﹣1=3倍，由此即可求出此时小方的年龄是36÷3=12岁，再减去小方现在的年龄就是要求的问题．解：年龄差：45﹣9=36（岁），张伯伯的年龄是小方年龄的4倍时，小方的年龄是：36÷（4﹣1）=12（岁），12﹣9=3（年）；答：再过三年，张伯伯的年龄是小方年龄的4倍．点评：抓住二人的年龄差永远不变，是解决此类问题的关键．【题文】今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍．今年小明多少岁？【答案】2岁．【解析】试题分析：他父母的年龄差是不变的，设今年小明的年龄是x岁，那么父母的年龄差也是x岁，4年后小明的年龄就是（4+x）岁，根据4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍，列出方程求解即可．解：设今年小明的年龄是x岁，由题意得：3x=x+42x=4x=2答：小明今年2岁．点评：解决本题根据年龄差不变，得出4年后小明的年龄是现在年龄的3倍，从而解决问题．【题文】今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍．问：现在父子的年龄各是多少？【答案】爸爸25岁，儿子5岁．【解析】试题分析：设现在儿子的年龄是x岁，那么爸爸现在的年龄5x岁，15年后，儿子的年龄是（x+15）岁，爸爸的年龄是（5x+15）岁，根据此时爸爸的年龄是儿子年龄的2倍列出方程求解．解：设儿子现在的年龄是x岁，由题意得：（x+15）×2=5x+152x+30=5x+153x=15x=5爸爸的年龄是：5x=5×5=25（岁）答：现在爸爸25岁，儿子5岁．点评：本题先设出儿子现在的年龄，用儿子现在的年龄表示出爸爸和儿子15年后的年龄，再根据它们的倍数关系列出方程求解．【题文】兄弟两个年龄之和是32岁．当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍．求哥哥现在的年龄．【答案】20岁．【解析】试题分析：设哥哥今年年龄为x岁，由“兄弟两今年的年龄和是32岁，”得出弟弟今年年龄为（32﹣x）岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，即哥哥的年龄为（32﹣x）岁时，哥哥增长了x﹣（32﹣x）岁，这时弟弟的年龄为（32﹣x）﹣[x﹣（32﹣x）]岁，再根据“哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍”列出方程解答即可．解：设哥哥今年年龄为x，弟弟今年年龄为60﹣x岁，3×[（32﹣x）﹣x+（32﹣x）]=32﹣x，3×[64﹣3x]=32﹣x8x=160x=20．答：哥哥今年20岁．点评：关键是设出一个未知数，另外的未知数用设出的字母表示，再找出数量关系等式，由等式列出方程解决问题．【题文】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”求老师和学生现在的年龄．【答案】老师今年27岁，学生15岁．【解析】试题分析：根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差+3=学生现在的年龄，年龄差+老师现在的年龄=39，所以老师+学生=42，设老师今年岁数为x，则学生的岁数是42﹣x岁，再根据年龄差+老师现在的年龄=39，列出方程解决问题．解：设老师今年x岁，因为老师和学生的年龄和是：39+3=42（岁），则学生的岁数是42﹣x岁；所以，x﹣（42﹣x）+x=393x﹣42=393x=42+393x=81x=27；42﹣27=15（岁）；答：这位老师今年27岁，学生15岁．点评：关键是根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，找出数量关系等式，列出方程解决问题．【题文】今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁，多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？【答案】6年后.【解析】试题分析：由于过1年，每个人都增长1岁，今年费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁，若过1年，则费叔叔的年龄增加1岁，小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和要增加3岁，即每过1年，小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和就比费叔叔的年龄多增加2岁；今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁，要求多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁，则求出几个2岁是（6+6）岁，就是几年后费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁；据此解答．解：由于过1年，每个人都增长1岁，过1年，则费叔叔的年龄增加1岁，小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和要增加3岁，即每过1年，小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和就比费叔叔的年龄多增加2岁；（6+6）÷2=6（年）；答：6年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁．点评：解答此题要明确：过1年，每个人都增长1岁，过1年，则费叔叔的年龄增加1岁，小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和要增加3岁．【题文】有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11．这个数原来是多少？【答案】2.【解析】试题分析：根据题意，把这个数设为x，列方程解答即可．解：设这个数为x，得[（x+37）×18﹣323]÷23﹣11=16[18x+666﹣323]÷23﹣11=1618x+343=16×23+1118x=36x=2答：这个数原来是2．点评：高的此题的关键是根据题意，列方程解进而求解．【题文】果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？【答案】24.【解析】试题分析：从最后剩下的4个桃子入手进行逆推，“最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子”，这时第三只猴子没吃之前有桃子4×2+3=11个桃子，这些11个桃子是“三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半”后剩下的，所以原来的桃子数是11×2+3=24个．据此解答．解：（4×2+3）×2+2=（8+3）×2+2=11×2+2=22+2=24（个）答：原来树上一共有24个桃子．点评：本题属于逆推问题，解答的关键是从最后的结果进行逆推，先求出最后第三只猴子没吃前的桃子数，进而求出总桃子数．【题文】有26块砖，兄弟两人争着去挑，弟弟抢在前面，刚装好砖头，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑得太多，就抢过来一半．弟弟不服，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不肯，弟弟还给了哥哥5块，这时，哥哥比弟弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块砖？【答案】16块.【解析】试题分析：设最初弟弟准备挑x块砖，则哥哥最初挑（26﹣x）块，第一次抢砖：弟弟（x÷2）块，哥哥（26﹣x÷2）块，第二次抢砖：弟弟（+13）块，哥哥（13﹣）块，第三次抢砖：弟弟（+8）块，哥哥（18﹣）块，再根据“哥哥比弟弟多挑2块”，列方程解答即可．解：设最初弟弟准备挑x块砖，则哥哥最初挑（26﹣x）块，第一次抢砖：弟弟（x÷2）块，哥哥（26﹣x÷2）块，第二次抢砖：弟弟（+13）块，哥哥（13﹣）块，第三次抢砖：弟弟（+8）块哥哥（18﹣）块，18﹣﹣（+8）=2，10﹣=2，20﹣x=4，x=20﹣4，x=16，答：最初弟弟准备挑16块砖．点评：解答本题的关键是，根据题意，找出每次哥哥和弟弟抢砖之后，哥哥和弟弟砖的块数，再根据题中的数量关系，列方程解答即可．【题文】甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？【答案】甲原来有7块糖，乙原来有10块糖．【解析】试题分析：第三次操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，那么这次操作是甲把糖给了乙，那么这之前，乙有12÷2=6块糖，甲有：5+6=11块糖；第二次操作如果是把乙的糖给甲，那么11不是2的倍数，所以不会增加1倍，所以仍是有甲给乙，那么第二次操作前，乙就有6÷2=3块糖，甲有11+3=14块糖；由于14是2的倍数，所以第一次操作是把乙的糖给甲，那么甲原来有14÷2=7（块），乙有3+7=10（块）．解：第三次操作前，乙有：12÷2=6（块）甲有5+6=11（块）；6是2的倍数，而11不是2的倍数，所以第二次操作仍是甲给乙，第二次操作前，乙有：6÷2=3（块），甲有：11+3=14（块）；14是2的倍数，所以第一次操作是乙给甲，那么原来甲有：14÷2=7（块）乙有：3+7=10（块）答：甲原来有7块糖，乙原来有10块糖．点评：解决本题运用逆推的方法求解，关键是判断每一次操作都是谁给谁．【题文】甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了．如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是甲元，乙元，丙元．【答案】55，19，7．【解析】试题分析：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们倒推还原：（1）甲和乙把钱还给丙，根据题意，每人增加2倍，就应该是原来钱数的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9（元），丙是81﹣9﹣9=63（元）；（2）甲和丙把钱还给乙，这时甲有9÷3=3（元），丙有63÷3=21（元），乙有81﹣3﹣21=57（元）；（3）最后是乙和丙把钱还给甲，这时乙有57÷3=19（元），丙有21÷3=7（元），甲有81﹣19﹣7=55元（元）．经过逐步推算，解决问题．解：甲和乙把钱还给丙：甲和乙都是：27÷3=9（元），丙是：81﹣9﹣9=63（元）；甲和丙把钱还给乙：甲有：9÷3=3（元），丙有：63÷3=21（元），乙有：81﹣3﹣21=57（元）；乙和丙把钱还给甲：乙有：57÷3=19（元），丙有：21÷3=7（元），甲有：81﹣19﹣7=55元（元）．答：三人原来的钱分别是甲55元，乙19元，丙7元．故答案为：55，19，7．点评：解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推算，根据逆运算思维进行解答．【题文】今年张明15岁，他父亲45岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？【答案】15年后，父亲年龄是张明年龄的2倍；5年前，父亲年龄是张明年龄的4倍．【解析】试题分析：根据“父亲今年45岁，张明今年15岁，”求出父子的年龄差是（45﹣15）岁，由于此年龄差不会改变，所以利用差倍公式，分别求出当父亲的年龄是张明年龄的2倍及当父亲年龄是张明年龄的4倍时张明的年龄，由此进一步解决问题．解：（1）父子的年龄差是：45﹣15=30（岁），张明的年龄：30÷（2﹣1）=30÷1=30（岁），30﹣15=15（年），（2）张明的年龄是：30÷（4﹣1）=30÷3=10（岁），15﹣10=5（年），答：15年后，父亲年龄是张明年龄的2倍；5年前，父亲年龄是张明年龄的4倍．点评：解答此题的关键是，根据两人的年龄差不会随着时间的改变而变化，利用差倍公式求出张明相应的年龄，由此解决问题．【题文】12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍．请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？【答案】15年后.【解析】试题分析：设今年女儿的年龄是x岁，则父亲年龄是3x岁，12年前，女儿的年龄是x﹣12岁；父亲年龄3x﹣12或表示为（x﹣12）×11岁，由此求出今年父亲和女儿的年龄，进而求出几年后父亲年龄是女儿年龄的2倍．解：设今年女儿的年龄是x岁，则父亲年龄是3x岁，12年前，女儿的年龄是x﹣12岁；父亲年龄3x﹣12或表示为（x﹣12）×11岁；所以3x﹣12=（x﹣12）×113x﹣12=11x﹣1328x=120x=15；父亲的年龄是3×15=45（岁）年龄差是：45﹣15=30（岁）所以当女儿30岁，父亲60岁时；父亲年龄是女儿年龄的2倍；而30﹣15=15（年）所以15年后父亲年龄是女儿年龄的2倍；答：15年后父亲年龄是女儿年龄的2倍．点评：关键是根据题意设出未知数，求出父亲和女儿今年的年龄，进而解决问题．【题文】去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍．求哥哥和弟弟现在的年龄．【答案】哥哥现在的年龄是10岁；弟弟现在的年龄是6岁.【解析】试题分析：设弟弟今年x岁，则弟弟去年是x﹣1岁；前年是x﹣2岁；哥哥今年y岁，则去年是y﹣1岁，前年是y﹣2岁；再根据去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，得出y﹣1=（x+1+y+1）；再由“前年哥哥的年龄是弟弟的2倍”，得出y﹣2=2（x﹣2），由此可列出方程解决问题．解：设弟弟今年x岁，则弟弟去年是x﹣1岁；前年是x﹣2岁；哥哥今年y岁，则去年是y﹣1岁，前年是y﹣2岁；y﹣1=（x+1+y+1）；y﹣x=4y﹣2=2（x﹣2），2x﹣y=2，所以x=6，y=10；答：哥哥现在的年龄是10岁；弟弟现在的年龄是6岁．点评：此题等量关系较复杂，要求学生要审清题意找准等量关系，列出方程解答．【题文】今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？【答案】24岁．【解析】试题分析：设今年弟弟的年龄是x岁，则哥哥的年龄是2x岁，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄是48+x岁，再根据父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，得出48+x=2x+x+2x，由此解方程即可．解：设今年弟弟的年龄是x岁，则哥哥的年龄是2x岁，48+x=2x+x+2x4x=48x=12，12×2=24（岁）答：今年哥哥24岁．点评：关键是设出一个未知数，另外的未知数用设出的字母表示，再找出数量关系等式，由等式列出方程解决问题．【题文】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚5岁；当你像我这么大时，我已经50岁了．“求老师和学生现在的年龄．【答案】老师今年35岁，学生今年20岁．【解析】试题分析：假设年龄差为x岁，学生现在x+5岁，老师现在2x+5岁；根据“当你像我这么大时，我已经50岁”可列关系式：老师现在的年龄+年龄差=50；据此列方程解答求出年龄差，然后再求出老师现在的年龄就比较容易了．解：设年龄差为x，学生现在x+5，老师现在2x+5；2x+5+x=50，3x=45，x=15，老师现在：2x+5=2×15+5=35（岁）；答：老师今年35岁，学生今年20岁．点评：本题关键是抓住年龄差不变，难点是理解两次比较年龄中隐含的数量关系．【题文】有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄．【答案】现在老师的年龄是36岁，甲的年龄是15岁，乙的年龄是12岁，丙的年龄是9岁．【解析】试题分析：设现在甲、乙、丙三个学生的年龄分别为x岁，y岁，z岁；则老师现在的年龄是x+y+z（岁）；所以根据“9年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和”，得出x+y+z+9=x+y+9+9，由此求出丙的年龄；再根据又过了3年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；得出x+y+z+9+3=x+z+9+3+9+3，由此求出乙的年龄；同理，再根据再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求出甲的年龄．解：设现在甲、乙、丙三个学生的年龄分别为x岁，y岁，z岁；则老师现在的年龄是x+y+z（岁）；x+y+z+9=x+y+9+9z=9x+y+z+9+3=x+z+9+3+9+3y=12x+y+z+9+3+3=y+z+9+3+3+9+3+3x=159+12+15=36（岁）答：现在老师的年龄是36岁，甲的年龄是15岁，乙的年龄是12岁，丙的年龄是9岁．点评：关键是根据题意，找出数量关系式，列出方程再解答．【题文】1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年多少岁？【答案】妈妈今年35岁．【解析】试题分析：设妈妈的年龄是x岁，那么爸爸的年龄就是（x+2）岁，1年前，父母的年龄和是（x﹣1）+（x+2﹣1）=2x岁，此时兄弟的年龄和就是岁；4年后，相当于1年前的5年后，父母的年龄和变成：（2x+5×2）岁，而兄弟的年龄和变成（+5×2）岁，根据此时“父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍”列出方程求解．解：设妈妈的年龄是x岁，那么爸爸的年龄就是（x+2）岁，1年前，父母的年龄和是（x﹣1）+（x+2﹣1）=2x岁，此时兄弟的年龄和就是岁；（+5×2）×4=2x+5×2x+40=2x+108x+280=14x+706x=210x=35答：妈妈今年35岁．点评：本题较复杂，关键是用妈妈的年龄表示l【答案】10升水．【解析】试题分析：本题给出了分水的顺序是老﹣大﹣小，每次都是某和尚把自己的水全部平分给另外两个和尚，全部说明每次分完一定有一人水量为0，平分说明这个人给另外两人分的量是一样的，最后老小和尚有水，那么最后一次是大和尚分的水，据此列表分析解答即可．解：最后老小和尚有水，那么最后一次是大和尚分的水，利用分水的顺序是老﹣大﹣小这个条件可知，最初是老和尚最多，即小和尚分水后，应为老和尚20升，大和尚10升，小和尚0升的状态，所以最初大和尚的水罐里有10升水．点评：弄清分水的顺序及状态是解答此题的关键．【题文】甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？【答案】甲5乙13．【解析】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．解：周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的，那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．【题文】哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和的弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄是岁．【答案】28.【解析】试题分析：根据题干可得，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄之和正好是32岁；因为哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，所以他们一共加起来是8份，则其中的一份是32÷8=4岁，由此即可求出哥哥获得博士学位的年龄是4×7=28岁．解：根据题干分析可得：32÷（7+1）×7，=32÷8×7，=28（岁），答：哥哥获得博士学位的年龄是28岁．故答案为：28．点评：解答此题的关键是根据“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位”是指哥哥获得博士学位的年龄比现在的年龄增加了他们的年龄差，“我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园”是指弟弟上幼儿园的年龄比现在的年龄减少了他们的年龄差，得出：哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄之和正好是他们现在的年龄之和32岁，由此即可解决问题．【题文】小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5岁呢．”小明对爷爷说：“我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了．”请问：小明的爸爸今年多少岁？【答案】52岁．【解析】试题分析：设爸爸比小明大x岁，根据“爷爷对小明说：‘当我的岁数是你爸爸现在的岁数时，你才5岁呢．’”得出爸爸比爷爷早5年带小孩，爷爷比爸爸大x+5岁，则爷爷比小明大x+5+x岁，再根据“爷爷对小明说：‘当我的岁数是你爸爸现在的岁数时，你才5岁呢．’”得出x+5年前，小明是5岁，则小明现在是5+x+5岁，则爸爸现在是5+x+5+x岁，又根据“小明跟爷爷说：‘我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了．’”小明的岁数是爷爷现在的岁数，那是在x+5+x年后，x+5+x年后，爸爸（5+x+5+x）+（x+5+x）岁，也就是89岁，由此列出方程求解．解：设爸爸比小明大x岁，由题意得：（5+x+5+x）+（x+5+x）=892x+10+2x+5=894x+15=894x=74x=18.5爸爸现在的岁数是5+x+5+x=5+18.5+5+18.5=52（岁）答：小明的爸爸今年52岁．点评：抓住三人之间的年龄差不变，设出数据，列出方程求解．【题文】1996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；4年后，父亲年龄是弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍，试问：当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公元多少年？【答案】公元2009年．【解析】试题分析：先求出父母与兄弟的年龄和，再假设4年后母亲的年龄也是哥哥的4倍，则父母的年龄和是兄弟俩年龄和的4倍，进而求出哥哥今年的年龄，弟弟4年后的年龄即可求出，继而求出父亲的年龄，再根据年龄差不变，即可求出父亲的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥与父亲的年龄，由此得出答案．。

第3讲还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。

典型问题兴趣篇1. 某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？答案：这个数是详解：+6 x6 -6 +662. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？答案：7两酒。

详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该先加8，再除以2.那么到酒店C之前葫芦里应该有（0+8）÷2=4两酒，他在到酒店B的时候应该有（4+8）÷2=6两酒，所以他原来的酒葫芦应该有（6+8）÷2=7两酒。

0+8=8，8÷2=4，4+8=12，12÷2=6，6+8=14，14÷2=73. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？答案：原来这个人身上有43元，箱子里有85元。

详解：4. 三棵树上共有48只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？答案：第一棵树上有12，第二棵23，第三棵13详解：5. 1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？答案：小方12岁那年。

第三讲 游戏与对策一、基本前提游戏双方足够聪明，目的都是获胜。

二、方法：倒推三、游戏类型（一）拿火柴棍/抢数如：桌子上放着10根火柴，二人轮流每次取走1—2根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？分析：如果从开始分析，“局面”太大，有太多种取法要讨论。

所以我们尝试从结果倒推。

如上图，要必胜，也就是要让自己拿到10号火柴，那就应给对方留下8，9,10三根火柴供他取，这样对方不管取一根还是两根，自己都能拿到最后的10号火柴。

照这样分析，自己应该拿到7号火柴（这样就是给对方留下了8,9,10号三根）就必胜。

同理分析，要想取7号，就应该取4号，要想取4号，就应该取1号。

那么，本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴，对于足够聪明的人来说，拿到第一个制胜点1号火柴，一定能拿到其余的制胜点。

所以本题要必胜，就要抢先取1根，然后对方取a 根，自己就取3-a 根，这样保证自己能取到每一个制胜点，最终取到10号火柴。

总结一下，同学们应该能看出，这里面有周期现象（只是周期是从后往前排布的），周期是几呢？是可取的最大限度2再加1等于3，制胜点是哪些呢？是每个周期的最后一根。

掌握此规律，就不难总结出这类题的解题方法了：解题方法：（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1（2）总数÷周期1 桌子上放着60根火柴，聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走1—3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？解析： 周期为 3+1=4（根）60÷4=15（组） （整除，应该抢后）制胜点：4,8,12 (60)做法：1、让对方先取2、对方取a 根，自己就取4-a 根2 有一种抢数游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数），最后谁报到规定的“某个数字”为胜。

如“抢50”，规定每次必须报1或2个1 2 3 4 5 6 7 8 9 10有余数：抢先拿余数整除（余数为0）：抢后自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。

学习-----好资料第3讲还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。

典型问题兴趣篇1. 某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？答案：这个数是详解：+6 x6 -6 +636761422. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？答案：7两酒。

详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该先加8，再除以2.那么到酒店C之前葫芦里应该有（0+8）÷2=4两酒，他在到酒店B的时候应该有（4+8）÷2=6两酒，所以他原来的酒葫芦应该有（6+8）÷2=7两酒。

2=714÷2=6，6+8=14，，，8÷2=4，4+8=1212÷0+8=83. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？答案：原来这个人身上有43元，箱子里有85元。

详解：箱子里的钱身上的钱85 43 开始时86 42 第一次走过去后44 84 第一次走回来后88 40 第二次走过去后48 80 第二次走回来后96 32 第三次走过去后64 64 第三次走回来后后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树只鸟. 4. 三棵树上共有48只鸟飞到了第上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10 问：一开始三棵树上各有几只鸟？一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多.13 ，第三棵12，第二棵23答案：第一棵树上有详解：第三棵第一棵第二颗131223开始时61329第一棵飞到第二棵后616 26 第二棵飞到第三棵后16 16 16 第三棵飞到第一棵后更多精品文档．好资料学习-----倍？45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的45. 1997年张伯伯岁那年。

目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题第五讲还原问题第六讲最不利原则第一讲差倍问题小热身画出线段图并求出(1)小高和墨莫一共挖了60个土豆，且小高是墨莫挖的3倍，那么墨莫挖了多少个土豆?(2)小高和墨莫跳绳，一共跳了40个，且小高比墨莫多跳10个，那么墨莫跳了多少个?知识精讲我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。

画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。

这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。

例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。

那么在差倍问题中，这种方法还适用吗例题2：羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的5倍多2只，且羊比狼多42只。

请问：羊村里羊和狼分别有多少只?练习2：狼村里住了一些狼和羊，狼比羊多23只，且狼的数量比羊的3倍多1只。

请问：狼村有多少只狼?例题3：米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的3倍少4个，且唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠多20个。

请问:唐老鸭挖了多少个土豆?练习3：阿呆的高思积分比阿瓜的多150分，且阿呆的高思积分比阿瓜的4倍少30分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分?有暗差的差倍问题，做题一般步骤:(1)先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍。

(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。

(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。