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正余弦定理复习课(第1课时)

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第一章正余弦定理复习课

第一章正余弦定理复习课

√D.π3
在△ABC中，利用正弦定理，得
2sin Asin B＝ 3sin B，∵B∈(0，π2)，sin B≠0，
∴sin A＝ 23.又∵A 为锐角，∴A＝π3.
123
2.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝－32 .
答案 解析
由余弦定理，得 cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝14. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×14＝32. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据 具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面 向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识 转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．
(1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．
【解】 (1)由 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝1，所以 C＝π.
2
3
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos
123
第一章复习
1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角 形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．
2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地， 应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关 系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知 识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转 化、化简，从而得出结论．

正弦定理余弦定理复习课

正弦定理余弦定理复习课

正弦定理、余弦定理及应用复习课学习目标：1、理解用向量的数量积证明正弦定理、余弦定理的方法。

2、掌握正弦定理、余弦定理的变形形式。

3、灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。

了解感知1.三角形边角关系：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1）正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） 变式1：a = 2R sinA ，b= 2R sinB ，c= 2R sinC变式2：R Cc B b A a C B A c b a 2sin sin sin sin sin sin ====++++ 变式3：b a B A =sin sin ，c a C A =sin sin ，c b C B =sin sin2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bccosC ，b 2 = a 2+c 2－2accosB ，a 2 = b 2+c 2－2bccosA ．变式1：bca cb A 2cos 222-+=；=C cos .；=B cos . . 2 三角形面积公式：2)(sin 2121r c b a C ab ah S ++===∆（其中r 为内切圆半径） 3、解三角形常见题型及解法(1)已知两角A 、B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝180°可求出角C ，由正弦定理再依次求出b 、c .(2)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(3) 已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理求出另一对角B （注意：角的取舍），由C ＝π－(A ＋B )求出C ，再由正弦定理求出c 。

(4)已知两边b ，c 与其夹角A ，由余弦定理求出a ，再由正弦定理依次求出角B 、C （注意：角的取舍）。

4、常用的三角形内角恒等式：①由A ＝π－（B ＋C ）可得出： sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）． ②由222C B A +-=π．有： 2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．深入学习例1、在△ABC 中，（1）已知︒===30,8,4B c b ，求a A C ,,；（2）已知2,2,30==︒=c b B ，求a C A ,,；(3)已知10:)13(:)13(sin :sin :sin -+=C B A ，求最大角。

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外

1.1.2余弦定理(第1课时)

1.1.2余弦定理(第1课时)
ABC
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角 为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归纳小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
10
11
问题3：联系三角形两边及其夹角的知识有哪些？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题5：课本上用向量的方法证明余弦定理，主要用到什么 知识？
5
问题6：请你用其他的方法证明余弦定理？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题7：尝试用多种语言描述余弦定理？
6
四、深度理解
活动3：辨一辨，思一思
问题8：根据问题情境2、课本例题3，思考如下变式问题。
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；
——会学 3.体会余弦定理的美学价值，体验合作学习的快乐，增强 学习信心。 ——乐学
二、寻找联系
活动1：读一读，想一想
问题1：初中学习判断两个三角形全等判定定理有哪些？
4
问题2：正弦定理是从哪些判定定理来精确刻画边角之间 的数量关系？
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在

余弦定理与正弦定理第1课时 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

余弦定理与正弦定理第1课时 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答： （1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理


.
探究一:余弦定理的推导
提问：
（1）已知两边及它们的夹角求第三边，当夹角为多少度
时我们可以求出？
（2）以任意三角形为例探索三角形如何求出第三边.如：在
ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，
b和C表示c？
.
如图，设 CB a, CA b AB c ，
那么 c a - b ①，我们的研究目标
是 | a |,| b∣和C 表示 c ，联想到数量
积的性质 c c | c |2 ，可以考虑用向量 c （即 a b ）
与其自身作数量积运算.
.
由①得
| c |2 c c (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a || b | cos C
2 − 2 − 2
>0
2
，则△ABC（ ）
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角或直角三角形
答案：C
解析：由
2 − 2 − 2
>0
2
得
−cos > 0
，所以 cos < 0 ，
从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
例题
2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋
所以 c 2 a 2 b 2 2ab cos C
同理可得：a 2 b2 c 2 2bc cos A b 2 c 2 a 2 2ca cos B
2
2
2
c

a

b
2ab cos C
由此得出余弦定理：

1.2 余弦定理(第1课时)


a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比 为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小 角 的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A

5.5.1两角和差的正弦余弦公式第一课时课件(人教版)


- =-


-()


=-.

因为 tan β=- ,β∈(0,π),所以β∈(,π)且 sin β=- cos β.
2
2


由 sin β+cos β=1 知 sin β=,cos β=-.




所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
sin cos cos sin
sin cos cos sin .
故两角差的余弦公式为：
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
sin sin cos cos sin
13
13
13
所以 cos( ) cos cos sin sin
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何
求: cos( ) ?
分析：注意到 （ ）






所以 cos α=- - =- ,sin β= - = ,
所以 tan α=






=- ,tan β=

=- ,所以 tan(α-β)=
-
+

= .

[例 2] 已知 0<α<β<π,且 cos(α-β)=,tan β=,求 tan α的值.

15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)


第2页，共13页。
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
得到 a b sin A sin B
作AE BC .有 b c sin B sin C
3 小结:已知两边和其中一边的对角，可以 正弦定理求出三角形的其他的边和角。
第7页，共13页。
1、在 AB中C，已知
b 2, A ,C，求5
4 12
。 B, a
2、在 ABC中，已知 a 30, b 15 2, A ，4求5 B。, c
第8页，共13页。
想一想
• 你能根据图15-13推导三角形面积公式
第5页，共13页。
2.定理的应用举例
例1. ABC中,已知A=45o，，C=30o，c=10,求b(精确到0.1)
变式：若将c=10改为a=10，结果如何？
通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：已知三角形的两个内角和任意一边，利 用正弦 定理可求出三角形中的其它元素。
第6页，共13页。
例2 在 ABC 中，已知a 3, b 6, A , 求B和c
15. 4 正弦定理、余弦定理 （第1课时）
第1页，共13页。
1.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系?
c
b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？
Ba C
a b c sin A sin B
sin C 1
abc sin A sin B sin C
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
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（1）△ABC中，a=30，b=25，A=1500 ，有一解。 √
（1）△ABC中，a
3,b 2, B 450
，有一解。 × 有两解
判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
例3、设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 b cos C c cos B a sin A, 则ABC的形状为（） A、直角三角形 C、钝角三角形
．
2．若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，
向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于 ．
3．在△ABC中，已知acos A＝bcos B，则△ABC的形状为________．
1、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则sinC= 2、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 a2 b2 3bc
①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ； 变形 形式 ②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝
； cos B＝ cos C＝
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ；
2、正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理： ①知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边2)已知两边及一边的对角 （解不唯一）
(3)已知两边及其夹角 (4)已知三边 （解唯一） （解唯一）
4、判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
转化思想
1．在△ABC中，若 A 600 , B 450 , BC 3 2 ，则AC边等于
出事地点与 出发地点的距离？
5000km 出事地点 600 失联地点
1000km
出发地：吉隆坡
1、正弦定理、余弦定理及相关知识
定理 正弦定理 余弦定理 a2＝ b2＋c2－2bc·cosA， 内容 (其中R是△ABC外接圆的半径) b2＝ c2＋a2－2ca·cosB ， cosC ． c2＝ a2＋b2－2ab· cos A＝ ； ； .
sin C 2 3 sin B ，则A=（
A、300 B、600
，
）
D、1500
C、1200
余弦定理： ①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. ②已知三边，求各角；
例1、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，且 a 2b sin A
（1）求B的大小；
（2）若 a 3 3, c 5, 求b.
① 变形公式a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝2RsinC 的正确使用；
熟悉边化角，角化边两种方法
B、锐角三角形 D、不确定
变式3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状为(
A．直角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．不确定
)
1、正弦定理： 2、余弦定理： a2=b2＋c2－2bc·cosA 3、正余弦定理的基本应用： (1)已知两角和任一边 （解唯一）
②规范做题格式； ③知 两角和一边 两边及夹角 三边 三角形的解是唯一的。
变式1：设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，若 a sin A c sin C 2a sin C b sin B
（1）求B；
（2）若A=750，b=2，求a，c。
20 3 0 a , b 20, B 60 例2、在△ABC中，已知 ， 3 求A、C和c。
①规范做题格式；
②知 “ 两边及其中一边对角 ” 三角形的解是不唯一（难点）。
a、函数值的有界性 通常根据 b、大边对大角定理 进行判断
变式2：判断下列命题的真假：
（1）△ABC中，a=6，b=9，A=450 ，有两解。
× 无解
（2）△ABC中，a=7，b=14，A=300 ，有两解。 × 有一解