初三奥数之一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根于莹一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。

本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法。

例1. 已知方程的两根都是整数，试求整数a的值。

思路分析：当a取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。

究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。

解：设方程的两整数根为、，根据根与系数关系得：（1）＋（2）得：所以或或或所以或或或因为，所以只有或符合题意，代入（2）得：例2. 已知方程有两个不等的负整数根，则a的值是______。

思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根”，这对系数a有了更多的限制。

另外，本题的a没有说它是整数，难度更大了。

应当抓住“负整数根”做文章。

解：所以依题意有：、均为负整数，符合此条件的仅有。

例3. 设m为自然数，且，若方程的两根均为整数，则m＝______。

思路分析：题目已给出m的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对m加以限制，就不难求出符合条件的m值了。

解：∆=---+=+ 4234414842122()()()m m m m因为原方程的两根均为整数，所以必为完全平方数，且必为奇数的平方。

于是由得，在此范围内的奇完全平方数只有25和49。

所以或所以或经检验，、24均符合题意。

误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。

因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件。

也就是说，为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。

7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,

有_______个．
9 6 ， x2 ， 6k 9k 5 3 15， 3； 当 6 k 1， 这时 k 7 ，，， 当 9 k 1 3， 9 时，x1 是整数， ，2 ， 3 ， 6 时，x2 是 6 7 ，， 9 15 时原方程的解为整数． 整数这时 k 10 ，， 8 11， 7， 12 ， 15 ， 3 综上所述， k 3，， k 3，， 6 7 ，， 9 15 【答案】
1 3 1 m2 4 [(k 1)m k 2 k ] 4 4 4 3 1 m2 (k 1)m k 2 k 4 4 k 1 2 3 1 ) k 2 k ，整理得 3k 2 k 0 所以 为完全平方式，因此 ( 2 4 4
解得 k 0 或 k
1 3
【例2】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
【答案】 5 4
【解析】∵ [4 1 m ]2 4 3m2 2m 4k
22 m2 6m 4k 4
m 6 n 16 m 6 n 8 因此 或 m 6 n 2 m 6 n 4 m 15 m 14 解得 或 n 7 n 4 m 15 当 时，方程 x2 (m 2) x 4m 0 为 x2 17 x 60 0 ，解得 x 5 或 x 12 n 7
m 24 【答案】
2(m 1) 50 14 ，不妨设 x1 x2 ，则 x1 32 ， x2 18 2 2
故 m 24 ．满足 为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．

23．（本小题满分7分）已知：关于x的一元二次方程2(32)220
--+-=．
m x m x m （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=2(32)22
mx m x m
--+-
总过x轴上的一个固定点；
（3）若m为正整数，且关于x的一元二次方程2(32)220
--+-=有
m x m x m
两个不相等的整数根，把抛物线y=2(32)22
--+-向右平移4个单位长
mx m x m
度，求平移后的抛物线的解析式．（11房山一模）
23．已知：关于x的一元二次方程23(1)230
m为实数
m x m x m
--+-=()
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.（11顺义一模）
23. 已知关于x 的方程(m -1)x 2-(2m-1)x +2=0有两个正整数根.
(1) 确定整数m 值；
(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程
(m -1)x 2-(2m -1)x +2+
x m =0的实数根的个数. （11东城一模）
23. 已知关于x 的方程k x 2+2x +2-k=0 (k 大于等于1)
（1）求证：方程总有两个是实数根；
（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数?(10东城二模)。

一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种自招考试的热点。

下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。

故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。

可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。

当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

专题05 一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（ ）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 （黄冈市竞赛试题）解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题)2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m(四川省竞赛题)3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k +的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．21- D ．21 （北京市竞赛试题）8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（ ） （太原市竞赛试题）A ．100B ．400C ．700D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）。

A 卷1. 28210xx （填：“有”或“没有”）有理根。

2. 关于x 的方程2120xmx 至少有一个整数根，则整数m 可取值的个数是个。

3. 已知n 为正整数，方程2(31)360xx n 有一个整数根，则n。

4. 满足1aba b的整数对(,)a b 共有对。

5. 关于x 的方程22(2)10x a x a有两个整数根，则整数a 的值是。

6. 关于x 的方程2(11)50xa x a 有两个整数根，则实数a 的值是。

7. 若关于x 的一元二次方程2530xxa 有两个正整数根，则a 的值是，方程的解是。

8. 设p 为质数，且方程25800xpx p 两个根都是整数，则p 的值为。

9. 方程2223298xxy y 的正整数解的组数是。

10. 求使关于x 的二次方程222170a xax a的两根都是整数的所有正数a 的和是。

二、解答题11. 已知方程2340x x m 有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m 是负的偶数。

12. 若关于x 的二次方程20ax bx c有实根，且a b c 、、都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。

B 卷一、填空题1. 关于x 的方程22(21)430axa x a 至少有一个整数根，则整数a 的值为。

2. 要使方程2(1)(1)0kxk x k 的根都是整数，k 的值应等于。

3. 关于x 的方程2222(2)(26)40kk xkk x k有两个不相等的整数根，则整数k 的值为。

4. 关于x 的方程22(23)3100x m x mm 至少有一个正整数根，正整数m 的值为。

5. 若p q 、都是正整数，方程2111993022pxqx 的两根都为质数，则2pq。

6.设m 为正整数，且440m ，若方程222(23)41480x m x m m 的两根均为整数，则m 。

7. 关于x 的方程2310,4xmxm ①与222(6)40,xm x m ②若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则m。

一元二次方程的整数根
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

这种方程的解可以用求根公式来求得，即x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

在这个公式中，如果(b^2 4ac)的值大于等于0，那么方程就有实数根；如果(b^2 4ac)的值小于0，那么方程就有复数根。

当一元二次方程有整数根时，即求根公式中的(b^2 4ac)的值为一个完全平方数。

这样的方程在数学中具有重要的意义，因为它们的解是整数，可以直接用于实际问题的求解。

举个例子，假设我们有一个一元二次方程x^2 5x + 6 = 0。

我们可以用求根公式来求解这个方程的根，x = (5 ± √(5^2 416)) / 21。

计算得到(b^2 4ac)的值为1，这是一个完全平方数。

因此，这个方程的两个根分别为2和3，都是整数根。

一元二次方程的整数根在数学和实际问题中都有重要的应用。

它们可以帮助我们解决各种与平方关系有关的问题，比如物体的抛射运动、建筑结构的稳定性等。

因此，对于一元二次方程的整数根的研究和应用具有重要的意义。

求一元二次方程的整数根的方法一、因式分解法221.x x m x m 20m 设关于的方程2---＝只有整数根，求的值.1212,22)21212222122210.x x m x x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m m +=+=====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨++++⎩⎩⎩⎩解：设方程的两个整数根分别为则，于是必为偶数.原方程可化为（－）（因，均为整数－－－－－－或或或＝＝＝－＝－所以＝22x x m x m 20m 设关于的方程2---＝只有整数根，求的值.2)212222112222 1.01 1.01331111.220x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m m m x m x m x m +==+=+=+=+±=一学生解：原方程可化为（－）（由已知得：－时，＝；－时，＝；－－时，＝－；－－时，＝－所以＝或－或当＝时，＝；当＝时，＝－或；当＝－时，＝或－综上所述2x x 1x m m 11m ±±1解：原方程可以变形为（－1）[(m+1)x+2]=02解得＝，＝－＋1所以＋＝，2，所以＝－3，－2，0，12.m x m x m 2如果方程（＋1）－（－1）－2＝0的两个根都是整数，求整数的值.1.x x m x m m 20m 22设关于的方程－（－2）＋－－＝有正整数根，求正整数的值.222212(-2)4(2)3120,4.221211220.1.m m m m m m m m x m x x m ∆---=-+≥≤≤≤解：＝所以所以－，所以＝或；当＝时，＝或－；当＝时，＝＝所以＝【可否用因式分解法？】三、韦达定理法22.10m x x m x m -++=关于的方程的两个根都是正整数，求的值.121222,44(2)(2)8,22,22242-2222-411510, 5.x x x x m m m m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k k k m m m m +=∆=≥⎧⎧⎨⎨⎩⎩⎧⎧⎨⎨⎩⎩>解：设方程的两个正整数根分别为则，于是必为正整数设＝－－(k 为非负整数)则＋－－－＝＋－－－＋－与－－＋－＝＋－＝同奇偶，则，或－－＝－－＝＝＝所以或＝＝－因为所以＝【可否用因式分解法？】21.x m x +(m -10)x+2m +6=0m .m 设关于的一元二次方程只有整数根，求整数的值【问题中为整数的条件可否去掉？】12121026:,1 2.118120,2.1.m m x x x x m m m m x m m m m -++==±±∆<解：由韦达定理得由已知得：＝，当＝时，＝或；当＝－时，方程无整根；当＝时，方程无实根；当＝－时，方程无整根所以＝【可否用因式分解法或判别式法？】22.(3)0.x x m x m m =设关于的方程－＋－有两个负整数根，求的值12121212121212,3.3,(1)(1) 4.11,-4,2,-214,1,2,-2.910.x x x x m x x m m x x x x x x x x m +=+=++=+===解：设方程的两个负整数根分别为则由韦达定理得，－于是必为小于-3的整数，所以＋＋对应的＋ 解得＝－或－【可否用因式分解法或判别式法？】。

第十七章 第6讲 一元二次方程整数根问题知识精要对于有理数系数的一元二次方程02=++c bx ax (c b a 、、为有理数，且0≠a )，可以通过对方程两边同时乘以一个适当的数(零除外)，将有理数系数的方程化为整系数方程.因此，我们常将有理数系数一元二次方程转化为整系数一元二次方程.整数根的问题是有关整系数一元二次方程的一个重点.常需要多角度、全面地思考问题，灵活地运用方程的判别式、根与系数的关系等各种性质来解决问题.1.判别式法使一元二次方程有整数根的前提条件是：0≥∆且∆是完全平方数.因此，求解一元二次方程整数根的问题常常可以从判别式情况出发分析、研究.2.韦达定理法在一元二次方程有解的条件下，利用根与系数的关系，构造适当的因式关系式，利用整数的约数进行分类讨论，进而求得一元二次方程的整数根.经典题型精讲(一)判别式法例1.已知关于x 的一元二次方程03)2(2=-+--m x m mx 有整数根，求整数m 的值.例2.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(2=-+++k x k x 有两个整数根，求整数k 的值.例3.已知关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x m mx 有有理数根，求整数m 的值.例4.设方程03)2(2=-+--m x m mx 有整数解，试确定整数m 的值，并求出此时方程的所有整数解.(二)根与系数的关系例5.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(2=-+++k x k x 有两个整数根，求整数k 的值.例6.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.例7.已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根是非零整数，且198=+q p ，求p 的值.例8.若关于x 的方程062)1()1(322=-++-+a x a x a 的根都是整数，求所有整数a 的值.能力提升1.已知关于x 的一元二次方程05112822=+-+-a a x x 的根都是整数，求整数a 的值.2.设m 为整数，且404<<m ，关于x 的一元二次方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 及方程的根.3.求x 为何有理数时，代数式22392-+x x 的恰好为两个连续的偶数乘积.4.已知关于x 的一元二次方程)0(0)6(2≠=+-+a a x a x 的两根都是整数，试求整数a 的值.5.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且它们是方程0122=+--m x mx 的两个根(m 为整数)，那么这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由.6.若一元二次方程012=++-m mx x 的两根都是整数，求整数m 的值.7.已知关于x 的一元二次方程024)15(2)1(22=++--x a x a 有两个不相等的负整数根，求实数a 的值.。

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。

关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。

分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。

说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。

二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。

分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。

说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

初三数学提高班方程的整数根一、一元二次方程有整数根的判定条件设整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(※)则(1)方程(※)有整数根 ⊿=b2－4ac是完全平方数,且a能整除b与c(2)方程(※)有一个整数根时,另一个必是有理数根(当a=1时, 另一个根必是整数根)二、一元二次方程有整数根时,方程中所含参数与方程的整数根求法有：(1)先求出方程的根,再确定参数的取值; (2)利用根的判别式;(3)利用韦达定理; (4)参数交换法。

三、例题选讲1、m取何整数时,方程(m2－1)x2－6(3m－1)x+72=0的根都是正整数？2、求出所有这样的正整数a，使得二次方程ax2+2(2a－1)x+4(a－3)=0至少有一个整数根。

3、当x为何有理数时代数式9x2+23x－2的值恰好为两个连续正偶数的乘积?4、已知关于x的方程(a－1)x2+2x－a－1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个。

5、求使关于x的方程(a+1)x2－(a2+1)x－2a3－6=0只有整数根的所有整数a。

6、若直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx2－2x－m+1=0的根(m为整数)，这样的三角形是否存在？若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在,请说明理由。

7、求所有正实数a使得方程x2－ax+4a=0仅有整数根。

8、已知a、b为整数,若一元二次方程x2－ax a－b+(2a－b－1)x+a2+a－b－4=0的根都是整数,求a、b的值。

9、设方程a 2x 2+ax+1－7a 2=0的两根都是整数,求所有正数a 。

10、m 取何实数时,关于x 的方程(m －6)(m －9)x 2+(15m －117)x+54=0只有整数根？11、若x 、y 为正整数,使得2xy 能整除x 2+y 2－x,则x 为完全平方数12、已知a 、b 为正整数,且满足49422=+++b ab a b a ,求a 、b 的值13、已知正整数a 、b 、c 满足a ＞b ＞c,且⎩⎨⎧=+++++-=+++++-0)()(9810)()(636ca bc ab c b a ca bc ab c b a ，求a 、b 、c 的值。

此文发表在《中学数学杂志》2012年第6期（总第272期、教研版）上浅谈一元二次方程的整数根问题在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1、整系数一元二次方程整数根的求法：➊利用判别式：整系数一元二次方程有整数解时，判别式是完全平方数，利用这条性质可以确定整参数的值，但需验证这些值是否使方程的根为整数。

例1、设m 是整数，4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值。

解：已知方程的判别式⊿=4(2m+1),它是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数。

又∵4<m<40，∴9<2m+1<81,从而2m+1=25或49, ∴m=12或者24。

代入已知方程，得：x=16,26或x=38,52.综上所述，所求m 的值为12，24。

➋利用韦达定理：利用韦达定理处理二次方程有两整数根，其思路是由x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 消去其中的参数，得整数根x 1,x 2的一个不定方程，解这个不定方程可求得其整数根，从而可确定方程中参数的值，最后需验证所求的参数值满足⊿≣0。

例2、求一切实数k,使得关于x 的方程:5x 2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数。

解：设x 1,x 2是方程的正整数解，则⎩⎨⎧x 1+x 2=kx 1x 2=66k-15消去k,得：5x 1x 2=66(x 1+x 2)-1 ∴(5x 1-66)(5x 2-66)=4351=19×229不妨设x 1≢x 2,则 ⎩⎨⎧5x 1-66=195x 2-66=229∴x 1=17, x 2=59. ∴k=x 1+x 2=76又⊿=25k 2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0 ∴k=76为所求。

初中数学：一元二次方程的有理根与整数根整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。

而有整数根，△必为一完全平方式。

这里a、b、c皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。

而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件。

一、与有理根有关的问题例1、m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？解：原方程即：如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。

本题也可这样解：原方程化为如有有理根，则得二、与整数根有关的问题例2、若方程有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有__________个。

解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是即视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由可见（1）令，则<1>式为（2）若要有整数解，则应为完全平方式。

令，则因为所以有如下两种情形。

无整数解，舍去。

代入<2>式得：所以或（舍去）将代入（*）式得：所以满足条件。

由对称性（方程系数是对称的）知也是所求。

（2）令，则<1>式为<3>若有整数解，则应为某一完全平方式，故令，则因为所以又有两种情形。

代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）得：所以为所求。

代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）式得：，有整数解，故为所求。

由对称性知也为所求。

故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。

三、与因式分解有关的问题例3、m是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？解：设（n为自然数），则原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以应为某整数的平方，设为。

则化为因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或因为所以又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。

①②③④由①解得：，此时<2>式为：或（舍去）由②解得：，此时<2>式为：或（舍去）由③解得：，此时<2>式为：或（舍去）由④解得：，此时<2>式为：或（舍去）经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。

2k 2 6k 4 2(k 6) 2(k 2 6k 8)
2 4 , x2 1 k 4 k 2
2 4 ,k 2 x1 1 x2 1
由于x≠-1，则有 k 4
两式相减，得
2 4 2 x1 1 x2 1
即 x1 ( x2 3) 2 由于x 1 ，x 2 是整数，故可求得 x1 2, x2 4 或 x1 2, x2 2 或 x1 1, x2 5 分别代入，易得k= 一.
3A题库-初三数学系列
中小学课外辅导专家
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一. 利用判别式
例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 mx 2 4 x 4 0 与 x 2 4mx 4m 2 4m 5 0 的根都是整数。 解：∵方程 mx 2 4 x 4 0 有整数根， ∴⊿=16-16m≥0，得m≤1 又∵方程 x 2 4mx 4m 2 4m 5 0 有整数根 ∴ 16m 2 4(4m 2 4m 5) 0 综上所述，－
中小学课外辅导专家
解得m=1＞0（舍去）或m=－5。 当m=－5时 ，原方程为x 2 -5x+6=0，两根分别为x 1 =2，x 2 =3。
一.
利用求根公式
例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程 (k 2 6k 8) x 2 (2k 2 6k 4) x k 2 4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。 解： (2k 2 6k 4) 2 4(k 2 4)(k 2 6k 8) 4(k 6) 2 由求根公式得 x 即 x1 1
x1 x2 m 1 ②

第三讲一元二次方程的整数根含有字母系数的一元二次方程整数根问题，一般要求待定字母值或整数根的值，这类问题涉及的知识面广，其解法灵活多样，技巧性强，需要较强的综合分析问题的能力，是最近纪念各地数学竞赛和中考的热门问题.一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程局+处+ c = 0 (心0),在△ =，一4仇：二0时，方程有实根，且：方程有有理根匚二a = b2—4ac为完全平方数2.一元二次方程的根为整数(1)对于整系数的一元二次方程处'+加0 «工0),如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数；—b土J/—4皿是加的整数倍;(2)在首项系数为1的整系数方程疋+ /娥+ 0 = 0 (p、q为整数)的判别式△为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；(3)对于整系数的一元二次方程^'+/zv + c = O ShO),若小b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；(4)整系数的一元二次方程卅+加+=0 (QH O),若事匕、c都是奇数，且△=夕一4＜皿＞0, 则方程亦+分+ * = 0 (a h 0)无整数根二、例题部分例1 (★★)已知方程x2-4(m-l)x + 3m2-2m + 4k = 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2 (★)不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：G)X2+3X-18=0；(2)X2+8X-59=0；(3)2x2+4x-5 = 0； @ 3x2+23x-87 = 0例3 (★)已知当m为何值时，方程%2 -2(2///-3)x + 4m2 -14m + 8 = 0有两个整数根?例4 (★)整数a取何值时，方程/一@一6)兀+。

= 0有两个整数根?例5 (★)设nu n为整数，证明方程F+10皿-5〃 + 3 = 0没有整数根;例6 (★★, 2000年中考)当m为什么整数时，关于x的一元二次方程皿2_力+ 4 = 0与x2一4机¥ + 4/n2一4/?z-5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7 (★★, 97年黄冈)若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程〃用-2x-〃? + 1= 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8 （★★, 2000年全国初中数学联赛）设关于x的二次方程伙2 一6« + 8庆+（2疋一6« 一4）兀+疋=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9 （★★, 1998年全国初中数学联赛）求所有正实数■使得方程疋-俶+ 4“ = 0仅有整数根;例】（）（★★, 1994年福州）当m为什么整数时，关于x的方程x2+（m-l）x + m + \= 0的两根都是整数? 【解】:例11 （★★, 2002年全国联赛）求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程《疋+伙+ l）x + k-l = O的根都是整数；例12 （★★）试确定所有的有理数“使得关于x的方程加+（r + 2）x + 3一2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13 (★,第3届祖冲之杯)试求所有这样的正整数a,使方程ax2+2a(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14 (★★★)设方程/”+心+1-7/= 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例^(★★★, 2000年全国初中数学联赛)求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程尤2_3似+ 2" = 0；x2-3bx + 2c = O； x2-3cx + 2a = 0的所有根都是正？例16 (★★★)若方程扌一〃皿+加+ 〃= 0有整数根，且叭n为自然数，则a n可以分别为多少?三、练习题1.（★, 96年全国理科实验班）b、c是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有（）A. b = c = OB. b2 +c = 0c. h2+c是整数的平方 D. b*c是偶数的平方2.（★）若x2+mx-6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是（）A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程+2/x + 2q = 0有实根，其中p、q都是奇数，那么它的根一定是（）A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4 （★★, 1991年希望杯）已知关于x的一元二次方程疋+ + 0 = O有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ ;5.（★★,北京市初二数学竞赛）方程x2 + px + q = 0的两根都是正整数，且“ + § = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ;6.（★★,希望杯）已知p为质数，且方程+ 444/7 = 0有两个整数根，贝!Jp= ______ ；7.（★★）已知方程（/-1庆-2（5“ + l）x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？& （★★,全国初中联赛）方程（x_“）（x —8）—1 =0有两个整数根，求a的值;。

解题思路：把 x2 xy 2 y2 29 看作关于 x 的二次方程，由 x 为整数得出关于 x 的二次方程的
根的判别式是完全平方数，从而确定 y 的取值范围，进而求出 x 的值.
【例 4】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 rx2 (r 2)x r 1 0 有根且只有整数根.
于______________.
5．两个质数 a, b 恰是 x 的整系数方程 x2 21x t 0 的两个根，则 b a 等于（ ） ab
A． 2213
B． 58 21
2402
C．
49
D． 365 38
6．若 x2 mx 6 0 的两个根都是整数，则 m 可取值的个数是（ ）
A．2 个
例题与求解
【例 1】 已知关于 x 的方程 (4 k)(8 k)x2 (80 12k)x 32 0 的解都是整数，求整数 k 的值.
（绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两
种情形讨论，这样确定 k 的值才能全面而准确.
【例 2】 p, q 为质数且是方程 x2 13x m 0 的根，那么 q p 的值是（
x2 2( y 50)x ( y2 y) 0 ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.
【例 6】 试求出所有这样的正整数解 a ，使得二次方程 ax2 2(2a 1)x竞赛试题）
解题思路：本题有两种解法. 由于 a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以 a 为元，以 x 为已知数整理成
A．100
B．400
C．700
D．1000
（太原市竞赛试题）
9．求所有的实数 k ，使得方程 kx2 (k 1)x (k 1) 0 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）