数学归纳法

数学归纳法1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2) (归纳递推)假设n ＝k(k≥n0，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1) 用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2) 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3) 步骤(2)的证明必须以“假设n ＝k(k≥n0，k ∈N*)时命题成立”为条件.题型一 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．总结：用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k(k ∈N*)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2(k ＋1)＋k 2(k ＋1)综上所述，对于任何n ∈N*，等式都成立．题型二 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论． 例2 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n .下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立．(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1对任意的n ∈N *都成立．总结： 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练2 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1k (k ＋1)k ＋1综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．题型三 利用数学归纳法证明整除问题 例3 求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k－1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．总结： 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证． 跟踪训练3 证明x 2n －1＋y 2n －1(n ∈N *)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x 2n －1＋y 2n －1＝x ＋y ，能被x ＋y 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即x 2k －1＋y 2k－1能被x ＋y 整除．那么当n ＝k ＋1时，x 2(k＋1)－1＋y 2(k＋1)－1＝x 2k ＋1＋y 2k ＋1＝x 2k－1＋2＋y 2k－1＋2＝x 2·x 2k －1＋y 2·y 2k －1＋x 2·y 2k－1－x 2·y 2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)＋y 2k －1(y 2－x 2)．∵x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除，y 2－x 2＝(y ＋x )(y －x )也能被x ＋y 整除，∴当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1＋y 2(k＋1)－1能被x ＋y 整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型四 用数学归纳法证明数列问题例4 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27；S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．总结： 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练4 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．题型五 利用数学归纳法证明几何问题思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例5 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k >2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．总结： 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明． 跟踪训练5 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 (1)n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域． ∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．注意：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 练习1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C 解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 答案 C 解析 将n ＝1代入a 2n＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 课后练习1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2 (n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4答案 D 解析 等式左边的数是从1加到n ＋3. 当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6答案 C 解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( )A ．2k－1项B ．2k＋1项C ．2k 项D ．以上都不对答案 C 解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项． 4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C 解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A 解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________． 答案 S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k )＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1)＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，∴n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.8．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案D 解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是__________________________． 答案122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 10．证明：62n －1＋1能被7整除(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除．那么当n ＝k ＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

一、数学归纳法的步骤
1）当n=1时，显然成立。

2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，
则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。

由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。

二、数学归纳法的特点
数学归纳法就是一种证明方式。

通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。

归纳是在比较的基础上进行的。

通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。

最终达到数学上的证明。

归纳法：
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。

归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。

数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式；
（2）证明不等式；
（3）三角函数；
（4）计算、猜想、证明。

三、数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可；
②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法；
③最后一定要写“由（1）（2）……”。

数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。

归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。

数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。

归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。

类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。

归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。

归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。

在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。

归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。

1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。

其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。

这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。

最后要注意分类的层次性和关联性。

分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。

其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。

但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。

解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。