静力流体力学例题

典 型 例 题 1 基本概念及方程【1－1】底面积A ＝0.2m ×0.2m 的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一具分量为G 1＝3000N 的铁块，测得水深h ＝0.5m ，如图所示。

如果将铁块加重为G 2＝8000N ，试求盖板下降的高度Δh 。

【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率：E p v v //∆=∆ )/(00B p p np E +=p 为绝对压强。

当地大气压未知，用标准大气压Pa p 501001325.1⨯=代替。

Pa A G p p 5111076325.1/⨯=+=Pa A G p p 5221001325.3/⨯=+=因01/p p 和 02/p p 不是很大，可选用其中任何一具，例如，选用2/p p 来计算体积弹性系数：Pa B p p np E 902101299.2)/(⨯=+=在工程实际中，当压强不太高时，可取 Pa E 9101.2⨯=512104827.6/)(///-⨯=-=∆=∆=∆E p p E p v v h hm h h 55102413.310604827--⨯=⨯=∆【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h 。

打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U 形水银压差计的读数Δh 1＝150mm ，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh 2＝210mm 。

已知a ＝1m ，求深度h 及油的密度ρ。

【解】水银密度记为ρ1。

打开阀门1时，设压缩空气压强为p 1，思量水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有同样，打开阀门2时，两式相减并化简得代入已知数据，得所以有2 基本概念及参数【1－3】测压管用玻璃管制成。

水的表面张力系数σ＝0.0728N/m ，接触角θ＝8º，如果要求毛细水柱高度不超过5mm ，玻璃管的内径应为多少？ 【解】由于所以知识归纳整理【1－4】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建造物产生气蚀。

答案：D
例9. 某液体的容重为γ，在液体内部B点较A点低 1m,其B点的压强比A点的压强大_____Pa. A.γ; B.9800; C.10000; D.不能确定
答案：A
例10.仅在重力作用下，静止液体中任意点对 同一基准面的______为一常数。 A.单位位能；B.单位势能； C.单位压能；D.单位动能
整理后得A,B两点的压强差
9806 0.5 0.3 133400 0.3 7850 0.2 133400 0pB 1 g h5 h4 3 gh4 2 gh3 3 gh2 1 gh1
解
对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作 用在底盖上的总压力的水平分力为零。底盖上总压力的垂直分力
d 2 h d 3 Fpz1 gVp1 g H 4 2 12 0.52 0.53 9806 2.5 0.75 6579N 4 12
例2 5如图所示，两圆筒用管 子连接。第一个圆筒直 径d1 45cm，活塞上受力 F1 3197N，密封 气体的计示压强 pe 9810Pa；第二个圆筒 d 2 30cm，活塞上受力 F2 4945.5 N，上部通大气。若 不计活塞质量，求平衡 状态时两活塞的高度差 h。（已知水银的密度 13600kg m 3 ）
答案：C
下一页
例6. 仅在重力作用下，静止液体的测压管水 头线必定________. A 水平 B 线形降低 C 线形升高 D 呈曲线
答案：A
例7. 某点压强为1.0kgf/cm^2,用国际单位表示 该处的压强为______kPa。 A.100; B.98; C.1000; D.980
答案：B

p3 p2 g(3 2 )
p4 p3 H g(3 4 ) p A p5 p4 g(5 4 )
解题步骤
联立求得
pA H g(1 2 ) g(3 2 ) H g(3 4 ) g(5 4 )
将已知值代入上式, 得 ,
pA 13.6103 kg/m3 9.8m/s2 (1.8m 0.6m)1103 kg/m3 9.8m/s2 (2.0m 0.6m)13.6103 kg/m3 9.8m/s2 (2.0m 0.8m) 1103 kg/m3 9.8m/s2 (1.5m 0.8m)
3
2.45m 0.72m 21.73m 2.45m
1P 3
3 2.11m
1.73m 2.45m 1 P
3
同理, y3 2.72m
y1 y2 y3
题目
如图所示, 水池壁面设一圆形放水闸门, 当闸门关
闭时, 求作用在圆形闸门上静水总压力和作用点的位
置。已知闸门直径d = 0.5m, 距离a= 1.0m, 闸门与
h1 h
h2 h3
P1 P2 P3
y 1 y2 y3
解题步骤
解:
首先画出平板闸门所受的
静水压强分布图。
单位宽闸门上所受的静水总压 P 力可以由图解法计算静水压强
h
D
分布图的面积求出, 即
P 1 gh h 1m
ρg h
2
1 1000 kg/m3 9.8m/s 2 3m 3m 1m 2
44100N
重力作用线距转动轴B点的距离
l1
d 2
cos 60
0.25m
启门力T到B点的距离 l2 2l1 0.5m
由力矩平衡方程 T l2 P BD G l1 解得 T 32.124KN

0 . 15
例5 医用手摇离心机：r＝250 mm， n＝400 r/min.

r
求：1)试管中液体质量力是重力的多少倍？ 2)试管轴线与水平线夹角α 解：1)等压面方程：

2 n 60
1
r
2
2
gz c
tg
dz dr

r
2

2 400 60
2 1
2
41 . 89 (1 / s )
131 . 5 10 21 . 2 10
3 3
110 . 3 10
3
h1
A
h2
T

B
h3
例4 已知：R＝150mm，H＝500mm，h=300mm. 求：不使水溢出得最大ω 解：旋转抛物面围成的体积：
dV r dz
2
z
由：z
r
2
r
H
2
得：r
2
2g
2g

2
得
0 . 952 Pa s
注意：1.面积A的取法； 2.单位统一
例3. 已知矩形闸门宽度：b=3m，门重G=9800N, α＝60°，h1=1m,h2=1.73m.
求：1）下游无水时，启门力T=?
2）下游水位h3=h2/2,启门力T’=?
解：
p A gh 1
p B g ( h1 h 2 )
习题
例1：汽缸内壁的直径D=12cm，活塞的直径d=11.96cm，
活塞长度L=14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油
的μ =0.1Pa· s。求作用在活塞上的粘性力。 解：
F A du dy

《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du Udy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。

根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。

求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ== 2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。

示范题解析例1-1压力的测量为测量某密闭容器内气体的压力，在容器外部接一双液U管做压差计，如本题附图所示。

指示液1为密度1=880kg/m3的乙醇水溶液，指示液2为密度2=830kg/ m3的煤油。

已知扩大室直径为D=170mm，U管直径d=6mm，读数R=0.20m。

试求：（1）容器内的表压力p。

若忽略两扩大室的液面高度差，则由此引起的压力测量的相对误差为多少？（2）若将双液U管微压差计改为普通U管压差计，指示剂仍用1=880kg/m3的乙醇水溶液，则压差计读数R’为多少?(3)若读数绝对误差为±0.5mm，则双液U管微压差计和U管压差计读数的相对误差各为多少？解：（1）若容器内压力P（表压）取截面1-1’为等压面，则P 1=P1’由静力学方程式得p1=p+（h1+R）2gP1’=h2g+R g以上三式联立，得P=R（1-2）g+（h2-h1）2g（1）式中，h2=h1+h。

由于开始时两扩大室中所充的煤油量相同，故1-2管段内的煤油量h内的煤油量相等，即πd2R=πD2h 于是 h=R故h2=h1+R(2)将式（2）代入式（1）得P=R（1-2+2）g=0.20×【880-830+（）2×830】×9.81Pa =100.1Pa（表压）若忽略两扩大室的液面高度差，即h1≈h2，则由式（1）得容器内压力为P=R（1-2）g=0.20×（880-830）×9.81Pa=98.1Pa（表压）于是，由于忽略扩大室液面高度差引起压力测量的相对误差为×100%=﹣2.0%（2）U管压差计的读数R‘由流体静力学方程得P=R‘1gR‘==m=0.0116m=11.6mm（3）双液U管微压差计与U管压差计读数的相对误差分别为双液U管微压差计×100%=±0.25%U管压差计×100%=±4.3%讨论：（1）当被测压力或压力差很小时，采用U管压差计测量的读数可能会很小，读数的相对误差很大，为减小测量误差，可选用双液U管微压差计代替U 管压差计，因此应根据不同场合选择合适的压差计；（2）双液U管压差计的测量精度，取决于所选择的双指示液的密度差，二者的密度差越小，其获得的R越大，测量误差越小。

G
B
空 气 石 油
9.14m
7.62 3.66
1 1
p1 1 g(9.14 3.66) pG 2 g(7.62 3.66)
5.481 g pG 3.96 2 g
pG 5.481 g 3.96 2 g
甘 油
1.52
A
12.25 5.48 8.17 3.96
习题课
3 例题1:如 图 所 示 容 器， 上 层 为 空 气， 中 层 为 石油 8170 N m 的 石 油， 下 层 为 3 甘油 12550 N m 的 甘 油， . m时 压 力 表 的 读 数。 试 求： 当 测 压 管 中 的 甘 油 表 面 高 程 为 914
解： 设 甘 油 密 度 为 1 ， 石 油 密 度 为 2 做 等 压 面 1--1， 则 有
p1 1 gh1 p 2 1 g (h2 h1 h) 2 gh
由于两边密度为ρ1的液体容量相等，所以D2h2=d2h，代 入上式得 d2 p1 p 2 2 g 1 2 1 g h
0.012 1000 9.806 0.03 13600 9.806 1 0.12 4 =3709.6(pa)
34.78k N/m2
1
习题课 【例2-1】 如图1所示测量装置，活塞直径d=35㎜， 油的相对密度d油=0.92 ，水银的相对密度dHg=13.6，活 塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为15Ｎ时，h=700㎜， 试计算Ｕ形管测压计的液面高差Δh值。 【解】 重物使活塞单位面积上承受的压强为
p 15 15 （Pa） 15590 2 d 0.0352 4 4

化简上式，得到
F2p 1 hc Bo sv1 2h B 2co s3 2 2 7
【例题5】在水箱水面下H=3m处装有一个收缩 －扩张形的文丘里管嘴，其喉部直径d1=4cm， 喉部绝对压强为24.5kPa，大气压强为101.3kPa。 渐扩部分的损失假定是从d1突扩到d2时所产生 损失的20％，收缩部分的阻力可以不计，其他
已知：斜激波表(k=1.4)为：
【解】可以知道，气流在三角翼头部处将产生斜
激波。经过斜激波后，气流的参数如下变化： 由波前马赫数M1=4及气流偏转角 5 ，查表
得到气流的激波角 、对应的波后1：
17.26 ，M2＝3.709，p2 p11.476
vh 5.8(cm)
ve
【例题6】在汽油发动机吸气过程中，如图所示的汽 化器喉部绝对压力为p=88kPa，已知喉部截面面积 A=4cm2，环境温度T0=27oC，环境压强为p0=105Pa， 试按不可压缩以及等熵绝热可压缩两种情况计算： (1)喉部空气速度； (2)发动机进口的质量流量。
[解]从外部大气中，引 一条流线至汽化器的喉 道。
故F＝149.45N。
【例题4】混流器的横断面如图所示，两股水分别从 左边两口流入。混合后经右边流出。任何横断面 的流动情况与图示断面相同。
已知入口高度为h，入口夹角为θ ，水的密 度口为处平ρ 均，速混度流为器宽v1。度为B，入口处的表压为p1，入 出口处压力为大气压，
出口处的速度如图： 在中心两侧各为h的
所以，波后气流的静压为：p2＝29.52kPa，总压
为

p2* p2121M221 ＝3017.52kPa。
因为波后仍然是超音速的，因此在翼弦最高点处，
将产生膨胀波。由于后翼面BC段的马赫数为4.45。

0.6 pa V22 H 00 0 g 2g
当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本
12
方程求出Ｈ值
2.8 pa 2.8 98060 28(mH2 O) 代入到上式 H g 9806
0.6 p a 0.6 98060 V2 2 g H 2 9 . 806 2 . 8 20.78 （m/s） g 9806
18
（3）将流段AB作为隔离体取出，规定 坐标正方向，假定弯管 反力 Rx 和 R y 的方向，写 x 和 y 两个坐标方向的动量方 程： Fx Q(VBx VAx ) Fy Q(VBy VAy ) 代入题中的外力和流速 ，注意力和流速的正负 性
2 2 p A d A pB d B cos Rx Q(VB cos VA ) 4 4 2 pB d B sin R y Q(VB sin 0) 4 代入已知数据可求得 Rx 0.538 KN , R y 0.598 KN
2
p
5
p4 (5 4 )
【例】 如图所示测量装置，活塞直径d=35㎜，油的相 对密度d油=0.92 ，水银的相对密度dHg=13.6，活塞与缸壁无 泄漏和摩擦。当活塞重为15Ｎ时，h=700㎜，试计算Ｕ形管 测压计的液面高差Δh值。 【解】 重力使活塞单位面积上承受的压强为
水
水
Fz1 gV1
1 98001 4 2 2 4 61500 N
9
合力
2 F1 Fx2 F 1 z1
78400 2 61500 2
99640 N
作用线通过中心与铅垂线成角度 1 。 右部：

第一章：绪论例1-1 200 ºC体积为的2.5m3水，当温度升至800ºC时，其体积增加多少？解： 200 ºC时：ρ1=998.23kg/m3 800CºC时：ρ2=971.83kg/m3即：则：例1-2使水的体积减小0.1%及1%时，应增大压强各为多少？（K=2000MPa）d V/V =-0.1%=-2000×106×（-0.1%）=2×106Pa=2.0MPad V /V = -1%= -2000×106×（-1%）=20 MPa例1-3输水管l=200m，直径d=400mm，作水压试验。

使管中压强达到55at后停止加压，经历1小时，管中压强降到50at。

如不计管道变形，问在上述情况下，经管道漏缝流出的水量平均每秒是多少？水的体积压缩率κ =4.83×10-10m2 /N 。

解水经管道漏缝泄出后，管中压强下降，于是水体膨胀，其膨胀的水体积水体膨胀量5.95 l 即为经管道漏缝流出的水量，这是在1小时内流出的。

设经管道漏缝平均每秒流出的水体积以Q 表示，则例1-4：试绘制平板间液体的流速分布图与切应力分布图。

设平板间的液体流动为层流，且流速按直线分布，如图1-3所示。

解：设液层分界面上的流速为u,则：切应力分布：图1-3上层下层：在液层分界面上：--流速分布：上层：下层：例1-5：一底面积为40 ×45cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面向下作等速运动，如图1-4所示，已知木块运动速度u =1m/s，油层厚度d =1mm，由木块所带动的油层的运动速度呈直线分布，求油的粘度。

解：∵等速∴αs =0由牛顿定律：∑F s=mαs=0m gsinθ－τ·A=0（呈直线分布）图1-4∵ θ=tan-1(5/12)=22.62°例1-6: 直径10cm的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平台间充有厚度δ=1.5mm的油膜相隔，当圆盘以n =50r/min旋转时，测得扭矩M =2.94×10-4 N·m。

流体⼒学例题及思考题-第⼆章第⼆章流体静⼒学1o 研究任务：流体在静⽌状态下的平衡规律及其应⽤。

根据平衡条件研究静⽌状态下压⼒的分布规律，进⽽确定静⽌流体作⽤在各种表⾯的总压⼒⼤⼩、⽅向、作⽤点。

2o 静⽌：是⼀个相对的概念，流体质点对建⽴的坐标系没有相对运动。

①绝对静⽌：流体整体相对于地球没有相对运动。

②相对静⽌：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。

共同点：不体现粘性，⽆切应⼒ 3o 适⽤范围：理想流体、实际流体 4o 主要内容：流体平衡微分⽅程式静⼒学基本⽅程式（重点）等压⾯⽅程（测压计）作⽤于平⾯和曲⾯上的⼒（难点）第⼀节流体静压强及其特性⼀、基本概念1、流体静压强：静⽌流体作⽤在单位⾯积上的⼒。

p 设微⼩⾯积A ?上的总压⼒为P ?，则平均静压强：A P p ??=重⼒压⼒重⼒压⼒重⼒直线惯性⼒压⼒重⼒离⼼惯性⼒压⼒质量⼒质量⼒ΔP点静压强：A P p A ??=→?lim即流体单位⾯积上所受的垂直于该表⾯上的⼒。

单位：N/m 2 (Pa)2、总压⼒：作⽤于某⼀⾯上的总的静压⼒。

P 单位：N (⽜)3、流体静压强单位：国际单位：N/m 2＝Pa 物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2 ⼯程单位：kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (⼯程⼤⽓压) ≠ 1atm (标准⼤⽓压)1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m ⽔柱 1atm ＝1.013×105Pa ＝10.3 m ⽔柱⼆、流体静压强特性1、静压强作⽤⽅向永远沿着作⽤⾯内法线⽅向——⽅向特性。

（垂直并指向作⽤⾯）证明：反证法证明之。

有⼀静⽌流体微团，⽤任意平⾯将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。

设切割⾯上任⼀点m 处静压强⽅向不是内法线⽅向，则它可分解为n p 和切应⼒τ。

⽽静⽌流体既不能承受切应⼒，也不能承受拉应⼒，如果有拉应⼒或切应⼒存在，将破坏平衡，这与静⽌的前提不符。

Dr W-X Huang, School of Chemical Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, P.R. China
工程流体力学——第三章 流体静力学——例题
CH3-7
z
z
pw
R h R y o b a o R
pw
β
R y
液柱顶部
A A1 A2
p0
CH3-3
n2
h2
= − ∫ ρ g (h1 + h2 − y )(−idy + j tanθ dy ) − ∫ ρ g (h1 + h2 − y )(−idy )
0 h1
h1
h2
n1
θ θ
= +∫
h1 + h2
0
ρ g (h1 + h2 − y )dyi − ∫ ρ g ( h1 + h2 − y ) tanθ dyj
p − p0 = ρ g ( h 1 + h2 − y )
p0
n2
h2
hc =
n1
dl
θ dy
h1+h 2 2
θ θ
dx
y
o
h1 tan θ
h1
x
流体静压 ( p − p0 ) 对水坝内侧表面 A 的总作用力为
A A
图 3-11 例 3-3 附图
FA = − ∫∫ ( p − p0 )ndA = − ρ g ∫∫ ( h1 + h2 − y )ndA
= −1000 × 9.8 ×
302 ⎛ 30 ⎞ tan 230o ⎜ + 20 ⎟ = −44.10MN-m/m 2 ⎝ 3 ⎠

F 897 (kN )
例： 球形容器，内充满液体，匀速转动，求压强最大点的位置
z

2 r 2 p g z c 由上节可知： 2g
球心处的压强条件：
o
x y z 0,
y
R
p p0 球心压强
z r
求出常数 c p0 ，得到球壳上压强：
2 ( R 2 z 2 ) p g z p0 p( z ) 2g
题 2-1
图
过程演示
题 2-1
图
题 2-2
试用图示法表示图中所示的单位宽度二元曲面上 的压力体及曲面在铅直投影面上的压强分布
题 2-3
为了测定运动物体 的加速度，在运动物体 上装一直径为 d 的 U 形管，测得管中液面差 h = 0 . 05m ，两管的 水平距离 L = 0 . 3m ， 求加速度 a 。
x
求
p
球壳
p
dp 2 最大值， 0 (2 z ) 1 0 dz 2g z g / 2 球壳上最大压强点
g / 2 R
如果
g / 2 R,
z R
思考题：
有一块石蜡， 浮在油水溶液的分界面上，它们的重度为
水 9806 N / m3 , 油 8500 N / m3， 蜡 9500 N / m3
盖3：水平对称性 Fx Fy 0
Fz V p 2 R 2 ( H h) R 3 3 34015 N （垂直向下）
R
H
h
h

z
y
x
1
2
V下 V半球 2 R 3 2567 N 3

B到G的垂直距离 根据理论力学平衡理论
d y = × cos 60° = 0.25m 2
A
∑M
= PL + Gy − Tx = 0
PL + Gy T= = 27.9kN x
例题：如图，涵洞进口装有一圆形平板闸门， 例题 ： 如图 ，涵洞进口装有一圆形平板闸门 ， 闸门平面 与水平面成60 铰接于B 点并可绕B 点转动， 60º， 与水平面成 60 ， 铰接于 B 点并可绕 B 点转动 ， 门的直径 d=1 门的中心位于上游水面下4 门重G=980N G=980 d=1m ， 门的中心位于上游水面下 4m ， 门重 G=980N 。 当门 后无水时，求从A处将门吊起所需的力T 后无水时，求从A处将门吊起所需的力T。
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：闸门所受水的总压力 P=γhcAx=9.8× P=γhcAx=9.8×4×π×0.5×0.5×sin60º=26.66kN 0.5×0.5×sin60 =26.66kN
压力中心D 压力中心D到B的距离 Jc d L = Yc + −Yc + Yc A 2
0.54 π 4 + 0.5 = Hc (π × 0.52 ) sin 60° = 0.51m B到T的垂直距离 x = d ×cos60° = 0.5m

⎧ Fr = ω 2 r ⎪ 其中：⎨ ⎪ Fz = − g ⎩
其中 c 为常数。
⎛ ω 2r 2 ⎞ ⇒ p = ρg ⎜ − z⎟+C ⎝ 2g ⎠
代入边界条件：z = 0, r = r0 , p = ρ gh
习题五
⎛ ω 2 r02 ⎞ C = ρg ⎜h − ⎟ 2g ⎠ ⎝
所以，容器顶盖上（z= 0）压力分布为：
（3）、 比较两个速度场所得的结果 从计算结果可以看出，场①的等势线族为圆心为原点的一系列圆， 等流线族为通过原点的一系列射线，它的复位势对应着点源（汇）的复 位势。场②的等势线族为通过原点的一系列射线，等流线族为圆心为原 点的一系列圆，它的复位势对应着点涡的复位势。
习题五 3、证明不可压流体的理想、定常、二维流动，在忽略质量力 时，流函数ψ 和涡旋 Ω 满足 ∂ (Ω,ψ ) ∂Ω ∂ψ ∂Ω ∂ψ = − =0 ∂ ( x, y ) ∂x ∂y ∂y ∂x p 1 2 若Ω是常数，则压力方程为 + V + Ωψ = const ρ 2
习题五
（1）、速度分布②的速度势、流函数及复位势 ∂ϕ 2 −cy ⎫ ⎛ y⎞ = 2 ⇒ ϕ 2 = carctg ⎜ ⎟ + C ( y ) ⎪ ∂x x + y2 ⎪ ⎝x⎠ ⎛ y⎞ ⎬ ⇒ ϕ 2 = carctg ⎜ ⎟ + C ∂ϕ 2 cx ⎪ ⎝x⎠ = 2 x + y2 ⎪ ∂y ⎭ 等势线族为： arctg ( y x ) = θ c
习题五
⎡ ⎛V 2 p ⎞ ⎤ ⎛V 2 p ⎞ ∇⎜ + ⎟ + Ω × V = 0 ⇒ ∇ × ⎢∇ ⎜ + ⎟ + Ω ×V ⎥ = 0 ⎝ 2 ρ⎠ ⎣ ⎝ 2 ρ⎠ ⎦

iy
iz
解得 例 7
FDA FCA 869 N
FBA 1950 N
力 F 作用于支架上的点 C,如图所示，设 F 100 N ，试求力 F 分别对点
A,B 之矩。
A
B
3mC60 NhomakorabeaF 解： 因为求力 F 对 A、B 两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解。
M A ( F ) M A ( Fx ) M A ( Fy ) 2 F sin 60 3F cos 60 23 N m M B ( F ) M B ( Fx ) M B ( Fy ) 0 3F cos 60 150 N m
在梁上离 A 端 x 处取微元 dx ，由于载荷线性分布，在 x 处的集度 q1 q 0 x ， l 于是在 dx 上作用力的大小为： dF q1dx q 0 x dx l
合力的大小为 F dF
0
l
l
0
q0 x ql dx 0 l 2
利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力 F 的作用线离 A 端的距离为 xc ，
先计算沿轴 OC 的单位矢量 ec ： ec OC OC (3i 5k )
有 M OC ( F ) M 0 ( F ) OC M O ( F ) ec 145.5 N m
34


例9
已知： 简支梁 AB 上作用有两个平行力，F ，F 和一个力偶。 l 5m a 1m ，
y
B D
P
A
B FB
B FB
D
P
x
A
a
a

的圆,则
Px
左边水池的水对半球形堵头的水 平压力为 右边为
又
故 方向水平向左
解题步骤
然后再求垂直分力 左边水体对半球形堵头的压力 体为如图虚线所示，方向向上 ；右边水体对半球形堵头的压 力体为如图虚线所示，方向向 下。因此，压力体为零。
故，垂直分力为零。
所以，总压力即为水平分力。
为分析水管内力与外荷载的关系，沿管轴方向取长度 管道，并从直径方向将管子剖开，取一半来分析受力情况， 如图。
解题步骤
设管壁上的拉应力 为 ，剖面处管壁所
受总内力为2T，则
作用在半环内表面的水压力沿T方向的分力，由曲
面总压力的水平分力公式得
根据力的平衡，有
令管壁所受拉应力恰好等于其允许拉应力 所需管壁厚度为
C
铅垂投影面如图
面积 投影面形心点淹没深度 所以 方向向右
解题步骤
（2）铅直分力
压力体如图中abcde
压力体体积 因
=扇形面积ode－三角形面积ocd
=
＝4.52
所以 故
方向向上
解题步骤
（3）总压力
(4)作用力的方向 合力指向曲面， 其作用线与水平方向的夹角
题目
图(a)和(b)是相同的弧形闸门AB，圆弧半径 R=2m，水深h=R=2m，不同的是图(a)中水在左侧，而 图(b)中水在右侧。求作用在闸门AB上的静水压力大 小和方向(垂直于图面的闸门长度按b=1m计算)。
流体静力学习题第章水静力学_图文.ppt
题目
一封闭水箱，如图所示，水面上压强p0 = 85
kN/m2，求水面下h = 1m点C的绝对压强、相对压强 和真空压强。已知当地大气压 pa = 98 kN/m2 , ρ= 1000kg/m3。