静力流体力学例题

典 型 例 题 1 基本概念及方程【1－1】底面积A ＝0.2m ×0.2m 的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一具分量为G 1＝3000N 的铁块，测得水深h ＝0.5m ，如图所示。

如果将铁块加重为G 2＝8000N ，试求盖板下降的高度Δh 。

【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率：E p v v //∆=∆ )/(00B p p np E +=p 为绝对压强。

当地大气压未知，用标准大气压Pa p 501001325.1⨯=代替。

Pa A G p p 5111076325.1/⨯=+=Pa A G p p 5221001325.3/⨯=+=因01/p p 和 02/p p 不是很大，可选用其中任何一具，例如，选用2/p p 来计算体积弹性系数：Pa B p p np E 902101299.2)/(⨯=+=在工程实际中，当压强不太高时，可取 Pa E 9101.2⨯=512104827.6/)(///-⨯=-=∆=∆=∆E p p E p v v h hm h h 55102413.310604827--⨯=⨯=∆【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h 。

打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U 形水银压差计的读数Δh 1＝150mm ，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh 2＝210mm 。

已知a ＝1m ，求深度h 及油的密度ρ。

【解】水银密度记为ρ1。

打开阀门1时，设压缩空气压强为p 1，思量水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有同样，打开阀门2时，两式相减并化简得代入已知数据，得所以有2 基本概念及参数【1－3】测压管用玻璃管制成。

水的表面张力系数σ＝0.0728N/m ，接触角θ＝8º，如果要求毛细水柱高度不超过5mm ，玻璃管的内径应为多少？ 【解】由于所以知识归纳整理【1－4】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建造物产生气蚀。

《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du Udy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。

根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。

求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ== 2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。

示范题解析例1-1压力的测量为测量某密闭容器内气体的压力，在容器外部接一双液U管做压差计，如本题附图所示。

指示液1为密度1=880kg/m3的乙醇水溶液，指示液2为密度2=830kg/ m3的煤油。

已知扩大室直径为D=170mm，U管直径d=6mm，读数R=0.20m。

试求：（1）容器内的表压力p。

若忽略两扩大室的液面高度差，则由此引起的压力测量的相对误差为多少？（2）若将双液U管微压差计改为普通U管压差计，指示剂仍用1=880kg/m3的乙醇水溶液，则压差计读数R’为多少?(3)若读数绝对误差为±0.5mm，则双液U管微压差计和U管压差计读数的相对误差各为多少？解：（1）若容器内压力P（表压）取截面1-1’为等压面，则P 1=P1’由静力学方程式得p1=p+（h1+R）2gP1’=h2g+R g以上三式联立，得P=R（1-2）g+（h2-h1）2g（1）式中，h2=h1+h。

由于开始时两扩大室中所充的煤油量相同，故1-2管段内的煤油量h内的煤油量相等，即πd2R=πD2h 于是 h=R故h2=h1+R(2)将式（2）代入式（1）得P=R（1-2+2）g=0.20×【880-830+（）2×830】×9.81Pa =100.1Pa（表压）若忽略两扩大室的液面高度差，即h1≈h2，则由式（1）得容器内压力为P=R（1-2）g=0.20×（880-830）×9.81Pa=98.1Pa（表压）于是，由于忽略扩大室液面高度差引起压力测量的相对误差为×100%=﹣2.0%（2）U管压差计的读数R‘由流体静力学方程得P=R‘1gR‘==m=0.0116m=11.6mm（3）双液U管微压差计与U管压差计读数的相对误差分别为双液U管微压差计×100%=±0.25%U管压差计×100%=±4.3%讨论：（1）当被测压力或压力差很小时，采用U管压差计测量的读数可能会很小，读数的相对误差很大，为减小测量误差，可选用双液U管微压差计代替U 管压差计，因此应根据不同场合选择合适的压差计；（2）双液U管压差计的测量精度，取决于所选择的双指示液的密度差，二者的密度差越小，其获得的R越大，测量误差越小。

第一章：绪论例1-1 200 ºC体积为的2.5m3水，当温度升至800ºC时，其体积增加多少？解： 200 ºC时：ρ1=998.23kg/m3 800CºC时：ρ2=971.83kg/m3即：则：例1-2使水的体积减小0.1%及1%时，应增大压强各为多少？（K=2000MPa）d V/V =-0.1%=-2000×106×（-0.1%）=2×106Pa=2.0MPad V /V = -1%= -2000×106×（-1%）=20 MPa例1-3输水管l=200m，直径d=400mm，作水压试验。

使管中压强达到55at后停止加压，经历1小时，管中压强降到50at。

如不计管道变形，问在上述情况下，经管道漏缝流出的水量平均每秒是多少？水的体积压缩率κ =4.83×10-10m2 /N 。

解水经管道漏缝泄出后，管中压强下降，于是水体膨胀，其膨胀的水体积水体膨胀量5.95 l 即为经管道漏缝流出的水量，这是在1小时内流出的。

设经管道漏缝平均每秒流出的水体积以Q 表示，则例1-4：试绘制平板间液体的流速分布图与切应力分布图。

设平板间的液体流动为层流，且流速按直线分布，如图1-3所示。

解：设液层分界面上的流速为u,则：切应力分布：图1-3上层下层：在液层分界面上：--流速分布：上层：下层：例1-5：一底面积为40 ×45cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面向下作等速运动，如图1-4所示，已知木块运动速度u =1m/s，油层厚度d =1mm，由木块所带动的油层的运动速度呈直线分布，求油的粘度。

解：∵等速∴αs =0由牛顿定律：∑F s=mαs=0m gsinθ－τ·A=0（呈直线分布）图1-4∵ θ=tan-1(5/12)=22.62°例1-6: 直径10cm的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平台间充有厚度δ=1.5mm的油膜相隔，当圆盘以n =50r/min旋转时，测得扭矩M =2.94×10-4 N·m。

流体⼒学例题及思考题-第⼆章第⼆章流体静⼒学1o 研究任务：流体在静⽌状态下的平衡规律及其应⽤。

根据平衡条件研究静⽌状态下压⼒的分布规律，进⽽确定静⽌流体作⽤在各种表⾯的总压⼒⼤⼩、⽅向、作⽤点。

2o 静⽌：是⼀个相对的概念，流体质点对建⽴的坐标系没有相对运动。

①绝对静⽌：流体整体相对于地球没有相对运动。

②相对静⽌：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。

共同点：不体现粘性，⽆切应⼒ 3o 适⽤范围：理想流体、实际流体 4o 主要内容：流体平衡微分⽅程式静⼒学基本⽅程式（重点）等压⾯⽅程（测压计）作⽤于平⾯和曲⾯上的⼒（难点）第⼀节流体静压强及其特性⼀、基本概念1、流体静压强：静⽌流体作⽤在单位⾯积上的⼒。

p 设微⼩⾯积A ?上的总压⼒为P ?，则平均静压强：A P p ??=重⼒压⼒重⼒压⼒重⼒直线惯性⼒压⼒重⼒离⼼惯性⼒压⼒质量⼒质量⼒ΔP点静压强：A P p A ??=→?lim即流体单位⾯积上所受的垂直于该表⾯上的⼒。

单位：N/m 2 (Pa)2、总压⼒：作⽤于某⼀⾯上的总的静压⼒。

P 单位：N (⽜)3、流体静压强单位：国际单位：N/m 2＝Pa 物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2 ⼯程单位：kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (⼯程⼤⽓压) ≠ 1atm (标准⼤⽓压)1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m ⽔柱 1atm ＝1.013×105Pa ＝10.3 m ⽔柱⼆、流体静压强特性1、静压强作⽤⽅向永远沿着作⽤⾯内法线⽅向——⽅向特性。

（垂直并指向作⽤⾯）证明：反证法证明之。

有⼀静⽌流体微团，⽤任意平⾯将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。

设切割⾯上任⼀点m 处静压强⽅向不是内法线⽅向，则它可分解为n p 和切应⼒τ。

⽽静⽌流体既不能承受切应⼒，也不能承受拉应⼒，如果有拉应⼒或切应⼒存在，将破坏平衡，这与静⽌的前提不符。

【3-21】 图3-54所示为绕铰链O 转动的倾斜角α=60°的自动开启式水闸，当水闸一侧的水位H =2m ，另一侧的水位h =0.4m 时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x 。

图3-54 习题3-21示意图【解】 设水闸宽度为b ，水闸左侧水淹没的闸门长度为l 1，水闸右侧水淹没的闸门长度为l 2。

作用在水闸左侧压力为111A gh F c p ρ= (1)其中21H h c = αsin 1H l = αs i n11H b bl A == 则αραρsin 2sin 221b gH H b H g F p == (2) 作用在水闸右侧压力为222A gh F c p ρ= (3)其中22h h c = αsin 2h l = αs i n22h b bl A == 则αραρsin 2sin 222b gh h b h g F p == (4) 由于矩形平面的压力中心的坐标为l bl l bl l A x I x x c cy c D 3221223=+=+= (5) 所以，水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为αsin 321H x D ⋅= (6) 水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为αsin 322H x D ⋅= (7) 对通过O 点垂直于图面的轴取矩，设水闸左侧的力臂为d 1，则()x x l d D =-+111 (8)得()αααsin 3sin 32sin 111H x H H x x l x d D -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=--= (9) 设水闸右侧的力臂为d 2，则()x x l d D =-+222 (10)得()αααsin 3sin 32sin 222h x h h x x l x d D -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=--= (11) 当满足闸门自动开启条件时，对于通过O 点垂直于图面的轴的合力矩应为零，因此02211=-d F d F p p (12)则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααρααρsin 3sin 2sin 3sin 222h x b gh H x b gH (13) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααsin 3sin 322h x h H x H ()()3322sin 31h H x h H -=-α hH h Hh H h H h H x +++⋅=--⋅=222233sin 31sin 31αα ()m 0.7954.024.04.02260sin 3122=++⨯+⋅= x。

第一章 流体的性质例1：两平行平板间充满液体，平板移动速度0.25m/s ，单位面积上所受的作用力2Pa(Ｎ／m2)，试确定平板间液体的粘性系数μ。

例2：一木板，重量为G ，底面积为S 。

此木板沿一个倾角为θ，表面涂有润滑油的斜壁下滑，如图所示。

已测得润滑油的厚度为δ，木板匀速下滑的速度为u 。

试求润滑油的动力粘度μ。

例3：两圆筒，外筒固定，内筒旋转。

已知：r 1=0.1m ，r 2=0.103m ，L=1m 。

s rad πωμ20,14.0=⋅=s Pa 。

求：施加在外筒的力矩M 。

例4：求旋转圆盘的力矩。

如图，已知ω， r 1，δ，μ。

求阻力矩M 。

第二章 流体静力学例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。

已知：水面高程z0=3m, 压差计各水银面的高程分别为z 1 = 0.03m, z 2 = 0.18m, z 3 = 0.04m, z 4 = 0.20m,水银密度0.5m0.25m/ρ´=13600kg/m3，水的密度ρ=1000kg/m3。

试求水面的相对压强p0。

例2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。

已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm，倾角θ=30∘，试求压强差p1 –p2 。

例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。

两个U形管的工作液体为水银，密度为ρ2，其连接管充以酒精，密度为ρ1。

如果水银面的高度读数为z1、 z2、 z3、 z4，试求压强差p A –p B。

例4：用离心铸造机铸造车轮。

求A-A面上的液体总压力。

例5：已知：一块平板宽为 B，长为L,倾角θ，顶端与水面平齐。

求：总压力及作用点。

闸门所在斜面与水平面成α=60o，闸门A端设有铰链，B端钢索可将闸门拉开。

当开启闸门时，闸门可绕A向上转动(如图1所示)。

在不计摩擦力及钢索、闸门重力时，求开启闸门所需之力F。

例8：如图，一挡水弧形闸门，宽度为b（垂直于黑板）,圆心角为θ，半径为R，水面与绞轴平齐。